Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Pendule pesant, description et cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement

Conditions initiales (C.I.) de lancement « 1a » ou « 1b » induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté

Modèle:AlLes C.I. de lancement du P.P.S. notées «$1a$» sont les suivantes :

• on écarte le P.P.S. de ${\theta }_0$ de sa position d'« équilibre stable » et
• on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude.

Modèle:AlOn pourra aussi utiliser les C.I. de lancement du P.P.S. notées «$1b$» suivantes :

• on écarte le P.P.S. de ${\theta }_0$ de sa position d'« équilibre stable » et
• on lui communique une « vitesse initiale » de vecteur situé dans le plan vertical de lancement du référentiel d'étude.

Établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »

Modèle:AlNous considérons dans un 1^er temps les C.I. de lancement «$1a$» $($les conditions les plus usuelles$)$ et nous étudions son mouvement ultérieur dans le référentiel terrestre supposé galiléen, puis

Modèle:Alnous préciserons les modifications de l'étude dans les C.I. de lancement «$1b$».

Bilan des forces agissant sur le P.P.S.

Schéma d'un pendule pesant simple avec repérage sphérique de pôle $O$ et d'axe $\overrightarrow{Oz}$ et représentation des deux forces s'appliquant sur le point $M$ du Modèle:Nobr

Modèle:AlLe point $M$, repéré par ses coordonnées sphériques de pôle $O$ et d'axe $\overrightarrow{Oz}$ vertical descendant, à savoir $(r=l,\theta ,\phi )$ de base sphérique associée $({\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta },{\overrightarrow{u}}_{\phi })$, est soumis à deux forces $($voir schéma ci-contre$)$ :

• une force à distance, le poids de $M$, $m\overrightarrow{g}$ et
• une force de contact, le vecteur tension de la tige $\overrightarrow{T}(t)$ « central » dans la mesure où la tige est sans masse .

Démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement « 1a » (ou « 1b »)

Schéma en perspective d'un pendule pesant simple avec repérage cylindro-polaire d'axe $\overrightarrow{Oz}$ et représentation des deux forces s'appliquant sur le point $M$ du P.P.S.

Modèle:AlPréliminaire : La courbe décrite par $M$ s'inscrivant sur la sphère de centre $O$ et de rayon $l$, le meilleur système de coordonnées est effectivement le système sphérique de pôle $O$ et d'axe Modèle:Nobr mais $\dots$

Modèle:AlModèle:Transparentl'utilisation de la r.f.d.n. appliquée à $M$ dans le référentiel terrestre galiléen nécessitant de connaître les composantes sphériques de ${\overrightarrow{a}}_M(t)$ et celles-ci étant beaucoup trop complexes $($de plus hors programme de physique de P.C.S.I.$)$, on va se rabattre sur le système de coordonnées cylindro-polaires le plus proche du système sphérique à savoir le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\overrightarrow{Oz}$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentavec le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\overrightarrow{Oz}$ le point $M$ a pour coordonnées cylindro-polaires $\{\rho =l\sin (\theta ),\phi ,z=l\cos (\theta )\}$ de base cylindro-polaire associée $\{{\overrightarrow{u}}_{\rho }=\sin (\theta ){\overrightarrow{u}}_r+\cos (\theta ){\overrightarrow{u}}_{\theta },{\overrightarrow{u}}_{\phi },{\overrightarrow{u}}_z=\cos (\theta ){\overrightarrow{u}}_r-\sin (\theta ){\overrightarrow{u}}_{\theta }\}$,

Modèle:AlModèle:Transparentvoir schéma refait en perspective ci-contre à gauche.

Modèle:AlLa r.f.d.n. appliquée à $M$ dans le référentiel terrestre galiléen «$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}(t)=m{\overrightarrow{a}}_M(t)$» projetée sur ${\overrightarrow{u}}_{\phi }$ nous conduit à «$m{g}_{\phi }+T_{\phi }(t)=m{a}_{\phi ,M}(t)$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparentles composantes de $\overrightarrow{g}$ et de $\overrightarrow{T}(t)$ sur ${\overrightarrow{u}}_{\phi }$ étant nulles on obtient,
Modèle:AlModèle:Transparentaprès simplification par $m$, «$a_{\phi ,M}(t)=0\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» ou encore,

Modèle:AlModèle:Transparentpour les valeurs de $t$ telles que $\rho (t)\ne 0$ et avec utilisation de la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale «$a_{\phi ,M}(t)=\frac{1}{\rho (t)}\frac{d\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right]}{dt}(t)$» et après simplification par $\frac{1}{\rho (t)}\ne 0\mathrm{\forall }t$, l'équation différentielle suivante
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{d\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right]}{dt}(t)=0$» pour $t\in {ℝ}^{+}\setminus \left\{t_{\text{éq stable}}\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparentqui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps $\ni ̸$ une des valeurs $t_{\text{éq stable}}$,
Modèle:AlModèle:Transparenten «${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=cste$» et dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes $t_{\text{éq stable}}$ compte-tenu de la continuité des grandeurs $\rho (t)$ et $\dot{\phi }(t)$ pour tout $t\in ℝ$, ce qui entraîne la continuité de ${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)$ soit finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=cste\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenton détermine la constante d'intégration par utilisation partielle des C.I. à savoir $\left\{\begin{array}{ccc}\theta (0)={\theta }_0& \text{et }& \phi (0)=0\\ \dot{\theta }(0)=0& \text{et }& \dot{\phi }(0)=0\end{array}\right\}$Modèle:, soit, avec «$\rho (t)=l\sin [\theta (t)]$», la réécriture de la C.I. selon «$l^2{\sin }^2({\theta }_0)\dot{\phi }(0)=cste$» ou «$0=cste$» et par suite
Modèle:AlModèle:Transparent«${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=0\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» ou,

Modèle:AlModèle:Transparenten simplifiant par ${\rho }^2(t)$ non identiquement nul,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\dot{\phi }(t)=0\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» ou enfin,

Modèle:AlModèle:Transparentaprès intégration «$\phi (t)=cst{e}^{\prime }\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentvaleur de $cst{e}^{\prime }$ déterminée par C.I. $\phi (0)=0$ $\Rightarrow$ $cst{e}^{\prime }=0$, soit finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«$\phi (t)=0\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$», c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentla nature plane du mouvement de $M$ dans le plan de lancement.

Modèle:AlModifications avec les C.I. de lancement$(1b)$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=cste\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» par une 1^ère intégration par rapport au temps de la projection de la r.f.d.n. sur ${\overrightarrow{u}}_{\phi }$, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. $\left\{\begin{array}{ccc}\theta (0)={\theta }_0& \text{et }& \phi (0)=0\\ \dot{\theta }(0)=\frac{V_0}{l}& \text{et }& \dot{\phi }(0)=0\end{array}\right\}$Modèle:, soit, avec «$\rho (t)=l\sin [\theta (t)]$», la réécriture de la C.I. selon «$l^2{\sin }^2({\theta }_0)\dot{\phi }(0)=cste$» ou «$0=cste$» et par suite «${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=0\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» ou, en simplifiant par ${\rho }^2(t)$ non identiquement nul,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\dot{\phi }(t)=0\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» ou enfin,

Modèle:AlModèle:Transparentaprès intégration «$\phi (t)=cst{e}^{\prime }\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentvaleur de $cst{e}^{\prime }$ déterminée par C.I. $\phi (0)=0$ $\Rightarrow$ $cst{e}^{\prime }=0$, soit finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«$\phi (t)=0\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla nature plane du mouvement de $M$ dans le plan de lancement.

En complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »

Modèle:AlSi le P.P.S. se déplace dans un fluide suffisamment visqueux pour que la force de résistance à l'avancement soit linéaire,
Modèle:AlModèle:Transparentle P.P.S. est qualifié d'« amorti » $($P.P.S.A.$)$ c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'exerçant sur un P.P.S. à savoir $m\overrightarrow{g}$ le poids de $M$ et $\overrightarrow{T}(t)$ le vecteur tension de la tige sans masse,
Modèle:AlModèle:Transparents'ajoute une force de frottement fluide linéaire$\overrightarrow{{ℛ}_{\text{flu}}}(t)=-h{\overrightarrow{V}}_M(t)$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$h>0$ constante dépendant du fluide enveloppant le P.P.S.A.  ;

Modèle:AlModèle:Transparentlancé dans les C.I. de lancement «$1a$» ou «$1b$», le P.P.S.A. a encore un mouvement plan dans le plan vertical de lancement, en effet :

Modèle:AlModèle:Transparentla r.f.d.n. appliquée à $M$ dans le référentiel terrestre galiléen «$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}(t)+\overrightarrow{{ℛ}_{\text{flu}}}(t)=m{\overrightarrow{a}}_M(t)$»
Modèle:AlModèle:Transparentprojetée sur ${\overrightarrow{u}}_{\phi }$ $\Rightarrow$ «$-h{V}_{\phi ,M}(t)=m{a}_{\phi ,M}(t)$» Modèle:, ou, avec le repérage cylindro-polaire d'axe $\overrightarrow{Oz}$ ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentl'expression de la vitesse orthoradiale $V_{\phi ,M}(t)=\rho (t)\dot{\phi }(t)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentla forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale
Modèle:AlModèle:Transparent$a_{\phi ,M}(t)=\frac{1}{\rho (t)}\frac{d\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right]}{dt}(t)$Modèle:, ,
Modèle:AlModèle:Transparent«$-h\rho (t)\dot{\phi }(t)=m\frac{1}{\rho (t)}\frac{d\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right]}{dt}(t)$» soit, en multipliant par $\rho (t)$ et en normalisant,
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right](t)$ homogène suivante
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{d\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right]}{dt}(t)+\frac{h}{m}\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right](t)=0,\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}\setminus \left\{t_{\text{éq stable}}\right\}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenton intègre cette équation différentielle sur l'intervalle de temps continu $[0,t_{\text{éq stable},1}[$ où $t_{\text{éq stable},1}$ est le 1^er instant correspondant au passage du P.P.S.A. par sa position d'équilibre stable et on obtient
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right](t)=A_1\exp (-\frac{t}{\tau })$» où $A_1$ est une constante réelle d'intégration et
Modèle:AlModèle:Transparent$\tau =\frac{m}{h}$ la constante de temps d'amortissement de la solution, avec
Modèle:AlModèle:Transparent$A_1$ déterminée par utilisation partielle des C.I. $\left\{\begin{array}{ccc}\theta (0)={\theta }_0& \text{et }& \phi (0)=0\\ \dot{\theta }(0)=\left\{\begin{array}{c}0\text{pour C.I. }1a\\ \frac{V_0}{l}\text{pour C.I. }1b\end{array}\right\}& \text{et }& \dot{\phi }(0)=0\end{array}\right\}$Modèle:, soit, avec «$\rho (t)=l\sin [\theta (t)]$», la réécriture de la C.I. selon «$l^2{\sin }^2({\theta }_0)\dot{\phi }(0)=A_1$» ou «$0=A_1$» et par suite «${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=0,\mathrm{\forall }t\in [0,t_{\text{éq stable},1}[$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentde la continuité des grandeurs $\rho (t)$ et $\dot{\phi }(t)$ pour tout $t\in ℝ$, on en déduit celle de ${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)$ en particulier pour $t_{\text{éq stable},1}$ d'où le prolongement de la définition de ${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)$ selon «${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=0,\mathrm{\forall }t\in [0,t_{\text{éq stable},1}]$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenton poursuit l'intégration de l'équation différentielle sur l'intervalle de temps continu suivant $[t_{\text{éq stable},1},t_{\text{éq stable},2}[$ où $t_{\text{éq stable},2}$ est l'instant suivant qui correspond au passage du P.P.S.A. par sa position d'équilibre stable et on obtient
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right](t)=A_2\exp (-\frac{t}{\tau })$» où $A_2$ est une constante réelle d'intégration et
Modèle:AlModèle:Transparent$\tau =\frac{m}{h}$ constante de temps d'amortissement de la solution, avec $A_2$
Modèle:AlModèle:Transparentdéterminée par utilisation de la continuité de $\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right](t)$ à l'instant $t_{\text{éq stable},1}$ soit, avec «$\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right](t_{\text{éq stable},1}^{-})$ $=0$» et «$\left[{\rho }^2\dot{\phi }\right](t_{\text{éq stable},1}^{+})=A_2\exp (-\frac{t_{\text{éq stable},1}^{+}}{\tau })$», «$A_2=0$» et par suite «${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=0,\mathrm{\forall }t\in [0,t_{\text{éq stable},2}[$» puis,
Modèle:AlModèle:Transparentpar continuité en $t_{\text{éq stable},2}$, «${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=0,\mathrm{\forall }t\in [0,t_{\text{éq stable},2}]$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentpoursuivant l'intégration sur l'intervalle de temps continu suivant $[t_{\text{éq stable},2},t_{\text{éq stable},3}[$ et déterminant la constante d'intégration par utilisation de la continuité en $t_{\text{éq stable},2}$, on obtient la « nullité de ${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)$ sur $[0,t_{\text{éq stable},3}[$», « nullité que l'on prolonge sur $[0,t_{\text{éq stable},3}]$» par continuité $\dots$

Modèle:AlModèle:TransparentAprès un nombre suffisant d'intégrations sur les intervalles de temps continus $[t_{\text{éq stable},i},t_{\text{éq stable},i+1}[$ et
Modèle:AlModèle:Transparentutilisation de la continuité aux deux bornes de l'intervalle on en déduit
Modèle:AlModèle:Transparent«${\rho }^2(t)\dot{\phi }(t)=0,\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» ou, en simplifiant par ${\rho }^2(t)$ non identiquement nul,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\dot{\phi }(t)=0,\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$» ou enfin, après une dernière intégration temporelle «$\phi (t)=cst{e}^{\prime },\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$», la valeur $cst{e}^{\prime }$ étant déterminée par C.I. «$\phi (0)=0$» $\Rightarrow$ «$cst{e}^{\prime }=0$», soit finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«$\phi (t)=0,\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+}$», c.-à-d. la nature plane du mouvement de $M$ dans le plan de lancement.

Conséquence de la nature plane du mouvement du P.P.S. dans les C.I. de lancement « 1a » ou « 1b »

Modèle:AlLe mouvement du P.P.S. $[$et en complément celui du P.P.S.A. $]$ étant plan si ses C.I. de lancement sont «$1a$» ou «$1b$», le point $M$ associé au P.P.S. $[$ou en complément au Modèle:Nobr décrit un mouvement circulaire de centre $O$ compte-tenu de la rigidité de la tige $[$ou du caractère inextensible du fil tendu$]$, c'est donc un mouvement à un degré de liberté .

Choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle « le centre du mouvement circulaire du P.P.S. »

Schéma d'un P.P.S. à mouvement circulaire d'axe $\mathrm{\Delta }$ passant par $O$ avec repérage polaire de pôle $O$ $($et d'axe $\mathrm{\Delta })$ du point $M$ du P.P.S. et représentation des deux forces s'appliquant sur $M$

Modèle:AlLe mouvement est plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant $\mathrm{\Delta }$ l'axe passant par $O$ et $\perp$ au plan vertical initial, le mouvement de $M$ est circulaire d'axe $\mathrm{\Delta }$ ;

Modèle:Alil devient alors intéressant de reprendre le repérage du point $M$ par ses coordonnées sphériques $(l,\theta ,\phi )$ ou, puisque $\phi$ reste constant et que ${\overrightarrow{u}}_{\phi }$ l'est aussi s'identifiant à ${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$, par les deux 1^ères coordonnées sphériques $(l,\theta )$ de $M$ s'identifiant alors à ses coordonnées polaires de pôle $O$ $($et d'axe $\mathrm{\Delta })$ du plan vertical initial, la base polaire de ce plan liée au point $M$ étant $({\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta })$ et l'angle polaire $\theta$ de $M$ étant orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$, voir ci-contre.

Modèle:AlLe mouvement du point $M$ est alors entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire $\theta =\theta (t)$ où $\theta$ l'abscisse angulaire du point $M$ est le « paramètre de position de ce dernier ».

Mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n., équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre, absence de solution analytique (d'où nécessité de résolution numérique dans le cas général)

Mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.

Modèle:AlLa r.f.d.n. appliquée à

$M$

dans le référentiel terrestre galiléen s'écrivant «

$\overrightarrow{T}(t)+m\overrightarrow{g}=m{\overrightarrow{a}}_M(t)$

», projetons la sur

${\overrightarrow{u}}_{\theta }$

pour éliminer

$\overrightarrow{T}(t)\perp$

à

${\overrightarrow{u}}_{\theta }$

Modèle:Nobr schéma ci-contre

$)$

d'où «

$0-mg\sin [\theta (t)]=m{a}_{\theta ,M}(t)$

» avec l'accélération orthoradiale en repérage polaire «

$a_{\theta }(t)=r(t)\ddot{\theta }(t)+2\dot{r}(t)\dot{\theta }(t)$

» ou, en utilisant

$r=l=cste$

, «

$a_{\theta ,M}(t)=l\ddot{\theta }(t)$

» soit encore «

$ml\ddot{\theta }(t)+mg\sin [\theta (t)]=0$

» ou finalement, sous forme normalisée,

«$\ddot{\theta }(t)+\frac{g}{l}\sin [\theta (t)]=0$» c.-à-d.
une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ sans terme du 1^er ordre.

Modèle:AlRemarque : La projection sur ${\overrightarrow{u}}_r$ de la r.f.d.n. appliquée à $M$ dans le référentiel terrestre galiléen nous permettrait de déterminer la « tension » $T(t)$ de la tige
Modèle:AlModèle:Transparentselon «$-T(t)+mg\cos [\theta (t)]=m{a}_{r,M}(t)$» avec l'accélération radiale en repérage polaire «$a_r(t)=\ddot{r}(t)-r(t){\dot{\theta }}^2(t)$» ou, en utilisant $r=l$ $=cste$, «$a_{r,M}(t)=-l{\dot{\theta }}^2(t)$» soit encore «$-T(t)+mg\cos [\theta (t)]=-ml{\dot{\theta }}^2(t)$» donnant l'expression de la « tension » de la tige suivante
Modèle:AlModèle:Transparent«$T(t)=m\{g\cos [\theta (t)]+l{\dot{\theta }}^2(t)\}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentusuellement $T(t)$ étant $>0$ s'identifie à la norme $\Vert \overrightarrow{T}(t)\Vert$ du vecteur tension, il n'y a alors aucun changement si on remplace la tige par un fil idéal, celui-ci restant tendu, mais $\dots$

Modèle:AlModèle:Transparentsi $\cos [\theta (t)]$ devient $<0$ correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue $>$ à $90\text{°}$, $T(t)$ correspondant pourrait peut être prendre des valeurs négatives
Modèle:AlModèle:Transparent$($la tige empêchant alors le point $M$ de se rapprocher de l'axe$)$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentsi $T(t)$ peut devenir $<0$, la valeur de $|\theta |$ pour laquelle $T(t)$ s'annule en changeant de signe
Modèle:AlModèle:Transparentcorrespondra, dans le cas où on remplace la tige rigide sans masse par un fil idéal,
Modèle:AlModèle:Transparentà une position pour laquelle le fil cessera d'être tendu,
Modèle:AlModèle:Transparentle mouvement ultérieur n'étant alors plus circulaire.

Absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.

Modèle:AlCette équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ «$\ddot{\theta }(t)+\frac{g}{l}\sin [\theta (t)]=0$» n'étant pas linéaire, sa résolution est, a priori, nettement plus compliquée et est même,
Modèle:AlModèle:Transparenta postériori, impossible avec les fonctions usuelles connues à ce jour, en effet

Modèle:All'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $f(x)$ sans terme du 1^er ordre, «$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+k\sin [f(x)]=0$» n'a pas de solution analytique Modèle:, d'où la nécessité d'une résolution numérique qui est alors la seule façon possible d'obtenir une solution.

En complément, mise en équation du « P.P.S.A. »

Modèle:AlNous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, en plus des deux autres forces agissant sur un P.P.S.N.A. ,
Modèle:AlModèle:Transparentune « force de résistance à l'avancement linéaire $\overrightarrow{{ℛ}_{\text{flu}}}(t)=-h{\overrightarrow{V}}_M(t)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$h>0$ constante dépendant, entre autres, du fluide dans lequel se déplace le P.P.S.A.  » ;

Modèle:Alnous avons vu que le P.P.S.A. lancé dans les C.I. de lancement «$1a$» ou «$1b$» conserve un mouvement plan dans le plan vertical de lancement , ce qui permet de choisir comme système de repérage du point $M$ associé au P.P.S.A. dans ce plan, le repérage polaire de pôle $O$ lié à $M$, « les coordonnées polaires de ce dernier, de même que les vecteurs de base associés, étant les mêmes que celles et ceux précédemment introduit(e)s dans un P.P.S.N.A.  »  ;

Modèle:Alappliquant la r.f.d.n. à $M$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}(t)+\overrightarrow{{ℛ}_{\text{flu}}}(t)=m{\overrightarrow{a}}_M(t)$» soit, en projetant sur ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ dans le but d'éliminer $\overrightarrow{T}(t)$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$-mg\sin [\theta (t)]+0-h{V}_{\theta ,M}(t)=m{a}_{\theta ,M}(t)$» avec la vitesse et l'accélération orthoradiales en polaire s'écrivant
Modèle:AlModèle:Transparent$V_{\theta }(t)=r(t)\dot{\theta }(t)$ et $a_{\theta }(t)=r(t)\ddot{\theta }(t)+2\dot{r}(t)\dot{\theta }(t)$ ou, en utilisant $r=l=cste$, «$V_{\theta }(t)=l\dot{\theta }(t)$» et «$a_{\theta ,M}(t)=l\ddot{\theta }(t)$» soit encore «$ml\ddot{\theta }(t)+hl\dot{\theta }(t)+mg\sin [\theta (t)]=0$» ou finalement, sous forme normalisée,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\ddot{\theta }(t)+\frac{h}{m}\dot{\theta }(t)+\frac{g}{l}\sin [\theta (t)]=0$» c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentune équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ avec terme du 1^er ordre.

Modèle:AlL'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ sans terme du 1^er ordre n'ayant pas de solution analytique , il en est de même de « l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ avec terme du 1^er ordre $($linéaire$)$ » qui est donc sans solution analytique et nécessite une résolution numérique $\dots$

Approximation linéaire, dans le cadre des « petites élongations angulaires », du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des « petites élongations angulaires »

Cadre des « petites élongations angulaires »

Modèle:AlLe plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer le P.P.S. avec les C.I. «$1a$» soit sans vitesse angulaire initiale «${\dot{\theta }}_0=0$» et
Modèle:AlModèle:Transparentl'abscisse angulaire initiale ${\theta }_0$ de valeur absolue «$|{\theta }_0|\ll 1$»  ;

Modèle:AlModèle:Transparentl'absence de vitesse angulaire initiale $\Rightarrow$ « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépasse pas $|{\theta }_0|$» et
Modèle:AlModèle:Transparentreste petite $|\theta (t)|\ll 1,\mathrm{\forall }t$.

Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires »

Modèle:AlDans le cadre des « petites élongations angulaires » on a $|\theta (t)|\ll 1,\mathrm{\forall }t$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\theta$ de $\sin (\theta )$ au voisinage de $0$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$\sin (\theta )\simeq \theta$ à l'ordre un en $\theta$» et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle suivie par le P.P.S. devient linéaire selon «$\ddot{\theta }(t)+\frac{g}{l}\theta (t)\simeq 0$» c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentune équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\theta (t)$ sans terme d'amortissement et homogène.

Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires » et oscillateur harmonique

Modèle:AlLe P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » et
Modèle:AlModèle:Transparentdans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique$($non amorti$)$» de pulsation propre ${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$ appelée
Modèle:AlModèle:Transparentpulsation$($propre$)$des petites élongations angulaires .

Période des « petites élongations angulaires » du P.P.S.

Modèle:AlOn en déduit la « période propre des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A. à un degré de liberté ${𝒯}_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$»  ;

Modèle:Alon constate qu'en un lieu fixé, le P.P.S. « bat plus vite » pour une longueur de pendule $l$ plus courte et
Modèle:AlModèle:Transparentqu'un même P.P.S. « bat plus vite » pour une intensité de pesanteur $g$ plus grande $[$ainsi le P.P.S. sur Terre « bat un peu plus rapidement » aux pôles qu'à l'équateur et
Modèle:AlModèle:Transparentle même P.P.S. « bat nettement plus vite » sur Terre (♁) que sur la Lune (☽) Modèle:, $]$.

En complément, P.P.S.A. dans le cadre des « petites élongations angulaires »

Modèle:AlDans le cadre des « petites élongations angulaires » on a toujours $|\theta (t)|\ll 1,\mathrm{\forall }t$Modèle:, permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\theta$ de $\sin (\theta )$ au voisinage de $0$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$\sin (\theta )\simeq \theta$ à l'ordre un en $\theta$» et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle suivie par le P.P.S.A. devient linéaire selon «$\ddot{\theta }(t)+\frac{h}{m}\dot{\theta }(t)+\frac{g}{l}\theta (t)\simeq 0$» c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentune équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\theta (t)$ avec terme d'amortissement et homogène.

Modèle:AlLe P.P.S.A. est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » et
Modèle:AlModèle:Transparentdans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » de pulsation propre ${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$ appelée
Modèle:AlModèle:Transparentpulsation$($propre$)$des petites élongations angulaires et
Modèle:AlModèle:Transparentdont le mouvement est « apériodique », « apériodique critique » ou « pseudo périodique »
Modèle:AlModèle:Transparentsuivant la valeur du cœfficient d'amortissement $\sigma =\frac{h}{2m{\omega }_0}$Modèle:,  ;

Modèle:AlModèle:Transparentdans le cas le plus fréquent $\sigma <1$, le mouvement est pseudo périodique de « pseudo pulsation des petites élongations angulaires $\omega ={\omega }_0\sqrt{1-{\sigma }^2}<{\omega }_0$»
Modèle:AlModèle:Transparentet de « pseudo période associée $𝒯=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{{𝒯}_0}{\sqrt{1-{\sigma }^2}}>{𝒯}_0$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«${𝒯}_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ la période $($propre$)$ des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A.  », $[$la pseudo période $𝒯$ des petites élongations angulaires du P.P.S.A. pour une même période propre ${𝒯}_0$ étant d'autant plus grande que son cœfficient d'amortissement $\sigma$ l'est$]$.

Détermination de l'équation du portrait de phase (« intégrale 1^ère du mouvement ») dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté

Modèle:AlCompte-tenu de la « définition du portrait de phase d'un système dynamique à un degré de liberté » du chap.$22$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on peut obtenir
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation du portrait de phase, dans le cas présent, en cherchant un lien entre $\dot{\theta }$ et $\theta$ au même instant $t$ sans que ce dernier n'intervienne c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparenten intégrant une 1^ère fois l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ sans terme du 1^er ordre , l'intégration une 1^ère fois
Modèle:AlModèle:Transparentpar rapport à $t$ $▸$de $\sin [\theta (t)]$ nécessitant de multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ par $\dot{\theta }(t)$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$de $\ddot{\theta }(t)$ devenu $\ddot{\theta }(t)\dot{\theta }(t)$ après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ par $\dot{\theta }(t)$
Modèle:AlModèle:Transparentn'introduisant aucune difficulté .

Modèle:AlModèle:TransparentRemarque : par contre s'il y avait un terme du 1^er ordre dans l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ comme c'est le cas pour un P.P.S.A. ,
Modèle:AlModèle:Transparentmultiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ par $\dot{\theta }(t)$
Modèle:AlModèle:Transparentconduirait à une impossibilité d'intégrer une 1^ère fois par rapport à $t$ car
Modèle:AlModèle:Transparent$\dot{\theta }(t)$ devenu ${[\dot{\theta }(t)]}^2$ après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle par $\dot{\theta }(t)$
Modèle:AlModèle:Transparentn'admet pas de primitive relativement à $t$ pour $\dot{\theta }(t)$ a priori inconnue.

Modèle:AlEn conclusion on obtient l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en intégrant une fois par rapport à ${}_{;}t$ son équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ sans terme du 1^er ordre,
Modèle:AlModèle:Transparentle résultat étant alors une équation différentielle du 1^er ordre en $\theta (t)$ dépendant des C.I. de lancement,
Modèle:AlModèle:Transparentéquation que l'on appelle « intégrale 1^ère du mouvement » du P.P.S.N.A. mais

Modèle:Transparenton n'obtient pas d'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. en intégrant une fois par rapport à $t$ son équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ avec terme du 1^er ordre
Modèle:AlModèle:Transparentla détermination de l'équation du portrait de phase suivant C.I. de lancement ne pouvant se faire que numériquement $\dots$

C.I. de lancement pour un P.P.S. à un degré de liberté

Modèle:AlLe plus simple pour être dans le cas général d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté
Modèle:AlModèle:Transparentest de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «$1b\cup 1a$» c.-à-d. $▸$« on écarte le P.P.S. de ${\theta }_0\ne 0$ de sa position d'équilibre stable » et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$on le lâche avec un « vecteur vitesse initial dans le plan de lancement » correspondant à
Modèle:AlModèle:Transparentune vitesse angulaire initiale $\dot{\theta }(0)={\dot{\theta }}_0\left\{\begin{array}{c}\ne 0\text{si C.I. }1b\\ =0\text{si C.I. }1a\end{array}\right\}$».

Intégrale 1^ère du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté

Modèle:AlPartant de l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ sans terme du 1^er ordre du mouvement du P.P.S.N.A. «$\ddot{\theta }(t)+\frac{g}{l}\sin [\theta (t)]=0$» ,
Modèle:AlModèle:Transparenton multiplie de part et d'autre par $\dot{\theta }(t)$ pour intégrer une fois par rapport à $t$ soit «$\ddot{\theta }(t)\dot{\theta }(t)+\frac{g}{l}\sin [\theta (t)]\dot{\theta }(t)=0$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle membre de gauche étant « la dérivée temporelle de $\frac{{\dot{\theta }}^2(t)}{2}-\frac{g}{l}\cos [\theta (t)]$», d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'intégrale 1^ère du mouvement cherchée «$\frac{{\dot{\theta }}^2(t)}{2}-\frac{g}{l}\cos [\theta (t)]=cste$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla constante d'intégration se déterminant par C.I. soit «$cste=\frac{{\dot{\theta }}_0^2}{2}-\frac{g}{l}\cos \left[{\theta }_0\right]$» et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentla réécriture de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.S.N.A. «${\dot{\theta }}^2(t)={\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}\{\cos [\theta (t)]-\cos \left[{\theta }_0\right]\}$» .

Équation du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

Modèle:AlL'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. «$1b\cup 1a$» correspondant à l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier ,
Modèle:AlModèle:Transparents'écrit donc «${\dot{\theta }}^2(t)={\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}\{\cos [\theta (t)]-\cos \left[{\theta }_0\right]\}$» .

Cas particulier des « petites élongations angulaires » du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement « 1a »

Modèle:AlLes « petites élongations angulaires » du P.P.S.N.A. sont assurées dans les C.I. de lancement «$1a$» d'où l'intégrale 1^ère de son mouvement selon «${\dot{\theta }}^2(t)=2\frac{g}{l}\{\cos [\theta (t)]-\cos \left[{\theta }_0\right]\}$»
Modèle:AlModèle:Transparentavec $|{\theta }_0|\ll 1$ et $|\theta (t)|\ll 1$ conséquence de $|\theta (t)|⩽|{\theta }_0|$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentnous pouvons alors faire un D.L. de $\cos [\theta (t)]$ et $\cos \left[{\theta }_0\right]$ à l'ordre deux respectivement en $\theta (t)$ et ${\theta }_0$ au voisinage de $0$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\cos [\theta (t)]\simeq 1-\frac{{\theta }^2(t)}{2}$ à l'ordre deux en $\theta (t)$» et «$\cos ({\theta }_0)\simeq 1-\frac{{\theta }_0^2}{2}$ à l'ordre deux en ${\theta }_0$»,

Modèle:AlModèle:Transparentdont on tire, par report dans l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.S.N.A. étudié,
Modèle:AlModèle:Transparent«${\dot{\theta }}^2(t)\simeq 2\frac{g}{l}\{[1-\frac{{\theta }^2(t)}{2}]-[1-\frac{{\theta }_0^2}{2}]\}=\frac{g}{l}[{\theta }_0^2-{\theta }^2(t)]$» que l'on peut réécrire selon
Modèle:AlModèle:Transparent«${\dot{\theta }}^2(t)+\frac{g}{l}{\theta }^2(t)\simeq \frac{g}{l}{\theta }_0^2$» ou encore «$\frac{{\dot{\theta }}^2(t)}{\frac{g}{l}{\theta }_0^2}+\frac{{\theta }^2(t)}{{\theta }_0^2}\simeq 1$» et au final,
Modèle:AlModèle:Transparenten introduisant la pulsation des « petites élongations angulaires ${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$», «$\frac{{\dot{\theta }}^2(t)}{{\omega }_0^2{\theta }_0^2}+\frac{{\theta }^2(t)}{{\theta }_0^2}=1$» .

Portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particulier des petites élongations angulaires

Propriétés des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

Modèle:AlRappelant l'équation, sous forme implicite, du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1b\cup 1a$ «${\dot{\theta }}^2(t)={\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}\{\cos [\theta (t)]-\cos ({\theta }_0)\}$» et

Modèle:Alconstatant que «${\dot{\theta }}^2$ est une fonction $\searrow$ de $|\theta |$ sur $[0,\pi ]$», on en déduit deux tracés possibles suivant que cette fonction peut ou non s'annuler, plus précisément :

• « si le 2^nd membre est $>0,\mathrm{\forall }|\theta |\in [0,\pi ]$» , «${\dot{\theta }}^2(t)$ ne s'annule jamais » et « comme $\dot{\theta }(t)$ est une fonction continue, elle gardera le signe de ${\dot{\theta }}_0$» c.-à-d. que
  Modèle:AlModèle:Transparent« nous aurons un mouvement continu dans un même sens, celui du lancement » ;
• « si le 2^nd membre s'annule pour une valeur ${\theta }_m$ de $|\theta |\in [0,\pi ]$» , «${\dot{\theta }}^2(t)$ s'annulant pour cette valeur, il en est de même de $\dot{\theta }(t)$ ce qui correspond à un extremum de $\theta (t)$ ou
  Modèle:AlModèle:Transparentà une valeur de stationnarité  »,
  Modèle:AlModèle:Transparentmais, comme il est impossible que $|\theta (t)|$ continue de $\nearrow$ au-delà de ${\theta }_m$, on en déduit que
  Modèle:AlModèle:Transparent«${\theta }_m$ est un extremum de $\theta (t)$» $[$et non une valeur de stationnarité $]$, Modèle:Nobr qu'arrivé en $\theta ={\theta }_m$ où la vitesse angulaire est nulle, le seul mouvement possible est la $\searrow$ de $\theta (t)$ dans le sens négatif jusqu'à $\theta =-{\theta }_m$ où la vitesse angulaire est de nouveau nulle, le seul mouvement possible étant alors la $\nearrow$ de $\theta (t)$ dans le sens positif $\dots$

2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement révolutif et propriétés du portrait de phase correspondant

Modèle:AlPour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1b$, soit strictement positif $\mathrm{\forall }|\theta (t)|\in [0,\pi ]$» c.-à-d. pour avoir
Modèle:AlModèle:Transparent«${\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}\{\cos [\theta (t)]-\cos ({\theta }_0)\}>0,\mathrm{\forall }|\theta (t)|\in [0,\pi ]$» laquelle est une fonction $\searrow$ de $|\theta (t)|$ sur $[0,\pi ]$, il suffit que
Modèle:AlModèle:Transparentle minimum de cette fonction de variable $|\theta (t)|$ sur $[0,\pi ]$soit strictement positif c.-à-d. $\min {\mathrm{\backslash limits}}_{|\theta |\in [0,\pi ]}\{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]\}>0$
Modèle:AlModèle:Transparentou, comme le minimum est atteint pour $|\theta |=\pi$, il suffit que la condition${\dot{\theta }}_0^2-2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]>0$soit réalisée c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentil suffit d'avoir pour 2^ème C.I. de lancement «$|{\dot{\theta }}_0|>\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparent«${\dot{\theta }}^2(t)$ ne s'annulant jamais $\Rightarrow$ $\dot{\theta }(t)\ne 0\mathrm{\forall }t$ laquelle, étant une fonction continue de $t$,
Modèle:AlModèle:Transparentgardera le signe de ${\dot{\theta }}_0$» c.-à-d. que
Modèle:AlModèle:Transparentnous aurons un « mouvement révolutif dans le sens du lancement » :
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$« si ${\dot{\theta }}_0$ est $>0$ avec ${\dot{\theta }}_0>\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement révolutif dans le sens positif » est «$\dot{\theta }=\sqrt{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]}$», avec les propriétés suivantes :
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$«$\theta \nearrow$ à partir de ${\theta }_0$ jusqu'à $\mathrm{\infty }$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« le portrait de phase est ouvert »,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« le portrait de phase est constitué du motif de l'intervalle $[{\theta }_0,\pi ]$ et de la répétition infinie dans le sens des $\theta \nearrow$ du motif de l'intervalle $]+\pi ,3\pi ]$» $[$minimum de $\dot{\theta }$ obtenu pour ${\theta }_{n,\text{min}}=(2n+1)\pi ,n\in \mathbb{N}$ et valant ${\dot{\theta }}_{\text{min}}=\sqrt{{\dot{\theta }}_0^2-2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$ et maximum de $\dot{\theta }$ obtenu pour ${\theta }_{n,\text{max}}=2n\pi ,n\in \{\begin{array}{c}\mathbb{N}\text{pour }{\theta }_0<0\\ {\mathbb{N}}^{*}\text{pour }{\theta }_0>0\end{array}$ et valant ${\dot{\theta }}_{\text{max}}=\sqrt{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[1-\cos ({\theta }_0)]}]$ ;

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$« si ${\dot{\theta }}_0$ est $<0$ avec ${\dot{\theta }}_0<-\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement révolutif dans le sens négatif » est «$\dot{\theta }=-\sqrt{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]}$», avec les propriétés suivantes :
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$«$\theta \searrow$ à partir de ${\theta }_0$ jusqu'à $-\mathrm{\infty }$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« le portrait de phase est ouvert »,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« le portrait de phase est constitué du motif de l'intervalle $[-\pi ,{\theta }_0]$ et de la répétition infinie dans le sens des $\theta \searrow$ du motif de l'intervalle $]-3\pi ,\pi ]$» $[$minimum de $|\dot{\theta }|$ obtenu pour ${\theta }_{n,\text{min}}=-(2n+1)\pi ,n\in \mathbb{N}$ et valant $|\dot{\theta }{|}_{\text{min}}=$ $\sqrt{{\dot{\theta }}_0^2-2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$ et maximum de $|\dot{\theta }|$ obtenu pour ${\theta }_{n,\text{max}}=-2n\pi ,n\in \{\begin{array}{c}{\mathbb{N}}^{*}\text{pour }{\theta }_0<0\\ \mathbb{N}\text{pour }{\theta }_0>0\end{array}$ et valant $|\dot{\theta }{|}_{\text{max}}=\sqrt{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[1-\cos ({\theta }_0)]}$$]$.

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$Remarque : portraits de phase associés à $({\theta }_0,{\dot{\theta }}_0<0)$ et $(-{\theta }_0,-{\dot{\theta }}_0>0)$
Modèle:AlModèle:Transparentsymétriques l'un de l'autre relativement à$(0,0)$Modèle:, .

2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant

Modèle:AlPour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1b\cup 1a$ soit $<0$ $\mathrm{\forall }|\theta (t)|\in [{\theta }_m,\pi ]$»,
Modèle:AlModèle:Transparentavec ${\theta }_m$ valeur de $|\theta |$ annulant ce 2^nd membre c.-à-d. pour avoir
Modèle:AlModèle:Transparent«${\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}\{\cos [\theta (t)]-\cos ({\theta }_0)\}<0,\mathrm{\forall }|\theta (t)|\in [{\theta }_m,\pi ]$» laquelle est une fonction $\searrow$ de $|\theta (t)|$ sur $[0,\pi ]$, il suffit que
Modèle:AlModèle:Transparentle minimum de cette fonction de variable $|\theta (t)|$ sur $[0,\pi ]$soit$<0$ c.-à-d. $\min {\mathrm{\backslash limits}}_{|\theta |\in [0,\pi ]}\{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]\}<0$ et
Modèle:AlModèle:Transparentle maximum de cette fonction de variable $|\theta (t)|$ sur $[0,\pi ]$soit$>0$ c.-à-d. $\max {\mathrm{\backslash limits}}_{|\theta |\in [0,\pi ]}\{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]\}>0$ ou
Modèle:AlModèle:Transparentcomme le minimum est atteint pour $|\theta |=\pi$ et le maximum pour $\theta =0$, il suffit que les conditions$\left\{\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_0^2-2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]<0\\ {\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[1-\cos ({\theta }_0)]>0\end{array}\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparentsoient simultanément réalisées c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentil suffit d'avoir pour 2^ème C.I. de lancement
Modèle:AlModèle:Transparent«$|{\dot{\theta }}_0|<\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$»  ;

Modèle:AlModèle:Transparent${\dot{\theta }}^2(t)$ s'annulant pour une valeur particulière ${\theta }_m$ de $|\theta |\in [0,\pi ]$, il en est de même pour
Modèle:AlModèle:Transparent$\dot{\theta }(t)$ ce qui correspond à un extremum de $\theta (t)$ ou à une valeur de stationnarité
Modèle:AlModèle:Transparentmais, comme il est impossible que $|\theta (t)|$ continue de $\nearrow$ au-delà de ${\theta }_m$, on en déduit que
Modèle:AlModèle:Transparent«${\theta }_m$ est un extremum de $\theta (t)$» $[$et non une valeur de stationnarité $]$, c.-à-d. que
Modèle:AlModèle:Transparentnous aurons un « mouvement oscillatoire$($non amorti$)$du P.P.S.N.A. d'amplitude${\theta }_m$ » :

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$« si ${\dot{\theta }}_0$ est $>0$ avec ${\dot{\theta }}_0<\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement oscillatoire » est «$\dot{\theta }=\pm \sqrt{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]}$» , avec les propriétés suivantes :
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$«$\theta \nearrow$ à partir de ${\theta }_0$ jusqu'à ${\theta }_m$ où $\dot{\theta }$ s'annule » puis
Modèle:AlModèle:Transparent$\searrow$ jusqu'à $-{\theta }_m$ où $\dot{\theta }$ s'annule de nouveau » ensuite
Modèle:AlModèle:Transparent$\nearrow$ jusqu'à ${\theta }_m$ où $\dot{\theta }$ s'annule encore » et ainsi de suite $\dots$

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« portrait de phase fermé »,
Modèle:AlModèle:Transparentdécrit par son point générique $(\theta ,\dot{\theta })$ dans le sens horaire ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« portrait de phase symétrique par rapport à$(0,0)$» Modèle:, Modèle:,  ;

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$« si ${\dot{\theta }}_0$ est $<0$ avec ${\dot{\theta }}_0>-\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement oscillatoire » est «$\dot{\theta }=\pm \sqrt{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]}$» , avec les propriétés suivantes :
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$«$\theta \searrow$ à partir de ${\theta }_0$ jusqu'à $-{\theta }_m$ où $\dot{\theta }$ s'annule » puis
Modèle:AlModèle:Transparent$\nearrow$ jusqu'à ${\theta }_m$ où $\dot{\theta }$ s'annule de nouveau » ensuite
Modèle:AlModèle:Transparent$\searrow$ jusqu'à $-{\theta }_m$ où $\dot{\theta }$ s'annule encore » et ainsi de suite $\dots$
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« portrait de phase fermé »,
Modèle:AlModèle:Transparentdécrit par son point générique $(\theta ,\dot{\theta })$ dans le sens horaire ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« portrait de phase symétrique par rapport à$(0,0)$» Modèle:, Modèle:,  ;

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$« si ${\dot{\theta }}_0$ est $=0$Modèle:,  », la forme explicite de l'équation du portrait de phase du Modèle:Nobr en « mouvement oscillatoire » est «$\dot{\theta }=\pm \sqrt{2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]}$» , avec les propriétés suivantes, dans la mesure où ${\theta }_0$ est $>0$ :
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$«$\theta \searrow$ à partir de $0$ jusqu'à $-{\theta }_m=-{\theta }_0$ où $\dot{\theta }$ s'annule  » puis
Modèle:AlModèle:Transparent$\nearrow$ jusqu'à ${\theta }_m={\theta }_0$ où $\dot{\theta }$ s'annule de nouveau  » ensuite
Modèle:AlModèle:Transparent$\searrow$ jusqu'à $-{\theta }_m=-{\theta }_0$ où $\dot{\theta }$ s'annule encore  » etc$\dots$
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« portrait de phase fermé »,
Modèle:AlModèle:Transparentdécrit par son point générique $(\theta ,\dot{\theta })$ dans le sens horaire ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« portrait de phase symétrique par rapport à$(0,0)$» Modèle:, Modèle:, .

2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable et propriétés du portrait de phase correspondant

Modèle:AlLa 2^ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1b\cup 1a$ pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable est «$|{\dot{\theta }}_0|=\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$» Modèle:, ,
Modèle:AlModèle:Transparentcette condition assurant que « le 2^ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. ${\dot{\theta }}^2(t)={\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}\{\cos [\theta (t)]-\cos ({\theta }_0)\}$
Modèle:AlModèle:Transparents'annule pour $|\theta |=\pi$» c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentà la position d'équilibre instable du P.P.S.N.A. Modèle:, et,
Modèle:AlModèle:Transparentpar suite de la nullité de la vitesse angulaire en cette position,
Modèle:AlModèle:Transparentassurant une position d'arrêt en la position d'équilibre instable  ;

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$« si ${\dot{\theta }}_0$ est $>0$», plus exactement « si ${\dot{\theta }}_0=\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$», l'équation, sous forme explicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. précitées s'écrit selon «$\dot{\theta }=\sqrt{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]}$», l'élongation angulaire $\theta \nearrow$ de ${\theta }_0$ jusqu'à $\pi$ correspondant à la position d'équilibre instable du P.P.S.N.A. où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle  ;

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$« si ${\dot{\theta }}_0$ est $<0$», plus exactement « si ${\dot{\theta }}_0=-\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$», l'équation, sous forme explicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. précitées s'écrit selon «$\dot{\theta }=-\sqrt{{\dot{\theta }}_0^2+2\frac{g}{l}[\cos (\theta )-\cos ({\theta }_0)]}$», l'élongation angulaire $\theta \searrow$ de ${\theta }_0$ jusqu'à $-\pi$ correspondant à la position d'équilibre instable du P.P.S.N.A. où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle .

Tracé des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

• 
  Tracé superposé de deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. dans le cas de mouvements oscillatoires avec les C.I. suivantes : absence de vitesse angulaire initiale pour les deux, écart initial de $60\text{°}$ pour l'un et de $120\text{°}$ pour l'autre
• 
  Tracé superposé de deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. dans le cas de mouvements révolutifs avec les C.I. suivantes : écart initial de $-120\text{°}$ pour les deux, vitesse angulaire initiale de $3,2rad\cdot s^{-1}$ pour l'un et de $4,2rad\cdot s^{-1}$ pour l'autre, comparaison avec un portrait de phase dans le cas d'un mouvement oscillatoire avec le même écart initial et absence de vitesse angulaire initiale
• 
  Tracé superposé de portraits de phase d'un P.P.S.N.A. dans le cas d'un mouvement oscillatoire, de mouvements avec arrêt en position d'équilibre instable et d'un mouvement révolutif, les C.I. étant diverses

• Ci-dessus à gauche deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1a$ $($correspondant donc à un mouvement oscillatoire$)$ d'élongation angulaire initiale respective $\frac{\pi }{3}rad=60\text{°}$ pour l'un et $\frac{2\pi }{3}rad=120\text{°}$ pour l'autre ;
• ci-dessus au centre deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1b$ $($telles que le mouvement obtenu soit révolutif$)$ à savoir une même élongation angulaire initiale de $-\frac{2\pi }{3}rad$ $=-120\text{°}$ et une vitesse angulaire initiale positive de $3,2rad\cdot s^{-1}\simeq 183\text{°}\cdot s^{-1}$ pour l'un et $4,2rad\cdot s^{-1}\simeq 241\text{°}\cdot s^{-1}$ pour l'autre ;
  Modèle:Alfigure aussi, pour comparaison, le portrait de phase du même P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1a$ $($correspondant donc à un mouvement oscillatoire$)$ et de même élongation angulaire initiale que les deux autres ;
• ci-dessus à droite le portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1b$ telles que son mouvement s'arrête en sa position d'équilibre instable à savoir une vitesse angulaire initiale estimée à $3,13rad\cdot s^{-1}\simeq 179,5\text{°}\cdot s^{-1}$ pour une élongation angulaire initiale de $-\frac{2\pi }{3}rad=-120\text{°}$ $[$il s'agit du tracé correspondant à $\dot{\theta }>0$ pour une variation de $\theta$ partant de $-\frac{2\pi }{3}rad=$ $-120\text{°}$ et s'arrêtant à $\pi rad=180\text{°}$, mais on a aussi représenté, en traits pleins , l'amorce de la suite de ce portrait de phase si une perturbation extérieure faisait sortir le P.P.S.N.A. de cette position d'équilibre instable avec une vitesse angulaire négative $(\theta \searrow$ à partir de $\pi rad=180\text{°}$ en s'arrêtant à $-\pi rad=-180\text{°}$ nouvelle position d'équilibre instable $)$ ou positive $(\theta \nearrow$ à partir de $\pi rad=180\text{°}$ en passant par la position d'équilibre stable $2\pi rad=360\text{°}$ et en s'arrêtant à $3\pi rad$ $=540\text{°}$ nouvelle position d'équilibre instable $\left)\right]$ ;
  Modèle:Alfigure aussi, pour comparaison, le portrait de phase du même P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1a$ $($correspondant donc à un mouvement oscillatoire$)$ et de même élongation angulaire initiale que le précédent ainsi que celui du même P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1b$ $($telles que son mouvement soit révolutif$)$ à savoir une élongation angulaire initiale de $\frac{4\pi }{3}rad=240\text{°}$ et une vitesse angulaire initiale de $-4,2rad\cdot s^{-1}\simeq -241\text{°}\cdot s^{-1}$.

Modèle:AlDescription du mouvement d'un P.P.S.N.A. à partir de son portrait de phase  : exemple du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé sous C.I. $1a$ avec «${\theta }_0=-\frac{2\pi }{3}rad\simeq -2,09rad$
Modèle:AlModèle:Transparent$=-120\text{°}$» $($ci-dessus à droite$)$ :
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$partant de ${\theta }_0=-\frac{2\pi }{3}rad\simeq -2,09rad=-120\text{°}$ et ${\dot{\theta }}_0=0$, point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens négatif, le point du portrait de phase remonte vers $\theta =0$ et $\dot{\theta }\simeq 5,4rad\cdot s^{-1}$, point de l'axe des vitesses angulaires le plus haut du portrait de phase, correspondant au passage par la position d'équilibre stable avec une vitesse angulaire positive,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$puis le point du portrait de phase redescend vers $\theta \simeq 2,09rad$ et $\dot{\theta }=0$, point de l'axe des élongations angulaires le plus à droite du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens positif,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$ensuite le point du portrait de phase redescend vers $\theta =0$ et $\dot{\theta }\simeq -5,4rad\cdot s^{-1}$, point de l'axe des vitesses angulaires le plus bas du portrait de phase, correspondant au passage par la position d'équilibre stable avec une vitesse angulaire négative,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$enfin le point du portrait de phase remonte vers ${\theta }_0=-\frac{2\pi }{3}rad\simeq -2,09rad=-120\text{°}$ et ${\dot{\theta }}_0=0$, point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens négatif
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$et ainsi de suite $\dots$

Nature des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a »

Modèle:AlL'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1a$ pour être sous « petites élongations angulaires » étant «$\frac{{\dot{\theta }}^2(t)}{{\omega }_0^2{\theta }_0^2}+\frac{{\theta }^2(t)}{{\theta }_0^2}=1$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$ la pulsation des petites élongations angulaires » , on en déduit

Modèle:Alla nature de ce portrait de phase  : $\succ$une ellipse centrée au point origine$\left(00\right)$ et d'axes confondus avec l'axe des élongations angulaires et celui des vitesses angulaires,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$le demi axe sur le 1^er étant de valeur $|{\theta }_0|$ et sur le 2^nd de valeur ${\omega }_0|{\theta }_0|$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$l'ellipse étant décrite dans le sens horaire .

Tracé des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a »

Tracé du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. dans le cadre des petites élongations angulaires , le Modèle:Nobr étant lancé sans vitesse angulaire initiale d'une position d'abscisse angulaire ${\theta }_0$

Modèle:AlChaque portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $1a$ telles que ce dernier oscille dans le cadre des petites élongations angulaires est une ellipse centrée au point origine$(0,0)$, dont les axes de symétrie sont les axes du repère dans lequel il est tracé, de demi axes $|{\theta }_0|$ sur l'axe des élongations angulaires $[{\theta }_0$ étant l'élongation angulaire initiale$]$ et ${\omega }_0|{\theta }_0|$ sur l'axe des vitesses angulaires $[{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$ étant la pulsation $($propre$)$ des petites élongations angulaires $]$, l'ellipse étant décrite dans le sens horaire $($voir ci-contre, ${\theta }_0$ y étant positive$)$ ;

Modèle:Alnous allons, une nouvelle fois, faire le lien entre le portrait de phase et le mouvement de l'oscillateur sur l'exemple du P.P.S.N.A. dont le portrait de phase est représenté ci-contre :

• $\dot{\theta }={\omega }_0{\theta }_0>0$ et $\theta =0$ correspond au passage du P.P.S.N.A. par sa position d'équilibre $($stable$)$ dans le sens positif, puis
• $\dot{\theta }=0$ et $\theta ={\theta }_0>0$ correspond à la position extrême du P.P.S.N.A. dans le sens positif $[{\theta }_0$ est donc l'amplitude d'oscillations du P.P.S.N.A. $]$, ensuite
• $\dot{\theta }=-{\omega }_0{\theta }_0<0$ et $\theta =0$ correspond au retour du P.P.S.N.A. par sa position d'équilibre $($stable$)$ dans le sens négatif, enfin
• $\dot{\theta }=0$ et $\theta =-{\theta }_0<0$ correspond à la position extrême du P.P.S.N.A. dans le sens négatif $[$on retrouve ainsi que ${\theta }_0$ est bien l'amplitude d'oscillations du P.P.S.N.A. $]$ etc$\dots$

En complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

Modèle:AlLes équations des portraits de phase d'un P.P.S.A. ne pouvant pas être déterminées analytiquement l'ont été numériquement à l'aide d'un logiciel de calcul ;

Modèle:Alla résistance à l'avancement exercée par le fluide dans lequel peut se déplacer le P.P.S. est linéaire et suffisamment modérée pour observer

• des pseudo oscillations du P.P.S.A. lancé dans les C.I. $1a$ autour de la position d'équilibre stable de ce dernier d'élongation angulaire $\theta =0$ ou,
• un mouvement révolutif amorti sur un ou plusieurs tours dans le sens positif ou négatif d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. $1b$,
  Modèle:Transparentsuivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable d'élongation angulaire $\theta =2k\pi ,k\in {\mathbb{Z}}^{*}$ avec $|k|$ nombre de tours du mouvement révolutif amorti précédant les pseudo oscillations.

• 
  Tracé d'un portrait de phase d'un P.P.S.A. lâché sans vitesse angulaire initiale avec un écart angulaire initiale ${\theta }_0$ relativement à sa position d'équilibre stable
• 
  Tracé de deux portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé d'une même position initiale mais avec une vitesse angulaire différente telle que l'un ait un mouvement oscillatoire amorti et l'autre un mouvement révolutif amorti avant d'être oscillatoire amorti

• Ci-dessus à gauche le portrait de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. $1a$ avec une élongation angulaire initiale ${\theta }_0=-\frac{2\pi }{3}rad=-120\text{°}$, la longueur du P.P.S.A. $l=1m$ $\Rightarrow$ $\sqrt{\frac{g}{l}}\simeq$ $3,13s^{-1}$ et le cœfficient de frottement fluide ainsi que la masse du P.P.S. tels que $\frac{h}{m}=0,1s^{-1}$ $[$pour rappel l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ du P.P.S.A. étant Modèle:Nobr $=0$» $]$ ;
  Modèle:Alon y observe des « pseudo-oscillations autour de la position d'équilibre stable » d'élongation angulaire $\theta =0$ c.-à-d. un portrait de phase « ouvert », « spiralant autour du point origine$(0,0)$», point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable , le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire  ;
• Ci-dessus à droite deux portraits de phase du même P.P.S.A. lancé dans les C.I. $1b$ avec une élongation angulaire initiale ${\theta }_0=-\frac{2\pi }{3}rad=-120\text{°}$,
  Modèle:Al$\succ$la vitesse angulaire initiale du 1^er étant ${\dot{\theta }}_0=3,8rad\cdot s^{-1}$ ne conduisant qu'à des pseudo oscillations du P.P.S.A. autour de sa position d'équilibre stable $\theta =0$ avec les élongations angulaires extrêmes de la 1^ère pseudo oscillation $-\frac{2\pi }{3}rad\simeq 2,09rad\curvearrowright 1,89rad\curvearrowright -1,79rad$ ou en degrés $-120\text{°}\curvearrowright 108\text{°}\curvearrowright -102,5\text{°}$, portrait de phase « ouvert », « spiralant autour du point origine$(0,0)$», point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable , le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire et
  Modèle:Al$\succ$la vitesse angulaire initiale du 2^nd étant ${\dot{\theta }}_0=4,0rad\cdot s^{-1}$ conduisant à un mouvement révolutif amorti du P.P.S.A. sur un seul tour $[$au passage à la position d'équilibre instable le Modèle:Nobr a encore une vitesse angulaire $\dot{\theta }\simeq 1,0rad\cdot s^{-1}]$ suivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable repérée par $\theta =2\pi$, le portrait de phase étant « ouvert », tout d'abord « décrit d'un même côté de l'axe des élongations angulaires » puis « spiralant autour du point$(2\pi ,0)$ », point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre Modèle:Nobr le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire .

En complément, absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté, expression empirique de « de Borda » de la période dans le cas général d’oscillations

Définition d'« isochronisme » d'un oscillateur

Modèle:AlSi « la période d'un oscillateur est indépendante de l'amplitude des oscillations de ce dernier », on dit qu'il possède la propriété d'« isochronisme » ;

Modèle:Alc’est le cas d'un oscillateur harmonique de pulsation propre ${\omega }_0$, la période de ce dernier étant ${𝒯}_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ quelle que soit son amplitude d'oscillations.

Absence d'« isochronisme » d'un P.P.S.(N.A.)

Modèle:AlExpérimentalement on observe que la période d'oscillations $𝒯$ d'un P.P.S.N.A. lancé sous C.I. $1a$ «$\nearrow$ avec l'amplitude de ses oscillations » Modèle:, , cette $\nearrow$ étant mesurable, par exemple,

Modèle:Alon trouve que la période pour une amplitude de $60\text{°}$ est de $6\mathrm{\%}$ plus grande que celle pour une amplitude de $15\text{°}$ soit «$𝒯({\theta }_0=60\text{°})=1,06\times 𝒯({\theta }_0=15\text{°})$» ,
Modèle:AlModèle:Transparentce qui met bien en évidence l'absence d'isochronisme d'un P.P.S.N.A. .

Expression empirique dite de « de Borda » de la période d'oscillations d’un P.P.S. à un degré de liberté

Modèle:AlOn dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté, trouvée empiriquement et
Modèle:AlModèle:Transparentconnue à l'heure actuelle sous le nom de « formule de de Borda » Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparent«$𝒯={𝒯}_0(1+\frac{{\theta }_m^2}{16})$» avec ${𝒯}_0=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ période $($propre$)$ des petites élongations angulaires et
Modèle:AlModèle:Transparent${\theta }_m$ l'amplitude des oscillations $($a priori non petite$)$ exprimée en $rad$ ;

Modèle:Alcette formule donne un résultat en accord avec le « calcul

$($

numérique

$)$

par intégrale » qui sera établi dans le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de sa période sous forme intégrale » du chap.

$17$

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour des valeurs de

${\theta }_m$

non petites : plus précisément
Modèle:AlModèle:Transparentsi

${\theta }_m⩽\frac{5\pi }{12}rad=75\text{°}$

, l'écart entre le résultat exact donné par le calcul d’intégrale et
Modèle:AlModèle:Transparentcelui approché donné par la formule de de Borda Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparentest

$<1\mathrm{\%}$

,

$($

résultat approché par formule de de Borda Modèle:, par défaut

$)$

 ;

on peut donc estimer correct le résultat par formule de de Borda Modèle:, pour ${\theta }_m⩽\frac{5\pi }{12}rad=75\text{°}$.

En complément, « résolution numérique » de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1a » puis « 1b », tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant

Modèle:AlLe logiciel de calcul numérique utilisé pour résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\theta (t)$ est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab » , le programme Modèle:Nobr est donné dans les paragraphes ci-dessous, les graphes tracés dans chacun d'eux résultant de l'utilisation de ce programme $\dots$

Résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1a » avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant

Modèle:AlRemarque préliminaire : le principe de résolution d'une équation différentielle d'ordre deux utilisé par « Scilab » consiste à se ramener à un système d'équations différentielles d'ordre un,
Modèle:AlModèle:Transparentainsi pour «$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}(t)=-\frac{g}{l}\sin [\theta (t)]$» cela donne «$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\theta }{dt}(t)=\varpi (t)\\ \frac{d\varpi }{dt}(t)=-\frac{g}{l}\sin [\theta (t)]\end{array}\right\}$», système d'équations différentielles du 1^er ordre en les fonctions $\varpi (t)$ et $\theta (t)$
Modèle:AlModèle:Transparentque l'on doit résoudre simultanément $\dots$

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S. lâché sans vitesse angulaire initiale $({\dot{\theta }}_0=0)$ avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre Modèle:Nobr de ${\theta }_0=$ $-120\text{°}$

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S. lâché sans vitesse angulaire initiale $({\dot{\theta }}_0=0)$ avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre Modèle:Nobr de ${\theta }_0=$ $-120\text{°}$

Tracé, obtenu par intégration numérique, du portrait de phase d'un P.P.S. lâché sans vitesse angulaire initiale $({\dot{\theta }}_0=0)$ avec une élongation angulaire initiale relativement à sa position d'équilibre Modèle:Nobr de ${\theta }_0=-120\text{°}$

Modèle:AlLes C.I. de lancement $1a$ du P.P.S.(N.A.) choisies sont ${\theta }_0=-\frac{2\pi }{3}rad=-120\text{°}$ $($et ${\dot{\theta }}_0$ $=0)$, l'intensité de la pesanteur valant $g=9,81m\cdot s^{-2}$ et la longueur du pendule $l=1,000m$ ;

Modèle:Alci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et
Modèle:Alci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis
Modèle:AlModèle:Transparentdu diagramme horaire de vitesse suivi
Modèle:AlModèle:Transparentdu portrait de phase :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

%theta0 = -2*%pi/3 ;

%varpi0 = 0 ;

clf()

deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;

u = ode(v0 , t0 , t , fct) ;

%theta1 = u(1, :) ;

%varpi1 = u(2, :) ;

plot(t , %theta1) ;

drawlater

clf()

plot(t , %varpi1) ;

drawnow

drawlater

clf()

plot(%theta1 , %varpi1) ;

drawnow

Modèle:AlCommentaires du programme : $\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}$ est le vecteur colonne dérivé $($temporel$)$ du vecteur colonne $\text{v}=\left(\begin{array}{c}\theta \\ \varpi \end{array}\right)$ ce qui donne $\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}=\left(\begin{array}{c}\frac{d\theta }{dt}\\ \frac{d\varpi }{dt}\end{array}\right)$ ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\text{v}(i)$ et $\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}(i)$ sont respectivement le i^ème élément des vecteurs colonnes $\text{v}$ et $\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}$ ainsi $\text{v}(1)=\theta$ et $\text{v}(2)=\varpi$ alors que $\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}(1)=\frac{d\theta }{dt}$ et $\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}(2)=\frac{d\varpi }{dt}$ ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}()$ permet de définir le système des deux équations différentielles du 1^er ordre en les éléments du vecteur colonne $\text{v}$, le 1^er argument rappelant que la dérivation de $\text{v}$ pour obtenir $\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}$ se fait par rapport à $t$ ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\text{v0}$ stocke les C.I. , la 1^ère concernant le 1^er élément du vecteur colonne $\text{v}$ à savoir $\theta$ et la 2^ème le 2^ème élément du vecteur colonne $\text{v}$ à savoir $\varpi$ ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\text{t = 0 :0.1 :3}$ donnant respectivement l'instant initial, le pas et l'instant final ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}()$ résolvant le système en donnant $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k=\left(\begin{array}{c}{\theta }_k\\ {\varpi }_k\end{array}\right)$ stockées dans la variable $\text{u}$, les arguments de la fonction $\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}()$ étant les C.I. , l'instant initial, la suite des valeurs d'itération et bien sûr l'équation différentielle liant les vecteurs colonnes ;

Modèle:AlModèle:Transparenttous les 1^ers éléments des $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k$ stockés dans la variable $\text{u}$ sont réunis dans la variable $\mathrm{\%}\text{theta1}$ et tous les 2^nds éléments de ces $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k$ stockés dans la variable $\text{u}$ sont réunis dans la variable $\mathrm{\%}\text{varpi1}$ ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{t}(\text{t},\mathrm{\%}\text{theta1})$ trace le diagramme horaire de position $\theta =\theta (t)$ du P.P.S.N.A. , $\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{t}(\text{t},\mathrm{\%}\text{varpi1})$ trace son diagramme horaire de vitesse $\dot{\theta }=\dot{\theta }(t)$ et $\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{t}(\mathrm{\%}\text{theta1},\mathrm{\%}\text{varpi1})$ trace son portrait de phase $f(\theta ,\dot{\theta })=0$ ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{f}()$ permet d'effacer le tracé et $\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}$ de le suspendre jusqu'à ce qu'apparaisse $\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{w}$ $\dots$

Modèle:AlConséquences : Il est très difficile sur le diagramme horaire de position d'observer que la fonction « élongation angulaire » n'est pas sinusoïdale et pourtant elle ne l'est pas $\dots$

Modèle:AlModèle:TransparentPar contre sur le diagramme horaire de vitesse on observe nettement que la fonction « vitesse angulaire » n’est pas sinusoïdale $($elle est plus proche d'une fonction triangulaire$)$ et cela implique que la fonction primitive « élongation angulaire » n'est pas non plus sinusoïdale ;

Modèle:AlModèle:Transparentsur les diagrammes horaires de position et de vitesse on observe une période de $𝒯\simeq 2,75s$, l'application $($non appropriée$)$ de la formule de de Borda Modèle:, donnant ${𝒯}_{\text{Borda}}\simeq$ ${𝒯}_0(1+\frac{{\theta }_m^2}{16})$ avec ${𝒯}_0=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\simeq 2\times \pi \times \sqrt{\frac{1,000}{9,81}}\simeq 2,00s$ soit ${𝒯}_{\text{Borda}}\simeq$ $2,00\times [1+\frac{(2,09{)}^2}{16}]$ $\simeq 2,55s$ au lieu de $2,75s$, « l'application de la formule de Modèle:Nobr pour une amplitude de $120\text{°}$» entraînant une erreur de $7\mathrm{\%}$ est donc effectivement indue.

Modèle:AlModèle:TransparentOn observe aussi une légère déformation du portrait de phase relativement à celui des « petites élongations angulaires » $[$lequel, rappelons-le, est une ellipse centrée au point origine $(0,0)$ et ayant pour axes les axes du repère$]$, la courbe gardant les propriétés de fermeture, de symétrie centrale relativement au point origine $(0,0)$ et d'antisymétries axiales relativement aux axes du repère.

Résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1b » telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable de ${\theta }_0=$ $-120\text{°}$ et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable de ${\theta }_0=$ $-120\text{°}$ et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable

Tracé, obtenu par intégration numérique, du portrait de phase d'un P.P.S. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable de ${\theta }_0$ $=-120\text{°}$ et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable

Modèle:AlLes C.I. de lancement $1b$ du même P.P.S.N.A. sont telles que, pour une même élongation angulaire initiale ${\theta }_0=$ $-\frac{2\pi }{3}rad=-120\text{°}$, on choisit une vitesse angulaire initiale de valeur absolue imposant l'arrêt de ce P.P.S.N.A. en sa position d'équilibre instable soit $|{\dot{\theta }}_0|=$ $\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$ ou, plus exactement, pour que le mouvement se fasse dans le sens positif et que la position d'arrêt soit d'élongation angulaire $\theta =\pi$, on choisit une vitesse angulaire initiale ${\dot{\theta }}_0=$ $\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}=\sqrt{2\frac{9,81}{1,000}[1+\frac{-1}{2}]}\simeq 3,13rad\cdot s^{-1}$ ;

Modèle:Alci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et
Modèle:Alci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis
Modèle:AlModèle:Transparentdu diagramme horaire de vitesse suivi
Modèle:AlModèle:Transparentdu portrait de phase :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

%theta0 = -2*%pi/3 ;

%varpi0 = 3.132092 ;

clf()

deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;

w = ode(v0 , t0 , t , fct) ;

%theta2 = w(1, :) ;

%varpi2 = w(2, :) ;

plot(t , %theta2) ;

drawlater

clf()

plot(t , %varpi2) ;

drawnow

drawlater

clf()

plot(%theta2 , %varpi2) ;

drawnow

Modèle:AlCommentaires du programme : revoir le paragraphe précédent « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant (commentaires du programme) », les lignes de programme étant identiques à l'exception de

• la valeur de la vitesse angulaire initiale stockée dans la variable $\mathrm{\%}\text{varpi}0$,
• le nom de la variable $\text{w}$ stockant les $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k=\left(\begin{array}{c}{\theta }_k\\ {\varpi }_k\end{array}\right)$ solutions du système d'équations différentielles à résoudre,
• le nom de la variable $\mathrm{\%}\text{theta2}$ stockant tous les 1^ers éléments des $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k$ stockés dans la variable $\text{w}$ ainsi que
• le nom de la variable $\mathrm{\%}\text{varpi2}$ stockant tous les 2^nds éléments des $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k$ stockés dans la variable $\text{w}$ $\dots$

Modèle:AlConséquences : On observe sur le diagramme horaire de position la stagnation de la fonction « élongation angulaire » à la valeur $\pi rad$ correspondant à une asymptote parallèle à l'axe des élongations angulaires et repérant la position d'équilibre instable ainsi que

Modèle:AlModèle:Transparentsur le diagramme horaire de vitesse une limite nulle de la fonction « vitesse angulaire » correspondant à une asymptote confondue avec l'axe des élongations angulaires et repérant une position d'arrêt du P.P.S.N.A.  ;

Modèle:AlModèle:Transparenton observe aussi sur le portrait de phase du P.P.S.N.A. un arrêt du point générique de ce dernier pour l'élongation angulaire correspondant à la position d'équilibre instable , la courbe étant donc de longueur finie située d'un même côté de l'axe des élongations angulaires.

Résolution numérique de l’équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1b » telles que le pendule acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable de ${\theta }_0=$ $-120\text{°}$ et une vitesse angulaire initiale de $3,5rad\cdot s^{-1}$ suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A.

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable de ${\theta }_0=$ $-120\text{°}$ et une vitesse angulaire initiale de $3,5rad\cdot s^{-1}$ suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A.

Tracé, obtenu par intégration numérique, du portrait de phase d'un P.P.S. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable de ${\theta }_0=$ $-120\text{°}$ et une vitesse angulaire initiale de $3,5rad\cdot s^{-1}$ suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A.

Modèle:AlLes C.I. de lancement $1b$ du même P.P.S.N.A. sont telles que, pour une même élongation angulaire initiale ${\theta }_0=$ $-\frac{2\pi }{3}rad=-120\text{°}$, on puisse observer un mouvement révolutif du Modèle:Nobr et pour cela il est nécessaire de choisir une vitesse angulaire initiale de valeur absolue $|{\dot{\theta }}_0|>\sqrt{2\frac{g}{l}[1+\cos ({\theta }_0)]}$ ou, pour que le mouvement révolutif se fasse dans le sens positif, on choisit une vitesse angulaire initiale ${\dot{\theta }}_0=3,5rad\cdot s^{-1}>3,13rad\cdot s^{-1}$ ;

Modèle:Alci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et
Modèle:Alci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis
Modèle:AlModèle:Transparentdu diagramme horaire de vitesse suivi
Modèle:AlModèle:Transparentdu portrait de phase :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

%theta0 = -2*%pi/3 ;

%varpi0 = 3.5 ;

clf()

deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;

x = ode(v0 , t0 , t , fct) ;

%theta3 = x(1, :) ;

%varpi3 = x(2, :) ;

plot(t , %theta3) ;

drawlater

clf()

plot(t , %varpi3) ;

drawnow

drawlater

clf()

plot(%theta3 , %varpi3) ;

drawnow

Modèle:AlCommentaires du programme : revoir le paragraphe précédent « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant (commentaires du programme) », les lignes de programme étant identiques à l'exception de

• la valeur de la vitesse angulaire initiale stockée dans la variable $\mathrm{\%}\text{varpi}0$,
• le nom de la variable $\text{x}$ stockant les $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k=\left(\begin{array}{c}{\theta }_k\\ {\varpi }_k\end{array}\right)$ solutions du système d'équations différentielles à résoudre,
• le nom de la variable $\mathrm{\%}\text{theta3}$ stockant tous les 1^ers éléments des $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k$ stockés dans la variable $\text{x}$ ainsi que
• le nom de la variable $\mathrm{\%}\text{varpi3}$ stockant tous les 2^nds éléments des $31$ vecteurs colonnes ${\text{v}}_k$ stockés dans la variable $\text{x}$ $\dots$

Modèle:AlConséquences : On observe sur le diagramme horaire de position une $\nearrow$ de la fonction « élongation angulaire » avec un rythme de $\nearrow$ minimal au voisinage de $\theta \equiv \pi (\mathrm{mod}2\pi )$ correspondant au passage par la position d'équilibre instable et maximal au voisinage de $\theta \equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )$ correspondant au passage par la position d'équilibre stable effectivement en accord avec un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. dans le sens positif ainsi que

Modèle:AlModèle:Transparentsur le diagramme horaire de vitesse une périodicité de la fonction « vitesse angulaire » avec une valeur minimale positive de $1,6rad\cdot s^{-1}$ correspondant au passage par la position d'équilibre instable et maximale positive de $6,3rad\cdot s^{-1}$ correspondant au passage par la position d'équilibre stable  ; on mesure sur ce diagramme une période de révolution du Modèle:Nobr de $𝒯=$ $1,75s$ ;

Modèle:AlModèle:Transparenton observe aussi sur le portrait de phase du P.P.S.N.A. une périodicité angulaire de ce dernier $($de période $2\pi )$, le minimum positif de la vitesse angulaire correspondant au passage par la position d'équilibre instable et le maximum positif au passage par la position d'équilibre Modèle:Nobr la courbe étant « ouverte » située d'un même côté de l'axe des élongations angulaires.

Superposition des trois portraits de phase précédemment tracés

Superposition des tracés, obtenus par intégration numérique, des portraits de phase d'un P.P.S. lâché avec une élongation angulaire initiale de ${\theta }_0=-120\text{°}$
Modèle:Al$\succ$sans vitesse angulaire initiale $($en rouge$)$,
Modèle:Al$\succ$avec une vitesse angulaire initiale positive conduisant à l'arrêt en la position d'équilibre instable Modèle:Nobr vert$)$ et
Modèle:Al$\succ$avec une vitesse angulaire initiale positive de ${\dot{\theta }}_0=3,5rad\cdot s^{-1}$ conduisant à un mouvement révolutif $($en bleu$)$

Modèle:AlIl s'agit ici de regrouper sur un même diagramme $($et avec des couleurs différentes$)$ les trois portraits de phase du P.P.S.N.A. précédent lâché à partir d'une élongation angulaire initiale ${\theta }_0=-120\text{°}$

• sans vitesse angulaire initiale $[$en rouge$]$,
• avec une vitesse angulaire initiale positive ${\dot{\theta }}_0=3,13rad\cdot s^{-1}$ permettant l'arrêt en la position d'équilibre instable $[$en vert$]$ et enfin
• avec une vitesse angulaire initiale plus grande ${\dot{\theta }}_0=3,5rad\cdot s^{-1}$ créant un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. $[$en bleu$]$

Modèle:Alen ajoutant les quelques lignes de programme à celles déjà exposées dans les trois paragraphes précédents.

Modèle:AlLignes de programme s'ajoutant aux lignes précédentes pour la superposition des trois portraits de phase :

clf()

plot(%theta1 , %varpi1 , "r" , %theta2 , %varpi2 , "g" , %theta3 , %varpi3 , "b") ;

Modèle:AlCommentaires du programme : On trace plusieurs courbes sur un même diagramme en mettant ces courbes comme argument d'une même fonction $\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{t}()$, la couleur de tracé de chaque courbe étant mise en 3^ème argument après l'abscisse et l'ordonnée, selon

• “r” pour rouge,
• “g” pour vert et
• “b” pour bleu.