Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles

Définition d'une équation différentielle ordinaire

Modèle:AlOn se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle $f$ de la variable réelle $x$. Modèle:Définition

Équation différentielle non linéaire

Modèle:AlLa fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :

• élevées à une certaine puissance c.-à-d. ${[f(x)]}^{p_0}$, ${[f^{\prime }(x)]}^{p_1}$, ${[f^{″}(x)]}^{p_2}$ avec $p_0,p_1,p_2\in \mathbb{Q}$ ou
• multipliées entre elles c.-à-d. $[f(x)][f^{\prime }(x)]$, $[f(x)][f^{″}(x)]$, $[f^{\prime }(x)][f^{″}(x)]$ $\dots$

Modèle:AlSi tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.

Équation différentielle linéaire

Modèle:AlSi la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est linéaire et se présente sous la forme :

$a_2(x)f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=d(x)$

où

$d,a_0,a_1\text{et}{a}_2$

sont des fonctions de

$x$

, l'équation différentielle étant d'ordre deux si

$a_2\ne 0$ $[$

dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par

$a_2(x)$

de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit

$1$

, l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »

$]$

. 

Modèle:Al$d(x)$ est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :

• hétérogène dans la mesure où $d(x)\ne 0$ et
• homogène si $d(x)=0$.

Modèle:AlRemarques : Si $a_2=0$, le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si $a_1\ne 0$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentsi $a_2\ne 0$ avec $a_0=0$, il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en $f$ mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en $f^{\prime }$ dans la mesure où $a_1\ne 0$ puisque s'écrivant $a_2(x)f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)=d(x)$.

Équation différentielle linéaire à coefficients constants

Modèle:AlUne équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de

$f(x),f^{\prime }(x),f^{″}(x)$

sont des constantes et non des fonctions de

$x$

 ; elle se présente sous la forme :

$a_2{f}^{″}(x)+a_1{f}^{\prime }(x)+a_{0}f(x)=d(x)$

où

$d(x)$

est encore une fonction de

$x$

,

$a_0,a_1\text{et}{a}_2$

étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :

• d'ordre deux en $f$ dans la mesure où $a_2\ne 0$,
• homogène si $d(x)=0$ » et
• sinon, hétérogène.

Modèle:AlNormalisation de l'équation différentielle :
Modèle:AlLa forme normalisée de l'équation différentielle du 2^ème ordre en

$f$ $[$

obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par

$a_2\ne 0]$

s'écrit :

$f^{″}(x)+b{f}^{\prime }(x)+cf(x)=e(x)$
 en posant $b=\frac{a_1}{a_2}$, $c=\frac{a_0}{a_2}$ ainsi que $e(x)=\frac{d(x)}{a_2}$ et

Modèle:Alla forme normalisée de l'équation différentielle du 1^er ordre en

$f$ $[$

obtenue en supposant

$a_2=0$

et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par

$a_1\ne 0]$

s'écrit :

$f^{\prime }(x)+kf(x)=e(x)$
 en posant $k=\frac{a_0}{a_1}$ ainsi que $e(x)=\frac{d(x)}{a_1}$.

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogène

Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriques

Modèle:AlTous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c.-à-d. qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble »  ;

Modèle:Altous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c.-à-d. qu'il suffit de deux vecteurs de base  pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme C.L. des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants  de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble » .

Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogène

Modèle:AlL'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et
Modèle:Alcelui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions »  ;

Modèle:Alil suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver :

• une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $[$c.-à-d. les multiples de la solution particulière$]$ ou,
• deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $[$c.-à-d. les Modèle:Nobr des deux solutions particulières indépendantes$]$.

Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène

Modèle:AlOn cherche une solution du type $\exp (sx)$ car ses dérivées première $s\exp (sx)$ et seconde $s^2\exp (sx)$ lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1^er ou 2^ème ordre en $f(x)$ se transforme en équation algébrique du 1^er ou 2^ème degré en $s$ après simplification par $\exp (sx)$ ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène

Modèle:AlSoit

$f^{\prime }(x)+kf(x)=0$

, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant

$s+k=0$

et
Modèle:AlModèle:Transparentse résolvant en

$s=-k$

, on en déduit

la solution particulière $($c.-à-d. la base de l'ensemble des solutions$)$ $\exp (-kx)$
et par suite la « solution générale de l'équation différentielle » $f(x)=A\exp (-kx)$ où $A$ est une constante réelle arbitraire.

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre

Modèle:AlSoit $f^{″}(x)+cf(x)=0$ avec $c\in ℝ$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre ;
Modèle:AlModèle:Transparentla recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse
Modèle:AlModèle:Transparentnous obtenons l'équation caractéristique $s^2+c=0$ qui admet
Modèle:AlModèle:Transparentdeux racines réelles distincts si $c$ est $<0$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentaussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de $c$ :

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif

Modèle:AlAvec

$c<0$

, l'équation caractéristique «

$s^2+c=0$

» admettant comme racines réelles distinctes

$s_{\pm }=\pm \sqrt{-c}$

, on en déduit :

les deux solutions indépendantes de l'équation différentielle $($base de l'ensemble des solutions$)$ «$\exp (s_{\pm }x)=\exp (\pm \sqrt{-c}x)$»
et la solution générale de l'équation différentielle «$f(x)=A_{+}\exp \left(\sqrt{-c}x\right)+A_{-}\exp (-\sqrt{-c}x)$»
avec $A_{+}\text{et}{A}_{-}$ deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul

Modèle:AlAvec

$c=0$

, l'équation caractéristique «

$s^2=0$

» admettant comme racine réelle double

$s_d=0$

, on en déduit :

une seule solution particulière de l'équation différentielle sous forme exponentielle «$\exp (s_{d}x)=\exp \left(0x\right)=1$»,
ce qui est insuffisant pour en déduire la solution générale de l'équation différentielle ;
il faudrait donc trouver une 2^ème solution particulière indépendante de la 1^ère c.-à-d. non constante mais $\dots$

Modèle:AlModèle:TransparentDans le cas présent il y a plus simple, l'équation différentielle s'écrivant $f^{″}(x)=0$, il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient
Modèle:AlModèle:Transparent$f^{\prime }(x)=A$ avec $A$ constante réelle arbitraire puis
Modèle:AlModèle:Transparent$f(x)=Ax+B$ avec $B$ 2^ème constante réelle arbitraire ;

Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale de l'équation différentielle est donc «

$f(x)=Ax+B$

» avec

$A\text{et}B$

deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir

des deux solutions particulières indépendantes «$1\text{et}x$» $($base de l'ensemble des solutions$)$.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif

Modèle:AlAvec $c>0$, l'équation caractéristique $s^2+c=0$ n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle de l'équation différentielle.

Modèle:AlModèle:TransparentToutefois si on résout l'équation différentielle sur $ℂ$ au lieu de résoudre sur $ℝ$, l'ensemble des solutions complexes formant alors un espace vectoriel de dimension deux sur $ℂ$,
Modèle:AlModèle:Transparentla recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle $\Rightarrow$ l'équation caractéristique $s^2+c=0$
Modèle:AlModèle:Transparentoù $s\in ℂ$ et
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation caractéristique y admettant deux racines imaginaires conjuguées $s_{\pm }=\pm i\sqrt{c}$, on en déduit
Modèle:AlModèle:Transparentles deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle «$\exp (s_{\pm }x)=\exp (\pm i\sqrt{c}x)$» et
Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon «$f(x)={\lambda }_{+}\exp \left(i\sqrt{c}x\right)+{\lambda }_{-}\exp (-i\sqrt{c}x)$»
Modèle:AlModèle:Transparentavec ${\lambda }_{+}\text{et}{\lambda }_{-}$ deux constantes complexes arbitraires ;
Modèle:AlModèle:Transparenton peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre ${\lambda }_{+}\text{et}{\lambda }_{-}$
Modèle:AlModèle:Transparentde façon à ce que ${\lambda }_{+}\exp \left(i\sqrt{c}x\right)+{\lambda }_{-}\exp (-i\sqrt{c}x)$ soit réelle.

Modèle:AlModèle:TransparentCompte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes $\exp (s_{\pm }x)=\exp (\pm i\sqrt{c}x)$ de l'équation différentielle,
Modèle:AlModèle:Transparentil est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, «$\cos (\sqrt{c}x)$ et $\sin (\sqrt{c}x)$»Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparent$($base de l'ensemble des solutions$)$
Modèle:AlModèle:Transparentet la solution générale $($réelle$)$ de l'équation différentielle s'écrit «$f(x)=A\cos \left(\sqrt{c}x\right)+B\sin \left(\sqrt{c}x\right)$»
Modèle:AlModèle:Transparentavec $A\text{et}B$ deux constantes réelles arbitraires.

Modèle:AlRemarques : On établit que «$A\cos \left(\sqrt{c}x\right)+B\sin \left(\sqrt{c}x\right)=C\cos (\sqrt{c}x+\phi )\mathrm{\forall }x$» avec $C\text{et}\phi$ dépendant de $A\text{et}B$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten effet, posant $\left\{\begin{array}{c}A=C\cos (\phi )\\ B=-C\sin (\phi )\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $A\cos \left(\sqrt{c}x\right)+B\sin \left(\sqrt{c}x\right)=C\cos (\phi )\cos \left(\sqrt{c}x\right)-C\sin (\phi )\sin \left(\sqrt{c}x\right)=C\cos (\sqrt{c}x+\phi )$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentdu système d'équations $\left\{\begin{array}{c}A=C\cos (\phi )\\ B=-C\sin (\phi )\end{array}\right\}$ on en déduit «$\left\{\begin{array}{c}C=\sqrt{A^2+B^2}\\ \tan (\phi )=-\frac{B}{A}\end{array}\right\}$» permettant de choisir la détermination de $\phi$ suivant les signes de $A\text{et}B$ :

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$si $A\text{et}B$ sont tous deux $>0$, $\phi \in ]-\frac{\pi }{2},0[$, d'où «$\phi =-\arctan \left(\frac{B}{A}\right)$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$si $A\text{et}B$ sont tous deux $<0$, $\phi \in ]\frac{\pi }{2},\pi [$, d'où «$\phi =-\arctan \left(\frac{B}{A}\right)+\pi$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$si $A>0\text{et}B<0$, $\phi \in ]0,\frac{\pi }{2}[$, d'où «$\phi =-\arctan \left(\frac{B}{A}\right)$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$▸$si $A<0\text{et}B>0$, $\phi \in ]-\pi ,-\frac{\pi }{2}[$, d'où «$\phi =-\arctan \left(\frac{B}{A}\right)-\pi$».

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène

But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène

Modèle:AlTrouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.

Modèle:AlJustification  : soient respectivement $f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)$ et $f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$ la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent$\{\begin{array}{c}{f^{″}}_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+bf{\text{'}}_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+c{f}_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=e(x)(1)\\ {f^{″}}_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+bf{\text{'}}_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+c{f}_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=e(x)(2)\end{array}$, nous pouvons vérifier aisément en formant la différence «$(1)-(2)$» que
Modèle:AlModèle:Transparentla fonction $f(x)=f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)-f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$ est solution de la même équation différentielle mais homogène soit
Modèle:AlModèle:Transparent$(1)-(2):f^{″}(x)+b{f}^{\prime }(x)+cf(x)=0$ ;

Modèle:Alainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène  et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$» ;

Modèle:Aldans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation  et alors, on peut écrire

«$f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)$»
où «$f_{\text{libre}}(x)$ est la solution générale de l'équation homogène » et
«$f_{\text{forcée}}(x)$ la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » .

Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)

Modèle:AlLa solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène de même forme que l'excitation ;
Modèle:Alles principaux cas se présentant sont $▸$«$e(x)=cste$», recherche sous la forme $f_{\text{forcée}}=\alpha$ où $\alpha$ est une constante réelle à déterminer ;
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$«$e(x)=px+m,p\text{et}m\in ℝ$», recherche sous la forme $f_{\text{forcée}}=\alpha x+\beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles à déterminer ;
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$«$e(x)=A\exp (px),A\text{et}p\in ℝ$», recherche sous la forme $f_{\text{forcée}}=\alpha \exp (px)$ où $\alpha$ est une constante réelle à déterminer ;
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$«$e(x)=A\cos (kx+\phi ),A,k\text{et}\phi \in ℝ$», recherche sous la forme $f_{\text{forcée}}=\alpha \cos (kx+\psi )$ où $\alpha$ et $\psi$ sont des constantes réelles à déterminer ;

Modèle:Aldans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.

Premier ordre à excitation constante

Modèle:AlSoit «$f^{\prime }(x)+kf(x)=D$ où $D$ est l'excitation constante » ;

Modèle:Aldans la mesure où

$k\ne 0$

il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
Modèle:AlModèle:Transparentcar la dérivée étant identiquement nulle on obtient

$k{f}_{\text{forcée}}=D$

soit

$f_{\text{forcée}}=\frac{D}{k}$

et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit $f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}$ ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle $f_{\text{libre}}(x)=A\exp (-kx)$ avec $A$ constante arbitraire,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «$f(x)=A\exp (-kx)+\frac{D}{k}$».

Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constante

Modèle:AlSoit «$f^{″}(x)+cf(x)=D$ où $D$ est l'excitation constante » ;

Modèle:Aldans la mesure où

$c\ne 0$

il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
Modèle:AlModèle:Transparentcar la dérivée 2^nde étant identiquement nulle on obtient

$c{f}_{\text{forcée}}=D$

soit

$f_{\text{forcée}}$ $=\frac{D}{c}$

et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit $f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}$ ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle $f_{\text{libre}}(x)=\{\begin{array}{c}A\cos (\sqrt{c}x)+B\sin (\sqrt{c}x)\\ \text{ou }C\cos (\sqrt{c}x+\phi )\end{array}$ avec $A,B,C,\phi$ constantes arbitraires,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «$f(x)=\{\begin{array}{ccc}A\cos (\sqrt{c}x)+B\sin (\sqrt{c}x)& +& \frac{D}{c}\\ & \text{ou}& \\ C\cos (\sqrt{c}x+\phi )& +& \frac{D}{c}\end{array}$».

Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre

Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normalisée

Modèle:AlLa forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre avec terme du 1^er ordre en

$f(x)$

correspondant au cœfficient de la dérivée 2^nde égal à

$1$

s'écrit

«$f^{″}(x)+b{f}^{\prime }(x)+cf(x)=e(x)$» où
«$b$ et $c$ sont des réels non nuls » et
«$e(x)$ une fonction réelle » appelée « excitation ».

Modèle:AlSi $e(x)=0\mathrm{\forall }x$ l'équation est dite homogène et

Modèle:Alsi $\mathrm{\exists }{x}_0$ tel que $e(x_0)\ne 0$ l'équation est dite hétérogène.

Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x)

Modèle:AlNous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que

Modèle:Alla solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène  et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$» ;

Modèle:Aldans quasiment tous les cas il existe une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation  et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit

«$f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)$»
où «$f_{\text{libre}}(x)$ est la solution générale de l'équation homogène » et
«$f_{\text{forcée}}(x)$ la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » .

Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

Modèle:AlOn cherche donc à résoudre $f^{″}(x)+b{f}^{\prime }(x)+cf(x)=0$ avec $b$ et $c$ des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène » plus haut dans ce chapitre à savoir

Modèle:Alchercher des solutions du type $\exp (sx)$ car ses dérivées 1^ère $s\exp (sx)$ et 2^nde $s^2\exp (sx)$ lui étant $\propto$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $f(x)$ se transforme en équation algébrique du 2^ème degré en $s$ après simplification par $\exp (sx)$, l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

Modèle:AlAppliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2^ème degré en la variable algébrique réelle

$s$

suivante

«$s^2+bs+c=0$».

Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle

Modèle:AlLa résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son « discriminant $\mathrm{\Delta }=b^2-4c$» et
Modèle:AlModèle:Transparentl'étude de son signe :

Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique

Modèle:Al« Si $\mathrm{\Delta }=b^2-4c$ est $>0$», l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes «$s_{\pm }=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}$» et

Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles s'écrit

«$f_l(x)=A_{+}\exp \left(s_{+}x\right)+A_{-}\exp \left(s_{-}x\right)$»,
$A_{+}$ et $A_{-}$ étant deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique

Modèle:Al« Si $\mathrm{\Delta }=b^2-4c$ est $=0$», l'équation caractéristique admet une solution réelle double «$s_d=\frac{-b}{2}$» et
Modèle:AlModèle:Transparenton en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle $\exp \left(s_{d}x\right)$, il faut donc chercher une 2^ème solution particulière d'une autre forme,
Modèle:AlModèle:Transparenton vérifie ci-dessous que $x\exp \left(s_{d}x\right)$ convient ;

Modèle:AlModèle:Transparentvérification : si $f_{\text{part}}(x)=x\exp \left(\frac{-b}{2}x\right)$, la dérivée 1^ère vaut ${f^{\prime }}_{\text{part}}(x)=\exp \left(\frac{-b}{2}x\right)+x\left(\frac{-b}{2}\right)\exp \left(\frac{-b}{2}x\right)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentla dérivée 2^nde Modèle:Transparent${f^{″}}_{\text{part}}(x)=-2\left(\frac{-b}{2}\right)\exp \left(\frac{-b}{2}x\right)+x{\left(\frac{-b}{2}\right)}^2\exp \left(\frac{-b}{2}x\right)$,
Modèle:AlModèle:Transparentformant alors la C.L. du 1^er membre de l'équation différentielle, on trouve $0$
Modèle:AlModèle:Transparentce qui prouve que $x\exp \left(\frac{-b}{2}x\right)$ est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;

Modèle:Alla solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières «

$\exp \left(s_{d}x\right)$

et

$x\exp \left(s_{d}x\right)$

» s'écrit

«$f_l(x)=(A+Bx)\exp \left(s_{d}x\right)$»,
$A$ et $B$ étant deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique

Modèle:Al« Si $\mathrm{\Delta }=b^2-4c$ est $<0$», l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle,
Modèle:AlModèle:Transparentil faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais $\dots$
Modèle:AlModèle:Transparentnous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :

Modèle:AlModèle:Transparentsi cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentil y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle
Modèle:AlModèle:Transparentservant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes,
Modèle:AlModèle:Transparentles deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ;
Modèle:AlModèle:Transparentà partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que
Modèle:AlModèle:Transparentla partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle,
Modèle:AlModèle:Transparentce qui, donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels,
Modèle:AlModèle:Transparentlaissera uniquement deux cœfficients générateurs réels $\dots$

Modèle:AlRésolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène :
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes «$\underset{\_}{s_{\pm }}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{\_}{f_l}(x)=\underset{\_}{A_{+}}\exp \left(\underset{\_}{s_{+}}x\right)+\underset{\_}{A_{-}}\exp \left(\underset{\_}{s_{-}}x\right)=\underset{\_}{A_{+}}\exp \left(\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)+\underset{\_}{A_{-}}\exp \left(\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{\_}{A_{+}}$ et $\underset{\_}{A_{-}}$ étant deux constantes complexes arbitraires.

Modèle:AlDétermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe :
Modèle:AlModèle:Transparentil faut écrire que la partie imaginaire de $\underset{\_}{f_l}(x)$ est identiquement nulle et pour cela
Modèle:AlModèle:Transparentnous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique $\underset{\_}{A_{+}}=A_{+}\exp \left(i{\phi }_{+}\right)$ et $\underset{\_}{A_{-}}=A_{-}\exp \left(i{\phi }_{-}\right)$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparentréécriture de $\underset{\_}{f_l}(x)$ selon «$\underset{\_}{f_l}(x)=\exp (-\frac{b}{2}x)\{A_{+}\exp \left[i(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x+{\phi }_{+})\right]+A_{-}\exp [-i(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x-{\phi }_{-})]\}$»
Modèle:AlModèle:Transparentde partie imaginaire $\mathrm{\Im }[\underset{\_}{f_l}(x)]=\exp (-\frac{b}{2}x)[A_{+}\sin (\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x+{\phi }_{+})-A_{-}\sin (\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x-{\phi }_{-})]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentla nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout $x$ si la nullité du terme entre crochets l'est et pour cela on décompose les sinus
Modèle:AlModèle:Transparentà l'aide des formules de trigonométrie $\left\{\begin{array}{c}\sin (\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x+{\phi }_{+})=\sin \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)\cos \left({\phi }_{+}\right)+\sin \left({\phi }_{+}\right)\cos \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)\\ \sin (\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x-{\phi }_{-})=\sin \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)\cos \left({\phi }_{-}\right)-\sin \left({\phi }_{-}\right)\cos \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)\end{array}\right\}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla réécriture du terme entre crochets $\mathrm{\Im }[\underset{\_}{f_l}(x)]\exp \left(\frac{b}{2}x\right)=$
Modèle:AlModèle:Transparent$[A_{+}\cos \left({\phi }_{+}\right)-A_{-}\cos \left({\phi }_{-}\right)]\sin \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)+[A_{+}\sin \left({\phi }_{+}\right)+A_{-}\sin \left({\phi }_{-}\right)]\cos \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)$ dont
Modèle:AlModèle:Transparentla nullité $\mathrm{\forall }x$ $\Rightarrow$ la nullité simultanée des cœfficients de $\sin \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)$ et de $\cos \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)$ «$\left\{\begin{array}{c}{A}_{+}\cos \left({\phi }_{+}\right)=A_{-}\cos \left({\phi }_{-}\right)\\ A_{+}\sin \left({\phi }_{+}\right)=-A_{-}\sin \left({\phi }_{-}\right)\end{array}\right\}$» soit
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$en faisant la somme membre à membre des carrés $A_{+}^2=A_{-}^2$ ou, les modules étant nécessairement positifs, «$A_{+}=A_{-}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$«$A_{+}=A_{-}$» $\Rightarrow$ les arguments ${\phi }_{+}$ et ${\phi }_{-}$ suivent $\left\{\begin{array}{c}\cos \left({\phi }_{+}\right)=\cos \left({\phi }_{-}\right)\\ \sin \left({\phi }_{+}\right)=-\sin \left({\phi }_{-}\right)\end{array}\right\}$ réalisés pour «${\phi }_{-}=-{\phi }_{+}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale libre complexe est réelle ssi les cœfficients générateurs $\underset{\_}{A_{+}}$ et $\underset{\_}{A_{-}}$ sont conjugués l'un de l'autre «$\underset{\_}{A_{-}}={\left[\underset{\_}{A_{+}}\right]}^{*}$», d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale libre réelle $f_l(x)=$ à la partie réelle de la solution générale libre complexe $\mathrm{\Re }[\underset{\_}{f_l}(x)]$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_l(x)=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{f_l}(x)]=\exp (-\frac{b}{2}x)[A_{+}\cos (\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x+{\phi }_{+})+A_{-}\cos (\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x-{\phi }_{-})]$» ou encore,
Modèle:AlModèle:Transparentavec $\underset{\_}{A_{-}}={\left[\underset{\_}{A_{+}}\right]}^{*}$ $\iff$ $\left\{\begin{array}{c}{A}_{+}=A_{-}\\ {\phi }_{+}=-{\phi }_{-}\end{array}\right\}$, «$f_l(x)=2A_{+}\exp (-\frac{b}{2}x)\cos (\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x+{\phi }_{+})$».

Modèle:AlForme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si$\mathrm{\Delta }$est$<0$ : «$f_l(x)=A\exp (-\frac{b}{2}x)\cos (\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x+\phi )$» avec «$A$ et $\phi$ constantes réelles arbitraires ».

Modèle:AlAutre forme$($moins utilisée$)$de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si$\mathrm{\Delta }$est$<0$ : «$f_l(x)=\exp (-\frac{b}{2}x)[A^{\prime }\cos \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)+B^{\prime }\sin \left(\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2}x\right)]$»
Modèle:AlModèle:Transparentavec «$A^{\prime }$ et $B^{\prime }$ constantes réelles arbitraires ».

Modèle:AlRemarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en f(x) sans terme du 1^er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c.-à-d. $b\to 0$ $\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }\to -4c$ d'où $\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}\to \sqrt{c}$.

Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

Modèle:AlSoit «$f^{″}(x)+b{f}^{\prime }(x)+cf(x)=D$ où $D$ est l'excitation constante » ;

Modèle:Aldans la mesure où $c\ne 0$, il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
Modèle:AlModèle:Transparentcar les dérivées 2^nde et 1^ère étant identiquement nulles on obtient $c{f}_f=D$ soit «$f_f=\frac{D}{c}$».

Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

Modèle:AlDans la mesure où $c\ne 0$, nous avons vu au paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » plus haut dans ce chapitre, qu'il existe toujours une solution forcée égale à $f_f=\frac{D}{c}$ et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit «$f(x)=f_l(x)+f_f=f_l(x)+\frac{D}{c}$» dans laquelle $f_l(x)$ est
Modèle:AlModèle:Transparentla solution libre de l'équation différentielle prenant, suivant le signe du discriminant $\mathrm{\Delta }=b^2-4c$ de l'équation caractéristique $s^2+bs+c=0$,
Modèle:AlModèle:Transparentla forme $▸$apériodique,
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$apériodique critique ou
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$pseudo-périodique
Modèle:AlModèle:Transparent$\dots$

Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdale

Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale

Modèle:AlOn cherche la solution forcée sinusoïdale $($quand elle existe$)$ de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1^er ou du 2^ème ordre en $f(x)$
Modèle:AlModèle:Transparentd'excitation sinusoïdale c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentde l'équation différentielle en $f(x)$ suivante $\bullet$$f^{\prime }(x)+kf(x)=e(x)$, $k\in {ℝ}^{*}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$$f^{″}(x)+b{f}^{\prime }(x)+cf(x)=e(x)$, $b\in ℝ$ et $c\in {ℝ}^{*}$,
Modèle:AlModèle:Transparent$e(x)$ étant l'excitation sinusoïdale de fréquence $\sigma$ et d'amplitude $E_m$, toutes deux fixées, et
Modèle:AlModèle:Transparenton cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence $\sigma$.

Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

Modèle:AlSupposons que l'excitation s'écrive $e_1(x)=E_m\cos (2\pi \sigma x+{\phi }_e)$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $($quand elle existe$)$ sous la forme $f_{f,1}(x)=A_m\cos (2\pi \sigma x+\psi )$
Modèle:AlModèle:Transparentdans laquelle $A_m$ et $\psi$ sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle,
Modèle:AlModèle:Transparentde la fréquence commune $\sigma$, de l'amplitude $E_m$ et de la phase à l'origine ${\phi }_e$ de l'excitation,
Modèle:AlModèle:Transparentce 1^er problème étant noté $(1)$ ;

Modèle:Alsupposons maintenant que l'excitation s'écrive $e_2(x)=E_m\sin (2\pi \sigma x+{\phi }_e)$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $($quand elle existe$)$ selon $f_{f,2}(x)=A_m\sin (2\pi \sigma x+\psi )$
Modèle:AlModèle:Transparentavec les mêmes valeurs $A_m$ et $\psi$ que dans le 1^er problème précédent,
Modèle:AlModèle:Transparentce 2^ème problème étant noté $(2)$ ;

Modèle:Alainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $($quand elle existe$)$ d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale
Modèle:AlModèle:Transparentsuivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$pour une équation du 1^er ordre $\left\{\begin{array}{c}\frac{d{f}_{f,1}}{dx}(x)+k{f}_{f,1}(x)=e_1(x)=E_m\cos (2\pi \sigma x+{\phi }_e)\left(1\right)\\ \frac{d{f}_{f,2}}{dx}(x)+k{f}_{f,2}(x)=e_2(x)=E_m\sin (2\pi \sigma x+{\phi }_e)\left(2\right)\end{array}\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparentavec recherche de solution forcée selon $\left\{\begin{array}{c}{f}_{f,1}(x)=A_m\cos (2\pi \sigma x+\psi )\text{ sol. forcée de }\left(1\right)\\ f_{f,2}(x)=A_m\sin (2\pi \sigma x+\psi )\text{ sol. forcée de }\left(2\right)\end{array}\right\}$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$pour une équation du 2^ème ordre $\left\{\begin{array}{c}\frac{d^2{f}_{f,1}}{d{x}^2}(x)+b\frac{d{f}_{f,1}}{dx}(x)+c{f}_{f,1}(x)=e_1(x)=E_m\cos (2\pi \sigma x+{\phi }_e)\left(1\right)\\ \frac{d^2{f}_{f,2}}{d{x}^2}(x)+b\frac{d{f}_{f,2}}{dx}(x)+c{f}_{f,2}(x)=e_2(x)=E_m\sin (2\pi \sigma x+{\phi }_e)\left(2\right)\end{array}\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparentavec recherche de solution forcée selon $\left\{\begin{array}{c}{f}_{f,1}(x)=A_m\cos (2\pi \sigma x+\psi )\text{ sol. forcée de }\left(1\right)\\ f_{f,2}(x)=A_m\sin (2\pi \sigma x+\psi )\text{ sol. forcée de }\left(2\right)\end{array}\right\}$.

Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

Modèle:AlFormant l'« équation différentielle $\left(1^{\prime }\right)=\left(1\right)+i\left(2\right)$» et introduisant l'« excitation instantanée complexe par même C.L. $\underset{\_}{e}(x)=e_1(x)+i{e}_2(x)=E_m\exp \left[i(2\pi \sigma x+{\phi }_e)\right]$» ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentla « réponse forcée instantanée complexe selon même C.L. $\underset{\_}{f_f}(x)=f_{f,1}(x)+i{f}_{f,2}(x)=A_m\exp \left[i(2\pi \sigma x+\psi )\right]$»,
Modèle:AlModèle:Transparentnous obtenons une équation différentielle $\left(1^{\prime }\right)$ linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe $\underset{\_}{f}(x)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentd'excitation complexe $\underset{\_}{e}(x)$
Modèle:AlModèle:Transparents'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée $\underset{\_}{f_f}(x)$ et dont
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la partie réelle est l'équation différentielle $\left(1\right)$ d'excitation $e_1(x)=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{e}(x)]$,
Modèle:AlModèle:Transparentde solution forcée sinusoïdale $($dans la mesure où elle existe$)$ $f_{f,1}(x)=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{f_f}(x)]$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la partie imaginaire est l'équation différentielle $\left(2\right)$ d'excitation $e_2(x)=\mathrm{\Im }[\underset{\_}{e}(x)]$,
Modèle:AlModèle:Transparentde solution forcée sinusoïdale $($dans la mesure où elle existe$)$ $f_{f,2}(x)=\mathrm{\Im }[\underset{\_}{f_f}(x)]$.

Modèle:AlRemarque : une fois obtenue la solution forcée complexe $\underset{\_}{f_f}(x)$ $($quand celle-ci existe$)$ à partir de l'équation différentielle $\left(1^{\prime }\right)$, nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème $\left(1\right)$ et la partie imaginaire pour le problème $\left(2\right)$ $\dots$ mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.

Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associées

Modèle:AlLa « grandeur instantanée complexe » $\underset{\_}{s}(x)$ associée à la fonction $s(x)=\left\{\begin{array}{c}A\cos (2\pi \sigma x+\phi )\\ \text{ou}\\ A\sin (2\pi \sigma x+\phi )\end{array}\right\}$ est la fonction à valeurs complexes de la variable $x$ dont
Modèle:AlModèle:Transparent«$s(x)=A\cos (2\pi \sigma x+\phi )$ est la partie réelle $s(x)=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{s}(x)]$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$s(x)=A\sin (2\pi \sigma x+\phi )$ Modèle:Transparent la partie imaginaire $s(x)=\mathrm{\Im }[\underset{\_}{s}(x)]$» ; ainsi
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{\_}{s}(x)=A\exp \left[i(2\pi \sigma x+\phi )\right]$ est telle que $s(x)=\left\{\begin{array}{c}A\cos (2\pi \sigma x+\phi )=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{s}(x)]\\ \text{ou}\\ A\sin (2\pi \sigma x+\phi )=\mathrm{\Im }[\underset{\_}{s}(x)]\end{array}\right\}$».

Modèle:AlOn définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur $\underset{\_}{A}$ telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive $\underset{\_}{s}(x)=\underset{\_}{A}\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentl'« amplitude complexe » est donc égale à «$\underset{\_}{A}=A\exp \left(i\phi \right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparentson module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «$|\underset{\_}{A}|=A$» et
Modèle:AlModèle:Transparentson argument Modèle:Transparentà la phase à l'origine de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(\underset{\_}{A}\right)=\phi$» ;

Modèle:Alconséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentà celle de la fonction sinusoïdale de la variable $x$ à condition de connaître la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou
Modèle:AlModèle:Transparent« sinusoïdale ».

Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable x

Modèle:AlLa simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes
Modèle:AlModèle:Transparentprovient du fait que $\bullet$la dérivation 1^ère par rapport à $x$ de $\underset{\_}{f_f}(x)=\underset{\_}{A_m}\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$ est équivalente à une « multiplication de $\underset{\_}{f_f}(x)$ par $i\left(2\pi \sigma \right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la dérivation 2^ème par rapport à $x$ de $\underset{\_}{f_f}(x)=\underset{\_}{A_m}\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$ est équivalente à une « multiplication de $\underset{\_}{f_f}(x)$ par ${\left[i\left(2\pi \sigma \right)\right]}^2=-{\left(2\pi \sigma \right)}^2$» $\dots$

Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1')

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1^er ordre

Modèle:AlL'équation différentielle $(1^{\prime })$ s'écrivant «$\frac{d\underset{\_}{f}}{dx}(x)+k\underset{\_}{f}(x)=\underset{\_}{e}(x)$» avec «$\underset{\_}{e}(x)=\underset{\_}{E_m}\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{\_}{e}(x)=\underset{\_}{E_m}\exp \left(i{k}_{\text{puls}}x\right)$» en introduisant la pulsation $($spatiale$)$ $k_{\text{puls}}=2\pi \sigma$ de l'excitation,
Modèle:AlModèle:Transparentla solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\underset{\_}{f_f}(x)=\underset{\_}{A_m}\exp \left(i{k}_{\text{puls}}x\right)$,
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation $(1^{\prime })$ de recherche de cette solution se réécrit «$i{k}_{\text{puls}}\underset{\_}{f_f}(x)+k\underset{\_}{f_f}(x)=\underset{\_}{e}(x)$» ou, en explicitant $\underset{\_}{f_f}(x)$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$[i{k}_{\text{puls}}+k]\underset{\_}{A_m}\exp \left(i{k}_{\text{puls}}x\right)=\underset{\_}{E_m}\exp \left(i{k}_{\text{puls}}x\right)$» soit, en simplifiant par $\exp \left(i{k}_{\text{puls}}x\right)$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$[i{k}_{\text{puls}}+k]\underset{\_}{A_m}=\underset{\_}{E}$» $($indépendante de la variable $x)$ établissant l'existence de la solution forcée complexe
Modèle:AlModèle:Transparentdans la mesure où $i{k}_{\text{puls}}+k$ ne peut pas s'annuler
Modèle:AlModèle:Transparentcorrespondant à une amplitude complexe «$\underset{\_}{A_m}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{k+i{k}_{\text{puls}}}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{k+i2\pi \sigma }$» et
Modèle:AlModèle:Transparentà la solution forcée complexe «$\underset{\_}{f_f}(x)=\frac{\underset{\_}{E}}{k+i{k}_{\text{puls}}}\exp \left(i{k}_{\text{puls}}x\right)=\frac{\underset{\_}{E_m}}{k+i2\pi \sigma }\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$».

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2^ème ordre

Modèle:AlL'équation différentielle $(1^{\prime })$ s'écrivant «$\frac{d^2\underset{\_}{f}}{d{x}^2}(x)+b\frac{d\underset{\_}{f}}{dx}(x)+c\underset{\_}{f}(x)=\underset{\_}{e}(x)$» avec «$\underset{\_}{e}(x)=\underset{\_}{E_m}\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{\_}{e}(x)=\underset{\_}{E_m}\exp \left(ikx\right)$» en introduisant la pulsation $($spatiale$)$ $k=2\pi \sigma$ de l'excitation,
Modèle:AlModèle:Transparentla solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\underset{\_}{f_f}(x)=\underset{\_}{A_m}\exp \left(ikx\right)$, $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation $(1^{\prime })$ de recherche de cette solution «$-k^2\underset{\_}{f_f}(x)+bik\underset{\_}{f_f}(x)+c\underset{\_}{f_f}(x)=\underset{\_}{e}(x)$» ou, en explicitant $\underset{\_}{f_f}(x)$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$[-k^2+ibk+c]\underset{\_}{A_m}\exp \left(ikx\right)=\underset{\_}{E_m}\exp \left(ikx\right)$» soit, en simplifiant par $\exp \left(ikx\right)$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$[-k^2+ibk+c]\underset{\_}{A_m}=\underset{\_}{E_m}$» $($indépendante de la variable $x)$ établissant l'inexistence de solution forcée complexe
Modèle:AlModèle:Transparent« si $b=0$ et $c>0$» pour
Modèle:AlModèle:Transparentune pulsation $($spatiale$)$ $k=\sqrt{c}$
Modèle:AlModèle:Transparent$[\underset{\_}{A_m}$ y serait de module $\mathrm{\infty }]$ mais
Modèle:AlModèle:Transparentétablissant l'existence de la solution forcée complexe
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« si $b\ne 0$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« si $b=0$ et $c<0$» ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« si $b=0$ et $c>0$» pour une
Modèle:AlModèle:Transparentpulsation $($spatiale$)$ $k\ne \sqrt{c}$,
Modèle:AlModèle:Transparentcorrespondant à une amplitude complexe «$\underset{\_}{A_m}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{(c-k^2)+ibk}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{[c-{\left(2\pi \sigma \right)}^2]+ib2\pi \sigma }$» et
Modèle:AlModèle:Transparentà la solution forcée complexe «$\underset{\_}{f_f}(x)=\frac{\underset{\_}{E_m}}{(c-k^2)+ibk}\exp \left(ikx\right)=\frac{\underset{\_}{E_m}}{[c-{\left(2\pi \sigma \right)}^2]+ib2\pi \sigma }\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$».

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du n^ème ordre avec n entier naturel non nul

Modèle:AlL'équation différentielle $(1^{\prime })$ s'écrivant «$\frac{d^n\underset{\_}{f}}{d{x}^n}(x)+{a^{\prime }}_{n-1}\frac{d^{n-1}\underset{\_}{f}}{d{x}^{n-1}}(x)+\cdots +{a^{\prime }}_i\frac{d^i\underset{\_}{f}}{d{x}^i}(x)+\cdots +{a^{\prime }}_0\underset{\_}{f}(x)=\underset{\_}{e}(x)$» avec «$\underset{\_}{e}(x)=\underset{\_}{E_m}\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{\_}{e}(x)=\underset{\_}{E_m}\exp \left(ikx\right)$» en introduisant la pulsation $($spatiale$)$
Modèle:AlModèle:Transparent$k=2\pi \sigma$ de l'excitation,
Modèle:AlModèle:Transparentla solution forcée complexe étant cherchée sous la forme
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{\_}{f_f}(x)=\underset{\_}{A_m}\exp \left(ikx\right)$,
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation $(1^{\prime })$ de recherche de cette solution se réécrit, en « remplaçant $\frac{d^i\underset{\_}{f}}{d{x}^i}(x)$ par ${\left(ik\right)}^i\underset{\_}{f_f}(x)$» et en factorisant le 1^er membre par $\underset{\_}{f_f}(x)$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$[{\left(ik\right)}^n+{a^{\prime }}_{n-1}{\left(ik\right)}^{n-1}+\cdots +{a^{\prime }}_i{\left(ik\right)}^i+\cdots +{a^{\prime }}_0]\underset{\_}{f_f}(x)=\underset{\_}{e}(x)$» ou, en explicitant $\underset{\_}{f_f}(x)$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$[{\left(ik\right)}^n+{a^{\prime }}_{n-1}{\left(ik\right)}^{n-1}+\cdots +{a^{\prime }}_i{\left(ik\right)}^i+\cdots +{a^{\prime }}_0]\underset{\_}{A_m}\exp \left(ikx\right)=\underset{\_}{E_m}\exp \left(ikx\right)$» soit,
Modèle:AlModèle:Transparenten simplifiant par $\exp \left(ikx\right)$, «$[{\left(ik\right)}^n+{a^{\prime }}_{n-1}{\left(ik\right)}^{n-1}+\cdots +{a^{\prime }}_i{\left(ik\right)}^i+\cdots +{a^{\prime }}_0]\underset{\_}{A_m}=\underset{\_}{E_m}$»
Modèle:AlModèle:Transparent$($indépendante de la variable $x)$ ou encore,
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinissant le « polynôme caractéristique de cette équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'ordre $n$» selon
Modèle:AlModèle:Transparent«${𝒫}_n\left(ik\right)={\left(ik\right)}^n+{a^{\prime }}_{n-1}{\left(ik\right)}^{n-1}+\cdots +{a^{\prime }}_i{\left(ik\right)}^i+\cdots +{a^{\prime }}_0$», l'équation $(1^{\prime })$ de recherche de $\underset{\_}{A_m}$ se réécrit,
Modèle:AlModèle:Transparent«${𝒫}_n\left(ik\right)\underset{\_}{A_m}=\underset{\_}{E_m}$» $($indépendante de la variable $x)$ établissant l'inexistence de solution forcée complexe pour
Modèle:AlModèle:Transparentles valeurs de pulsation $($spatiale$)$ $k$
Modèle:AlModèle:Transparenttelles que ${𝒫}_n\left(ik\right)=0$ $[\underset{\_}{A_m}$ y serait de
Modèle:AlModèle:Transparentmodule $\mathrm{\infty }]$ mais
Modèle:AlModèle:Transparentétablissant l'existence de la solution forcée complexe pour
Modèle:AlModèle:Transparentles valeurs de pulsation $($spatiale$)$ $k$
Modèle:AlModèle:Transparenttelles que ${𝒫}_n\left(ik\right)\ne 0$
Modèle:AlModèle:Transparentcorrespondant à une amplitude complexe «$\underset{\_}{A_m}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{{𝒫}_n\left(ik\right)}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{{𝒫}_n\left(i2\pi \sigma \right)}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentà la solution forcée complexe «$\underset{\_}{f_f}(x)=\frac{\underset{\_}{E_m}}{{𝒫}_n\left(ik\right)}\exp \left(ikx\right)=\frac{\underset{\_}{E_m}}{{𝒫}_n\left(i2\pi \sigma \right)}\exp \left[i\left(2\pi \sigma x\right)\right]$».

Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) à partir de l'amplitude complexe de la réponse forcée complexe

Modèle:AlCompte-tenu de la définition de l'amplitude complexe $\underset{\_}{A_m}=A_m\exp \left(i\psi \right)$ on en déduit «$\left\{\begin{array}{c}{A}_m=|\underset{\_}{A_m}|\\ \psi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[\underset{\_}{A_m}\right]\end{array}\right\}$».

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 1^er ordre

Modèle:AlAyant introduit la pulsation $($spatiale$)$ $k_{\text{puls}}=2\pi \sigma$ et
Modèle:AlModèle:Transparenttrouvé, pour toutes valeurs de celle-ci, une valeur d'amplitude complexe «$\underset{\_}{A_m}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{k+i{k}_{\text{puls}}}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{k+i2\pi \sigma }$»
Modèle:Alon en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $▸$son amplitude «$A_m=|\underset{\_}{A_m}|=\frac{E_m}{\sqrt{k^2+k_{\text{puls}}^2}}=\frac{E_m}{\sqrt{k^2+4{\pi }^2{\sigma }^2}}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$sa phase à l'origine «$\psi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[\underset{\_}{A_m}\right]={\phi }_e-\arctan \left[\frac{k_{\text{puls}}}{k}\right]={\phi }_e-\arctan \left[\frac{2\pi \sigma }{k}\right]$».

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 2^ème ordre

Modèle:AlAyant introduit la pulsation $($spatiale$)$ $k=2\pi \sigma$ et
Modèle:AlModèle:Transparenttrouvé, pour toutes valeurs de celle-ci quand $\left\{\begin{array}{c}b\ne 0\\ b=0& \text{avec}& c<0\\ b=0& \text{avec}& c>0& \text{et}& k\ne \sqrt{c}\end{array}\right\}$, une valeur d'amplitude complexe «$\underset{\_}{A_m}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{(c-k^2)+ibk}=\frac{\underset{\_}{E_m}}{[c-{\left(2\pi \sigma \right)}^2]+ib2\pi \sigma }$»
Modèle:Alon en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $▸$son amplitude «$A_m=|\underset{\_}{A_m}|=\frac{E_m}{\sqrt{{(c-k^2)}^2+b^2{k}^2}}=\frac{E_m}{\sqrt{{(c-4{\pi }^2{\sigma }^2)}^2+b^{2}4{\pi }^2{\sigma }^2}}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$sa phase à l'origine «$\psi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[\underset{\_}{A_m}\right]={\phi }_e-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[(c-k^2)+ibk]={\phi }_e-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left\{ibk[1-i\frac{c-k^2}{bk}]\right\}$Modèle:, soit encore
Modèle:AlModèle:Transparent$\psi ={\phi }_e-\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(b)\frac{\pi }{2}+\arctan \left[\frac{c-k^2}{bk}\right]={\phi }_e-\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(b)\frac{\pi }{2}+\arctan \left[\frac{c-4{\pi }^2{\sigma }^2}{b2\pi \sigma }\right]$».

Expression de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) de l'équation différentielle (1) ou (2) à l'excitation sinusoïdale

Modèle:AlDans l'équation différentielle $\left(1\right)$ l'excitation ayant la forme $e(x)=E_m\cos (2\pi \sigma x+{\phi }_e)$, la réponse forcée sinusoïdale de $\left(1\right)$ à l'excitation s'écrit $f_f(x)=A_m\cos (2\pi \sigma x+\psi )$ et

Modèle:Aldans l'équation différentielle $\left(2\right)$ l'excitation ayant la forme $e(x)=E_m\sin (2\pi \sigma x+{\phi }_e)$, la réponse forcée sinusoïdale de $\left(2\right)$ à l'excitation s'écrit $f_f(x)=A_m\sin (2\pi \sigma x+\psi )$.

Cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée

Modèle:AlNous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 1^er ordre ni
Modèle:AlModèle:Transparentdu 2^ème ordre si $b\ne 0$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentil n'y a pas échec dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre où $b=0$ et $c<0$ ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparent$b=0$ et $c>0$ pour les pulsations $($spatiales$)$ de l'excitation $k\ne \sqrt{c}$ mais
Modèle:AlModèle:Transparentil y a échec dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre où $b=0$ et $c>0$ pour la pulsation $($spatiale$)$ de l'excitation valant $k_0=\sqrt{c}$
Modèle:AlModèle:Transparentà laquelle correspond le polynôme caractéristique de l'équation différentielle s'annulant ;

Modèle:Alnous nous plaçons donc dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre où $b=0$ et $c>0$, la pulsation $($spatiale$)$ de l'excitation valant $k_0=\sqrt{c}$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentsoit l'équation différentielle «$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+cf(x)=e(x)$ avec $c>0$ et $e(x)=E_m\cos (\sqrt{c}x+{\phi }_e)$» ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+k_0^{2}f(x)=e(x)$ avec $e(x)=E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)$» $($en éliminant $c>0$ au profit de $k_0=\sqrt{c})$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentcomme il n'existe pas de solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène de même forme que l'excitation,
Modèle:AlModèle:Transparentil convient donc d'en chercher une sous une autre forme et nous le ferons
Modèle:AlModèle:Transparentsous la forme «$f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha x\cos (k_{0}x+\psi )$».

Détermination directe de α et ψ

Modèle:AlNous cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre «$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+k_0^{2}f(x)=E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)$»
Modèle:AlModèle:Transparentsous la forme «$f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha x\cos (k_{0}x+\psi )$» et
Modèle:AlModèle:Transparentpour cela nous évaluons $▸$«$\frac{d{f}_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx}(x)=\alpha \cos (k_{0}x+\psi )-\alpha x{k}_0\sin (k_{0}x+\psi )$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$«$\frac{d^2{f}_{\text{part. d'équa hétéro}}}{d{x}^2}(x)=-2\alpha k_0\sin (k_{0}x+\psi )-\alpha x{k}_0^2\cos (k_{0}x+\psi )$» d'où, par report dans le 1^er membre de
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{d^2{f}_{\text{part. d'équa hétéro}}}{d{x}^2}(x)+k_0^2{f}_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=[-2\alpha k_0\sin (k_{0}x+\psi )-\cancel{\alpha x{k}_0^2\cos (k_{0}x+\psi )}]+\cancel{k_0^2\alpha x\cos (k_{0}x+\psi )}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=-2\alpha k_0\sin (k_{0}x+\psi )$» à identifier à «$E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)$» ou, l'identification suivante
Modèle:AlModèle:Transparent«$2\alpha k_0\cos (k_{0}x+\psi +\frac{\pi }{2})=E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)\mathrm{\forall }x$» $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{c}\alpha =\frac{E_m}{2k_0}\\ \psi ={\phi }_e-\frac{\pi }{2}\end{array}\right\}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre «$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+k_0^{2}f(x)=E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)$»
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\frac{E_m}{2k_0}x\cos (k_{0}x+{\phi }_e-\frac{\pi }{2})=\frac{E_m}{2k_0}x\sin (k_{0}x+{\phi }_e)$».

Détermination de α et ψ par prolongement de la méthode « des complexes »

Modèle:AlNous cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre «$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+k_0^{2}f(x)=e(x)=E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)(1)$»
Modèle:AlModèle:Transparentsous la forme «$f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha x\cos (k_{0}x+\psi )$» par prolongement de la méthode « des complexes » c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparenten introduisant l'excitation complexe $\underset{\_}{e}(x)=\underset{\_}{E_m}\exp \left(i{k}_{0}x\right)$ associée à l'excitation sinusoïdale $e(x)=E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)$,
Modèle:AlModèle:Transparentl'amplitude complexe étant $\underset{\_}{E_m}=E_m\exp \left(i{\phi }_e\right)$ et
Modèle:Alen cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «$(1^{\prime })\frac{d^2\underset{\_}{f}}{d{x}^2}(x)+k_0^2\underset{\_}{f}(x)=\underset{\_}{e}(x)$» sous la forme «$\underset{\_}{f_{\text{part. équa hétéro}}}(x)=\underset{\_}{\alpha }x\exp \left(i{k}_{0}x\right)$», avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{\_}{\alpha }=\alpha \exp \left(i\psi \right)$ cœfficient multiplicateur de $x$ dans la pseudo-amplitude
Modèle:AlModèle:Transparentcomplexe de $\underset{\_}{f_{\text{part. équa hétéro}}}(x)$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla solution particulière de l'équation différentielle $(1)$ étant «$f_{\text{part. équa hétéro}}(x)=\alpha x\cos (k_{0}x+\psi )$ partie réelle de $\underset{\_}{f_{\text{part. équa hétéro}}}(x)=\underset{\_}{\alpha }x\exp \left(i{k}_{0}x\right)$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentpour cela nous évaluons $▸$«$\frac{d\underset{\_}{f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}{dx}(x)=\underset{\_}{\alpha }\exp \left(i{k}_{0}x\right)+i{k}_0\underset{\_}{\alpha }x\exp \left(i{k}_{0}x\right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$«$\frac{d^2\underset{\_}{f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}{d{x}^2}(x)=2i{k}_0\underset{\_}{\alpha }\exp \left(i{k}_{0}x\right)+{\left(i{k}_0\right)}^2\underset{\_}{\alpha }x\exp \left(i{k}_{0}x\right)$» d'où, par report dans le 1^er membre de
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle $(1^{\prime })$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{d^2\underset{\_}{f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}{d{x}^2}(x)+k_0^2\underset{\_}{f_{\text{part. d'équa hétéro}}}(x)=[2i{k}_0\underset{\_}{\alpha }\exp \left(i{k}_{0}x\right)+\cancel{{\left(i{k}_0\right)}^2\underset{\_}{\alpha }x\exp \left(i{k}_{0}x\right)}]+\cancel{k_0^2\underset{\_}{\alpha }x\exp \left(i{k}_{0}x\right)}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=2i{k}_0\underset{\_}{\alpha }\exp \left(i{k}_{0}x\right)$» à identifier à «$\underset{\_}{E_m}\exp \left(i{k}_{0}x\right)$» $\Rightarrow$ «$2i{k}_0\underset{\_}{\alpha }=\underset{\_}{E_m}$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparentle cœfficient multiplicateur de $x$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\underset{\_}{f_{\text{part. équa hétéro}}}(x)$, «$\underset{\_}{\alpha }=-i\frac{\underset{\_}{E_m}}{2k_0}$» dont on tire
Modèle:AlModèle:Transparent«$\alpha =|\underset{\_}{\alpha }|=\frac{E_m}{2k_0}$» ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparent«$\psi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[\underset{\_}{\alpha }\right]={\phi }_e-\frac{\pi }{2}$» et par suite

Modèle:AlModèle:Transparentla solution particulière de l'équation différentielle $(1)$ «$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+k_0^{2}f(x)=E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)$» s'écrit selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\frac{E_m}{2k_0}x\cos (k_{0}x+{\phi }_e-\frac{\pi }{2})=\frac{E_m}{2k_0}x\sin (k_{0}x+{\phi }_e)$».

Modèle:AlRemarque : La méthode directe de détermination de la solution particulière de l'équation différentielle $\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+k_0^{2}f(x)=E_m\cos (k_{0}x+{\phi }_e)$ étant relativement simple,
Modèle:AlModèle:Transparentl'utilisation de la généralisation de la méthode « des complexes » ne se justifie absolument pas $\dots$

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1^er ordre

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1^er ordre homogène

Modèle:AlSoit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $f(x)$ homogène «$f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$» avec «$a_0(x)$ fonction réelle connue de la variable réelle $x$» ;
Modèle:Alci-après nous indiquons deux méthodes pour résoudre cette équation différentielle :

• une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » de l'équation différentielle, « méthode de séparation des variables » : l'équation différentielle se réécrivant, après « adoption de la notation différentielle de la dérivée $f^{\prime }(x)=\frac{df}{dx}(x)$ », selon «$\frac{df}{dx}+a_0(x)f(x)=0$» dont nous déduisons, par séparation des variables, «$\frac{df}{f}=-a_0(x)dx$» dans la mesure où $f(x)$ n'est pas la fonction nulle $\{f(x)=0\mathrm{\forall }x$ étant une solution triviale de l'équation différentielle, la supprimer pour poursuivre la résolution ne restreindra pas l'ensemble des solutions$\}$ ;
  Modèle:Transparentnotant $A_0(x)$ une primitive de la fonction $a_0(x)$,
  Modèle:Transparent«$\frac{df}{f}=-a_0(x)dx$ s'intègre en $\ln (|f|)=-A_0(x)+A$ avec $A\in ℝ$ constante d'intégration » ou
  Modèle:AlModèle:Transparenten «$\ln (|f|)=-A_0(x)+\ln (|\lambda |)$ avec $\lambda \in {ℝ}^{*}$ telle que $|\lambda |=\exp (A)$»
  Modèle:AlModèle:Transparentqui s'inverse en «$f(x)=\lambda \exp [-A_0(x)]$ avec $\lambda \in {ℝ}^{*}$ constante d'intégration » ;
  Modèle:Transparentfinalement en ajoutant la solution triviale $f(x)=0\mathrm{\forall }x$ à la solution précédente, nous en déduisons que
  Modèle:Transparentla solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $f(x)$ homogène «$f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$» avec $a_0(x)$ fonction réelle connue de la variable réelle $x$ s'écrit «$f(x)=\lambda \exp [-A_0(x)]$ avec $\lambda \in ℝ$ constante d'intégration », «$A_0(x)$ étant une primitive de $a_0(x)$» ;
• une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » de l'équation différentielle et le qualificatif « homogène » de celle-ci, ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre ;
  Modèle:Transparentl'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $f(x)$ homogène «$f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$»
  Modèle:AlModèle:Transparentétant un espace vectoriel à une dimension, il suffit de
  Modèle:Transparentdéterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de
  Modèle:Transparenttrouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation
  Modèle:Transparent$[$c.-à-d. les multiples de la solution particulière$]$ d'où
  Modèle:Transparentla recherche d'une « solution particulière $f_{\text{part}}(x)$ de forme exponentielle $\exp [s(x)]$» car sa « dérivée 1^ère $s^{\prime }(x)\exp [s(x)]$ étant $\propto$ à $f_{\text{part}}(x)$» et
  Modèle:Transparentl'« équation différentielle étant homogène »,
  Modèle:Transparentnous pouvons « simplifier par $\exp [s(x)]$» d'où
  Modèle:Transparentla réécriture de l'équation différentielle après simplification «$s^{\prime }(x)+a_0(x)=0$» qui s'intègre en «$s(x)=-{\int }^x{a}_0(x^{\prime })d{x}^{\prime }$» et par suite
  Modèle:Transparentla solution particulière $f_{\text{part}}(x)$ de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $f(x)$ homogène «$f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$», s'écrit
  Modèle:Transparent$f_{\text{part}}(x)=\exp [-A_0(x)]$ avec $A_0(x)$ primitive de $a_0(x)$ ;
  Modèle:Transparentfinalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $f(x)$ homogène «$f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$» avec $a_0(x)$ fonction réelle connue de la variable réelle $x$ s'écrit «$f(x)=\lambda f_{\text{part}}(x)=\lambda \exp [-A_0(x)]$ avec $\lambda \in ℝ$ constante d'intégration », «$A_0(x)$ étant une primitive de $a_0(x)$».

Modèle:AlRemarque : Bien que la 2^ème méthode soit la plus directe $($donc la plus rapide$)$, ce n'est celle qui est utilisée préférentiellement par les physiciens.

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1^er ordre hétérogène

Modèle:AlSoit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $f(x)$ hétérogène «$f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=e(x)$» avec «$a_0(x)$ et $e(x)$ fonctions réelles connues de la variable réelle $x$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$e(x)$ étant l'excitation de l'équation différentielle »,
Modèle:AlModèle:Transparentnous utiliserons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène
Modèle:AlModèle:Transparentexposée dans le cas de cœfficients constants plus haut dans ce chapitre mais
Modèle:AlModèle:Transparentrestant applicable dans le cas de cœfficients non constants,
Modèle:AlModèle:Transparentméthode fondée sur la propriété suivante
Modèle:AlModèle:Transparent« la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est
Modèle:AlModèle:Transparentla somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
Modèle:AlModèle:Transparentd'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentor la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $f(x)$ homogène
Modèle:AlModèle:Transparent«$f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$» étant «$f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\lambda \exp [-A_0(x)]$
Modèle:AlModèle:Transparentavec $\lambda \in ℝ$ constante d'intégration et
Modèle:AlModèle:Transparent$A_0(x)$ une primitive de $a_0(x)$»,

Modèle:AlModèle:Transparentpour fixer la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $f(x)$ hétérogène
Modèle:AlModèle:Transparent«$f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=e(x)$» il reste à en déterminer une solution particulière et,
Modèle:AlModèle:Transparentpour cela, nous appliquons la « méthode de variation des constantes » $\{$inventée par Pierre-Simon Laplace
Modèle:AlModèle:Transparentapplicable à des équations différentielles linéaires hétérogènes d'ordre quelconque$\}$
Modèle:AlModèle:Transparentd'où, recherche d'une solution particulière sous la forme «$f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=g(x)\exp [-A_0(x)]$
Modèle:AlModèle:Transparentavec $g(x)$ fonction à déterminer et
Modèle:AlModèle:Transparent$A_0(x)$ une primitive de $a_0(x)$», $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent«${f^{\prime }}_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=g^{\prime }(x)\exp [-A_0(x)]+g(x)\exp [-A_0(x)][-{A^{\prime }}_0(x)]$
Modèle:AlModèle:Transparent$=g^{\prime }(x)\exp [-A_0(x)]-g(x)a_0(x)\exp [-A_0(x)]$», le report des
Modèle:AlModèle:Transparentexpressions de la fonction et de sa dérivée dans l'équation différentielle linéaire hétérogène donnant
Modèle:AlModèle:Transparent«$\{g^{\prime }(x)\exp [-A_0(x)]-g(x)a_0(x)\exp [-A_0(x)]\}+a_0(x)\{g(x)\exp [-A_0(x)]\}=e(x)$» soit,
Modèle:AlModèle:Transparentaprès simplification, «$g^{\prime }(x)\exp [-A_0(x)]=e(x)$» $\iff$ «$g^{\prime }(x)=e(x)\exp [A_0(x)]$» $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent«$g(x)$ est une primitive de $e(x)\exp [A_0(x)]$» c.-à-d. «$g(x)={\int }^{x}e(x^{\prime })\exp [A_0(x^{\prime })]d{x}^{\prime }$»,

Modèle:AlModèle:Transparentd'où «$f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\{{\int }^{x}e(x^{\prime })\exp [A_0(x^{\prime })]d{x}^{\prime }\}\exp [-A_0(x)]$» $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\{{\int }^{x}e(x^{\prime })\exp [A_0(x^{\prime })]d{x}^{\prime }\}\exp [-A_0(x)]+\lambda \exp [-A_0(x)]$»
Modèle:AlModèle:Transparent$($avec $\lambda \in ℝ$ constante d'intégration$)$ soit, «${\int }^{x}e(x^{\prime })\exp [A_0(x^{\prime })]d{x}^{\prime }$ étant
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinie à une constante additive près »,
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\mathrm{\Lambda }(x)\exp [-A_0(x)]$» avec «$\mathrm{\Lambda }(x)$ primitive quelconque de $e(x)\exp [A_0(x)]$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$A_0(x)$ étant une primitive quelconque de $a_0(x)$».

Modèle:AlExemple : soit à résoudre «$f^{\prime }(x)-2xf(x)=x^2$» dans laquelle «$\left\{\begin{array}{ccc}{a}_0(x)& =& -2x\\ e(x)& =& x^2\end{array}\right\}$»,

Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène «$f^{\prime }(x)-2xf(x)=0$» étant «$f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\lambda \exp [-(-x^2)]=\lambda \exp \left(x^2\right)$Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparentavec $\lambda \in ℝ$ constante d'intégration » $\Rightarrow$

Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$f^{\prime }(x)-2xf(x)=x^2$» selon «$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\mathrm{\Lambda }(x)\exp \left(x^2\right)$
Modèle:AlModèle:Transparentavec $\mathrm{\Lambda }(x)$ une primitive de $x^2\exp (-x^2)$»
Modèle:AlModèle:Transparentc.-à-d. «$\mathrm{\Lambda }(x)={\int }^x{x^{\prime }}^2\exp (-{x^{\prime }}^2)d{x}^{\prime }$»
Modèle:AlModèle:Transparentou, après une intégration par parties $[$voir
Modèle:AlModèle:Transparentla note « ⁸⁵ » plus bas dans ce chapitre$]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)\exp \left(x^2\right)-\frac{x}{2}+\lambda \exp \left(x^2\right)$»
Modèle:AlModèle:Transparentavec «$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\exp (-{x^{\prime }}^2)d{x}^{\prime }$ la fonction d'erreur » et
Modèle:AlModèle:Transparent«$\lambda \in ℝ$ une constante d'intégration ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre homogène

Modèle:AlSoit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $f(x)$ homogène «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$» avec «$a_1(x)$ et $a_0(x)$ fonctions réelles connues
Modèle:AlModèle:Transparentde la variable réelle $x$» ;
Modèle:Alci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le caractère « linéaire » de cette dernière et
Modèle:AlModèle:Transparentle qualificatif « homogène » de celle-ci,
Modèle:AlModèle:Transparentce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre ;

Modèle:AlModèle:Transparentl'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $f(x)$ homogène «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$»
Modèle:AlModèle:Transparentétant un espace vectoriel à deux dimensions, il suffit de
Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de
Modèle:AlModèle:Transparenttrouver deux solutions particulières de cette équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation
Modèle:AlModèle:Transparent$[$c.-à-d. les C.L. des deux solutions particulières$]$
Modèle:AlModèle:Transparentmais il n'existe pas de méthode pour déterminer ces solutions particulières dans le cas général
Modèle:AlModèle:Transparentpar contre dès lors qu'une solution particulière $($non nulle$)$ «$f_1(x)$» de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène est connue, il existe une
Modèle:AlModèle:Transparentméthode pour déterminer une 2^ème solution particulière indépendante «$f_2(x)$» faisant intervenir le wronskien de ces deux solutions particulières
Modèle:AlModèle:Transparentdéfini selon «$W(x)=\left|\begin{array}{cc}{f}_1(x)& f_2(x)\\ {f^{\prime }}_1(x)& {f^{\prime }}_2(x)\end{array}\right|$» $\iff$ «$W(x)=f_1(x){f^{\prime }}_2(x)-f_2(x){f^{\prime }}_1(x)$», la dérivée de ce dernier par rapport à la variable $x$ étant
Modèle:AlModèle:Transparent«$W^{\prime }(x)={f^{\prime }}_1(x){f^{\prime }}_2(x)+f_1(x){f^{″}}_2(x)-{f^{\prime }}_2(x){f^{\prime }}_1(x)-f_2(x){f^{″}}_1(x)$» ou, après simplification,
Modèle:AlModèle:Transparent«$W^{\prime }(x)=f_1(x){f^{″}}_2(x)-f_2(x){f^{″}}_1(x)$» et, avec «$f_1(x)$ et $f_2(x)$ solutions particulières de
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène $f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{c}{f^{″}}_1(x)=-a_1(x){f^{\prime }}_1(x)-a_0(x)f_1(x)\\ {f^{″}}_2(x)=-a_1(x){f^{\prime }}_2(x)-a_0(x)f_2(x)\end{array}\right\}$», la réécriture de $W^{\prime }(x)$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$W^{\prime }(x)=f_1(x)[-a_1(x){f^{\prime }}_2(x)-a_0(x)f_2(x)]-f_2(x)[-a_1(x){f^{\prime }}_1(x)-a_0(x)f_1(x)]$» ou
Modèle:AlModèle:Transparentaprès simplification, «$W^{\prime }(x)=-a_1(x)f_1(x){f^{\prime }}_2(x)+a_1(x)f_2(x){f^{\prime }}_1(x)=-a_1(x)W(x)$»
Modèle:AlModèle:Transparent$\Rightarrow$ le wronskien de ces deux solutions particulières «$W(x)=\left|\begin{array}{cc}{f}_1(x)& f_2(x)\\ {f^{\prime }}_1(x)& {f^{\prime }}_2(x)\end{array}\right|$» de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $f(x)$
Modèle:AlModèle:Transparent homogène «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$»
Modèle:AlModèle:Transparentest solution de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $W(x)$ homogène «$W^{\prime }(x)+a_1(x)W(x)=0$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$W(x)$ non nul car les deux solutions particulières $f_1(x)$ et $f_2(x)$ sont indépendantes » ;
Modèle:AlModèle:Transparentrésolvant «$W^{\prime }(x)+a_1(x)W(x)=0$» nous en déduisons «$W(x)=\lambda \exp [-A_1(x)]$ avec $\lambda \in {ℝ}^{*}$ constante d'intégration et
Modèle:AlModèle:Transparent$A_1(x)$ une primitive de $a_1(x)$» soit encore,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left|\begin{array}{cc}{f}_1(x)& f_2(x)\\ {f^{\prime }}_1(x)& {f^{\prime }}_2(x)\end{array}\right|=\lambda \exp [-A_1(x)]$ avec mêmes $\lambda$ et $A_1(x)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_1(x)$ connue », il reste à résoudre l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $f_2(x)$ hétérogène «$f_1(x){f^{\prime }}_2(x)-{f^{\prime }}_1(x)f_2(x)=\lambda \exp [-A_1(x)]$»
Modèle:AlModèle:Transparentou, sous forme normalisée, «${f^{\prime }}_2(x)-\frac{{f^{\prime }}_1(x)}{f_1(x)}{f}_2(x)=\frac{\lambda }{f_1(x)}\exp [-A_1(x)]$» avec «$\lambda \in {ℝ}^{*}$ constante d'intégration et
Modèle:AlModèle:Transparent$A_1(x)$ une primitive de $a_1(x)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentune base de l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $f(x)$ homogène «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$»
Modèle:AlModèle:Transparentétant $\{f_1(x),f_2(x)\}$, nous en déduisons la solution générale de cette équation différentielle selon «$f(x)={\alpha }_1{f}_1(x)+{\alpha }_2{f}_2(x)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$({\alpha }_1,{\alpha }_2)\in {ℝ}^2$ couple de constantes arbitraires ».

Modèle:AlExemple : Soit à résoudre «$f^{″}(x)-\frac{1}{x}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{x^2}f(x)=0$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$» dans laquelle «$\left\{\begin{array}{c}{a}_1(x)=-\frac{1}{x}\\ a_0(x)=\frac{1}{x^2}\end{array}\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentremarquant que «$f_1(x)=x$ est une solution particulière » évidente car «$\left\{\begin{array}{c}{f^{\prime }}_1(x)=1\\ {f^{″}}_1(x)=0\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ ${f^{″}}_1(x)-\frac{1}{x}{f^{\prime }}_1(x)+\frac{1}{x^2}{f}_1(x)=0-\frac{1}{x}1+\frac{1}{x^2}x$ c.-à-d. $0$»,
Modèle:AlModèle:Transparentnous formons son wronskien avec une autre solution particulière $f_2(x)$ à déterminer soit «$W(x)=\left|\begin{array}{cc}x& f_2(x)\\ 1& {f^{\prime }}_2(x)\end{array}\right|$» $\iff$
Modèle:AlModèle:Transparent«$W(x)=x{f^{\prime }}_2(x)-f_2(x)$»,
Modèle:AlModèle:Transparentce dernier étant solution $[$non nulle pour que $f_2(x)$ soit indépendante de $f_1(x)=x$$]$
Modèle:AlModèle:Transparentde l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène «$W^{\prime }(x)-\frac{1}{x}W(x)=0$»
Modèle:Transparentsoit «$W(x)=\lambda \exp \{-[-\ln (x)]\}$ avec $\lambda \in {ℝ}^{*}$»Modèle:, ou, après simplification,
Modèle:Transparent$=\lambda x$ avec $\lambda \in {ℝ}^{*}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparent«$W(x)=x{f^{\prime }}_2(x)-f_2(x)=\lambda x$» étant une équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $f_2(x)$ hétérogène, se réécrivant,
Modèle:AlModèle:Transparentsous forme normalisée, selon «${f^{\prime }}_2(x)-\frac{1}{x}{f}_2(x)=\lambda$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentcette équation différentielle linéaire à coefficients non constants du 1^er ordre en $f_2(x)$ hétérogène «${f^{\prime }}_2(x)-\frac{1}{x}{f}_2(x)=\lambda$»
Modèle:AlModèle:Transparentse résout en cherchant d'abord la solution générale de «${f^{\prime }}_2(x)-\frac{1}{x}{f}_2(x)=0$» c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentde l'équation différentielle homogène associée
Modèle:AlModèle:Transparentsoit «$f_{2,\text{géné de l'équa homo}}(x)=\mu x$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent$\mu \in {ℝ}^{*}$»
Modèle:AlModèle:Transparentpuis par utilisation de la « méthode de variation des constantes » c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparenten cherchant la solution générale de «${f^{\prime }}_2(x)-\frac{1}{x}{f}_2(x)=\lambda$»
Modèle:AlModèle:Transparentsous la forme «$f_2(x)=\mathrm{\Lambda }(x)x$ dans laquelle
Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{\Lambda }(x)$ est une primitive quelconque de $\frac{\lambda }{x}$» d'où Modèle:AlModèle:Transparent«$\mathrm{\Lambda }(x)=\lambda \ln (x)+cste$» avec $cste\in ℝ$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_2(x)=\lambda x\ln (x)+cstex$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$\lambda \in {ℝ}^{*}$ et $cste\in ℝ$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentla 2^ème solution particulière de «$f^{″}(x)-\frac{1}{x}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{x^2}f(x)=0$» étant choisie selon «$f_2(x)=x\ln (x)$»
Modèle:AlModèle:Transparent$[$c.-à-d. $cste$ choisie nulle et $\lambda$ constante d'intégration de $W^{\prime }(x)-\frac{1}{x}W(x)=0$ égale à $1]$,
Modèle:AlModèle:Transparentnous en déduisons la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $f(x)$ homogène «$f^{″}(x)-\frac{1}{x}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{x^2}f(x)=0$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$»
Modèle:AlModèle:Transparentégale à une C.L. des deux solutions particulières indépendantes $\{x,x\ln (x)\}$ selon «$f(x)={\alpha }_{1}x+{\alpha }_{2}x\ln (x)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«${\alpha }_1$ et ${\alpha }_2$ deux constantes réelles d'intégration ».

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre hétérogène

Modèle:AlSoit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $f(x)$ hétérogène «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=e(x)$» avec «$a_1(x)$, $a_0(x)$ et $e(x)$ fonctions réelles connues
Modèle:AlModèle:Transparentde la variable réelle $x$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$e(x)$ étant l'excitation de l'équation différentielle »,
Modèle:AlModèle:Transparentnous utiliserons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène
Modèle:AlModèle:Transparentexposée dans le cas de cœfficients constants plus haut dans ce chapitre mais
Modèle:AlModèle:Transparentrestant applicable dans le cas de cœfficients non constants,
Modèle:AlModèle:Transparentméthode fondée sur la propriété suivante
Modèle:AlModèle:Transparent« la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est
Modèle:AlModèle:Transparentla somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
Modèle:AlModèle:Transparentd'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale de l'équation différentielle homogène associée «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$»
Modèle:AlModèle:Transparentétant supposée connue égale à «$f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)={\alpha }_1{f}_1(x)+{\alpha }_2{f}_2(x)$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$({\alpha }_1,{\alpha }_2)\in {ℝ}^2$ constantes d'intégration et
Modèle:AlModèle:Transparent$\{f_1(x),f_2(x)\}$ solutions particulières indépendantes de
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle homogène » ;

Modèle:AlModèle:Transparentpour fixer la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $f(x)$ hétérogène
Modèle:AlModèle:Transparent«$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=e(x)$» il reste à en déterminer
Modèle:AlModèle:Transparentune solution particulière et,
Modèle:AlModèle:Transparentpour cela, appliquons la « méthode de variation des constantes » $\{$inventée par Pierre-Simon Laplace
Modèle:AlModèle:Transparentapplicable à des équations différentielles linéaires hétérogènes d'ordre quelconque$\}$
Modèle:AlModèle:Transparentd'où, recherche d'une solution particulière selon «$f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)={\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)$
Modèle:AlModèle:Transparentavec $\{{\mu }_1(x),{\mu }_2(x)\}$ couple de fonctions à déterminer et
Modèle:AlModèle:Transparent$\{f_1(x),f_2(x)\}$ solutions particulières non liées de
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle homogène ».

Modèle:AlPréalable à la recherche d'une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$f(x)$hétérogène :
Modèle:AlModèle:Transparenttransformer l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en $f(x)$ hétérogène «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=e(x)$»
Modèle:AlModèle:Transparenten un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients non constants du 1^er ordre en $\{f(x),g(x)=f^{\prime }(x)\}$ hétérogène
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{ccc}{f}^{\prime }(x)& =& g(x)\\ g^{\prime }(x)& =& -a_0(x)f(x)-a_1(x)g(x)+e(x)\end{array}\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentsystème qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\left[X\right]=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]$» dans laquelle
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[X\right]=\left[\begin{array}{c}f(x)\\ g(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $($ou taille$)$ $(2,1)$
Modèle:AlModèle:Transparentappelée « matrice colonne des inconnues »,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[X\right]=\left[\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)\\ g^{\prime }(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $($ou taille$)$ $(2,1)$
Modèle:AlModèle:Transparentappelée « matrice colonne de la dérivée des inconnues »,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[A\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -a_0(x)& -a_1(x)\end{array}\right]\in M_2\left(ℝ\right)$» c.-à-d. une matrice carrée de dimension $($ou taille$)$ $2$
Modèle:AlModèle:Transparentappelée « matrice des cœfficients du système »,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[E\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ e(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $($ou taille$)$ $(2,1)$
Modèle:AlModèle:Transparentappelée « matrice colonne des excitations » et enfin
Modèle:AlModèle:Transparent«$\times$» l'opération « multiplication matricielle » ;

Modèle:Altraduction matricielle de$f_1(x)$ou$f_2(x)$solutions particulières de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$f(x)$homogène :
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en $f(x)$ homogène «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$» étant transformée
Modèle:AlModèle:Transparenten le système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients non constants du 1^er ordre en $\{f(x),g(x)=f^{\prime }(x)\}$ homogène
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{ccc}{f}^{\prime }(x)& =& g(x)\\ g^{\prime }(x)& =& -a_0(x)f(x)-a_1(x)g(x)\end{array}\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentsystème qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\left[X\right]=\left[A\right]\times \left[X\right]$», les matrices étant celles définies précédemment ;

Modèle:AlModèle:Transparentà la solution particulière $f_1(x)$ de l'équation différentielle «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$» on associe «$\left[X_1\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ g_1(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« matrice colonne des inconnues »,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[X_1\right]$ étant liée $\left[X_1\right]=\left[\begin{array}{c}{f^{\prime }}_1(x)\\ {g^{\prime }}_1(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» par «$\left[X_1\right]=\left[A\right]\times \left[X_1\right]$» avec «$\left[A\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -a_0(x)& -a_1(x)\end{array}\right]\in M_2\left(ℝ\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« matrice colonne dérivée »Modèle:Al« matrice des cœfficients du système »,

Modèle:AlModèle:Transparentà la solution particulière $f_2(x)$ de l'équation différentielle «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0$» on associe «$\left[X_2\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_2(x)\\ g_2(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« matrice colonne des inconnues »,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[X_2\right]$ étant liée $\left[X_2\right]=\left[\begin{array}{c}{f^{\prime }}_2(x)\\ {g^{\prime }}_2(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» par «$\left[X_2\right]=\left[A\right]\times \left[X_2\right]$» avec «$\left[A\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -a_0(x)& -a_1(x)\end{array}\right]\in M_2\left(ℝ\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« matrice colonne dérivée »Modèle:Al« matrice des cœfficients du système »,

Modèle:Altraduction matricielle de la recherche d'une solution particulière${\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)$de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$f(x)$hétérogène :
Modèle:AlModèle:Transparentà la solution particulière de l'équation différentielle «$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=e(x)$» recherchée sous la forme
Modèle:AlModèle:Transparent${\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)$ avec $\{{\mu }_1(x),{\mu }_2(x)\}$ à déterminer, on associe «$\left[X\right]=\left[\begin{array}{c}{\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)\\ {\mu }_1(x)g_1(x)+{\mu }_2(x)g_2(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[X\right]={\mu }_1(x)\left[X_1\right]+{\mu }_2(x)\left[X_2\right]$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[X\right]$ devant être liée à $\left[X\right]=\left[\begin{array}{c}\{{\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)\}\\ \{{\mu }_1(x)g_1(x)+{\mu }_2(x)g_2(x)\}\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» par «$\left[X\right]=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[A\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -a_0(x)& -a_1(x)\end{array}\right]\in M_2\left(ℝ\right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[E\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ e(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$»,

Modèle:AlModèle:Transparentexplicitons «$\left[X\right]=\left[\begin{array}{c}\{{\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)\}\\ \{{\mu }_1(x)g_1(x)+{\mu }_2(x)g_2(x)\}\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» à l'aide de
Modèle:AlModèle:Transparent«$[{\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)]={{\mu }_1}^{\prime }(x)f_1(x)+{\mu }_1(x){f^{\prime }}_1(x)+{{\mu }_2}^{\prime }(x)f_2(x)+{\mu }_2(x){f^{\prime }}_2(x)$» d'une part et
Modèle:AlModèle:Transparent«$[{\mu }_1(x)g_1(x)+{\mu }_2(x)g_2(x)]={{\mu }_1}^{\prime }(x)g_1(x)+{\mu }_1(x){g^{\prime }}_1(x)+{{\mu }_2}^{\prime }(x)g_2(x)+{\mu }_2(x){g^{\prime }}_2(x)$» d'autre part d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[X\right]={\mu }_1(x)\left[X_1\right]+{\mu }_2(x)\left[X_2\right]$» $\Rightarrow$ «$\left[X\right]={{\mu }_1}^{\prime }(x)\left[X_1\right]+{\mu }_1(x)\left[X_1\right]+{{\mu }_2}^{\prime }(x)\left[X_2\right]+{\mu }_2(x)\left[X_2\right]$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentde $\left[X\right]=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]$ on déduit l'équation matricielle suivante
Modèle:AlModèle:Transparent«${{\mu }_1}^{\prime }(x)\left[X_1\right]+{\mu }_1(x)\left[X_1\right]+{{\mu }_2}^{\prime }(x)\left[X_2\right]+{\mu }_2(x)\left[X_2\right]=\left[A\right]\times \{{\mu }_1(x)\left[X_1\right]+{\mu }_2(x)\left[X_2\right]\}+\left[E\right]$»
Modèle:AlModèle:Transparentsoit, en utilisant la distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle,
Modèle:AlModèle:Transparent«${{\mu }_1}^{\prime }(x)\left[X_1\right]+{\mu }_1(x)\left[X_1\right]+{{\mu }_2}^{\prime }(x)\left[X_2\right]+{\mu }_2(x)\left[X_2\right]={\mu }_1(x)\left[A\right]\times \left[X_1\right]+{\mu }_2(x)\left[A\right]\times \left[X_2\right]+\left[E\right]\left(𝔞\right)$» ou,

Modèle:AlModèle:Transparentsachant que «$\left\{\begin{array}{c}\left[X_1\right]=\left[A\right]\times \left[X_1\right]\\ \left[X_2\right]=\left[A\right]\times \left[X_2\right]\end{array}\right\}$», leur report dans l'équation matricielle $\left(𝔞\right)$ $\Rightarrow$ «${{\mu }_1}^{\prime }(x)\left[X_1\right]+{{\mu }_2}^{\prime }(x)\left[X_2\right]=\left[E\right]\left({𝔞}^{\prime }\right)$»
Modèle:AlModèle:Transparentsi on revient au système d'équations traduisant l'équation matricielle on obtient «$\left\{\begin{array}{ccc}{{\mu }_1}^{\prime }(x)f_1(x)+{{\mu }_2}^{\prime }(x)f_2(x)& =& 0\\ {{\mu }_1}^{\prime }(x)g_1(x)+{{\mu }_2}^{\prime }(x)g_2(x)& =& e(x)\end{array}\right\}$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{ccc}{{\mu }_1}^{\prime }(x)f_1(x)+{{\mu }_2}^{\prime }(x)f_2(x)& =& 0\\ {{\mu }_1}^{\prime }(x){f^{\prime }}_1(x)+{{\mu }_2}^{\prime }(x){f^{\prime }}_2(x)& =& e(x)\end{array}\right\}\left({𝔞}^{″}\right)$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentainsi « les deux inconnues ${{\mu }_1}^{\prime }(x)$ et ${{\mu }_2}^{\prime }(x)$ doivent être solutions du système hétérogène des deux équations algébriques linéaires
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccc}{f}_1(x){{\mu }_1}^{\prime }(x)+f_2(x){{\mu }_2}^{\prime }(x)& =& 0\\ {f^{\prime }}_1(x){{\mu }_1}^{\prime }(x)+{f^{\prime }}_2(x){{\mu }_2}^{\prime }(x)& =& e(x)\end{array}\right\}\left({𝔞}^{″}\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparentsystème qui se réécrit sous forme matricielle «$\left[𝒲\right]\times \left[Y\right]=\left[E\right]\left({𝔞}^{‴}\right)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[𝒲\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_1(x)& f_2(x)\\ {f^{\prime }}_1(x)& {f^{\prime }}_2(x)\end{array}\right]\in M_2\left(ℝ\right)$» de déterminant $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(𝒲\right)$ égal
Modèle:AlModèle:Transparentau wronskien $W(x)$ de $\{f_1(x),f_2(x)\}$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[Y\right]=\left[\begin{array}{c}{{\mu }_1}^{\prime }(x)\\ {{\mu }_2}^{\prime }(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» la matrice colonne des inconnues et
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[E\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ e(x)\end{array}\right]\in M_{2,1}\left(ℝ\right)$» la matrice colonne des excitations ;

Modèle:Alrésolution du système des deux équations algébriques linéaires en$\{{{\mu }_1}^{\prime }(x),{{\mu }_2}^{\prime }(x)\}$hétérogène$\left\{\begin{array}{ccc}{{\mu }_1}^{\prime }(x)f_1(x)+{{\mu }_2}^{\prime }(x)f_2(x)& =& 0\\ {{\mu }_1}^{\prime }(x){f^{\prime }}_1(x)+{{\mu }_2}^{\prime }(x){f^{\prime }}_2(x)& =& e(x)\end{array}\right\}\left({𝔞}^{″}\right)$ :
Modèle:AlModèle:Transparentle wronskien de $\{f_1(x),f_2(x)\}$ «$W(x)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(𝒲\right)$» étant non nul $\{f_1(x)$ et $f_2(x)$ étant indépendantes$\}$, la résolution de ce système
Modèle:AlModèle:Transparentpeut être faite en utilisant la « règle de Cramer »Modèle:,Modèle:, ce qui donne «${{\mu }_1}^{\prime }(x)=\frac{\begin{array}{cc}0& f_2(x)\\ e(x)& {f^{\prime }}_2(x)\end{array}}{\begin{array}{cc}{f}_1(x)& f_2(x)\\ {f^{\prime }}_1(x)& {f^{\prime }}_2(x)\end{array}}=\frac{-e(x)f_2(x)}{W(x)}=\frac{-e(x)f_2(x)}{f_1(x){f^{\prime }}_2(x)-f_2(x){f^{\prime }}_1(x)}$ » et
Modèle:AlModèle:Transparent«${{\mu }_2}^{\prime }(x)=\frac{\begin{array}{cc}{f}_1(x)& 0\\ {f^{\prime }}_1(x)& e(x)\end{array}}{\begin{array}{cc}{f}_1(x)& f_2(x)\\ {f^{\prime }}_1(x)& {f^{\prime }}_2(x)\end{array}}=\frac{e(x)f_1(x)}{W(x)}=\frac{e(x)f_1(x)}{f_1(x){f^{\prime }}_2(x)-f_2(x){f^{\prime }}_1(x)}$ » ;

Modèle:Aldétermination de la solution particulière cherchée sous la forme${\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)$de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$f(x)$ hétérogène :
Modèle:AlModèle:Transparentde «${{\mu }_1}^{\prime }(x)=\frac{-e(x)f_2(x)}{f_1(x){f^{\prime }}_2(x)-f_2(x){f^{\prime }}_1(x)}$» on déduit, par intégration, «${\mu }_1(x)={\int }^x\frac{-e(x^{\prime })f_2(x^{\prime })}{f_1(x^{\prime }){f^{\prime }}_2(x^{\prime })-f_2(x^{\prime }){f^{\prime }}_1(x^{\prime })}d{x}^{\prime }$»
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$primitive quelconque de ${{\mu }_1}^{\prime }(x)$ restant à choisir$\}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentde «${{\mu }_2}^{\prime }(x)=\frac{e(x)f_1(x)}{f_1(x){f^{\prime }}_2(x)-f_2(x){f^{\prime }}_1(x)}$» on déduit, par intégration, «${\mu }_2(x)={\int }^x\frac{e(x^{\prime })f_1(x^{\prime })}{f_1(x^{\prime }){f^{\prime }}_2(x^{\prime })-f_2(x^{\prime }){f^{\prime }}_1(x^{\prime })}d{x}^{\prime }$»
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$primitive quelconque de ${{\mu }_2}^{\prime }(x)$ restant à choisir$\}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=f_1(x){\int }^x\frac{-e(x^{\prime })f_2(x^{\prime })}{f_1(x^{\prime }){f^{\prime }}_2(x^{\prime })-f_2(x^{\prime }){f^{\prime }}_1(x^{\prime })}d{x}^{\prime }+f_2(x){\int }^x\frac{e(x^{\prime })f_1(x^{\prime })}{f_1(x^{\prime }){f^{\prime }}_2(x^{\prime })-f_2(x^{\prime }){f^{\prime }}_1(x^{\prime })}d{x}^{\prime }$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$\{f_1(x),f_2(x)\}$ un couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée » ;

Modèle:Aldétermination de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$f(x)$ hétérogène$f^{″}(x)+a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=e(x)$ :
Modèle:AlModèle:Transparent« la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
Modèle:AlModèle:Transparentd'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)={\alpha }_1{f}_1(x)+{\alpha }_2{f}_2(x)$» dans laquelle $({\alpha }_1,{\alpha }_2)\in {ℝ}^2$ quelconque et
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)={\mu }_1(x)f_1(x)+{\mu }_2(x)f_2(x)$» dans laquelle ${\mu }_1(x)={\int }^x\frac{-e(x^{\prime })f_2(x^{\prime })}{f_1(x^{\prime }){f^{\prime }}_2(x^{\prime })-f_2(x^{\prime }){f^{\prime }}_1(x^{\prime })}d{x}^{\prime }$
Modèle:AlModèle:Transparentest une primitive à choisir et
Modèle:AlModèle:Transparent${\mu }_2(x)={\int }^x\frac{e(x^{\prime })f_1(x^{\prime })}{f_1(x^{\prime }){f^{\prime }}_2(x^{\prime })-f_2(x^{\prime }){f^{\prime }}_1(x^{\prime })}d{x}^{\prime }$
Modèle:AlModèle:Transparentest une primitive à choisir ; finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=[{\alpha }_1+{\mu }_1(x)]f_1(x)+[{\alpha }_2+{\mu }_2(x)]f_2(x)$» dans laquelle ${\alpha }_1+{\mu }_1(x)={\alpha }_1+{\int }^x\frac{-e(x^{\prime })f_2(x^{\prime })}{f_1(x^{\prime }){f^{\prime }}_2(x^{\prime })-f_2(x^{\prime }){f^{\prime }}_1(x^{\prime })}d{x}^{\prime }$
Modèle:AlModèle:Transparentest une primitive quelconque et
Modèle:AlModèle:Transparent${\alpha }_2+{\mu }_2(x)={\alpha }_2+{\int }^x\frac{e(x^{\prime })f_1(x^{\prime })}{f_1(x^{\prime }){f^{\prime }}_2(x^{\prime })-f_2(x^{\prime }){f^{\prime }}_1(x^{\prime })}d{x}^{\prime }$
Modèle:AlModèle:Transparentest une primitive quelconque, avec
Modèle:AlModèle:Transparent«$\{f_1(x),f_2(x)\}$ couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée ».

Modèle:AlExemple : Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $f(x)$ hétérogène «$f^{″}(x)-\frac{1}{x}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{x^2}f(x)=e(x)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$» où «$\left\{\begin{array}{c}{a}_1(x)=-\frac{1}{x}\\ a_0(x)=\frac{1}{x^2}\end{array}\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée «$f^{″}(x)-\frac{1}{x}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{x^2}f(x)=0$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$»
Modèle:AlModèle:Transparentétant «$\{f_1(x)=x,f_2(x)=x\ln (x)\}$» $[$«$f_1(x)=x$ étant une solution particulière évidente et
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_2(x)=x\ln (x)$» une autre solution particulière indépendante déterminée par
Modèle:AlModèle:Transparentrésolution de l'équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre
Modèle:AlModèle:Transparenten le « wronskien $W(x)$ de $\{f_1(x),f_2(x)\}$»Modèle:,$]$, nous cherchons,

Modèle:AlModèle:Transparenten utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène «$f^{″}(x)-\frac{1}{x}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{x^2}f(x)=e(x)$»
Modèle:AlModèle:Transparentsous la forme «$f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)={\mu }_1(x)x+{\mu }_2(x)x\ln (x)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparent$\{{\mu }_1(x),{\mu }_2(x)\}$ un couple de fonctions à déterminer,
Modèle:AlModèle:Transparentles dérivées 1^ères par rapport à la variable $x$ de ces dernières étant
Modèle:AlModèle:Transparentsolutions du système hétérogène des deux équations algébriques linéaires
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{ccccc}x{{\mu }_1}^{\prime }(x)& +& x\ln (x){{\mu }_2}^{\prime }(x)& =& 0\\ 1{{\mu }_1}^{\prime }(x)& +& [\ln (x)+1]{{\mu }_2}^{\prime }(x)& =& e(x)\end{array}\right\}\left({𝔞}^{″}\right)$ » $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparentpar la règle de Cramer «${{\mu }_1}^{\prime }(x)=\frac{\begin{array}{cc}0& x\ln (x)\\ e(x)& \ln (x)+1\end{array}}{\begin{array}{cc}x& x\ln (x)\\ 1& \ln (x)+1\end{array}}=\frac{-e(x)x\ln (x)}{x[\ln (x)+1]-x\ln (x)}=-e(x)\ln (x)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent«${{\mu }_2}^{\prime }(x)=\frac{\begin{array}{cc}x& 0\\ 1& e(x)\end{array}}{\begin{array}{cc}x& x\ln (x)\\ 1& \ln (x)+1\end{array}}=\frac{e(x)x}{x[\ln (x)+1]-x\ln (x)}=e(x)$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentune primitive de «${{\mu }_1}^{\prime }(x)=-e(x)\ln (x)$ s'écrit ${\mu }_1(x)=\underset{0^{+}}{\overset{x}{\int }}-e(x^{\prime })\ln (x^{\prime })d{x}^{\prime }$ » et
Modèle:AlModèle:Transparentde «${{\mu }_2}^{\prime }(x)=e(x)$ s'écrit ${\mu }_2(x)=\underset{0^{+}}{\overset{x}{\int }}e(x^{\prime })d{x}^{\prime }$ » ;

Modèle:AlModèle:Transparentsi «$e(x)=x$», la primitive de «${{\mu }_1}^{\prime }(x)=-e(x)\ln (x)$ s'écrivant ${\mu }_1(x)=\underset{0^{+}}{\overset{x}{\int }}-x^{\prime }\ln (x^{\prime })d{x}^{\prime }$
Modèle:AlModèle:Transparentest convergente et s'évalue par intégration par parties $($i.p.p.$)$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent${\mu }_1(x)={\left[\frac{-{x^{\prime }}^2\ln (x^{\prime })}{2}\right]}_{0^{+}}^x-\underset{0^{+}}{\overset{x}{\int }}\frac{-{x^{\prime }}^2}{2}\frac{1}{x^{\prime }}d{x}^{\prime }$
Modèle:AlModèle:Transparent$=\frac{-x^2\ln (x)}{2}+\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}[1-\ln (x^2)]$ » et
Modèle:AlModèle:Transparentla primitive de «${{\mu }_2}^{\prime }(x)=e(x)$ s'écrivant ${\mu }_2(x)=\underset{0^{+}}{\overset{x}{\int }}{x}^{\prime }d{x}^{\prime }={\left[\frac{{x^{\prime }}^2}{2}\right]}_{0^{+}}^x=\frac{x^2}{2}$», d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla solution générale de «$f^{″}(x)-\frac{1}{x}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{x^2}f(x)=x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$» s'écrit
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\{{\alpha }_1+\frac{x^2}{4}[1-\ln (x^2)]\}x+\{{\alpha }_2+\frac{x^2}{2}\}x\ln (x)$
Modèle:AlModèle:Transparent$={\alpha }_{1}x+{\alpha }_{2}x\ln (x)+\frac{x^3}{4}$ » avec
Modèle:AlModèle:Transparent$({\alpha }_1,{\alpha }_2)\in {ℝ}^2$ constantes d'intégration quelconque.

Méthode pratique de résolution d'une équation différentielle non linéaire

Il n'est en aucun cas question d'être exhaustif, le sujet étant beaucoup trop vaste, seul un exemple de chaque cas est présenté.

Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre

Modèle:AlSoit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $f(x)$ «$x{f}^{\prime }(x)+{[f(x)]}^2=A$ avec $A\in {ℝ}^{+*}$» :

Modèle:Alune méthode pratique de résolution consiste à « séparer les variables » après adoption de la notation différentielle de la dérivée $f^{\prime }(x)=\frac{df}{dx}$ $\Rightarrow$ «$x\frac{df}{dx}+{[f(x)]}^2=A$ avec $A\in {ℝ}^{+*}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla « séparation des variables » $\Rightarrow$ $\bullet$regrouper les termes définis directement à partir de la variable $f$ dans le même membre que sa différentielle $df$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$Modèle:Transparentles termes définis directement à partir de la variable $x$ dans l'autre membre avec sa différentielle $dx$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$x\frac{df}{dx}+{[f(x)]}^2=A$ $\iff$ $x\frac{df}{dx}=A-{[f(x)]}^2$ $\Rightarrow$ $\frac{df}{A-f^2}=\frac{dx}{x}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenton termine en intégrant membre à membre, le 1^er membre relativement à la variable $f$ et
Modèle:AlModèle:Transparentle 2^nd membre par rapport à la variable $x$ :

Modèle:Alintégration du 1^er membre${\int }^f\frac{dg}{A-g^2}$ : la fonction rationnelle $\frac{-1}{g^2-A}$ de pôles connus $\{-\sqrt{A},+\sqrt{A}\}$ se décompose en éléments simples $\frac{\alpha }{g-\sqrt{A}}$ et $\frac{\beta }{g+\sqrt{A}}$ c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent$\frac{-1}{g^2-A}=\frac{\alpha }{g-\sqrt{A}}+\frac{\beta }{g+\sqrt{A}}$ avec $\alpha$ et $\beta$ constantes réelles à déterminer $\Rightarrow$ $\{\alpha =\frac{-1}{2\sqrt{A}},\beta =\frac{1}{2\sqrt{A}}\}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla réécriture de l'intégrale «${\int }^f\frac{dg}{A-g^2}=\frac{1}{2\sqrt{A}}[{\int }^f-\frac{dg}{g-\sqrt{A}}+{\int }^f\frac{dg}{g+\sqrt{A}}]=\frac{1}{2\sqrt{A}}\left\{{[-\ln |g-\sqrt{A}|+\ln |g+\sqrt{A}|]}^f\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=\frac{1}{2\sqrt{A}}\ln \left|\frac{f+\sqrt{A}}{f-\sqrt{A}}\right|+cst{e}_1$» et

Modèle:Alintégration du 2^nd membre${\int }^x\frac{d\xi }{\xi }$ : ne pose aucune difficulté $\Rightarrow$ «${\int }^x\frac{d\xi }{\xi }=\ln |x|+cst{e}_2$» d'où

Modèle:AlModèle:Transparentl'expression implicite de la solution générale «$\frac{1}{2\sqrt{A}}\ln \left|\frac{f(x)+\sqrt{A}}{f(x)-\sqrt{A}}\right|-\ln |x|=cste$» à laquelle il faut ajouter
Modèle:AlModèle:Transparentles deux solutions particulières «$f_{\text{part,}\pm }(x)=\pm \sqrt{A}$».

Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre

Modèle:AlSoit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $f(x)$ sans terme du 1^er ordre «$f^{″}(x)+A\sin [f(x)]=0$ avec $A\in {ℝ}^{+*}$» :

Modèle:Alune méthode pratique de résolution consiste à « intégrer une 1^ère fois » de façon à obtenir une équation différentielle du 1^er ordre en $f(x)$ et pour cela,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$multiplier les deux membres par $f^{\prime }(x)$ $\Rightarrow$ «$f^{″}(x)f^{\prime }(x)+A\sin [f(x)]f^{\prime }(x)=0$»
Modèle:AlModèle:Transparentdans laquelle on reconnaît $\succ$dans $f^{″}(x)f^{\prime }(x)$ la dérivée de $\frac{{[f^{\prime }(x)]}^2}{2}$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$dans $A\sin [f(x)]f^{\prime }(x)$ la dérivée de $-A\cos [f(x)]$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$intégrer une fois par rapport à $x$ $\Rightarrow$ «$\frac{{[f^{\prime }(x)]}^2}{2}-A\cos [f(x)]=cste$» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $f(x)$ :
Modèle:AlModèle:Transparent«$f^{\prime }(x)=\pm \sqrt{2\{cste+A\cos [f(x)]\}}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentpuis à « intégrer une 2^ème fois, quand cela est possible », par utilisation de la méthode pratique de « séparation des variables »
Modèle:AlModèle:Transparentaprès adoption de la notation différentielle de la dérivée $f^{\prime }(x)=\frac{df}{dx}$ ce qui conduit à
Modèle:AlModèle:Transparentchercher la solution de $\frac{df}{\sqrt{cste+A\cos (f)}}=\pm \sqrt{2}dx$ mais $\dots$ dans le cas présent,
Modèle:AlModèle:Transparentla solution n'étant pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles nous n'irons pas plus loin $\dots$