Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Portrait de phase d'un système dynamique

Notion (très succincte) de système dynamique

Modèle:AlEn mathématiques et en sciences appliquées, un système dynamique est un ensemble très général de composants en interaction $($ un système $)$ , répartis sur plusieurs états et structurés selon certaines propriétés ^[1] ; il est le plus souvent régi par un ensemble d'équations différentielles décrivant le mouvement des composants $($ leur dynamique $)$ où interviennent une classe de paramètres accessibles ^[1] ;

Modèle:Aldans notre présentation nous limitons les systèmes dynamiques aux systèmes classiques ^[2] qui évoluent au cours du temps de façon à la fois :

causale, c.-à-d. que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent,
déterministe, c.-à-d. qu'à une condition initiale donnée à l'instant présent correspond, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur possible ;

Modèle:All'évolution déterministe d'un système dynamique classique considéré par la suite se modélise par une évolution continue dans le temps, représentée par une équation différentielle ordinaire ^[3].

Espace des phases d'un système dynamique classique

Notion de variables d'état d'un système dynamique classique

La position peut-elle être choisie comme unique variable d'état d'un système dynamique classique à un degré de liberté ?

Modèle:AlComment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné en l'observant uniquement à cet instant, dans la mesure où on définit le mouvement comme un changement de position,
Modèle:Al Modèle:Transparent $($ avec la position seule variable directement observable à un instant donné ^[4] $)$ ?
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ S'il est en mouvement à un instant donné, le système doit changer de position, or
Modèle:Al Modèle:Transparentil a une position observable à cet instant qui, par définition, ne change pas à cet instant,
Modèle:Al Modèle:Transparentil ne semble donc pas en mouvement $($ alors qu'il l'est $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ s'il est au repos à un instant donné, le système devant garder cette position à tout instant, il ne pourrait pas en changer,
Modèle:Al Modèle:Transparentmais cette seule observation ne permet pas de conclure, il est nécessaire d'en faire une 2^ème à un autre instant,
Modèle:Al Modèle:Transparentsi on observe un maintien de cette position à cet autre instant il semble au repos
Modèle:Al Modèle:Transparentmais cette 2^ème observation ne suffit pas pour conclure, il en faudrait une 3^ème puis une 4^ème $\dots$
Modèle:Al Modèle:Transparentjusqu'à un éventuel instant de changement de position,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec un seul instant d'observation, le système semble au repos $($ mais il pourrait ne pas l'être $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentpour affirmer il est au repos il faut l'observer continûment sur l'intervalle d'observation ;

Modèle:Alla cause de cette difficulté $($ connue sous le nom de « paradoxe de Zénon » $)$ est le fait de limiter la description de l'état du système à un instant donné à sa position
Modèle:Al Modèle:Transparentsans introduire la notion de vitesse,
Modèle:Al Modèle:Transparentor c'est la notion de vitesse qui décrit le changement ou la fixité de la position à un instant donné.

Variables d'état (ou dynamiques) d'un système dynamique classique

Modèle:AlLa description de l'état d'un système dynamique classique à un instant donné nécessite de définir toutes les variables dites d'état $($ encore appelées variables dynamiques $)$ c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparenttoutes les grandeurs physiques qui déterminent l'état instantané du système et
Modèle:Al Modèle:Transparentpermettent d'en déduire l'évolution de ce dernier avec le temps ^[5].

Définition de l'espace des phases d'un système dynamique classique

Modèle:AlL'espace des phases est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré.

Modèle:AlSi le système a $n$ degrés de liberté, l'espace des phases possède $2 n$ dimensions ^[6] et,
Modèle:Al Modèle:Transparentdans l'hypothèse où l'espace des phases est vectoriel, chaque état est décrit par un vecteur à $2 n$ composantes.

Espace des phases d'un système dynamique classique à un degré de liberté

Modèle:AlL'espace des phases d'un système dynamique à un degré de liberté est donc un espace $($ vectoriel $)$ à deux dimensions.

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté, espace des phases correspondant

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté

Modèle:AlLa notion de système dynamique classique à un degré de liberté est, dans l'enseignement français, essentiellement introduite en mécanique mais
Modèle:Al Modèle:Transparentpeut être utilisée dans tous les domaines y compris le domaine électrique ;

Modèle:Alpour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il faut qu'il évolue au cours du temps de façon causale ^[7] et déterministe ^[8] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentil doit donc y avoir deux types de variables $∙$ celle qui décrit l'état du système à un instant donné, « variable descriptive d'état » ^[9],
Modèle:Al Modèle:Transparentsans permettre de savoir dans quel état sera le système ultérieurement,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ celle qui permet de connaître le futur immédiat du système à un instant donné,
Modèle:Al Modèle:Transparent« variable de modification d'état » ^[9], en général $=$ $($ ou $\propto)$ à la dérivée temporelle
Modèle:Al Modèle:Transparentde la précédente ;
Modèle:Al Modèle:Transparentl'évolution du système est alors régie par une équation différentielle en la « variable descriptive d'état » ^[9].

Modèle:AlLa plupart des exemples de système dynamique classique à un degré de liberté viennent de la mécanique, les variables dynamiques étant la position du système $($ une « variable descriptive d'état » $)$ ^[9] et
Modèle:Al Modèle:Transparentsa vitesse $[$ remplaçable par sa quantité de mouvement ^[10] $]$
Modèle:Al Modèle:Transparent $($ une « variable de modification d'état » $)$ ^[9] mais

Modèle:Alil existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $∙$ l'intensité $($ instantanée $)$ du courant de charge d'un condensateur parfait
Modèle:Al Modèle:Transparentest $\propto$ à la dérivée temporelle de la tension $($ instantanée $)$ entre ses bornes ^[11],
Modèle:Al Modèle:Transparentl'intensité $($ instantanée $)$ étant une « variable de modification d'état » ^[9] alors que
Modèle:Al Modèle:Transparentla tension $($ instantanée $)$ est une « variable descriptive d'état » ^[9] ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la tension $($ instantanée $)$ aux bornes d'une bobine pure
Modèle:Al Modèle:Transparentest $\propto$ à la dérivée temporelle de l'intensité $($ instantanée $)$ du courant
Modèle:Al Modèle:Transparentla traversant ^[12],
Modèle:Al Modèle:Transparentla tension $($ instantanée $)$ étant une « variable de modification d'état » ^[9] alors que
Modèle:Al Modèle:Transparentl'intensité $($ instantanée $)$ du courant est une « variable descriptive d'état » ^[9] $\dots$

Espace des phases sur les exemples précédents de système dynamique classique à un degré de liberté

Modèle:AlCe sont des espaces à deux dimensions dont un point définit l'état instantané du système et
Modèle:Al Modèle:Transparenta pour coordonnées $∙$ en mécanique à un degré de liberté, la position ^[13] $($ « variable descriptive d'état » $)$ ^[9] et
Modèle:Al Modèle:Transparentla vitesse ^[14] $($ « variable de modification d'état » $)$ ^[9]
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ remplaçable par la quantité de mouvement ^[10] $]$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ en électricité de l'A.R.Q.S. dans un circuit série comportant un condensateur parfait,
Modèle:Al Modèle:Transparentla tension aux bornes du condensateur ^[13] $($ « variable descriptive d'état » $)$ ^[9]
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ remplaçable par sa charge ^[15] $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentl'intensité du courant le traversant ^[14] $($ « variable de modification d'état » ^[11] $)$ ^[9],
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ en électricité de l'A.R.Q.S. dans un circuit série comportant une bobine parfaite sans condensateur parfait,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'intensité du courant traversant la bobine ^[13] $($ « variable descriptive d'état » $)$ ^[9] et
Modèle:Al Modèle:Transparentla tension aux bornes de la bobine ^[14] $($ « variable de modification d'état » ^[12] $)$ ^[9]
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ remplaçable par la f.e.m. y étant engendrée ^[16] $]$ .

Portrait de phase d'un système dynamique classique

Nous nous limitons à un système dynamique classique à un degré de liberté pour lequel il y a deux variables d'état.

Définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté

Modèle:AlLe « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, dans l'espace des phases du système,
Modèle:Al Modèle:Transparentdes trajectoires des points caractérisant l'état du système
Modèle:Al Modèle:Transparentpour chaque ensemble de C.I. ^[17] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentcette représentation géométrique est $∙$ une courbe liant la variable de modification d'état ^[9] $($ notée $\dot{x}$ par la suite ^[18] $)$
Modèle:Transparentà la variable descriptive d'état ^[9] $($ notée $x$ par la suite $)$
Modèle:Al Modèle:Transparentpour des C.I. ^[17] impliquant une évolution du système, ou,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ un point correspondant à la variable de modification d'état ^[9] $\dot{x} = 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla variable descriptive d'état ^[9] $x$ étant constante,
Modèle:Al Modèle:Transparentpour des C.I. ^[17] caractérisant un état de repos du système.

Liens entre portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté et l'évolution de ce dernier

On rappelle que les variables descriptive et de modification d'état sont respectivement notées

x

et

\dot{x}

^[18]Modèle:, ^[19].

Évolution du système dynamique classique à un degré de liberté à partir d'un point d'un de ses portraits de phase hors axe des x

Modèle:AlSi le point $Q$ d'un portrait de phase du système est d'ordonnée ${\dot{x}}_{Q} > 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentson abscisse $x_{Q} ↗$ $∙$ jusqu'à $+ \infty$ dans la mesure où le portrait de phase ne coupe pas l'axe des abscisses,
Modèle:Al Modèle:Transparentle portrait de phase est qualifié d'« ouvert » vers les $x > 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ jusqu'à une valeur maximale $x_{Q_{max}}$ si le portrait de phase coupe l'axe des abscisses en $x_{Q_{max}}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'ordonnée du point y ayant pour valeur ${\dot{x}}_{Q_{max}} = 0$ , suivi
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ d'un arrêt dans la mesure où $x_{Q_{max}}$ repère un équilibre du système dynamique ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ d'un passage dans la zone d'ordonnée ${\dot{x}}_{Q} < 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentson abscisse $x_{Q} ↘$ $▸$ jusqu'à $- \infty$ si le portrait de phase ne recoupe pas l'axe des
Modèle:Al Modèle:Transparentabscisses,
Modèle:Al Modèle:Transparentle portrait de phase étant « ouvert » vers les $x < 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ jusqu'à une valeur minimale $x_{Q_{min}}$ si le portrait de phase
Modèle:Al Modèle:Transparentrecoupe l'axe des abscisses en $x_{Q_{min}}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'ordonnée du point y ayant pour valeur ${\dot{x}}_{Q_{min}} = 0$ , suivi
Modèle:Al Modèle:Transparent $▹$ d'un retour de $Q$ dans la zone
Modèle:Al Modèle:Transparentd'ordonnée ${\dot{x}}_{Q} > 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentson abscisse $x_{Q} ↗$ etc $\dots$
Modèle:Al Modèle:Transparentle point générique du portrait de phase tournant alors dans le
Modèle:Al Modèle:Transparent« sens indirect » ^[20] ; le portrait de phase est
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ soit « fermé » s'il repasse par les points précédents,
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ soit « spiralant » autour d'un point $(x_{Q_{0}}, {\dot{x}}_{Q_{0}} = 0)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'abscisse $x_{Q_{0}}$ correspondant à un arrêt du système ^[21].

Modèle:AlSi le point $Q$ d'un portrait de phase du système est d'ordonnée ${\dot{x}}_{Q} < 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentson abscisse $x_{Q} ↘$ $∙$ jusqu'à $- \infty$ dans la mesure où le portrait de phase ne coupe pas l'axe des abscisses,
Modèle:Al Modèle:Transparentle portrait de phase est qualifié d'« ouvert » vers les $x < 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ jusqu'à une valeur minimale $x_{Q_{min}}$ si le portrait de phase coupe l'axe des abscisses en $x_{Q_{min}}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'ordonnée du point y ayant pour valeur ${\dot{x}}_{Q_{min}} = 0$ , suivi
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ d'un arrêt dans la mesure où $x_{Q_{min}}$ repère un équilibre du système dynamique ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ d'un passage dans la zone d'ordonnée ${\dot{x}}_{Q} > 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentson abscisse $x_{Q} ↗$ $▸$ jusqu'à $+ \infty$ si le portrait de phase ne recoupe pas l'axe des
Modèle:Al Modèle:Transparentabscisses,
Modèle:Al Modèle:Transparentle portrait de phase étant « ouvert » vers les $x > 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ jusqu'à une valeur maximale $x_{Q_{max}}$ si le portrait de phase
Modèle:Al Modèle:Transparentrecoupe l'axe des abscisses en $x_{Q_{max}}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'ordonnée du point y ayant pour valeur ${\dot{x}}_{Q_{max}} = 0$ , suivi
Modèle:Al Modèle:Transparent $▹$ d'un retour de $Q$ dans la zone
Modèle:Al Modèle:Transparentd'ordonnée ${\dot{x}}_{Q} < 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentson abscisse $x_{Q} ↘$ etc $\dots$
Modèle:Al Modèle:Transparentle point générique du portrait de phase tournant alors dans le
Modèle:Al Modèle:Transparent« sens indirect » ^[20] ; le portrait de phase est
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ soit « fermé » s'il repasse par les points précédents,
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ soit « spiralant » autour d'un point $(x_{Q_{0}}, {\dot{x}}_{Q_{0}} = 0)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'abscisse $x_{Q_{0}}$ correspondant à un arrêt du système ^[21].

Portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté dont l'évolution est décrite par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en x

Modèle:AlSi l'équation différentielle décrivant l'évolution d'un système dynamique classique à un degré de liberté
Modèle:Al Modèle:Transparentest linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en $x$ selon $\dot{x} (t) + k x (t) = k x_{éq}$ avec $x_{éq}$ valeur de la variable descriptive d'état ^[9] du système dynamique à l'équilibre,
Modèle:Al Modèle:Transparentle portrait de phase est une droite d'équation $\dot{x} = k [x_{éq} - x]$
Modèle:Al Modèle:Transparent $↘$ si $k$ est $> 0$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $↗$ si $k$ est $< 0$ ; réciproquement
Modèle:Alsi le portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté
Modèle:Al Modèle:Transparentest une droite d'équation $\dot{x} = a x + b$ , l'équation différentielle décrivant l'évolution du système dynamique
Modèle:Al Modèle:Transparentest linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en $x$ selon $\dot{x} (t) - a x (t) = b$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla stabilité ^[22] nécessitant que $a$ soit $< 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla valeur de la variable descriptive d'état ^[9] du système dynamique à l'équilibre étant $x_{éq} = - \frac{b}{a}$ .

Conséquence de l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des x des portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté sur l'évolution de ce système

Modèle:AlSi les portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté de variables « descriptive d'état $x$ » et « de modification d'état $\dot{x}$ » ^[18]Modèle:, ^[19] sont
Modèle:Al Modèle:Transparent« invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $x$ » $\Rightarrow$ $∙$ les portraits de phase sont fermés $($ en effet ce sont des courbes continues avec présence de points génériques
Modèle:Al Modèle:Transparentde part et d'autre de l'axe des $x$ , ce qui nécessite le passage par
Modèle:Al Modèle:Transparent $\dot{x} = 0$ correspondant à un changement de sens de variation de $x$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentle caractère « spiralant » des portraits de phase étant exclu comme
Modèle:Al Modèle:Transparentcontraire à l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des $x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentceci nécessitant que le système dynamique considéré ne soit pas amorti et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la grandeur instantanée caractéristique de l'état du système dynamique considéré est telle que
Modèle:Al Modèle:Transparent« à tout couple $(x, \dot{x})$ » correspond « le couple $(x, - \dot{x})$ », c.-à-d. que
Modèle:Al Modèle:Transparentle système dynamique passe par les mêmes états lors de la $↗$ ou de la $↘$ de $x$
Modèle:Al Modèle:Transparentà l'inversion du temps près ^[23].

Modèle:AlExemple de mécanique du point à un degré de liberté :
Modèle:Al Modèle:Transparentle système dynamique classique à un degré de liberté étant le point matériel $M$ de variable descriptive d'état ^[9] $x$ $[$ abscisse de $M$ si ce dernier se déplace sur l'axe $\vec{x^{'} x}]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentde variable de modification d'état ^[9] $\dot{x}$ $[$ vitesse algébrique de $M$ sur l'axe $\vec{x^{'} x}]$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des $x$ correspond à un mouvement oscillatoire de $M$ autour d'un point fixe de l'axe $\vec{x^{'} x}$ ^[24],
Modèle:Al Modèle:Transparentde caractère périodique ^[25],
Modèle:Al Modèle:Transparentavec la même durée de mouvement dans un sens
Modèle:Al Modèle:Transparentque dans l'autre sens ^[25].

Notes et références

↑ ^1,0 et ^1,1 Il y a volontairement une certaine imprécision dans cet exposé car la notion de système dynamique est très générale alors que nous n'introduisons dans la suite du cours que des systèmes dynamiques très particuliers ne nécessitant pas de connaître en détail la définition générale de systèmes dynamiques.
↑ C.-à-d. non quantiques, ceci ayant pour conséquence qu'aucun paramètre servant à décrire les états du système dynamique ne varie de façon discrète.
↑ C'est a priori la plus naturelle des modélisations car le paramètre temps est continu en physique.
↑ Pour plus de détail lire le paragraphe paradoxe de Zénon de l'article de wikipédia sur les systèmes dynamiques.
↑ Dans l'exemple d'un système à un seul degré de liberté, il y a la position et la vitesse, cette dernière peut être mesurée à un instant donné par l'effet Doppler ; pour un tel système on a donc deux variables dynamiques.
↑ Il faut connaître la position et la vitesse associée à chaque degré de liberté.
↑ C.-à-d. que son avenir ne dépende que des phénomènes du passé ou du présent.
↑ C.-à-d. qu'à une condition initiale donnée à l'instant présent va correspondre, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur possible.
↑ ^9,00 ^9,01 ^9,02 ^9,03 ^9,04 ^9,05 ^9,06 ^9,07 ^9,08 ^9,09 ^9,10 ^9,11 ^9,12 ^9,13 ^9,14 ^9,15 ^9,16 ^9,17 ^9,18 ^9,19 ^9,20 ^9,21 et ^9,22 Appellation personnelle.
↑ ^10,0 et ^10,1 Le vecteur quantité de mouvement d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en direction, sens et norme contrairement à l'énergie cinétique qui ne donne aucune information sur la direction et le sens $($ la notion de quantité de mouvement est introduite dans le chap. $7$ « quantité de mouvement » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $)$ ; en mécanique classique Modèle:Nobr non relativiste $)$ la quantité de mouvement $\vec{p}$ est liée à la vitesse $\vec{v}$ et à la masse $m$ par $\vec{p} = m \vec{v}$ .
↑ ^11,0 et ^11,1 Voir le paragraphe « lien entre intensité et tension pour un condensateur parfait » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
Modèle:Alen convention récepteur le lien entre l'intensité $i$ du courant traversant le condensateur parfait de capacité $C$ et la tension $u$ en ses bornes est $i = C \frac{d u}{d t}$ .
↑ ^12,0 et ^12,1 Voir le paragraphe « lien entre intensité et tension pour une bobine parfaite » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
Modèle:Alen convention récepteur le lien entre la tension $u$ en les bornes de la bobine parfaite d'auto-inductance $L$ et l'intensité $i$ du courant la traversant est $u = L \frac{d i}{d t}$ .
↑ ^13,0 ^13,1 et ^13,2 Usuellement choisie pour axe des abscisses.
↑ ^14,0 ^14,1 et ^14,2 Usuellement choisie pour axe des ordonnées.
↑ La tension aux bornes du condensateur pouvant être remplacée par sa charge $[$ voir le paragraphe « charge (instantanée) q(t) d'un condensateur parfait » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ ;
Modèle:Alle lien entre la charge $q$ du condensateur parfait de capacité $C$ et la tension $u$ en ses bornes est $q = C u$ .
↑ La tension aux bornes de la bobine parfaite pouvant être remplacée par la f.e.m. engendrée dans cette dernière $[$ voir le paragraphe « notion de f.e.m. d'auto-induction d'une bobine parfaite en A.R.Q.S., loi de Faraday » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ ;
Modèle:Alle lien entre la f.e.m. auto-induite $e$ créée dans la bobine parfaite d'auto-inductance $L$ et l'intensité $i$ du courant la traversant est $e =$ $- L \frac{d i}{d t}$ $($ égale à l'opposé de la tension $u$ à ses bornes en convention récepteur $)$ .
↑ ^17,0 ^17,1 et ^17,2 Conditions Initiales.
↑ ^18,0 ^18,1 et ^18,2 Même si elle n'est pas égale à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état mais $\propto$ avec un cœfficient de proportionnalité positif.
↑ ^19,0 et ^19,1 Dans le cas où la variable de modification d'état serait $\propto$ à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état, le cœfficient de proportionnalité est supposé positif $($ ce qui est le cas le plus fréquent $)$ .
↑ ^20,0 et ^20,1 Ou sens anti-trigonométrique ou sens horaire ou encore sens rétrograde, le contraire étant sens direct, ou sens antihoraire ou encore sens prograde.
↑ ^21,0 et ^21,1 Nous nous plaçons dans le cas le plus fréquent où il y a un amortissement mais, le cas où il y aurait un apport énergétique régulier permettant que la spirale s'écarte de plus en plus d'un point de l'axe des abscisses est bien sûr possible.
↑ C.-à-d. le fait que le régime libre s'amortisse.
↑ En effet « si $x ↗$ quand $t ↗$ », après l'inversion du temps $\Rightarrow$ $t^{'} = - t$ , « $x ↗$ quand $t^{'} ↘$ $\Leftrightarrow$ $x ↘$ quand $t^{'} ↗$ ».
↑ Une démonstration adaptée consiste à introduire la notion de diagrammes d'énergie mécanique et potentielle, ce qui nécessite de préciser la cause du mouvement de $M$ $[$ voir par exemple les paragraphes « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée » et « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du pendule élastique horizontal par diagramme énergétique » du chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .
↑ ^25,0 et ^25,1 Une démonstration adaptée consiste à utiliser successivement l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement du point et la notion de diagrammes d'énergie mécanique et potentielle, ce qui nécessite de préciser la cause du mouvement de $M$ $[$ voir par exemple le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement du pendule élastique horizontal en utilisant l'intégrale 1^ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique M puis expression de la période sous forme intégrale » du chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .

Modèle:Bas de page

[imprécision-1] 1,0 et ^1,1 Il y a volontairement une certaine imprécision dans cet exposé car la notion de système dynamique est très générale alors que nous n'introduisons dans la suite du cours que des systèmes dynamiques très particuliers ne nécessitant pas de connaître en détail la définition générale de systèmes dynamiques.

[2] C.-à-d. non quantiques, ceci ayant pour conséquence qu'aucun paramètre servant à décrire les états du système dynamique ne varie de façon discrète.

[3] C'est a priori la plus naturelle des modélisations car le paramètre temps est continu en physique.

[4] Pour plus de détail lire le paragraphe paradoxe de Zénon de l'article de wikipédia sur les systèmes dynamiques.

[5] Dans l'exemple d'un système à un seul degré de liberté, il y a la position et la vitesse, cette dernière peut être mesurée à un instant donné par l'effet Doppler ; pour un tel système on a donc deux variables dynamiques.

[6] Il faut connaître la position et la vitesse associée à chaque degré de liberté.

[7] C.-à-d. que son avenir ne dépende que des phénomènes du passé ou du présent.

[8] C.-à-d. qu'à une condition initiale donnée à l'instant présent va correspondre, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur possible.

[personnel-9] 9,00 ^9,01 ^9,02 ^9,03 ^9,04 ^9,05 ^9,06 ^9,07 ^9,08 ^9,09 ^9,10 ^9,11 ^9,12 ^9,13 ^9,14 ^9,15 ^9,16 ^9,17 ^9,18 ^9,19 ^9,20 ^9,21 et ^9,22 Appellation personnelle.

[quantité_de_mouvement-10] 10,0 et ^10,1 Le vecteur quantité de mouvement d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en direction, sens et norme contrairement à l'énergie cinétique qui ne donne aucune information sur la direction et le sens $($ la notion de quantité de mouvement est introduite dans le chap. $7$ « quantité de mouvement » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $)$ ; en mécanique classique Modèle:Nobr non relativiste $)$ la quantité de mouvement $\vec{p}$ est liée à la vitesse $\vec{v}$ et à la masse $m$ par $\vec{p} = m \vec{v}$ .

[intensité_du_courant_de_charge_d'un_condensateur-11] 11,0 et ^11,1 Voir le paragraphe « lien entre intensité et tension pour un condensateur parfait » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
Modèle:Alen convention récepteur le lien entre l'intensité $i$ du courant traversant le condensateur parfait de capacité $C$ et la tension $u$ en ses bornes est $i = C \frac{d u}{d t}$ .

[tension_aux_bornes_d'une_bobine-12] 12,0 et ^12,1 Voir le paragraphe « lien entre intensité et tension pour une bobine parfaite » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
Modèle:Alen convention récepteur le lien entre la tension $u$ en les bornes de la bobine parfaite d'auto-inductance $L$ et l'intensité $i$ du courant la traversant est $u = L \frac{d i}{d t}$ .

[choisie_en_abscisse-13] 13,0 ^13,1 et ^13,2 Usuellement choisie pour axe des abscisses.

[choisie_en_ordonnée-14] 14,0 ^14,1 et ^14,2 Usuellement choisie pour axe des ordonnées.

[charge_de_condensateur-15] La tension aux bornes du condensateur pouvant être remplacée par sa charge $[$ voir le paragraphe « charge (instantanée) q(t) d'un condensateur parfait » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ ;
Modèle:Alle lien entre la charge $q$ du condensateur parfait de capacité $C$ et la tension $u$ en ses bornes est $q = C u$ .

[f.e.m._engendrée_dans_une_bobine-16] La tension aux bornes de la bobine parfaite pouvant être remplacée par la f.e.m. engendrée dans cette dernière $[$ voir le paragraphe « notion de f.e.m. d'auto-induction d'une bobine parfaite en A.R.Q.S., loi de Faraday » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ ;
Modèle:Alle lien entre la f.e.m. auto-induite $e$ créée dans la bobine parfaite d'auto-inductance $L$ et l'intensité $i$ du courant la traversant est $e =$ $- L \frac{d i}{d t}$ $($ égale à l'opposé de la tension $u$ à ses bornes en convention récepteur $)$ .

[C.I.-17] 17,0 ^17,1 et ^17,2 Conditions Initiales.

[abus_notation_x.-18] 18,0 ^18,1 et ^18,2 Même si elle n'est pas égale à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état mais $\propto$ avec un cœfficient de proportionnalité positif.

[cas_où_x._ne_serait_pas_la_dérivée_de_x-19] 19,0 et ^19,1 Dans le cas où la variable de modification d'état serait $\propto$ à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état, le cœfficient de proportionnalité est supposé positif $($ ce qui est le cas le plus fréquent $)$ .

[indirect-20] 20,0 et ^20,1 Ou sens anti-trigonométrique ou sens horaire ou encore sens rétrograde, le contraire étant sens direct, ou sens antihoraire ou encore sens prograde.

[cas_le_plus_fréquent-21] 21,0 et ^21,1 Nous nous plaçons dans le cas le plus fréquent où il y a un amortissement mais, le cas où il y aurait un apport énergétique régulier permettant que la spirale s'écarte de plus en plus d'un point de l'axe des abscisses est bien sûr possible.

[22] C.-à-d. le fait que le régime libre s'amortisse.

[23] En effet « si $x ↗$ quand $t ↗$ », après l'inversion du temps $\Rightarrow$ $t^{'} = - t$ , « $x ↗$ quand $t^{'} ↘$ $\Leftrightarrow$ $x ↘$ quand $t^{'} ↗$ ».

[24] Une démonstration adaptée consiste à introduire la notion de diagrammes d'énergie mécanique et potentielle, ce qui nécessite de préciser la cause du mouvement de $M$ $[$ voir par exemple les paragraphes « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée » et « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du pendule élastique horizontal par diagramme énergétique » du chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .

[période,_comparaison_des_durées_d'alternance-25] 25,0 et ^25,1 Une démonstration adaptée consiste à utiliser successivement l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement du point et la notion de diagrammes d'énergie mécanique et potentielle, ce qui nécessite de préciser la cause du mouvement de $M$ $[$ voir par exemple le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement du pendule élastique horizontal en utilisant l'intégrale 1^ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique M puis expression de la période sous forme intégrale » du chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Portrait de phase d'un système dynamique

Sommaire

Notion (très succincte) de système dynamique

Espace des phases d'un système dynamique classique

Notion de variables d'état d'un système dynamique classique

La position peut-elle être choisie comme unique variable d'état d'un système dynamique classique à un degré de liberté ?

Variables d'état (ou dynamiques) d'un système dynamique classique

Définition de l'espace des phases d'un système dynamique classique

Espace des phases d'un système dynamique classique à un degré de liberté

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté, espace des phases correspondant

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté

Espace des phases sur les exemples précédents de système dynamique classique à un degré de liberté

Portrait de phase d'un système dynamique classique

Définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté

Liens entre portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté et l'évolution de ce dernier

Évolution du système dynamique classique à un degré de liberté à partir d'un point d'un de ses portraits de phase hors axe des x

Portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté dont l'évolution est décrite par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en x

Conséquence de l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des x des portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté sur l'évolution de ce système

Notes et références

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Notion (très succincte) de système dynamique

Espace des phases d'un système dynamique classique

Notion de variables d'état d'un système dynamique classique

La position peut-elle être choisie comme unique variable d'état d'un système dynamique classique à un degré de liberté ?

Variables d'état (ou dynamiques) d'un système dynamique classique

Définition de l'espace des phases d'un système dynamique classique

Espace des phases d'un système dynamique classique à un degré de liberté

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté, espace des phases correspondant

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté

Espace des phases sur les exemples précédents de système dynamique classique à un degré de liberté

Portrait de phase d'un système dynamique classique

Définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté

Liens entre portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté et l'évolution de ce dernier

Évolution du système dynamique classique à un degré de liberté à partir d'un point d'un de ses portraits de phase hors axe des x

Portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté dont l'évolution est décrite par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en x

Conséquence de l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des x des portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté sur l'évolution de ce système

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