Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace

Nous supposerons, dans tout ce chapitre, l'espace « orienté à droite »^[1].

Repérage intrinsèque d'un point dans l'espace

Repérage cartésien d'un point dans l'espace

Choix d'un repère cartésien

Modèle:AlUn corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $ℛ$ , on lui associe un « repère cartésien » c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparentune « origine » $O$ fixe dans $ℛ$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentune « base orthonormée » $($ usuellement directe^[2] $)$ $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z})$ ^[3] également fixe dans $ℛ$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentchaque vecteur de base orientant un axe passant par $O$ à savoir :
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $\vec{O x}$ orienté par ${\vec{u}}_{x}$ » $($ axe des abscisses $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $\vec{O y}$ orienté par ${\vec{u}}_{y}$ » $($ axe des ordonnées $)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $\vec{O z}$ orienté par ${\vec{u}}_{z}$ » $($ axe des cotes $)$ .

Coordonnées cartésiennes d'un point

Modèle:AlLe vecteur position de $M$ se décomposant dans la base cartésienne selon $\vec{O M} = x {\vec{u}}_{x} + y {\vec{u}}_{y} + z {\vec{u}}_{z}$ , « $(x, y, z)$ définissent les coordonnées cartésiennes du point $M$ »^[4]
Modèle:Al Modèle:Transparent $(x$ abscisse, $y$ ordonnée et $z$ cote $)$ . Modèle:Propriété

Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace

Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point

Modèle:AlAppelant $M_{z}$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $\vec{O z}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $M_{x y}$ celui de $M$ sur le plan $x O y$ ,
Modèle:Alon définit le repérage cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ de $M$ en conservant la localisation de $M_{z}$ par sa cote $z$ mais
Modèle:Al Modèle:Transparenten modifiant celle de $M_{x y}$ relativement à son repérage cartésien,
Modèle:Al Modèle:Transparent $M_{x y}$ étant repéré par la distance $ρ$ le séparant de $O$
Modèle:Transparentet par l'angle orienté $θ$ ^[5] que fait
Modèle:Transparent $\vec{O M_{x y}}$ avec $\vec{O x}$ ;
Modèle:Alle nom complet du repérage est repérage cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ d'axe $\vec{O z}$ .
Modèle:AlVoir schéma en perspective ci-contre.

Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point

Modèle:AlLes coordonnées cylindro-polaires $($ ou cylindriques $)$ de $M$ sont $(ρ, θ, z)$ avec
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $ρ = ‖ \vec{O M_{x y}} ‖ ⩾ 0$ » sa « coordonnée radiale »^[6],
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $θ = \hat{(\vec{O x}, \vec{O M_{x y}})} \in] - π, + π]$ » sa « coordonnée angulaire »^[7] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $z = \overline{O M_{z}}$ » sa cote ;

Modèle:Alil faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien $θ = c s t e$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentl'autre en vue de dessus $z = 0$
Modèle:Al Modèle:Transparentvoir ci-contre.

Modèle:AlOn définit la base « cylindro-polaire » $($ ou cylindrique $)$ liée à $M$ « $({\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ}, {\vec{u}}_{z})$ orthonormée directe^[2] » avec
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 1^er vecteur de la base ${\vec{u}}_{ρ} = \frac{\vec{O M_{x y}}}{ρ}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 2^nd vecteur de la base ${\vec{u}}_{θ}$ dans le plan $x O y$ « directement $⊥$ au précédent »^[8] $($ on peut encore le définir par ${\vec{u}}_{θ} = {\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{ρ})$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 3^ème vecteur de la base ${\vec{u}}_{z}$ identique au 3^ème vecteur de la base cartésienne ;

Modèle:Alcette base est liée à $M$ car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de $θ$ : $∙$ le 1^er ${\vec{u}}_{ρ} = {\vec{u}}_{ρ} (θ)$ est appelé « vecteur radial »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 2^nd ${\vec{u}}_{θ} = {\vec{u}}_{θ} (θ)$ Modèle:Transparent« vecteur orthoradial » et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 3^ème constant ${\vec{u}}_{z}$ Modèle:Transparent« vecteur axial »^[9].

Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point

Modèle:AlLe vecteur position du point $M$ s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à $M$ selon « $\vec{O M} = ρ {\vec{u}}_{ρ} + z {\vec{u}}_{z}$ »^[10],
Modèle:Alon en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position, respectivement $\overline{O M_{ρ}} = ρ$ et $\overline{O M_{z}} = z$ , sont identiques aux coordonnées radiale et axiale du point,
Modèle:Al Modèle:Transparentalors que la composante orthoradiale du vecteur position $\overline{O M_{θ}} = 0$ diffère de la coordonnée angulaire $θ$ du point^[11].

Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien

Modèle:AlVecteurs de base cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ en fonction des vecteurs de base cartésienne : ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{ρ} = \cos (θ) {\vec{u}}_{x} + \sin (θ) {\vec{u}}_{y} \\ {\vec{u}}_{θ} = \cos (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{x} + \sin (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{y} \end{matrix}}$ , le 3^ème vecteur étant le même ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{ρ} = \cos (θ) {\vec{u}}_{x} + \sin (θ) {\vec{u}}_{y} \\ {\vec{u}}_{θ} = - \sin (θ) {\vec{u}}_{x} + \cos (θ) {\vec{u}}_{y} \end{matrix}}$ ^[12].

Modèle:AlCoordonnées cylindro-polaires $($ ou cylindriques $)$ en fonction des coordonnées cartésiennes : ${\begin{matrix} ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ \cos (θ) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \sin (θ) = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{matrix}}$ ^[13], la 3^ème cordonnée étant la même.

Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire

Modèle:AlVecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ : ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{x} = \cos (- θ) {\vec{u}}_{ρ} + \sin (- θ) {\vec{u}}_{θ} \\ {\vec{u}}_{y} = \cos (- θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{ρ} + \sin (- θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{θ} \end{matrix}}$ , le 3^ème vecteur étant le même ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{x} = \cos (θ) {\vec{u}}_{ρ} - \sin (θ) {\vec{u}}_{θ} \\ {\vec{u}}_{y} = \sin (θ) {\vec{u}}_{ρ} + \cos (θ) {\vec{u}}_{θ} \end{matrix}}$ ^[12].

Modèle:AlCoordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polaires $($ ou cylindriques $)$ : ${\begin{matrix} x = ρ \cos (θ) \\ y = ρ \sin (θ) \end{matrix}}$ , la 3^ème cordonnée étant la même.

Modèle:AlRemarque : Le repérage cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ se suffit à lui-même, il ne faut jamais $-$ sauf dans de très rares cas $-$ transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ;
Modèle:Al Modèle:Transparentsi on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !

Repérage sphérique d'un point dans l'espace

Principe du repérage sphérique d'un point

Modèle:AlAppelant $M_{z}$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $\vec{O z}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $M_{x y}$ celui de $M$ sur le plan $x O y$ , on définit le demi-plan méridien contenant $(O z)$ et $M_{x y}$ ^[14] et
Modèle:Al Modèle:Transparenton repère ce demi-plan méridien par l'angle orienté $φ$ ^[15] qu'il fait avec
Modèle:Al Modèle:Transparentle demi-plan méridien de référence $x O z$ $($ analogue géographique
Modèle:Al Modèle:Transparentde la longitude $)$ , puis
Modèle:Al Modèle:Transparenton repère $M$ dans ce demi-plan méridien
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ par la distance $r$ séparant $M$ de $O$ $($ analogue géographique
Modèle:Al Modèle:Transparentde l'altitude augmentée du rayon de la Terre $)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ par l'angle orienté $θ$ ^[16] que fait $\vec{O M}$ $($ le vecteur position de $M)$
Modèle:Al Modèle:Transparentavec l'axe $\vec{O z}$ $($ analogue géographique
Modèle:Al Modèle:Transparentde la colatitude $)$ ;

Modèle:Alon obtient ainsi le repérage sphérique $($ de pôle $O$ et $)$ ^[17] d'axe $\vec{O z}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.

Modèle:AlVoir schéma en perspective ci-contre.

Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point

Modèle:AlLes coordonnées sphériques de $M$ sont $(r, θ, φ)$ avec $∙$ « $r = ‖ \vec{O M} ‖ ⩾ 0$ » son « rayon $($ polaire $)$ »^[18],
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $θ = \hat{(\vec{O z}, \vec{O M})} \in [0, + π]$ » sa « colatitude »^[19] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $φ = \hat{(\vec{O x}, \vec{O M_{x y}})} \in] - π, + π]$ » sa « longitude »^[20] ;

Modèle:Alil faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien $φ = c s t e$ et
Modèle:Al Modèle:Transparenten vue de dessus $z = 0$ ^[21],
Modèle:Al Modèle:Transparentvoir ci-contre $($ la base cylindro-polaire y est
Modèle:Al Modèle:Transparentrappelée en marron $)$ .

Modèle:AlOn définit la base « sphérique » liée à $M$ $({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ}, {\vec{u}}_{φ})$ orthonormée directe^[2] avec
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 1^er vecteur de la base ${\vec{u}}_{r} = \frac{\vec{O M}}{r}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 2^nd vecteur de la base ${\vec{u}}_{θ}$ dans le demi-plan méridien « directement $⊥$ au précédent »^[22] $($ on peut encore le définir par ${\vec{u}}_{θ} = {\vec{u}}_{φ} \land {\vec{u}}_{r}$
Modèle:Al Modèle:Transparentavec ${\vec{u}}_{φ}$ le 3^ème vecteur de la base $)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 3^ème vecteur de la base ${\vec{u}}_{φ}$ $⊥$ au demi-plan méridien et orientant ce dernier^[23] soit encore ${\vec{u}}_{φ} = {\vec{u}}_{r} \land {\vec{u}}_{θ}$ ^[24] ;

Modèle:Alcette base est liée à $M$ car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de $θ$ et $φ$ , $∙$ le 1^er ${\vec{u}}_{r} = {\vec{u}}_{r} (θ, φ)$ est appelé « vecteur radial »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le 2^nd ${\vec{u}}_{θ} = {\vec{u}}_{θ} (θ, φ)$ Modèle:Transparent « vecteur orthoradial »^[25]Modèle:,^[26] et
Modèle:Al Modèle:Transparentle 3^ème vecteur de la base sphérique dépend de $φ$ seul, $∙$ le 3^ème ${\vec{u}}_{φ} = {\vec{u}}_{φ} (φ)$ Modèle:Transparent « vecteur longitudal »^[27].

Composantes sphériques du vecteur position d'un point

Modèle:AlLe vecteur position du point $M$ s'écrivant dans la base sphérique liée à $M$ selon « $\vec{O M} = r {\vec{u}}_{r}$ »^[28],

Modèle:Alon en déduit que la composante radiale du vecteur position $\overline{O M_{r}} = r$ , est identique à la coordonnée radiale du point,
Modèle:Al Modèle:Transparentalors que les composantes orthoradiale et longitudale du vecteur position $\overline{O M_{θ}} = 0$ et $\overline{O M_{φ}} = 0$ diffèrent des coordonnées angulaires $θ$ et $φ$ du point^[29].

Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point

Modèle:AlPour un repérage sphérique $($ de pôle $O$ et $)$ ^[17] d'axe $\vec{O z}$ , l'axe $\vec{O z}$ est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, $∙$ « $r$ est l'altitude augmentée du rayon de la Terre »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{u}}_{r}$ le vecteur unitaire vertical $↑$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $θ$ la colatitude »^[30],
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{u}}_{θ}$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $φ$ la longitude » et
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{u}}_{φ}$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ».

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point

Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire

Modèle:AlVecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ : ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{r} & = & \cos (θ) {\vec{u}}_{z} & + & \sin (θ) {\vec{u}}_{ρ} \\ {\vec{u}}_{θ} & = & \cos (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{z} & + & \sin (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{ρ} \\ {\vec{u}}_{φ} & = & {\vec{u}}_{θ_{cyl}} \end{matrix}}$ ^[24] ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{r} & = & \cos (θ) {\vec{u}}_{z} & + & \sin (θ) {\vec{u}}_{ρ} \\ {\vec{u}}_{θ} & = & - \sin (θ) {\vec{u}}_{z} & + & \cos (θ) {\vec{u}}_{ρ} \end{matrix}}$ ^[12]Modèle:,^[24].

Modèle:AlCoordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polaires $($ ou cylindriques $)$ : ${\begin{matrix} r & = & \sqrt{z^{2} + ρ^{2}} \\ \cos (θ) & = & \frac{z}{\sqrt{z^{2} + ρ^{2}}} \\ φ & = & θ_{cylind} \end{matrix}}$ ^[31] ${$ $θ \in [0, + π]$ $\Rightarrow$ $\cos (θ)$ suffisant pour déterminer $θ}$ .

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique

Modèle:AlVecteurs de base cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ en fonction des vecteurs de base sphérique : ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{z} & = & \cos (- θ) {\vec{u}}_{r} & + & \sin (- θ) {\vec{u}}_{θ} \\ {\vec{u}}_{ρ} & = & \cos (- θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{r} & + & \sin (- θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{θ} \\ {\vec{u}}_{θ_{cyl}} & = & {\vec{u}}_{φ} \end{matrix}}$ ^[24] ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{z} & = & \cos (θ) {\vec{u}}_{r} & - & \sin (θ) {\vec{u}}_{θ} \\ {\vec{u}}_{ρ} & = & \sin (θ) {\vec{u}}_{r} & + & \cos (θ) {\vec{u}}_{θ} \end{matrix}}$ ^[12]Modèle:,^[24].

Modèle:AlCoordonnées cylindro-polaires $($ ou cylindriques $)$ en fonction des coordonnées sphériques : ${\begin{matrix} z & = & r \cos (θ) \\ ρ & = & r \sin (θ) \\ θ_{cylind} & = & φ \end{matrix}}$ ^[31].

Modèle:AlRemarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ ^[32] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentsi on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire,
Modèle:Al Modèle:Transparentexemple d'un déplacement sur une sphère $\Rightarrow$ seules $θ$ et $φ$ varient !

Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point

Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien

Modèle:AlVecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cartésienne : ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{r} & = & \cos (θ) {\vec{u}}_{z} & + & \sin (θ) \cos (φ) {\vec{u}}_{x} & + & \sin (θ) \sin (φ) {\vec{u}}_{y} \\ {\vec{u}}_{θ} & = & - \sin (θ) {\vec{u}}_{z} & + & \cos (θ) \cos (φ) {\vec{u}}_{x} & + & \cos (θ) \sin (φ) {\vec{u}}_{y} \\ {\vec{u}}_{φ} & = & - \sin (φ) {\vec{u}}_{x} & + & \cos (φ) {\vec{u}}_{y} \end{matrix}}$ ^[33].

Modèle:AlCoordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes : ${\begin{matrix} r & = & \sqrt{z^{2} + ρ^{2}} & = & \sqrt{z^{2} + x^{2} + y^{2}} \\ \cos (θ) & = & \frac{z}{\sqrt{z^{2} + ρ^{2}}} & = & \frac{z}{\sqrt{z^{2} + x^{2} + y^{2}}} \\ \cos (φ) & = & \frac{x}{ρ} & = & \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \sin (φ) & = & \frac{y}{ρ} & = & \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{matrix}}$ ^[34]Modèle:,^[35], ${$ $θ \in [0, + π]$ $\Rightarrow$ $\cos (θ)$ suffisant pour déterminer $θ}$ .

Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique

Modèle:AlVecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{z} = {\vec{u}}_{z} \\ {\vec{u}}_{x} = \cos (φ) {\vec{u}}_{ρ} - \sin (φ) {\vec{u}}_{φ} \\ {\vec{u}}_{y} = \sin (φ) {\vec{u}}_{ρ} + \cos (φ) {\vec{u}}_{φ} \end{matrix}}$ puis
Modèle:Al Modèle:Transparentla base cylindro-polaire dans la base sphérique ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{z} & = & \cos (θ) {\vec{u}}_{r} & - & \sin (θ) {\vec{u}}_{θ} \\ {\vec{u}}_{x} & = & \sin (θ) \cos (φ) {\vec{u}}_{r} & + & \cos (θ) \cos (φ) {\vec{u}}_{θ} & - & \sin (φ) {\vec{u}}_{φ} \\ {\vec{u}}_{y} & = & \sin (θ) \sin (φ) {\vec{u}}_{r} & + & \cos (θ) \sin (φ) {\vec{u}}_{θ} & + & \cos (φ) {\vec{u}}_{φ} \end{matrix}}$ .

Modèle:AlCoordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques : ${\begin{matrix} z & = & r \cos (θ) \\ x & = & ρ \cos (φ) & = & r \sin (θ) \cos (φ) \\ y & = & ρ \sin (φ) & = & r \sin (θ) \sin (φ) \end{matrix}}$ ^[36].

Modèle:AlRemarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ;
Modèle:Al Modèle:Transparentsi, dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose, il ne sera jamais intéressant de remplacer le repérage sphérique par le repérage cartésien.

Vecteur déplacement élémentaire d'un point

Définition intrinsèque

Modèle:AlLa notion de vecteur déplacement d'un point à partir d'une position quelconque $M$ nécessite de préciser la position finale $M_{f}$ du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant $\vec{M M_{f}}$ ;
Modèle:Alsi la position finale $M_{f}$ reste proche de la position initiale $M$ , on substitue la notation $M^{″}$ à celle de $M_{f}$ et le vecteur déplacement $\vec{M M^{″}}$ est qualifié de « petit » ;
Modèle:Alpour $M^{″}$ infiniment proche de $M$ $($ suivant une direction d'approche fixée $)$ , on substitue la notation $M^{'}$ à celle de $M^{″}$ et le vecteur déplacement $\vec{M M^{'}}$ est qualifié d'élémentaire.

Modèle:AlLe vecteur déplacement élémentaire $\vec{M M^{'}}$ à partir d'une position quelconque $M$ en suivant une direction fixée peut être considéré aussi comme obtenu en suivant une courbe passant par $M$ ^[37] ;

Modèle:Alen conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'une position $M$ s'identifie à
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue dans le chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »^[38] ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $\vec{M M^{'}} = d [\vec{O M}]$ ou simplement « $\vec{M M^{'}} = \vec{d M}$ »^[39] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $(Γ)$ est tangent à la courbe en $M$ , dans la mesure où $\vec{d M} \neq \vec{0}$ ^[40].

Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien

Modèle:AlPour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit $\vec{O M} = x {\vec{u}}_{x} + y {\vec{u}}_{y} + z {\vec{u}}_{z}$ $\Rightarrow$ $\vec{d M} = d x {\vec{u}}_{x} + d y {\vec{u}}_{y} + d z {\vec{u}}_{z}$ , les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle. Modèle:Proposition

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Modèle:AlPour créer un déplacement élémentaire du point $M$ en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $M$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

suivant ${\vec{u}}_{x}$ , on se déplace selon la droite passant par $M$ et $∥$ à ${\vec{u}}_{x}$ $($ c.-à-d. d'équations $y = c s t e$ et $z = c s t e)$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $d x$ d'où $\vec{d M_{x}} = d x {\vec{u}}_{x}$ ,
suivant ${\vec{u}}_{y}$ , on se déplace selon la droite passant par $M$ et $∥$ à ${\vec{u}}_{y}$ $($ c.-à-d. d'équations $x = c s t e$ et $z = c s t e)$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $d y$ d'où $\vec{d M_{y}} = d y {\vec{u}}_{y}$ ,
suivant ${\vec{u}}_{z}$ , on se déplace selon la droite passant par $M$ et $∥$ à ${\vec{u}}_{z}$ $($ c.-à-d. d'équations $x = c s t e$ et $y = c s t e)$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $d z$ d'où $\vec{d M_{z}} = d z {\vec{u}}_{z}$ ,

Modèle:Alle vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\vec{d M} = \vec{d M_{x}} + \vec{d M_{y}} + \vec{d M_{z}}$ se réécrit $\vec{d M} = d x {\vec{u}}_{x} + d y {\vec{u}}_{y} + d z {\vec{u}}_{z}$ , ses composantes cartésiennes étant donc $(d x, d y, d z)$ .

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

Modèle:AlConsidérons la parabole d'équations cartésiennes ${\begin{matrix} y = a x^{2} \\ z = 0 \end{matrix}}$ ^[41] et différencions ces équations : on obtient alors ${\begin{matrix} d y = 2 a x d x \\ d z = 0 \end{matrix}}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole s'explicite en fonction de l'élément différentiel $d x$ selon
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{d M} = d x {\vec{u}}_{x} + d y {\vec{u}}_{y} + d z {\vec{u}}_{z} = [{\vec{u}}_{x} + 2 a x {\vec{u}}_{y}] d x$ »^[42] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentd'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
Modèle:Al Modèle:Transparentd'autre part, pour $d x > 0$ , la composante vectorielle sur ${\vec{u}}_{x}$ $\vec{d M_{x}}$ est toujours dans le sens de ${\vec{u}}_{x}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentla composante vectorielle sur ${\vec{u}}_{y}$ $\vec{d M_{y}}$ est de sens contraire à ${\vec{u}}_{y}$ pour $x < 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparents'annule pour $x = 0$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentest dans le sens de ${\vec{u}}_{y}$ pour $x > 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentde norme d'autant plus grande que $| x |$ l'est^[43] $\dots$

Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Calcul préliminaire

Modèle:AlPour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire $($ ou cylindrique $)$ nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit $\vec{O M} = ρ {\vec{u}}_{ρ} + z {\vec{u}}_{z}$ $\Rightarrow$ $\vec{d M} = d ρ {\vec{u}}_{ρ} + ρ d [{\vec{u}}_{ρ}] + d z {\vec{u}}_{z}$ ^[44].

Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire

Modèle:AlPour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle $θ$ dont ils dépendent soit
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} {\vec{u}}_{ρ} & = & \cos (θ) {\vec{u}}_{x} & + & \sin (θ) {\vec{u}}_{y} \\ {\vec{u}}_{θ} & = & \cos (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{x} & + & \sin (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{y} \\ {\vec{u}}_{z} & = & {\vec{u}}_{z} \end{matrix}}$ ^[45] ;
Modèle:Alon utilise ${\begin{matrix} d [{\vec{u}}_{ρ}] = \frac{d [{\vec{u}}_{ρ}]}{d θ} d θ \\ d [{\vec{u}}_{θ}] = \frac{d [{\vec{u}}_{θ}]}{d θ} d θ \\ d [{\vec{u}}_{z}] = \vec{0} \end{matrix}}$ ^[46] avec les dérivées par rapport à $θ$ des deux 1^ers vecteurs de base égales à ${\begin{matrix} \frac{d [{\vec{u}}_{ρ}]}{d θ} & = & \cos (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{x} & + & \sin (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{y} & = & {\vec{u}}_{θ} \\ \frac{d [{\vec{u}}_{θ}]}{d θ} & = & \cos (θ + π) {\vec{u}}_{x} & + & \sin (θ + π) {\vec{u}}_{y} & = & - {\vec{u}}_{ρ} \end{matrix}}$ ^[47]Modèle:,^[48] soit : Modèle:Proposition Modèle:AlLe report dans les expressions des différentielles nous conduisent à ${\begin{matrix} d [{\vec{u}}_{ρ}] = {\vec{u}}_{θ} d θ \\ d [{\vec{u}}_{θ}] = - {\vec{u}}_{ρ} d θ \\ d [{\vec{u}}_{z}] = \vec{0} \end{matrix}}$ .

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire

Modèle:AlOn reporte l'expression de $d [{\vec{u}}_{ρ}]$ dans celle de $\vec{d M}$ obtenue en calcul préliminaire et on trouve $\vec{d M} = d ρ {\vec{u}}_{ρ} + ρ {\vec{u}}_{θ} d θ + d z {\vec{u}}_{z}$ . Modèle:Proposition

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Modèle:AlPour créer un déplacement élémentaire du point $M$ en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $M$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

suivant ${\vec{u}}_{ρ}$ , on se déplace selon la demi-droite passant par $M$ et $∥$ à ${\vec{u}}_{ρ}$ $($ c.-à-d. d'équations $θ = c s t e$ et $z = c s t e)$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $d ρ$ d'où
Modèle:Transparent« $\vec{d M_{ρ}} = d ρ {\vec{u}}_{ρ}$ »,
suivant ${\vec{u}}_{θ}$ , on se déplace selon le cercle passant par $M$ et d'axe $O z$ $($ c.-à-d. d'équations $ρ = c s t e$ et $z = c s t e)$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $ρ d θ$ ^[49] d'où
Modèle:Transparent« $\vec{d M_{θ}} = ρ d θ {\vec{u}}_{θ}$ »,
suivant ${\vec{u}}_{z}$ , on se déplace selon la droite passant par $M$ et $∥$ à ${\vec{u}}_{z}$ $($ c.-à-d. d'équations $ρ = c s t e$ et $θ = c s t e)$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $d z$ d'où
Modèle:Transparent« $\vec{d M_{z}} = d z {\vec{u}}_{z}$ »,

Modèle:Alle vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\vec{d M} = \vec{d M_{ρ}} + \vec{d M_{θ}} + \vec{d M_{z}}$ se réécrit « $\vec{d M} = d ρ {\vec{u}}_{ρ} + ρ d θ {\vec{u}}_{θ} + d z {\vec{u}}_{z}$ », ses composantes cylindro-polaires étant donc $(d ρ, ρ d θ, d z)$ .

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires

Modèle:AlCi-contre à gauche le tracé d'une hélice circulaire droite^[50] d'axe $z^{'} z$ ;

Modèle:Alci-contre à droite le tracé de la surface d'équation cylindro-polaire « cote $\propto$ à l'abscisse angulaire » qui est une des deux équations cylindro-polaires définissant l'hélice circulaire droite^[50] d'axe $z^{'} z$ , l'autre surface étant un tuyau cylindrique de révolution d'axe $z^{'} z$ .

Modèle:AlVecteur déplacement élémentaire le long d'une hélice circulaire droite^[50] d'axe $z^{'} z$ : Soit l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires « ${\begin{matrix} ρ = a \\ z = h θ \end{matrix}}$ »^[51], nous cherchons à déterminer le vecteur déplacement élémentaire $\vec{d M}$ du point générique $M$ de l'hélice circulaire et pour cela nous différencions les équations de cette dernière : on obtient alors « ${\begin{matrix} d ρ = 0 \\ d z = h d θ \end{matrix}}$ » et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice circulaire peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel $d θ$ selon
Modèle:Al« $\vec{d M} = [a {\vec{u}}_{θ} + h {\vec{u}}_{z}] d θ$ »^[52].

Modèle:AlCommentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite^[50] d'axe $z^{'} z$ : $∙$ il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ pour $d θ > 0$ , la composante vectorielle sur ${\vec{u}}_{θ}$ , $\vec{d M_{θ}}$ est toujours dans le sens de ${\vec{u}}_{θ}$ et Modèle:Al Modèle:Transparentcelle sur ${\vec{u}}_{z}$ , $\vec{d M_{z}}$ est de sens contraire à ${\vec{u}}_{z}$ pour $h < 0$ ^[53], et
Modèle:Al Modèle:Transparentdans le sens de ${\vec{u}}_{z}$ pour $h > 0$ ^[54],
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de $θ$ ^[55] $\dots$

Modèle:AlQuelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec $z \propto$ à $θ$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentsi on « développe » le tuyau cylindrique de révolution de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'hélice circulaire se « développe » en une droite c.-à-d. en une courbe de « pente constante »^[56] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentelle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre $z$ et $θ$ est $> 0$ , $\Rightarrow$ elle « monte » dans le sens trigonométrique^[57]
Modèle:Al Modèle:Transparentun observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ;
Modèle:Al Modèle:Transparentelle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre $z$ et $θ$ est $< 0$ , elle « monte » dans le sens anti-trigonométrique^[58],
Modèle:Al Modèle:Transparentun observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton définit le pas de l'hélice circulaire par la variation de cote correspondant à un tour complet soit
Modèle:Al Modèle:Transparentun pas de $2 π | h |$ pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon $z = h θ$ .

Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Calcul préliminaire

Modèle:AlPour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit $\vec{O M} = r {\vec{u}}_{r}$ $\Rightarrow$ $\vec{d M} = d r {\vec{u}}_{r} + r d [{\vec{u}}_{r}]$ ^[59].

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Modèle:AlPour créer un déplacement élémentaire du point $M$ en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $M$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

suivant ${\vec{u}}_{r}$ , on se déplace selon la demi-droite passant par $M$ et $∥$ à ${\vec{u}}_{r}$ ^[60] $($ c.-à-d. d'équations $θ = c s t e$ et $φ = c s t e)$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $d r$ d'où
Modèle:Transparent« $\vec{d M_{r}} = d r {\vec{u}}_{r}$ »,
suivant ${\vec{u}}_{θ}$ , on se déplace selon le demi-cercle méridien passant par $M$ ^[61] $($ c.-à-d. d'équations $r = c s t e$ et $φ = c s t e)$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $r d θ$ ^[62] d'où
Modèle:Transparent« $\vec{d M_{θ}} = r d θ {\vec{u}}_{θ}$ »,
suivant ${\vec{u}}_{φ}$ , on se déplace selon le cercle « parallèle » passant par $M$ ^[63] $($ c.-à-d. d'équations $r = c s t e$ et $θ = c s t e)$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $[r \sin (θ)] d φ$ ^[64] d'où Modèle:Transparent« $\vec{d M_{φ}} = r \sin (θ) {\vec{u}}_{φ}$ »,

Modèle:Alle vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\vec{d M} = \vec{d M_{r}} + \vec{d M_{θ}} + \vec{d M_{φ}}$ se réécrit « $\vec{d M} = d r {\vec{u}}_{r} + r d θ {\vec{u}}_{θ} + r \sin (θ) d φ {\vec{u}}_{φ}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentses composantes sphériques étant $[d r, r d θ, r \sin (θ) d φ]$ .

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique

Modèle:Proposition

Complément : différentielle des vecteurs de base sphérique

Modèle:AlNous utilisons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace utilisant la notion de dérivées partielles vue chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\begin{matrix} d [{\vec{u}}_{r}] = {[\frac{\partial ({\vec{u}}_{r})}{\partial θ}]}_{φ} (θ, φ) d θ + {[\frac{\partial ({\vec{u}}_{r})}{\partial φ}]}_{θ} (θ, φ) d φ \\ d [{\vec{u}}_{θ}] = {[\frac{\partial ({\vec{u}}_{θ})}{\partial θ}]}_{φ} (θ, φ) d θ + {[\frac{\partial ({\vec{u}}_{θ})}{\partial φ}]}_{θ} (θ, φ) d φ \\ d [{\vec{u}}_{φ}] = \frac{d ({\vec{u}}_{φ})}{d φ} (φ) d φ \end{matrix}}$ »^[65].

Détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique

Modèle:AlPour cela on utilise la décomposition de ${\vec{u}}_{r}$ dans la base cylindro-polaire $({\vec{u}}_{z}, {\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{φ})$ ^[66] soit :
Modèle:Al« ${\vec{u}}_{r} = \cos (θ) {\vec{u}}_{z} + \sin (θ) {\vec{u}}_{ρ} (φ)$ » $\Rightarrow$ « ${[\frac{\partial ({\vec{u}}_{r})}{\partial θ}]}_{φ} = \cos (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{z} + \sin (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{ρ} (φ)$ »^[67] d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement $⊥$ à ${\vec{u}}_{r}$ c.-à-d. ${\vec{u}}_{θ}$ , en conclusion on a « ${[\frac{\partial ({\vec{u}}_{r})}{\partial θ}]}_{φ} = {\vec{u}}_{θ}$ » ;
Modèle:Al« ${\vec{u}}_{r} = \cos (θ) {\vec{u}}_{z} + \sin (θ) {\vec{u}}_{ρ} (φ)$ » $\Rightarrow$ « ${[\frac{\partial ({\vec{u}}_{r})}{\partial φ}]}_{θ} = \sin (θ) \frac{d [{\vec{u}}_{ρ}]}{d φ}$ »^[68] ou, ${\vec{u}}_{ρ}$ étant un vecteur unitaire du plan équatorial $x O y$ $\Rightarrow$ $\frac{d [{\vec{u}}_{ρ}]}{d φ} = {\vec{u}}_{φ}$ ^[69], en conclusion on a « ${[\frac{\partial ({\vec{u}}_{r})}{\partial φ}]}_{θ} = \sin (θ) {\vec{u}}_{φ}$ ».

Détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique

Modèle:AlPour cela on utilise la décomposition de ${\vec{u}}_{θ}$ dans la base cylindro-polaire $({\vec{u}}_{z}, {\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{φ})$ ^[66] soit :
Modèle:Al« ${\vec{u}}_{θ} = \cos (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{z} + \sin (θ + \frac{π}{2}) {\vec{u}}_{ρ} (φ)$ » $\Rightarrow$ « ${[\frac{\partial ({\vec{u}}_{θ})}{\partial θ}]}_{φ} = \cos (θ + π) {\vec{u}}_{z} + \sin (θ + π) {\vec{u}}_{ρ} (φ)$ »^[67] d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement $⊥$ à ${\vec{u}}_{θ}$ Modèle:Nobr $- {\vec{u}}_{r}$ , en conclusion on a « ${[\frac{\partial ({\vec{u}}_{θ})}{\partial θ}]}_{φ} = - {\vec{u}}_{r}$ » ;
Modèle:Al« ${\vec{u}}_{θ} = - \sin (θ) {\vec{u}}_{z} + \cos (θ) {\vec{u}}_{ρ} (φ)$ »^[12] $\Rightarrow$ « ${[\frac{\partial ({\vec{u}}_{θ})}{\partial φ}]}_{θ} = \cos (θ) \frac{d [{\vec{u}}_{ρ}]}{d φ}$ »^[68] ou, sachant que $\frac{d [{\vec{u}}_{ρ}]}{d φ} = {\vec{u}}_{φ}$ ^[69], on en déduit en conclusion « ${[\frac{\partial ({\vec{u}}_{θ})}{\partial φ}]}_{θ} = \cos (θ) {\vec{u}}_{φ}$ ».

Détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique

Modèle:Al ${\vec{u}}_{φ}$ étant un vecteur unitaire du plan équatorial $x O y$ et dérivant par rapport à l'angle $φ$ qu'il fait avec la direction $O y$ fixe de ce plan $\Rightarrow$ « $\frac{d [{\vec{u}}_{φ}]}{d φ} = - {\vec{u}}_{ρ}$ »^[69] ;
Modèle:Alil reste alors à décomposer ${\vec{u}}_{ρ}$ dans la base sphérique^[70], ce qui donne ${\vec{u}}_{ρ} = \sin (θ) {\vec{u}}_{r} + \cos (θ) {\vec{u}}_{θ}$ d'où « $\frac{d [{\vec{u}}_{φ}]}{d φ} = - \sin (θ) {\vec{u}}_{r} - \cos (θ) {\vec{u}}_{θ}$ ».

Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique

«

{\begin{matrix} d [{\vec{u}}_{r}] & = & {\vec{u}}_{θ} d θ & + & \sin (θ) {\vec{u}}_{φ} d φ \\ d [{\vec{u}}_{θ}] & = & - {\vec{u}}_{r} d θ & + & \cos (θ) {\vec{u}}_{φ} d φ \\ d [{\vec{u}}_{φ}] & = & - & [\sin (θ) {\vec{u}}_{r} + \cos (θ) {\vec{u}}_{θ}] d φ \end{matrix}}

».

Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du 1^er vecteur de base sphérique

Modèle:AlReprenant le résultat du calcul préliminaire

\vec{d M} = d r {\vec{u}}_{r} + r d [{\vec{u}}_{r}]

et y reportant

d [{\vec{u}}_{r}] = {\vec{u}}_{θ} d θ + \sin (θ) {\vec{u}}_{φ} d φ

nous trouvons effectivement

«

\vec{d M} = d r {\vec{u}}_{r} + r d θ {\vec{u}}_{θ} + r \sin (θ) d φ {\vec{u}}_{φ}

»^[71].

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques

Modèle:AlConsidérons la loxodromie de sphère de pente $\frac{π}{6}$ par rapport aux parallèles $($ tracée en rouge sur le schéma ci-contre $)$ d'équations sphériques ${\begin{matrix} r = a \\ φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{θ}{2})] \end{matrix}}$ ^[73], pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère au point $M$ , nous différencions ses équations et obtenons alors « ${\begin{matrix} d r = 0 \\ d φ = - \tan (\frac{π}{3}) \frac{d θ}{2 \cos^{2} (\frac{θ}{2}) \tan (\frac{θ}{2})} \end{matrix}}$ »^[74]Modèle:,^[75] ou $d φ = - \frac{\tan (\frac{π}{3}) d θ}{2 \cos (\frac{θ}{2}) \sin (\frac{θ}{2})}$ ou encore $d φ = - \frac{\tan (\frac{π}{3}) d θ}{\sin (θ)}$ ^[76] soit finalement « $φ = \frac{- \tan (\frac{π}{3})}{\sin (θ)} d θ$ », d'où le vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère en fonction de l'élément différentiel $d θ$ « $\vec{d M} = [a {\vec{u}}_{θ} - a \sin (θ) \frac{\tan (\frac{π}{3})}{\sin (θ)} {\vec{u}}_{φ}] d θ$ »^[77] Modèle:Nobr pas oublier $\vec{d M_{θ}} = a {\vec{u}}_{θ} d θ]$ soit finalement, après une transformation élémentaire, « $\vec{d M} = [{\vec{u}}_{θ} - \tan (\frac{π}{3}) {\vec{u}}_{φ}] a d θ$ »^[78] ;

Modèle:AlCommentaires sur le vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère de pente $30 °$ par rapport aux Modèle:Nobr
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ il n'existe aucun point de la loxodromie sphérique
Modèle:Al Modèle:Transparentde vecteur déplacement élémentaire nul,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ pour $d θ < 0$ , la composante vectorielle sur ${\vec{u}}_{θ}$ , $\vec{d M_{θ}}$ , est toujours dans le sens contraire de ${\vec{u}}_{θ}$ c.-à-d. vers le Nord et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle sur ${\vec{u}}_{φ}$ , $\vec{d M_{φ}}$ , est dans le sens de ${\vec{u}}_{φ}$ c.-à-d. vers l'Est,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ pour $d θ > 0$ , la composante vectorielle sur ${\vec{u}}_{θ}$ , $\vec{d M_{θ}}$ , est toujours dans le sens de ${\vec{u}}_{θ}$ c.-à-d. vers le Sud et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle sur ${\vec{u}}_{φ}$ , $\vec{d M_{φ}}$ , est en sens contraire de ${\vec{u}}_{φ}$ c.-à-d. vers l'Ouest ;
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la norme ainsi que la pente dans le plan tangent à la sphère du vecteur déplacement élémentaire sont indépendantes de $θ$ ^[79] $\dots$

Modèle:AlRemarque : Pour mieux faire apparaître la loxodromie de sphère, sa projetée sur le plan équatorial de la sphère a été tracée en vert, elle porte le nom de « spirale de Poinsot bornée »^[72].

Repérages d'une courbe dans l'espace

Repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe

Modèle:AlDans un repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut deux équations pour caractériser une courbe, pour mémoire revoir les trois exemples précédemment exposés :

Parabole en cartésien caractérisée comme intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan^[80]

Hélice circulaire droite^[50] caractérisée comme intersection d'un tuyau cylindrique de révolution et d'une « nappe en colimaçon »^[80]

Loxodromie sphérique caractérisée comme intersection d'une sphère et d'une autre surface hors nomenclature $($ ensemble de demi-droites issues de $O)$ ^[80]

la parabole d'équations « ${\begin{matrix} y = a x^{2} \\ z = 0 \end{matrix}}$ »^[41] repérée en cartésien $($ ci-contre à gauche $)$ ,
Modèle:Transparentla 1^ère équation « $y = a x^{2}$ » caractérisant un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $z^{'} z$ et
Modèle:Transparentla 2^nde « $z = 0$ » le plan $x O y$ ;
l'hélice circulaire d'équations « ${\begin{matrix} ρ = a \\ z = h θ \end{matrix}}$ »^[51] repérée en cylindro-polaire Modèle:Nobr à droite $)$ ,
Modèle:Transparentla 1^ère équation « $ρ = a$ » caractérisant un tuyau cylindrique de révolution d'axe $z^{'} z$ et de rayon $a$ ,
Modèle:Transparentla 2^nde « $z = h θ$ » une surface sans nom mathématique mais que l'on pourrait appeler « rampe en colimaçon » constituée de demi-droites $∥$ au plan $x O y$ issues d'un point de l'axe $z^{'} z$ de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire $(z$ fonction de $θ)$ ;
la loxodromie sphérique de pente $\frac{π}{6}$ par rapport aux parallèles, d'équations
Modèle:Al« ${\begin{matrix} r = a \\ φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{θ}{2})] \end{matrix}}$ »^[73] repérée en sphérique
Modèle:Al $($ ci-contre à droite $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla 1^ère équation « $r = a$ » caractérisant une sphère de centre
Modèle:Al $O$ dont le rayon est $a$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentla 2^nde « $φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{θ}{2})]$ » une surface
Modèle:Alsans nom mathématique constituée de demi-droites issues de $O$
Modèle:Alplus ou moins inclinées suivant la valeur de la colatitude $θ$
Modèle:Al $($ la longitude $φ$ étant fonction de la colatitude $θ)$ .

Repérage paramétrique d'une courbe

Modèle:AlEn repérage paramétrique, qu'il soit cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut trois équations paramétriques pour caractériser une courbe^[81] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentci-dessous un exemple de courbe en repérage paramétrique cartésien^[82] :

Modèle:AlSoient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe $(𝒯)$ « ${\begin{matrix} x = \frac{t}{2} \\ y = t^{2} - 1 \\ z = 2 t + 1 \end{matrix}}$ », nous nous proposons d'établir
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ le caractère plan de la courbe et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ la nature de cette dernière ;

pour démontrer la nature plane de la courbe il faut trouver une relation affine entre $x$ , $y$ et $z$ en éliminant le paramètre $t$
Modèle:Transparententre les équations paramétriques affines $(1)$ et $(3)$ soit « ${\begin{matrix} t = 2 x, (1^{'}) \\ z = 2 t + 1 \end{matrix}}$ » $\Rightarrow$ en
Modèle:Transparentreportant $(1^{'})$ dans $(3)$ , $z = 2 (2 x) + 1$ ou « $z = 4 x + 1$ » équation cartésienne
Modèle:Transparentd'un plan,
Modèle:Transparent« plan $∥$ à $y^{'} y$ de trace dans le plan $z O x$ , la droite d'équation $z = 4 x + 1$
Modèle:Transparentpassant par le point $(2, 0, 9)$ »^[83] d'où la nature plane de $(𝒯)$ ;
pour déterminer la nature de la courbe il faut établir une 2^ème équation cartésienne de $(𝒯)$ , la 1^ère étant celle du plan précédent,
Modèle:Transparentpour cela, éliminer le paramètre $t$ entre les équations paramétriques $(1)$ et $(2)$ soit
Modèle:Transparent« ${\begin{matrix} t = 2 x, (1^{'}) \\ y = t^{2} - 1 \end{matrix}}$ » $\Rightarrow$ en reportant $(1^{'})$ dans $(2)$ , $y = (2 x)^{2} - 1$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $y = 4 x^{2} - 1$ »^[84] équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $z^{'} z$ ;
Modèle:Transparentles deux équations cartésiennes de la courbe $(𝒯)$ sont « ${\begin{matrix} z = 4 x + 1 \\ y = 4 x^{2} - 1 \end{matrix}}$ » $\Rightarrow$ $(𝒯)$ est l'intersection du cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $z^{'} z$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentdu plan $∥$ à $y^{'} y$ passant par le point $(2, 0, 9)$ ,
Modèle:Transparenten conclusion $(𝒯)$ étant l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $z^{'} z$ et d'un plan $∦$ à $z^{'} z$ est une parabole^[85].

Modèle:AlRemarque : utiliser la 2^ème équation paramétrique pour éliminer le paramètre était possible mais aurait été particulièrement maladroit en effet cela aurait conduit à « ${\begin{matrix} t = \pm \sqrt{y + 1} \\ x = \frac{t}{2} \\ z = 2 t + 1 \end{matrix}}$ » soient,
Modèle:Al Modèle:Transparentpar report, les deux équations cartésiennes « ${\begin{matrix} x = \pm \frac{\sqrt{y + 1}}{2} \\ z = \pm 2 \sqrt{y + 1} + 1 \end{matrix}}$ » dont aucune n'est une relation affine $($ bien que la courbe soit plane, elle est déterminée ici $-$ à l'aide de cette
Modèle:Al Modèle:Transparentélimination maladroite $-$ par l'intersection de deux surfaces non planes $)$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentles deux équations cartésiennes obtenues en éliminant le paramètre $t$ à l'aide de la 2^ème équation paramétrique se réécrivant « ${\begin{matrix} x^{2} = \frac{y + 1}{4} \\ z^{2} = 4 (y + 1) + 1 \end{matrix}}$ » $\Leftrightarrow$ « ${\begin{matrix} x^{2} = \frac{y + 1}{4} \\ z^{2} = 4 y + 5 \end{matrix}}$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentne permettent pas de déterminer le caractère plan de la courbe ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentla nature de cette dernière
Modèle:Al Modèle:Transparentcar elle est l'intersection de deux cylindres paraboliques de génératrices $∥$ respectivement à $z^{'} z$ et à $x^{'} x$
Modèle:Al Modèle:Transparentdont l'intersection nécessiterait une étude plus poussée.

Choix du système de coordonnées adapté au problème

Modèle:AlLe plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice $($ et a priori vous ne devez en aucun cas en changer $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentmais si l'initiative du choix vous est laissée, vous adoptez le système adapté au problème à savoir :

le système de coordonnées cylindro-polaires $($ ou cylindriques $)$ d'axe $O z$ pour un problème ayant l'« invariance par symétrie de révolution d'axe $O z$ » $($ c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de l'axe $O z$ , ne dépendant donc pas de l'abscisse angulaire $θ$ , par exemple l'écoulement de l'eau à l'intérieur d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $O z$ ou la marche d'une fourmi sur la surface latérale extérieure de ce tuyau cylindrique de révolution $)$ ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon polaire $ρ$ ^[86] ne varie pas $($ par exemple la montée d'une fourmi sur une hélice circulaire, courbe tracée sur un tuyau cylindrique de révolution $)$ ,
le système de coordonnées sphériques de pôle $O$ pour un problème possédant l'« invariance par symétrie sphérique de centre $O$ » $($ c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de n'importe quel axe passant par $O$ , ne dépendant donc pas de la colatitude $θ$ et de la longitude $φ$ relativement à un axe quelconque choisi comme axe $O z$ , par exemple $-$ en restant dans le cadre de la « mécanique classique »^[87] $-$ le « mouvement de l'électron dans un atome d'hydrogène autour de son noyau »^[88] ou le « mouvement d'un satellite autour de la Terre » ou la marche d'une fourmi sur un ballon de Modèle:Nobr ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon $($ polaire $)$ $r$ ne varie pas $($ par exemple la marche d'une fourmi sur un ballon de handball en rotation autour d'un axe vertical, la rotation rendant la marche moins assurée au niveau équatorial du ballon que près d'un pôle c.-à-d. que les conditions de maintien sur le ballon dépendent de la colatitude de la fourmi sur le ballon, maintien plus difficile au niveau équatorial qu'à un des pôles^[89] $)$ ,
le système de coordonnées cartésiennes pour un problème ne possédant aucune des invariances précédentes et pour lequel on cherche la description du mouvement d'un objet relativement à des plans fixes $($ par exemple le drop d'un ballon de rugby pour savoir si ce mouvement va passer au-dessus de la barre transversale $)$ .

En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe

Modèle:AlL'introduction du repérage de Frenet^[90] est présentée « en complément »^[91], toutefois il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions utilisées dans la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou la « vitesse lue sur un tachymètre » ou l'« accélération $($ tangentielle $)$ le long d'une courbe »^[92].

Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée

Modèle:AlCes notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » et
Modèle:Al Modèle:Transparent« définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale deFrenet »^[90]
Modèle:Al Modèle:Transparentdu chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
Modèle:Al Modèle:Transparentseules les grandes lignes sont rappelées ci-dessous :

Modèle:AlSur une courbe continue $(Γ)$ plane ou gauche, on choisit arbitrairement un sens « $+$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparentune « origine $A$ » de mesure des abscisses curvilignes ;
Modèle:Al Modèle:Transparentle « point générique $M$ » de $(Γ)$ est repéré par son « abscisse curviligne $s = \overset{↷}{A M}$ » $[$ longueur
Modèle:Al Modèle:Transparentalgébrique parcourue dans le sens « $+$ » sur $(Γ)$ à partir de $A]$ ^[93] ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton définit, en tout point $M$ non anguleux^[94] de $(Γ)$ , un vecteur unitaire $\vec{τ}$ tangent à $(Γ)$ en $M$
Modèle:Al Modèle:Transparentorienté dans le sens « $+$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentappelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant
Modèle:Al Modèle:Transparentle « 1^er vecteur de la base locale de Frenet »^[90] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentmathématiquement la relation $\vec{O M} = \vec{r} (s)$ caractérise la courbe $(Γ)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentreprésente son « équation vectorielle paramétrique » ;
Modèle:Al Modèle:Transparentla définition mathématique du 1^er vecteur de base de Frenet^[90] $($ équivalente à la définition précédente $)$
Modèle:Al Modèle:Transparentest « $\vec{τ} = \frac{d \vec{r}}{d s} (s)$ » c.-à-d. que
Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur unitaire tangentiel $\vec{τ} (s)$ peut être obtenu en dérivant par rapport $s$ l'équation vectorielle paramétrique de la courbe $\vec{O M} = \vec{r} (s)$ .

Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point

Modèle:AlParmi tous les cercles du plan de la courbe $(Γ)$ lui étant tangents en $M$ , le cercle osculateur à la courbe $(Γ)$ en $M$ est celui qui est « localement le plus proche de la courbe »^[95]Modèle:,^[96].

Modèle:AlCas particuliers : $∙$ si le point $M$ est un point d'inflexion de la courbe, le cercle osculateur est la tangente elle-même c.-à-d. un cercle de rayon infini,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ si la courbe est un cercle, le cercle osculateur en chacun de ses points est le cercle lui-même et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ si la courbe est une droite, le cercle osculateur en chacun de ses points est la droite elle-même c.-à-d. un cercle de rayon infini.

Modèle:AlAutres définitions : $∙$ le centre $C$ du cercle osculateur à la courbe $(Γ)$ en $M$ définit le centre de courbure de $(Γ)$ en $M$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ son rayon $($ c.-à-d. $C M)$ , définit le rayon de courbure $ℛ_{M}$ ^[97] de $(Γ)$ en $M$ .

Modèle:AlPropriété : Il existe une seule courbe plane à rayon de courbure constant c'est le cercle.

Modèle:AlExemple : La comparaison des rayons de courbure d'une courbe plane en ses différents points se fait visuellement de façon relativement aisée, par exemple,
Modèle:Al Modèle:Transparentsi on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan $x O y$ , $y = a x^{2}$ , de sommet $S (0, 0)$ et de direction asymptotique $y^{'} y$ , la concavité étant tournée vers les $y > 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenton remarque aisément que le rayon de courbure est minimale au sommet $S$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentqu'il est d'autant plus grand que le point $M$ s'éloigne du sommet
Modèle:Al Modèle:Transparent $($ le rayon de courbure tendant vers l'infini pour $M$ s'éloignant à l'infini du sommet $)$ .

Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point

Modèle:AlParmi tous les plans tangents en $M$ à une courbe gauche $(Γ)$ , le plan osculateur de $(Γ)$ en $M$ est celui qui est « localement le plus proche de la courbe »^[98]Modèle:,^[99] ; cette détermination est encore applicable à une courbe plane mais elle est d'un intérêt limité car le plan osculateur d'une courbe plane en chacun de ses points est le plan de la courbe.

Modèle:AlParmi tous les cercles tangents à la courbe gauche $(Γ)$ en $M$ dans le plan osculateur de celle-ci en $M$ , le cercle osculateur est celui qui est « localement le plus proche de la courbe »^[95] ;
Modèle:Alon définit alors $($ de même que pour une courbe plane $)$ : $∙$ le centre de courbure de $(Γ)$ en $M$ comme le centre $C$ du cercle osculateur à $(Γ)$ en $M$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le rayon de courbure $ℛ_{M}$ de $(Γ)$ en $M$ comme le rayon du cercle osculateur c.-à-d. $ℛ_{M} = C M ⩾ 0$ .

Modèle:AlPropriété : Il existe une seule courbe gauche à rayon de courbure constant c'est l'hélice circulaire.

2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée

2^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal

Modèle:AlLe 2^ème vecteur de base locale de Frenet^[90] en un point $M$ de la courbe $(Γ)$ , noté $\vec{n}$ et appelé « vecteur $($ unitaire $)$ normal principal » $($ ou simplement « vecteur normal » pour une courbe plane $)$
Modèle:Al Modèle:Transparentest le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à $(Γ)$ en $M$ $[$ c.-à-d. la direction $(M C)$ où $C$ est
Modèle:Al Modèle:Transparentle centre de courbure^[100] $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentde sens dirigé vers le centre de courbure $C$ .

3^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire

Modèle:AlLe 3^ème vecteur de base locale de Frenet^[90] en un point $M$ de la courbe $(Γ)$ , noté $\vec{b}$ et appelé « vecteur $($ unitaire $)$ normal secondaire »
Modèle:Al Modèle:Transparentest le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à $(Γ)$ en $M$ $[$ c.-à-d. la direction $⊥$ au plan osculateur
Modèle:Al Modèle:Transparentà $(Γ)$ en $M]$ ^[101] et
Modèle:Al Modèle:Transparentde sens tel que la base $(\vec{τ}, \vec{n}, \vec{b})$ est directe^[2] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentles angles du plan osculateur à $(Γ)$ en $M$ sont orientés par le vecteur normal secondaire^[102] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentune définition équivalente du vecteur normal secondaire est « $\vec{b} = \vec{τ} \land \vec{n}$ ».

Rappel, composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée

Modèle:AlÉtablissement par interprétation géométrique du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe continue :
Modèle:Al Modèle:Transparent $M$ étant repéré sur la courbe $(Γ)$ par son abscisse curviligne $s$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentnous envisageons un déplacement élémentaire le long du vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet^[90] $\vec{τ}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentcorrespondant à un « arc de courbe » de longueur algébrique $d s$ soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{d M} = d s \vec{τ}$ ».

Modèle:AlJustification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : $O$ étant le point origine de la définition intrinsèque du vecteur position de $M$ ^[103] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $M$ étant repéré sur la courbe $(Γ)$ par son abscisse curviligne $s$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentnous pouvons, a priori, connaître l'équation paramétrique vectorielle de $(Γ)$ , « $\vec{O M} = \vec{r} (s)$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparentor la différentielle de $\vec{O M}$ est le vecteur déplacement élémentaire du point $M$ d'où,
Modèle:Al Modèle:Transparentpar définition de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable^[46] $\Rightarrow$ $\vec{d M} = \frac{d (\vec{r})}{d s} (s) d s$ , identifiable à $\vec{d M} = d s \vec{τ}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentce qui justifie, a posteriori, la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel de la base de Frenet^[90] « $\vec{τ} (s) = \frac{d (\vec{r})}{d s} (s)$ ».

Définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane

Schéma introductif de la définition du rayon de courbure en un point d'une courbe plane

Modèle:AlLe vecteur unitaire tangentiel $\vec{τ}$ de la base locale de Frenet^[90]Modèle:,^[104] en $M$ , point non anguleux^[94], étant de direction repérée par
Modèle:Al Modèle:Transparentl'angle $α$ qu'elle fait avec la direction fixe ${\vec{u}}_{x}$ du plan de la courbe c.-à-d. « $α = \hat{({\vec{u}}_{x}, \vec{τ})}$ », on en déduit
Modèle:Al Modèle:Transparentl'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels en $M_{1}$ et $M_{2}$ deux points voisins de la courbe
Modèle:Al Modèle:Transparent« $δ α = α_{2} - α_{1}$ » et
Modèle:Alles vecteurs unitaires normaux $($ principaux $)$ ^[105] de Frenet^[90]Modèle:,^[106] en ces deux points formant le même angle algébrisé $δ α$ ^[107],
Modèle:Alon définit le rayon de courbure moyen sur l'arc de courbe $\overset{⌢}{M_{1} M_{2}}$ par « $ℛ_{moy sur \overset{⌢}{M_{1} M_{2}}} = \frac{δ s}{δ α}$ » ;

Modèle:Alon en déduit la définition du rayon de courbure de $(Γ)$ en $M$ ^[108] comme la limite du rayon de courbure moyen
Modèle:Al Modèle:Transparentquand on fait tendre l'écart angulaire vers zéro soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $ℛ_{M_{1}} = \lim \limits_{M_{2} \to M_{1}} [ℛ_{moy sur \overset{⌢}{M_{1} M_{2}}}] = \lim \limits_{δ α \to 0} [\frac{δ s}{δ α}]$ »^[109] soit finalement
Modèle:Alla définition du rayon de courbure de $(Γ)$ ${$ courbe plane $}$ en un point $M$ non anguleux^[94] « $ℛ_{M} = \frac{d s}{d α} (α)$ »^[110] où $α = \hat{({\vec{u}}_{x}, \vec{τ})}$ ^[111].

Modèle:AlPropriété : $α$ étant l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel $\vec{τ}$ de la base de Frenet^[90]Modèle:,^[104] avec ${\vec{u}}_{x}$ de direction fixe dans le plan de la courbe,
Modèle:Al Modèle:Transparentquand on dérive $\vec{τ}$ par rapport à $α$ , on obtient le vecteur unitaire du plan directement $⊥$ au vecteur unitaire initial^[69] c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur unitaire normal $($ principal $)$ ^[105] $\vec{n}$ de la base locale de Frenet^[90]Modèle:,^[106] soit encore « $\frac{d (\vec{τ})}{d α} (α) = \vec{n}$ »^[111].

Définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane)

Établissement de la définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane

Modèle:AlAyant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel^[104] à la courbe plane $(Γ)$ en $M$ non anguleux^[94] en fonction de l'abscisse curviligne $s$ de ce dernier
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{τ} = \frac{d (\vec{r})}{d s} (s)$ »^[104] où $\vec{O M} = \vec{r} (s)$ est l'équation paramétrique vectorielle de $(Γ)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenton dérive $\vec{τ} = \vec{τ} (s)$ par rapport à $s$ en remarquant qu'à toute valeur de $s$ on peut associer un point $M$ unique
Modèle:Al Modèle:Transparent $($ que la courbe plane soit ouverte ou fermée $)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentqu'à tout $M$ non anguleux^[94] correspond une valeur $α$ unique
Modèle:Al Modèle:Transparentpermettant de déduire, par transitivité,
Modèle:Al Modèle:Transparentqu'à toute valeur de $s$ on peut associer une valeur $α$ unique
Modèle:Al Modèle:Transparentce qui définit la fonction $α = α (s)$ sans avoir besoin de
Modèle:Al Modèle:Transparentrestreindre le domaine de définition de $s$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton en déduit, par dérivée de fonction composée, « $\frac{d (\vec{τ})}{d s} = \frac{d (\vec{τ})}{d α} \frac{d α}{d s}$ » avec « $\frac{d (\vec{τ})}{d α} = \vec{n}$ »^[112] et
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{d α}{d s} = \frac{1}{ℛ_{M}}$ »^[112] c.-à-d. « courbure
Modèle:Al Modèle:Transparentde $(Γ)$ en $M$ »^[113]
Modèle:Al Modèle:Transparent $($ ces deux relations n'étant définies que pour une courbe plane $)$
Modèle:Al Modèle:Transparentsoit finalement « $\frac{d (\vec{τ})}{d s} = \frac{\vec{n}}{ℛ_{M}}$ »^[114].

Énoncé de la définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe gauche

Modèle:AlL'expression donnant la dérivée du vecteur unitaire tangentiel^[104] en fonction de l'abscisse curviligne établie pour une courbe plane

\frac{d (\vec{τ})}{d s} = \frac{\vec{n}}{ℛ_{M}}

^[115] est admise pour une courbe gauche et
Modèle:Al Modèle:Transparentsert de définition simultanée du vecteur unitaire normal principal^[116] et du rayon de courbure à la courbe gauche

(Γ)

^[117] en

M

non anguleux^[94] soit

«

\frac{d (\vec{τ})}{d s} = \frac{\vec{n}}{ℛ_{M}}

» avec «

ℛ_{M} ⩾ 0

»^[118].

Modèle:AlMode opératoire pour déterminer le rayon de courbure^[117] et le vecteur unitaire normal principal^[116] en un point non anguleux^[94] d'une courbe gauche :
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « Connaissant l'expression de $\vec{τ}$ relativement à $s$ ^[119], on dérive cette expression et on obtient $\frac{\vec{n}}{ℛ_{M}}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « on en prend la norme et on obtient la courbure de la courbe^[113] en $M$ , $\frac{1}{ℛ_{M}}$ ou, en inversant, le rayon de courbure de la courbe^[117] en $M$ , $ℛ_{M}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « on en déduit alors le vecteur unitaire normal principal^[116] par $\frac{\vec{n}}{ℛ_{M}} \times ℛ_{M} = \vec{n}$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparentenfin « on peut terminer avec la détermination du vecteur unitaire normal secondaire $\vec{b}$ par $\vec{τ} \land \vec{n} = \vec{b}$ »^[120].

Notes et références

↑ Voir l'introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 et ^2,3 Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » ainsi que la note « ¹⁷ » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Définissant la « base cartésienne » du repère $($ cartésien $)$ .
↑ On constate que les coordonnées cartésiennes du point $M$ sont $-$ par définition $-$ les composantes cartésiennes du vecteur position $\vec{O M}$ , ceci n'est vrai qu'en repérage cartésien, cela devient faux en repérage local comme cylindro-polaire ou sphérique car les vecteurs de base n'y sont pas choisis fixes.
↑ Orienté par un vecteur unitaire $⊥$ au plan $x O y$ c.-à-d. par $\pm {\vec{u}}_{z}$ et on choisit usuellement ${\vec{u}}_{z}$ en orientant les angles du plan selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $[$ on pourrait $($ mais on ne le fera jamais $)$ choisir $- {\vec{u}}_{z}$ et utiliser la « règle de la main gauche concernant les bases indirectes » vue dans le même chapitre, cela donnerait la même orientation des angles du plan $]$ .
↑ Ou encore « rayon (polaire) » s'exprimant en $m$ .
↑ Ou « abscisse angulaire » ou encore « angle polaire » s'exprimant en $r a d$ , sa détermination principale pouvant encore être choisie sur $[0, + 2 π [$ .
↑ Ce qui signifie que $\hat{({\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ})} = + \frac{π}{2}$ , les angles du plan $x O y$ étant orientés par ${\vec{u}}_{z}$ .
↑ Comme la base orthonormée cartésienne $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y})$ , la base orthonormée polaire $({\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ})$ permet d'exprimer tout vecteur du plan $x O y$ , à la différence que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire $θ$ du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.
↑ Le vecteur position dépend explicitement de $(ρ, z)$ et implicitement de $θ$ par l'intermédiaire de ${\vec{u}}_{ρ}$ .
↑ Les composantes cylindro-polaires de $\vec{O M}$ sont donc $(ρ, 0, z)$ , à distinguer des coordonnées cylindro-polaires de $M$ qui sont $(ρ, θ, z)$ $($ la 2^ème coordonnée cylindro-polaire étant angulaire ne peut être qualifiée d'« orthoradiale », qualificatif réservé aux grandeurs linéaires ou déduites de grandeurs linéaires $)$ .
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 et ^12,4 On utilise les formules de trigonométrie suivantes $\cos (\frac{π}{2} - θ) = \sin (θ)$ et $\sin (\frac{π}{2} - θ) = \cos (θ)$ suivies éventuellement de l'utilisation de la parité de la fonction cosinus $\Rightarrow$ $\sin (\frac{π}{2} + θ) = \sin [\frac{π}{2} - (- θ)] = \cos (- θ) = \cos (θ)$ et de l'imparité de la fonction sinus $\Rightarrow$ $\cos (\frac{π}{2} + θ) = \cos [\frac{π}{2} - (- θ)] = \sin (- θ) = - \sin (θ)$ .
↑ $θ$ étant défini à $2 π$ près, il faut simultanément les expressions de $\cos (θ)$ et $\sin (θ)$ pour déterminer la valeur de $θ$ .
↑ Ce demi-plan est parfaitement défini si $M_{x y} \neq O$ .
↑ Angle orienté par le vecteur unitaire ${\vec{u}}_{z}$ $⊥$ au plan $x O y$ selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $[$ c'est le même vecteur unitaire que celui orientant l'angle $θ_{cylindr}$ du repérage cylindro-polaire, ce n'est pas surprenant puisqu'il s'agit en fait du même angle $]$ .
↑ Le vecteur unitaire $⊥$ au demi plan méridien et orientant la colatitude reste à préciser, son sens est régi par la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\dots$
↑ ^17,0 et ^17,1 Le qualificatif de pôle $O$ est mis entre parenthèses car le plus souvent omis.
↑ Ou encore « coordonnée radiale » s'exprimant en $m$ .
↑ Domaine de définition large de $π$ seulement car on décrit un demi-plan méridien.
↑ Domaine de définition large de $2 π$ , on peut choisir encore une détermination comprise entre $0$ et $2 π$ .
↑ Le plan $z = 0$ est encore appelé « plan équatorial ».
↑ Ce qui signifie que $\hat{({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ})} = + \frac{π}{2}$ , les angles du demi-plan méridien étant orientés par ${\vec{u}}_{φ}$ .
↑ Le sens de ${\vec{u}}_{φ}$ permet d'obtenir l'orientation de la colatitude $θ$ du point considéré selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^24,0 ^24,1 ^24,2 ^24,3 et ^24,4 Ce 3^ème vecteur de base sphérique est identique au 2^ème vecteur de base cylindro-polaire.
↑ On pourrait encore l'appeler « vecteur colatitudinal » mais cela n'est pas fait pour des raisons de sonorité de la langue.
↑ Comme la base orthonormée cylindro-polaire $({\vec{u}}_{z}, {\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ_{cyl}} = {\vec{u}}_{φ})$ , la base orthonormée sphérique $({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ}, {\vec{u}}_{φ})$ permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, en fonction de $({\vec{u}}_{z}, {\vec{u}}_{ρ})$ pour la 1^ère et $({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ})$ pour la 2^nde, le demi-plan étant orienté par le même vecteur ${\vec{u}}_{φ}$ .
↑ On aurait pu encore l'appeler « vecteur longitudinal » $($ plus harmonieux à l'oreille $)$ mais cela n'est pas fait car on accorde usuellement un autre sens à « longitudinal » $($ celui complémentaire de « transversal » $)$ .
↑ Le vecteur position dépend explicitement de $r$ et implicitement de $(θ, φ)$ par l'intermédiaire de ${\vec{u}}_{r}$ .
↑ Les composantes sphériques de $\vec{O M}$ sont donc $(r, 0, 0)$ , à distinguer des coordonnées sphériques de $M$ qui sont $(r, θ, φ)$ $($ les 2^ème et 3^ème coordonnées sphériques étant angulaires ne peuvent être qualifiées d'« orthoradiale » ni de « longitudale », qualificatif réservé aux grandeurs linéaires ou déduite de grandeurs linéaires en ce qui concerne « orthoradial » et que l'on étendra à « longitudal » $)$ .
↑ En géographie on utilise préférentiellement la latitude notée $λ$ pour repérer le point dans un demi-plan méridien à partir du point d'intersection $E$ de ce demi-plan avec le plan de l'équateur ; la latitude est orientée en sens inverse de la colatitude c.-à-d. comptée positivement du pôle Sud vers le pôle Nord, elle est définie selon $λ = \hat{(\vec{O E}, \vec{O M})}$ , nulle quand $M$ est sur l'équateur, valant $+ \frac{π}{2}$ au pôle Nord et $- \frac{π}{2}$ au pôle Sud ; son lien avec la colatitude est $θ = \frac{π}{2} - λ$ donnant effectivement une valeur nulle au pôle Nord, $\frac{π}{2}$ à l'équateur et $π$ au pôle Sud.
↑ ^31,0 et ^31,1 La 3^ème cordonnée sphérique $φ$ étant la même que la 2^nde coordonnée cylindro-polaire $θ_{cylind}$ .
↑ Ce n'est guère que dans le cadre de la cinématique quand on s'intéresse au vecteur accélération du point qu'on peut envisager de convertir le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire car les expressions du vecteur accélération en repérage sphérique sont très compliquées alors qu'en repérage cylindro-polaire elles le sont nettement moins.
↑ On décompose d'abord les vecteurs de base sphérique dans la base cylindro-polaire puis ces derniers dans la base cartésienne $\dots$
↑ On utilise d'abord le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindro-polaires avant de se servir du passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes.
↑ $φ \in] - π, + π]$ , il faut simultanément les expressions de $\cos (φ)$ et $\sin (φ)$ pour déterminer la valeur de $φ$ .
↑ On utilise d'abord le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindro-polaires avant de se servir du passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées sphériques.
↑ Suivre une certaine direction c'est suivre une certaine droite, donc un cas particulier de suivre une courbe.
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Il est rappelé que ce vecteur est unique à condition que $M$ ne soit pas un point anguleux de la courbe.
↑ On rappelle que, dans le cas général, le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue n'est pas nul, ceci n'arrivant que très rarement.
↑ ^41,0 et ^41,1 On rappelle qu'une courbe dans l'espace à trois dimensions est caractérisée par deux équations cartésiennes, chaque équation cartésienne caractérisant une surface : $z = 0$ étant l'équation du plan $x O y$ et $y = a x^{2}$ l'équation d'un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $z^{'} z$ $($ un cylindre étant généré par une droite « génératrice » $-$ ici de direction $z^{'} z$ $-$ se déplaçant le long d'une courbe « directrice » $-$ ici la parabole $-$ le résultat étant encore appelé surface cylindrique $)$ .
↑ Il suffit de remplacer, dans l'expression générale du vecteur déplacement élémentaire, $d y$ et $d z$ par leur expression en fonction de $d x$ .
↑ Si on essaie d'imaginer l'évolution du vecteur déplacement élémentaire on obtient mentalement l'allure du graphe de la parabole, le vecteur déplacement élémentaire étant tangent à la parabole.
↑ Le 1^er vecteur de la base cylindro-polaire dépendant de $θ$ sa différentielle n'est pas nulle contrairement au 3^ème vecteur de cette base qui, étant constant, est de différentielle nulle.
↑ On écrit ${\vec{u}}_{θ}$ sous cette forme car il est directement $⊥$ à ${\vec{u}}_{ρ}$ .
↑ ^46,0 et ^46,1 Voir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Pour l'évaluation des dérivées, voir le paragraphe « définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En utilisant le fait que les dérivées des fonctions sinus ou cosinus par rapport à leur argument s'obtiennent en augmentant l'argument de $\frac{π}{2}$ .
↑ La longueur d'un arc de cercle de rayon $R$ correspondant à un angle au centre $α$ exprimé en $r a d$ étant $R α$ , voir le paragraphe « exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe (à retenir) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^50,0 ^50,1 ^50,2 ^50,3 et ^50,4 Elle est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec $z \propto θ$ $[$ si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice devient une droite de pente égale au cœfficient de proportionnalité entre $θ$ et $z]$ ,
Modèle:Alelle est qualifiée de « dextre » ou « droite » si le cœfficient de proportionnalité entre $θ$ et $z$ est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant, « monter de gauche à droite » ;
Modèle:Alelle serait qualifiée de « senestre » ou « gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre $θ$ et $z$ était négatif, elle « monterait » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde $($ ou encore dans le sens horaire $)$ .
↑ ^51,0 et ^51,1 On rappelle qu'une courbe dans l'espace à trois dimensions est caractérisée par deux équations donc ici deux équations cylindro-polaires, chaque équation caractérisant une surface :
Modèle:Al $ρ = a$ étant l'équation d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $O z$ et de rayon $a$ ,
Modèle:Al $z = h θ$ l'équation d'une surface hors nomenclature mais que l'on pourrait appelée « rampe en colimaçon » $($ elle est constituée de demi-droites $⊥$ à $z^{'} z$ , dans la direction repérée par $θ$ et issues du point de l'axe $z^{'} z$ de côte $z = h θ$ c.-à-d. de valeur absolue d'autant plus grande que $| θ |$ l'est, voir tracé à droite de celui de l'hélice circulaire $)$ .
↑ Ne pas oublier le déplacement $\vec{d M_{θ}} = ρ d θ {\vec{u}}_{θ}$ suivant ${\vec{u}}_{θ}$ .
↑ L'hélice circulaire est alors qualifiée de « gauche ».
↑ L'hélice circulaire est alors qualifiée de « droite ».
↑ Si on essaie d'imaginer l'évolution du vecteur déplacement élémentaire on obtient mentalement l'allure du graphe de l'hélice circulaire, le vecteur déplacement élémentaire étant tangent à l'hélice.
↑ Pour l'hélice circulaire droite étudiée, la pente de la droite correspondant au « développement » de l'hélice circulaire est de pente $\frac{Δ z}{Δ s}$ où $Δ s$ est la longueur de l'arc de cercle de la base du tuyau cylindrique de révolution correspondant à la variation $Δ z$ ou encore de pente $\frac{h θ}{a θ} = \frac{h}{a}$ .
↑ Ou le sens direct ou encore le sens antihoraire ou, mais très peu utilisé, le sens prograde.
↑ Ou le sens indirect ou encore le sens horaire ou, assez fréquemment utilisé, le sens rétrograde.
↑ Le 1^er vecteur de la base sphérique dépendant de $θ$ et $φ$ sa différentielle n'est pas nulle $($ son évaluation étant moins aisée que celle des deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire, nous ne la verrons qu'en complément $)$ .
↑ En repérage géographique le déplacement serait suivant la verticale dans le sens ascendant.
↑ En repérage géographique le déplacement serait suivant l'horizontale dirigée vers le Sud.
↑ Le rayon du demi-cercle méridien étant $r$ et la longueur d'un arc de cercle de rayon $R$ d'angle au centre associé $α$ exprimé en $r a d$ étant $R α$ , voir le paragraphe « exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe (à retenir) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En repérage géographique le déplacement serait suivant l'horizontale dirigée vers l'Est.
↑ Le rayon du cercle « parallèle » étant $r \sin (θ)$ $[$ voir schéma de profil dans le demi-plan méridien $φ = c s t e$ , le rayon y étant $M_{z} M]$ et la longueur d'un arc de cercle de rayon $R$ correspondant à un angle au centre $α$ exprimé en $r a d$ étant $R α$ , voir le paragraphe « exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe (à retenir) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir, pour les deux 1^ères différentielles, le paragraphe « écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais ici, les dérivées partielles seront définies à l'aide des coordonnées sphériques et non cartésiennes ;
Modèle:Alvoir, pour la 3^ème différentielle, le paragraphe « définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^66,0 et ^66,1 On fait une permutation circulaire pour que le 2^ème vecteur de la base cylindro-polaire ${\vec{u}}_{θ_{cyl}} = {\vec{u}}_{φ}$ devienne le 3^ème vecteur comme il l'est dans la base sphérique.
↑ ^67,0 et ^67,1 On rappelle que $φ$ est figé pendant la durée de la dérivation c.-à-d. que ${\vec{u}}_{ρ} (φ)$ ne varie pas.
↑ ^68,0 et ^68,1 On rappelle que $θ$ est figé pendant la durée de la dérivation.
↑ ^69,0 ^69,1 ^69,2 et ^69,3 On rappelle la propriété établie dans le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » plus haut dans ce chapitre et qui reste applicable ici : « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan fixe par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement $⊥$ au vecteur initial », ainsi
Modèle:Aldérivant ${\vec{u}}_{ρ}$ par rapport à l'angle qu'il fait avec ${\vec{u}}_{x}$ , le plan équatorial les contenant tous deux étant fixe on obtient ${\vec{u}}_{φ}$ se déduisant de ${\vec{u}}_{ρ}$ par rotation de $+ \frac{π}{2}$ dans le plan équatorial ;
Modèle:Aldérivant ${\vec{u}}_{φ}$ par rapport à l'angle qu'il fait avec ${\vec{u}}_{y}$ , le plan équatorial les contenant tous deux étant fixe on obtient $- {\vec{u}}_{ρ}$ se déduisant de ${\vec{u}}_{φ}$ par rotation de $+ \frac{π}{2}$ dans le plan équatorial.
Modèle:AlDérivant $\vec{τ}$ par rapport à l'angle qu'il fait avec ${\vec{u}}_{x}$ , le plan de la courbe les contenant tous deux étant fixe on obtient $\vec{n}$ se déduisant de $\vec{τ}$ par rotation de $+ \frac{π}{2}$ dans le plan de la courbe.
↑ ${\vec{u}}_{ρ}$ étant un vecteur unitaire du demi-plan méridien, on n'utilise que la partie de base sphérique située dans ce demi-plan à savoir $({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ})$ .
↑ Il est rappelé que seule sa détermination géométrique est une exigence.
↑ ^72,0 et ^72,1 Louis Poinsot (1777 - 1859) mathématicien français surtout connu pour ses travaux en mécanique rationnelle et aussi quelques travaux de géométrie.
↑ ^73,0 et ^73,1 Une loxodromie de sphère est une courbe tracée sur une sphère telle qu'elle coupe les parallèles de cette sphère à angle constant, l'angle valant ici $30 °$ ; comme toute courbe de l'espace elle est déterminée par deux équations, dans le cas présent deux équations sphériques dont la 1^ère est l'équation de la sphère de centre $O$ et de rayon $a$ et la 2^ème l'équation d'une surface hors nomenclature constituée de demi-droites issues de $O$ caractérisées par sa colatitude $θ$ et sa longitude associée $φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{θ}{2})]$ $\dots$
Modèle:AlUsuellement la 2^ème équation est donnée en fonction de la latitude $λ = \frac{π}{2} - θ$ $\Rightarrow$ $\frac{θ}{2} = \frac{π}{4} - \frac{λ}{2}$ soit $φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{π}{4} - \frac{λ}{2})] = - \tan (\frac{π}{3}) \ln {\tan [\frac{π}{2} - (\frac{π}{4} + \frac{λ}{2})]}$ ou, avec $\tan (\frac{π}{2} - α) = \cot (α) = \frac{1}{\tan (α)}$ , la réécriture de l'équation selon $φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} + \frac{λ}{2})}] = \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{π}{4} + \frac{λ}{2})]$ .
↑ Voir le paragraphe « différenteille d'une fonction scalaire d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Dérivation de fonctions composées : on dérive le logarithme népérien par rapport à son argument d'où $\frac{1}{\tan (\frac{θ}{2})}$ , on multiplie par la dérivée de l'argument $\tan (\frac{θ}{2})$ par rapport à l'argument de ce dernier $\frac{θ}{2}$ soit $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{θ}{2})}$ et on termine en multipliant par la dérivée de $\frac{θ}{2}$ par rapport à $θ$ soit $\frac{1}{2}$ $\dots$
↑ On utilise la formule de trigonométrie $2 \sin (x) \cos (x) = \sin (2 x)$ .
↑ Le vecteur déplacement élémentaire suivant ${\vec{u}}_{φ}$ étant $\vec{d M_{φ}} = r \sin (θ) d φ {\vec{u}}_{φ}$ .
↑ On pourrait s'étonner des signes obtenus mais il ne faut pas oublier que $θ$ variant de $\frac{π}{2}$ à $0$ , $d θ$ est $< 0$ , ainsi
Modèle:Alle vecteur déplacement élémentaire selon un demi-cercle méridien $\vec{d M_{θ}} = a {\vec{u}}_{θ} d θ$ est bien en sens contraire de ${\vec{u}}_{θ}$ et
Modèle:Alcelui selon un parallèle $\vec{d M_{φ}} = - a \tan (\frac{π}{3}) d θ {\vec{u}}_{φ}$ dans le sens de ${\vec{u}}_{φ}$ .
↑ La norme du vecteur déplacement élémentaire étant égale à $‖ \vec{d M} ‖ = \sqrt{1^{2} + {[- \tan (\frac{π}{3})]}^{2}} a | d θ | = \sqrt{1 + \tan^{2} (\frac{π}{3})} a | d θ | = \frac{a}{\cos (\frac{π}{3})} | d θ |$ d'après $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}$ soit finalement « $‖ \vec{d M} ‖ = 2 a | d θ |$ » en utilisant $\cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ établissant que « $‖ \vec{d M} ‖$ est effectivement indépendant de $θ$ » ;
Modèle:Alle plan tangent à la sphère au point $M$ étant de vecteurs de base $({\vec{u}}_{θ}, {\vec{u}}_{φ})$ , la pente calculée par rapport aux parallèles et comptée positivement vers le Nord est $\frac{- \overline{d M_{θ}}}{\overline{d M_{φ}}} = \frac{1}{\tan (\frac{π}{3})} =$ $c o t a n (\frac{π}{3}) = \tan (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = \tan (\frac{π}{6})$ c.-à-d. « une pente effectivement indépendante de $θ$ » $\Rightarrow$ la direction de $\vec{d M}$ faisant un angle constant de $30 °$ par rapport aux parallèles.
↑ ^80,0 ^80,1 et ^80,2 Le tracé a été fait avec « $a = 1$ » ; la courbe est en rouge.
↑
Pour en déduire deux équations (non paramétriques) cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques nécessaires à la caractérisation de la courbe, il suffit d'éliminer le paramètre entre ces trois équations paramétriques cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques ;
Modèle:Alles deux équations non paramétriques obtenues ne sont pas uniques, en effet si on nomme (1,2,3) les équations paramétriques de la courbe, on peut éliminer le paramètre
- entre $(1)$ et $(2)$ , entre $(1)$ et $(3)$ d'où un 1^er couple d'équations non paramétriques possibles ou
- entre $(2)$ et $(1)$ , entre $(2)$ et $(3)$ d'où un 2^ème couple d'équations non paramétriques possibles ou encore
- entre $(3)$ et $(1)$ , entre $(3)$ et $(2)$ d'où un 3^ème couple d'équations non paramétriques possibles.
↑ La façon de procéder serait la même en repérage paramétrique cylindro-polaire ou en repérage paramétrique sphérique.
↑ On aurait pu éliminer le paramètre à l'aide de la 3^ème équation paramétrique selon « ${\begin{matrix} t = \frac{z - 1}{2} \\ x = \frac{t}{2} \end{matrix}}$ » donnant par report « $x = \frac{z - 1}{4}$ » c.-à-d. l'équation cartésienne d'un plan $∥$ à $y^{'} y$ $[$ il s'agit du même plan que celui trouvé en éliminant le paramètre à l'aide de la 1^ère équation paramétrique $]$ .
↑ On aurait pu éliminer le paramètre à l'aide de la 3^ème équation paramétrique selon « ${\begin{matrix} t = \frac{z - 1}{2} \\ y = t^{2} - 1 \end{matrix}}$ » donnant par report « $y = \frac{(z - 1)^{2}}{4} - 1 = \frac{z^{2}}{4} - \frac{z}{2} - \frac{5}{4}$ » c.-à-d. l'équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $x^{'} x$ .
↑ En utilisant les notes « ⁸⁵ » et « ⁸⁶ » exposées plus haut dans ce chapitre consistant à éliminer $t$ à l'aide de l'équation paramétrique $(3)$ on a trouvé pour les deux équations cartésiennes de $(𝒯)$ « ${\begin{matrix} x = \frac{z - 1}{4} \\ y = \frac{(z - 1)^{2}}{4} - 1 \end{matrix}}$ » $\Rightarrow$ $(𝒯)$ étant l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $x^{'} x$ et d'un plan $∦$ à $x^{'} x$ est effectivement une parabole $($ bien qu'il s'agisse ici d'un cylindre parabolique distinct de celui intervenant dans le corps du paragraphe, la parabole est évidemment la même $)$ .
↑ Souvent encore noté $r$ , ce qui ne pose aucun problème si le repérage sphérique n'est pas simultanément utilisé.
↑ C.-à-d. hors mécanique ondulatoire $($ domaine dans lequel les particules sont considérées comme des ondes de probabilité de présence réparties dans l'espace et non comme des objets y étant parfaitement localisés, les endroits de maximum de probabilité de présence s'identifiant à ce que seraient les trajectoires des particules si elles étaient considérées comme des objets localisés dans l'espace $)$ .
↑ Dans le cadre de la mécanique classique, l'électron est une particule quasi-ponctuelle et le noyau aussi, le mouvement ainsi étudié aboutit à certains résultats non observés expérimentalement, le physicien Niels Bohr a ajouté une condition que le mouvement de l'électron devait suivre pour être en accord avec l'expérience, cette condition porte sur le « moment cinétique » de l'électron Modèle:Nobr caractérisant la rotation orbitale de l'électron, cette grandeur étant introduite dans le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $]$ qui, selon Niels Bohr, devait être un multiple d'une grandeur connue sous le nom de constante réduite de Planck $ℏ = \frac{h}{2 π}$ , $h$ étant la constante de Planck ; le problème du mouvement de l'électron $($ particule ponctuelle $)$ dans l'atome d'hydrogène avec cette condition de quantification est connu sous le nom de « modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène » $($ ce qui est extraordinaire c'est que l'on trouve ainsi les bons résultats expérimentaux bien que la condition de quantification du moment cinétique de l'électron se soit révélée par la suite fausse $\dots$ en effet dans le cadre de la mécanique ondulatoire on peut aussi définir un moment cinétique pour l'onde électronique mais le nombre quantique intervenant n'est pas celui considéré dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, étonnant non ! $)$ ;
Modèle:AlNiels Henrik David Bohr (1885 - 1962), physicien danois, surtout connu pour son apport à la construction de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $1922$ « pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent » ;
Modèle:AlMax Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947), physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $1918$ « pour ses travaux en théorie des quanta » ; en son hommage, la période de l'histoire cosmologique suivant immédiatement l'apparition de l'Univers pendant laquelle les quatre interactions fondamentales $($ électromagnétisme, interaction faible, interaction forte et gravitation $)$ n'en formait qu'une, fut baptisée « ère de Planck », sa durée « temps de Planck » étant estimée à $1 0^{- 43} s$ .
↑ Toutefois le vecteur-accélération d'un point dans le système de coordonnées sphériques étant trop compliqué pour être retenu $($ ou trop long à établir pour être retrouvé $)$ , on se ramènera au système de coordonnées le plus proche pour appliquer la r.f.d.n. $($ relation fondamentale de la dynamique newtonienne $)$ à savoir le repérage cylindro-polaire $\dots$
↑ ^90,00 ^90,01 ^90,02 ^90,03 ^90,04 ^90,05 ^90,06 ^90,07 ^90,08 ^90,09 ^90,10 ^90,11 et ^90,12 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet $[$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules $]$ .
↑ Il n'est donc pas exigible pour un étudiant de classe préparatoire $($ option PCSI $)$ .
↑ Traduisant le fait que la vitesse lue sur le tachymètre augmente ou diminue.
↑ La distance non algébrisée séparant $A$ de $M$ sur $(Γ)$ étant $| s | = | \overset{↷}{A M} | = \overset{⌢}{A M}$ .
↑ ^94,0 ^94,1 ^94,2 ^94,3 ^94,4 ^94,5 et ^94,6 En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.
↑ ^95,0 et ^95,1 Une définition plus précise $($ également valable pour une courbe gauche $)$ pourrait être : soient $M$ un point de $(Γ)$ et $M^{″}$ un point voisin de $M$ sur $(Γ)$ , le cercle osculateur Modèle:Nobr appelé cercle de courbure $)$ de la courbe $(Γ)$ au point $M$ est la limite du cercle passant par $M$ et $M^{″}$ en étant tangent à $(Γ)$ en $M$ quand $M^{″}$ tend vers $M$ , voir aussi le paragraphe « Définitions et propriétés » de l'article de « wikipédia » intitulé « cercle osculateur ».
↑ Pour définir un cercle osculateur il faut qu'il existe une tangente unique au point $M$ , on ne peut donc pas définir un cercle osculateur en un point anguleux où existe une tangente à gauche $\neq$ de la tangente à droite $($ mais on peut définir un cercle osculateur à gauche et un cercle osculateur à droite $)$ .
↑ Comme $ℛ_{M} = C M ⩾ 0$ , un rayon de courbure est une grandeur positive ou nulle.
↑ Pour définir un plan osculateur il faut bien sûr que les plans tangents existent $($ c.-à-d. qu'il existe une tangente unique au point $M$ , tout plan contenant cette tangente $-$ et il y en a une infinité $-$ définissant alors un plan tangent particulier $)$ , parmi tous ces plans il en existe un se rapprochant localement le plus de la courbe c'est le plan osculateur.
↑ La notion de plan osculateur a été introduite par Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) $[$ mathématicien français particulièrement précoce $($ à l'âge de douze ans il écrit un mémoire sur quatre courbes géométriques et entre à l'Académie des Sciences à dix-huit ans $)$ , on lui doit des travaux en analyse mathématique, en géométrie différentielle et en géodésie $($ science s'attachant à résoudre les dimensions et la forme de la Terre $)]$ .
↑ La normale principale à $(Γ)$ en $M$ est encore la direction normale dans le plan osculateur ou le plan de la courbe si cette dernière est plane.
↑ Ou, si la courbe est plane, $⊥$ au plan de la courbe ; ce plan étant usuellement noté $x O y$ et le vecteur normal secondaire est noté ${\vec{u}}_{z}$ ou ${\vec{u}}^{'}_{z} = - {\vec{u}}_{z}$ suivant le sens du vecteur normal secondaire défini ci-après.
↑ Ainsi l'angle entre le vecteur unitaire tangentiel et le vecteur normal principal est $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = + \frac{π}{2}$ .
Modèle:AlSi la courbe est plane dans le plan $x O y$ , le sens « $+$ » des mesures d'angle de ce plan doit être tel que $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = + \frac{π}{2}$ ;
Modèle:Transparentor ce sens « $+$ » est déterminé par le sens du vecteur normal secondaire, d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le vecteur normal secondaire est ${\vec{u}}_{z}$ $[$ si $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = \hat{({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y})}]$ ${$ correspondant à $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z})$ directe, le plan $x O y$ étant orienté dans le sens
Modèle:Al Modèle:Transparenttrigonométrique $($ ou anti-horaire $)}$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le vecteur normal secondaire est ${\vec{u}}^{'}_{z} = - {\vec{u}}_{z}$ $[$ si $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = - \hat{({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y})}]$ ${$ correspondant à $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z})$ indirecte, le plan $x O y$ étant orienté
Modèle:Al Modèle:Transparentdans le sens anti-trigonométrique $($ ou horaire $)}$ .
Modèle:AlRemarque : voir les notes « ⁵⁸ » et « ⁵⁹ » plus haut dans ce chapitre pour d'autres appellations synonymes de trigonométrique et anti-trigonométrique.
↑ Ce pourrait être un point fixe de $(Γ)$ et en particulier le point $A$ .
↑ ^104,0 ^104,1 ^104,2 ^104,3 et ^104,4 Voir le paragraphe « rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^105,0 et ^105,1 Omis pour une courbe plane d'où les parenthèses.
↑ ^106,0 et ^106,1 Voir le paragraphe « 2^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal » plus haut dans ce chapitre.
Modèle:AlLe vecteur unitaire normal $($ principal $)$ de Frenet $\vec{n}$ en un point $M$ non anguleux d'une courbe plane $(Γ)$ est directement $⊥$ au vecteur unitaire tangentiel $\vec{τ}$ en $M$ de $(Γ)$ $[$ « directement » car on choisit d'orienter le plan de la courbe tel que l'angle algébrisé $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = + \frac{π}{2}$ , le vecteur unitaire normal secondaire $\vec{b} = \vec{τ} \land \vec{n}$ $⊥$ au plan de la courbe orientant ces angles étant, dans le cas de la figure, de sens opposé à ${\vec{u}}_{z}$ ${$ mais il serait dans le sens de ${\vec{u}}_{z}$ si la courbure de $(Γ)$ en $M$ était inversée, c.-à-d. si le centre de courbure associé était de l'autre côté de $M}$ voir aussi la note « ¹⁰⁴ » plus haut dans ce chapitre $]$ .
↑ Par égalité d'angles à côtés respectivement $⊥$ , cette propriété étant applicable à condition qu'il n'y ait pas de point d'inflexion de $(Γ)$ entre $M_{1}$ et $M_{2}$ , en effet la présence d'un point d'inflexion de $(Γ)$ entre $M_{1}$ et $M_{2}$ $\Rightarrow$ une inversion de courbure de $(Γ)$ entre ces deux points et comme le vecteur unitaire normal est toujours de sens vers le centre de courbure associé, un positionnement inverse de $\vec{n}$ par rapport à $\vec{τ}$ entre les deux points ce qui nécessite que les sens $+$ de mesure des angles soient inversés lors du passage d'un point à l'autre d'où l'inapplicabilité de la propriété énoncée.
↑ $M \neq$ d'un point d'inflexion de $(Γ)$ .
↑ À chaque valeur d'abscisse curviligne $s$ on associe un point $M$ que la courbe soit ouverte ou fermée et à chaque point $M$ , non anguleux, on associe une valeur de $α$ , aussi peut-on définir de façon unique la fonction $α = α (s)$ ; en restreignant éventuellement le domaine de définition de $s$ on peut alors inverser la fonction pour obtenir la fonction inverse $s = s (α)$ ; dans « $\lim \limits_{δ α \to 0} [\frac{δ s}{δ α}]$ » on reconnaît la définition de la dérivée par rapport à $α$ de $s = s (α)$ .
↑ L'établissement de cette formule a nécessité que $M$ ne soit pas un point d'inflexion de $(Γ)$ mais
Modèle:Aldans le cas où $M$ serait un point d'inflexion de $(Γ)$ , le rayon de courbure y étant infini et $\frac{d α}{d s}$ y étant stationnaire $\Rightarrow$ $\frac{d s}{d α}$ infini d'où l'applicabilité de la formule en un point d'inflexion de $(Γ)$ .
↑ ^111,0 et ^111,1 Cette définition $($ ou relation $)$ ne s'applique qu'à une courbe plane.
↑ ^112,0 et ^112,1 Voir le paragraphe « définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^113,0 et ^113,1 La courbure étant l'inverse du rayon de courbure et s'exprimant en $m^{- 1}$ .
↑ On vérifie l'homogénéité « $‖ \frac{d (\vec{τ})}{d s} ‖$ » est en $m^{- 1}$ et « $‖ \frac{\vec{n}}{ℛ_{M}} ‖$ » en $m^{- 1}$ , « $‖ \vec{τ} ‖$ » et « $‖ \vec{n} ‖$ » étant sans dimension.
↑ Voir le paragraphe « établissement de la définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^116,0 ^116,1 et ^116,2 Voir le paragraphe « 2^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^117,0 ^117,1 et ^117,2 Voir le paragraphe « notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point » plus haut dans ce chapitre.
↑ Les définitions et expressions ayant permis d'établir cette relation pour une courbe plane n'ayant aucune signification pour une courbe gauche, seule cette relation est utilisable dans le cas d'une courbe gauche.
↑ Obtenue en dérivant l'équation paramétrique vectorielle de la courbe par rapport à $s$ .
↑ Voir le paragraphe « 3^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire » plus haut dans ce chapitre.

Modèle:Bas de page

[espace_orienté_à_droite-1] Voir l'introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[base_directe-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 et ^2,3 Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » ainsi que la note « ¹⁷ » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[3] Définissant la « base cartésienne » du repère $($ cartésien $)$ .

[4] On constate que les coordonnées cartésiennes du point $M$ sont $-$ par définition $-$ les composantes cartésiennes du vecteur position $\vec{O M}$ , ceci n'est vrai qu'en repérage cartésien, cela devient faux en repérage local comme cylindro-polaire ou sphérique car les vecteurs de base n'y sont pas choisis fixes.

[5] Orienté par un vecteur unitaire $⊥$ au plan $x O y$ c.-à-d. par $\pm {\vec{u}}_{z}$ et on choisit usuellement ${\vec{u}}_{z}$ en orientant les angles du plan selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $[$ on pourrait $($ mais on ne le fera jamais $)$ choisir $- {\vec{u}}_{z}$ et utiliser la « règle de la main gauche concernant les bases indirectes » vue dans le même chapitre, cela donnerait la même orientation des angles du plan $]$ .

[6] Ou encore « rayon (polaire) » s'exprimant en $m$ .

[7] Ou « abscisse angulaire » ou encore « angle polaire » s'exprimant en $r a d$ , sa détermination principale pouvant encore être choisie sur $[0, + 2 π [$ .

[8] Ce qui signifie que $\hat{({\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ})} = + \frac{π}{2}$ , les angles du plan $x O y$ étant orientés par ${\vec{u}}_{z}$ .

[9] Comme la base orthonormée cartésienne $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y})$ , la base orthonormée polaire $({\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ})$ permet d'exprimer tout vecteur du plan $x O y$ , à la différence que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire $θ$ du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.

[10] Le vecteur position dépend explicitement de $(ρ, z)$ et implicitement de $θ$ par l'intermédiaire de ${\vec{u}}_{ρ}$ .

[11] Les composantes cylindro-polaires de $\vec{O M}$ sont donc $(ρ, 0, z)$ , à distinguer des coordonnées cylindro-polaires de $M$ qui sont $(ρ, θ, z)$ $($ la 2^ème coordonnée cylindro-polaire étant angulaire ne peut être qualifiée d'« orthoradiale », qualificatif réservé aux grandeurs linéaires ou déduites de grandeurs linéaires $)$ .

[Formules_trigo-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 et ^12,4 On utilise les formules de trigonométrie suivantes $\cos (\frac{π}{2} - θ) = \sin (θ)$ et $\sin (\frac{π}{2} - θ) = \cos (θ)$ suivies éventuellement de l'utilisation de la parité de la fonction cosinus $\Rightarrow$ $\sin (\frac{π}{2} + θ) = \sin [\frac{π}{2} - (- θ)] = \cos (- θ) = \cos (θ)$ et de l'imparité de la fonction sinus $\Rightarrow$ $\cos (\frac{π}{2} + θ) = \cos [\frac{π}{2} - (- θ)] = \sin (- θ) = - \sin (θ)$ .

[13] $θ$ étant défini à $2 π$ près, il faut simultanément les expressions de $\cos (θ)$ et $\sin (θ)$ pour déterminer la valeur de $θ$ .

[14] Ce demi-plan est parfaitement défini si $M_{x y} \neq O$ .

[15] Angle orienté par le vecteur unitaire ${\vec{u}}_{z}$ $⊥$ au plan $x O y$ selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $[$ c'est le même vecteur unitaire que celui orientant l'angle $θ_{cylindr}$ du repérage cylindro-polaire, ce n'est pas surprenant puisqu'il s'agit en fait du même angle $]$ .

[16] Le vecteur unitaire $⊥$ au demi plan méridien et orientant la colatitude reste à préciser, son sens est régi par la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\dots$

[pôle_O_omis_en_repérage_sphérique-17] 17,0 et ^17,1 Le qualificatif de pôle $O$ est mis entre parenthèses car le plus souvent omis.

[18] Ou encore « coordonnée radiale » s'exprimant en $m$ .

[19] Domaine de définition large de $π$ seulement car on décrit un demi-plan méridien.

[20] Domaine de définition large de $2 π$ , on peut choisir encore une détermination comprise entre $0$ et $2 π$ .

[21] Le plan $z = 0$ est encore appelé « plan équatorial ».

[22] Ce qui signifie que $\hat{({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ})} = + \frac{π}{2}$ , les angles du demi-plan méridien étant orientés par ${\vec{u}}_{φ}$ .

[23] Le sens de ${\vec{u}}_{φ}$ permet d'obtenir l'orientation de la colatitude $θ$ du point considéré selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[3ème_vecteur_de_base_sphérique_identique_au_2ème_de_base_cylincro-polaire-24] 24,0 ^24,1 ^24,2 ^24,3 et ^24,4 Ce 3^ème vecteur de base sphérique est identique au 2^ème vecteur de base cylindro-polaire.

[25] On pourrait encore l'appeler « vecteur colatitudinal » mais cela n'est pas fait pour des raisons de sonorité de la langue.

[26] Comme la base orthonormée cylindro-polaire $({\vec{u}}_{z}, {\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ_{cyl}} = {\vec{u}}_{φ})$ , la base orthonormée sphérique $({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ}, {\vec{u}}_{φ})$ permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, en fonction de $({\vec{u}}_{z}, {\vec{u}}_{ρ})$ pour la 1^ère et $({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ})$ pour la 2^nde, le demi-plan étant orienté par le même vecteur ${\vec{u}}_{φ}$ .

[27] On aurait pu encore l'appeler « vecteur longitudinal » $($ plus harmonieux à l'oreille $)$ mais cela n'est pas fait car on accorde usuellement un autre sens à « longitudinal » $($ celui complémentaire de « transversal » $)$ .

[28] Le vecteur position dépend explicitement de $r$ et implicitement de $(θ, φ)$ par l'intermédiaire de ${\vec{u}}_{r}$ .

[29] Les composantes sphériques de $\vec{O M}$ sont donc $(r, 0, 0)$ , à distinguer des coordonnées sphériques de $M$ qui sont $(r, θ, φ)$ $($ les 2^ème et 3^ème coordonnées sphériques étant angulaires ne peuvent être qualifiées d'« orthoradiale » ni de « longitudale », qualificatif réservé aux grandeurs linéaires ou déduite de grandeurs linéaires en ce qui concerne « orthoradial » et que l'on étendra à « longitudal » $)$ .

[30] En géographie on utilise préférentiellement la latitude notée $λ$ pour repérer le point dans un demi-plan méridien à partir du point d'intersection $E$ de ce demi-plan avec le plan de l'équateur ; la latitude est orientée en sens inverse de la colatitude c.-à-d. comptée positivement du pôle Sud vers le pôle Nord, elle est définie selon $λ = \hat{(\vec{O E}, \vec{O M})}$ , nulle quand $M$ est sur l'équateur, valant $+ \frac{π}{2}$ au pôle Nord et $- \frac{π}{2}$ au pôle Sud ; son lien avec la colatitude est $θ = \frac{π}{2} - λ$ donnant effectivement une valeur nulle au pôle Nord, $\frac{π}{2}$ à l'équateur et $π$ au pôle Sud.

[3ème_coordonnée_sphérique_identique_à_la_2ème_cylindro-polaire-31] 31,0 et ^31,1 La 3^ème cordonnée sphérique $φ$ étant la même que la 2^nde coordonnée cylindro-polaire $θ_{cylind}$ .

[32] Ce n'est guère que dans le cadre de la cinématique quand on s'intéresse au vecteur accélération du point qu'on peut envisager de convertir le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire car les expressions du vecteur accélération en repérage sphérique sont très compliquées alors qu'en repérage cylindro-polaire elles le sont nettement moins.

[33] On décompose d'abord les vecteurs de base sphérique dans la base cylindro-polaire puis ces derniers dans la base cartésienne $\dots$

[34] On utilise d'abord le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindro-polaires avant de se servir du passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes.

[35] $φ \in] - π, + π]$ , il faut simultanément les expressions de $\cos (φ)$ et $\sin (φ)$ pour déterminer la valeur de $φ$ .

[36] On utilise d'abord le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindro-polaires avant de se servir du passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées sphériques.

[37] Suivre une certaine direction c'est suivre une certaine droite, donc un cas particulier de suivre une courbe.

[définition_intrinsèque_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_le_long_d'une_courbe-38] Voir le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[39] Il est rappelé que ce vecteur est unique à condition que $M$ ne soit pas un point anguleux de la courbe.

[40] On rappelle que, dans le cas général, le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue n'est pas nul, ceci n'arrivant que très rarement.

[parabole_dans_un_espace_à_trois_dimensions-41] 41,0 et ^41,1 On rappelle qu'une courbe dans l'espace à trois dimensions est caractérisée par deux équations cartésiennes, chaque équation cartésienne caractérisant une surface : $z = 0$ étant l'équation du plan $x O y$ et $y = a x^{2}$ l'équation d'un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $z^{'} z$ $($ un cylindre étant généré par une droite « génératrice » $-$ ici de direction $z^{'} z$ $-$ se déplaçant le long d'une courbe « directrice » $-$ ici la parabole $-$ le résultat étant encore appelé surface cylindrique $)$ .

[42] Il suffit de remplacer, dans l'expression générale du vecteur déplacement élémentaire, $d y$ et $d z$ par leur expression en fonction de $d x$ .

[43] Si on essaie d'imaginer l'évolution du vecteur déplacement élémentaire on obtient mentalement l'allure du graphe de la parabole, le vecteur déplacement élémentaire étant tangent à la parabole.

[44] Le 1^er vecteur de la base cylindro-polaire dépendant de $θ$ sa différentielle n'est pas nulle contrairement au 3^ème vecteur de cette base qui, étant constant, est de différentielle nulle.

[45] On écrit ${\vec{u}}_{θ}$ sous cette forme car il est directement $⊥$ à ${\vec{u}}_{ρ}$ .

[différentielle_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable-46] 46,0 et ^46,1 Voir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[47] Pour l'évaluation des dérivées, voir le paragraphe « définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[48] En utilisant le fait que les dérivées des fonctions sinus ou cosinus par rapport à leur argument s'obtiennent en augmentant l'argument de $\frac{π}{2}$ .

[49] La longueur d'un arc de cercle de rayon $R$ correspondant à un angle au centre $α$ exprimé en $r a d$ étant $R α$ , voir le paragraphe « exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe (à retenir) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[hélice_circulaire-50] 50,0 ^50,1 ^50,2 ^50,3 et ^50,4 Elle est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec $z \propto θ$ $[$ si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice devient une droite de pente égale au cœfficient de proportionnalité entre $θ$ et $z]$ ,
Modèle:Alelle est qualifiée de « dextre » ou « droite » si le cœfficient de proportionnalité entre $θ$ et $z$ est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant, « monter de gauche à droite » ;
Modèle:Alelle serait qualifiée de « senestre » ou « gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre $θ$ et $z$ était négatif, elle « monterait » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde $($ ou encore dans le sens horaire $)$ .

[courbe_dans_l'espace_à_trois_dimensions_utilisant_le_repérage_cylindro-polaire-51] 51,0 et ^51,1 On rappelle qu'une courbe dans l'espace à trois dimensions est caractérisée par deux équations donc ici deux équations cylindro-polaires, chaque équation caractérisant une surface :
Modèle:Al $ρ = a$ étant l'équation d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $O z$ et de rayon $a$ ,
Modèle:Al $z = h θ$ l'équation d'une surface hors nomenclature mais que l'on pourrait appelée « rampe en colimaçon » $($ elle est constituée de demi-droites $⊥$ à $z^{'} z$ , dans la direction repérée par $θ$ et issues du point de l'axe $z^{'} z$ de côte $z = h θ$ c.-à-d. de valeur absolue d'autant plus grande que $| θ |$ l'est, voir tracé à droite de celui de l'hélice circulaire $)$ .

[52] Ne pas oublier le déplacement $\vec{d M_{θ}} = ρ d θ {\vec{u}}_{θ}$ suivant ${\vec{u}}_{θ}$ .

[hélice_circulaire_gauche-53] L'hélice circulaire est alors qualifiée de « gauche ».

[hélice_circulaire_droite-54] L'hélice circulaire est alors qualifiée de « droite ».

[55] Si on essaie d'imaginer l'évolution du vecteur déplacement élémentaire on obtient mentalement l'allure du graphe de l'hélice circulaire, le vecteur déplacement élémentaire étant tangent à l'hélice.

[56] Pour l'hélice circulaire droite étudiée, la pente de la droite correspondant au « développement » de l'hélice circulaire est de pente $\frac{Δ z}{Δ s}$ où $Δ s$ est la longueur de l'arc de cercle de la base du tuyau cylindrique de révolution correspondant à la variation $Δ z$ ou encore de pente $\frac{h θ}{a θ} = \frac{h}{a}$ .

[57] Ou le sens direct ou encore le sens antihoraire ou, mais très peu utilisé, le sens prograde.

[58] Ou le sens indirect ou encore le sens horaire ou, assez fréquemment utilisé, le sens rétrograde.

[59] Le 1^er vecteur de la base sphérique dépendant de $θ$ et $φ$ sa différentielle n'est pas nulle $($ son évaluation étant moins aisée que celle des deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire, nous ne la verrons qu'en complément $)$ .

[60] En repérage géographique le déplacement serait suivant la verticale dans le sens ascendant.

[61] En repérage géographique le déplacement serait suivant l'horizontale dirigée vers le Sud.

[62] Le rayon du demi-cercle méridien étant $r$ et la longueur d'un arc de cercle de rayon $R$ d'angle au centre associé $α$ exprimé en $r a d$ étant $R α$ , voir le paragraphe « exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe (à retenir) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[63] En repérage géographique le déplacement serait suivant l'horizontale dirigée vers l'Est.

[64] Le rayon du cercle « parallèle » étant $r \sin (θ)$ $[$ voir schéma de profil dans le demi-plan méridien $φ = c s t e$ , le rayon y étant $M_{z} M]$ et la longueur d'un arc de cercle de rayon $R$ correspondant à un angle au centre $α$ exprimé en $r a d$ étant $R α$ , voir le paragraphe « exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe (à retenir) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[différentielle_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_utilisant_la_notion_de_dérivées_partielles-65] Voir, pour les deux 1^ères différentielles, le paragraphe « écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais ici, les dérivées partielles seront définies à l'aide des coordonnées sphériques et non cartésiennes ;
Modèle:Alvoir, pour la 3^ème différentielle, le paragraphe « définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[réécriture_de_la_base_cylindro-polaire-66] 66,0 et ^66,1 On fait une permutation circulaire pour que le 2^ème vecteur de la base cylindro-polaire ${\vec{u}}_{θ_{cyl}} = {\vec{u}}_{φ}$ devienne le 3^ème vecteur comme il l'est dans la base sphérique.

[varphi_figé-67] 67,0 et ^67,1 On rappelle que $φ$ est figé pendant la durée de la dérivation c.-à-d. que ${\vec{u}}_{ρ} (φ)$ ne varie pas.

[theta_figé-68] 68,0 et ^68,1 On rappelle que $θ$ est figé pendant la durée de la dérivation.

[dériver_un_vecteur_unitaire_par_rapport_à_l'angle_qu'il_fait_avec_une_direction_fixe_d'un_plan_fixe-69] 69,0 ^69,1 ^69,2 et ^69,3 On rappelle la propriété établie dans le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » plus haut dans ce chapitre et qui reste applicable ici : « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan fixe par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement $⊥$ au vecteur initial », ainsi
Modèle:Aldérivant ${\vec{u}}_{ρ}$ par rapport à l'angle qu'il fait avec ${\vec{u}}_{x}$ , le plan équatorial les contenant tous deux étant fixe on obtient ${\vec{u}}_{φ}$ se déduisant de ${\vec{u}}_{ρ}$ par rotation de $+ \frac{π}{2}$ dans le plan équatorial ;
Modèle:Aldérivant ${\vec{u}}_{φ}$ par rapport à l'angle qu'il fait avec ${\vec{u}}_{y}$ , le plan équatorial les contenant tous deux étant fixe on obtient $- {\vec{u}}_{ρ}$ se déduisant de ${\vec{u}}_{φ}$ par rotation de $+ \frac{π}{2}$ dans le plan équatorial.
Modèle:AlDérivant $\vec{τ}$ par rapport à l'angle qu'il fait avec ${\vec{u}}_{x}$ , le plan de la courbe les contenant tous deux étant fixe on obtient $\vec{n}$ se déduisant de $\vec{τ}$ par rotation de $+ \frac{π}{2}$ dans le plan de la courbe.

[70] ${\vec{u}}_{ρ}$ étant un vecteur unitaire du demi-plan méridien, on n'utilise que la partie de base sphérique située dans ce demi-plan à savoir $({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ})$ .

[71] Il est rappelé que seule sa détermination géométrique est une exigence.

[Poinsot-72] 72,0 et ^72,1 Louis Poinsot (1777 - 1859) mathématicien français surtout connu pour ses travaux en mécanique rationnelle et aussi quelques travaux de géométrie.

[loxodromie_dans_un_espace_à_trois_dimensions_en_repérage_sphérique-73] 73,0 et ^73,1 Une loxodromie de sphère est une courbe tracée sur une sphère telle qu'elle coupe les parallèles de cette sphère à angle constant, l'angle valant ici $30 °$ ; comme toute courbe de l'espace elle est déterminée par deux équations, dans le cas présent deux équations sphériques dont la 1^ère est l'équation de la sphère de centre $O$ et de rayon $a$ et la 2^ème l'équation d'une surface hors nomenclature constituée de demi-droites issues de $O$ caractérisées par sa colatitude $θ$ et sa longitude associée $φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{θ}{2})]$ $\dots$
Modèle:AlUsuellement la 2^ème équation est donnée en fonction de la latitude $λ = \frac{π}{2} - θ$ $\Rightarrow$ $\frac{θ}{2} = \frac{π}{4} - \frac{λ}{2}$ soit $φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{π}{4} - \frac{λ}{2})] = - \tan (\frac{π}{3}) \ln {\tan [\frac{π}{2} - (\frac{π}{4} + \frac{λ}{2})]}$ ou, avec $\tan (\frac{π}{2} - α) = \cot (α) = \frac{1}{\tan (α)}$ , la réécriture de l'équation selon $φ = - \tan (\frac{π}{3}) \ln [\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} + \frac{λ}{2})}] = \tan (\frac{π}{3}) \ln [\tan (\frac{π}{4} + \frac{λ}{2})]$ .

[différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable-74] Voir le paragraphe « différenteille d'une fonction scalaire d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[75] Dérivation de fonctions composées : on dérive le logarithme népérien par rapport à son argument d'où $\frac{1}{\tan (\frac{θ}{2})}$ , on multiplie par la dérivée de l'argument $\tan (\frac{θ}{2})$ par rapport à l'argument de ce dernier $\frac{θ}{2}$ soit $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{θ}{2})}$ et on termine en multipliant par la dérivée de $\frac{θ}{2}$ par rapport à $θ$ soit $\frac{1}{2}$ $\dots$

[76] On utilise la formule de trigonométrie $2 \sin (x) \cos (x) = \sin (2 x)$ .

[77] Le vecteur déplacement élémentaire suivant ${\vec{u}}_{φ}$ étant $\vec{d M_{φ}} = r \sin (θ) d φ {\vec{u}}_{φ}$ .

[78] On pourrait s'étonner des signes obtenus mais il ne faut pas oublier que $θ$ variant de $\frac{π}{2}$ à $0$ , $d θ$ est $< 0$ , ainsi
Modèle:Alle vecteur déplacement élémentaire selon un demi-cercle méridien $\vec{d M_{θ}} = a {\vec{u}}_{θ} d θ$ est bien en sens contraire de ${\vec{u}}_{θ}$ et
Modèle:Alcelui selon un parallèle $\vec{d M_{φ}} = - a \tan (\frac{π}{3}) d θ {\vec{u}}_{φ}$ dans le sens de ${\vec{u}}_{φ}$ .

[79] La norme du vecteur déplacement élémentaire étant égale à $‖ \vec{d M} ‖ = \sqrt{1^{2} + {[- \tan (\frac{π}{3})]}^{2}} a | d θ | = \sqrt{1 + \tan^{2} (\frac{π}{3})} a | d θ | = \frac{a}{\cos (\frac{π}{3})} | d θ |$ d'après $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}$ soit finalement « $‖ \vec{d M} ‖ = 2 a | d θ |$ » en utilisant $\cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ établissant que « $‖ \vec{d M} ‖$ est effectivement indépendant de $θ$ » ;
Modèle:Alle plan tangent à la sphère au point $M$ étant de vecteurs de base $({\vec{u}}_{θ}, {\vec{u}}_{φ})$ , la pente calculée par rapport aux parallèles et comptée positivement vers le Nord est $\frac{- \overline{d M_{θ}}}{\overline{d M_{φ}}} = \frac{1}{\tan (\frac{π}{3})} =$ $c o t a n (\frac{π}{3}) = \tan (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = \tan (\frac{π}{6})$ c.-à-d. « une pente effectivement indépendante de $θ$ » $\Rightarrow$ la direction de $\vec{d M}$ faisant un angle constant de $30 °$ par rapport aux parallèles.

[Valeur_de_a-80] 80,0 ^80,1 et ^80,2 Le tracé a été fait avec « $a = 1$ » ; la courbe est en rouge.

[81] Pour en déduire deux équations $($ non paramétriques $)$ cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques nécessaires à la caractérisation de la courbe, il suffit d'éliminer le paramètre entre ces trois équations paramétriques cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques ;
Modèle:Alles deux équations non paramétriques obtenues ne sont pas uniques, en effet si on nomme $(1, 2, 3)$ les équations paramétriques de la courbe, on peut éliminer le paramètre
entre $(1)$ et $(2)$ , entre $(1)$ et $(3)$ d'où un 1^er couple d'équations non paramétriques possibles ou

entre $(2)$ et $(1)$ , entre $(2)$ et $(3)$ d'où un 2^ème couple d'équations non paramétriques possibles ou encore

entre $(3)$ et $(1)$ , entre $(3)$ et $(2)$ d'où un 3^ème couple d'équations non paramétriques possibles.

[82] tre $(1)$ et $(2)$ , entre $(1)$ et $(3)$ d'où un 1^er couple d'équations non paramétriques possibles ou

[83] tre $(2)$ et $(1)$ , entre $(2)$ et $(3)$ d'où un 2^ème couple d'équations non paramétriques possibles ou encore

[84] tre $(3)$ et $(1)$ , entre $(3)$ et $(2)$ d'où un 3^ème couple d'équations non paramétriques possibles.

[82] La façon de procéder serait la même en repérage paramétrique cylindro-polaire ou en repérage paramétrique sphérique.

[83] On aurait pu éliminer le paramètre à l'aide de la 3^ème équation paramétrique selon « ${\begin{matrix} t = \frac{z - 1}{2} \\ x = \frac{t}{2} \end{matrix}}$ » donnant par report « $x = \frac{z - 1}{4}$ » c.-à-d. l'équation cartésienne d'un plan $∥$ à $y^{'} y$ $[$ il s'agit du même plan que celui trouvé en éliminant le paramètre à l'aide de la 1^ère équation paramétrique $]$ .

[84] On aurait pu éliminer le paramètre à l'aide de la 3^ème équation paramétrique selon « ${\begin{matrix} t = \frac{z - 1}{2} \\ y = t^{2} - 1 \end{matrix}}$ » donnant par report « $y = \frac{(z - 1)^{2}}{4} - 1 = \frac{z^{2}}{4} - \frac{z}{2} - \frac{5}{4}$ » c.-à-d. l'équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $x^{'} x$ .

[85] En utilisant les notes « ⁸⁵ » et « ⁸⁶ » exposées plus haut dans ce chapitre consistant à éliminer $t$ à l'aide de l'équation paramétrique $(3)$ on a trouvé pour les deux équations cartésiennes de $(𝒯)$ « ${\begin{matrix} x = \frac{z - 1}{4} \\ y = \frac{(z - 1)^{2}}{4} - 1 \end{matrix}}$ » $\Rightarrow$ $(𝒯)$ étant l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices $∥$ à $x^{'} x$ et d'un plan $∦$ à $x^{'} x$ est effectivement une parabole $($ bien qu'il s'agisse ici d'un cylindre parabolique distinct de celui intervenant dans le corps du paragraphe, la parabole est évidemment la même $)$ .

[86] Souvent encore noté $r$ , ce qui ne pose aucun problème si le repérage sphérique n'est pas simultanément utilisé.

[87] C.-à-d. hors mécanique ondulatoire $($ domaine dans lequel les particules sont considérées comme des ondes de probabilité de présence réparties dans l'espace et non comme des objets y étant parfaitement localisés, les endroits de maximum de probabilité de présence s'identifiant à ce que seraient les trajectoires des particules si elles étaient considérées comme des objets localisés dans l'espace $)$ .

[88] Dans le cadre de la mécanique classique, l'électron est une particule quasi-ponctuelle et le noyau aussi, le mouvement ainsi étudié aboutit à certains résultats non observés expérimentalement, le physicien Niels Bohr a ajouté une condition que le mouvement de l'électron devait suivre pour être en accord avec l'expérience, cette condition porte sur le « moment cinétique » de l'électron Modèle:Nobr caractérisant la rotation orbitale de l'électron, cette grandeur étant introduite dans le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $]$ qui, selon Niels Bohr, devait être un multiple d'une grandeur connue sous le nom de constante réduite de Planck $ℏ = \frac{h}{2 π}$ , $h$ étant la constante de Planck ; le problème du mouvement de l'électron $($ particule ponctuelle $)$ dans l'atome d'hydrogène avec cette condition de quantification est connu sous le nom de « modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène » $($ ce qui est extraordinaire c'est que l'on trouve ainsi les bons résultats expérimentaux bien que la condition de quantification du moment cinétique de l'électron se soit révélée par la suite fausse $\dots$ en effet dans le cadre de la mécanique ondulatoire on peut aussi définir un moment cinétique pour l'onde électronique mais le nombre quantique intervenant n'est pas celui considéré dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, étonnant non ! $)$ ;
Modèle:AlNiels Henrik David Bohr (1885 - 1962), physicien danois, surtout connu pour son apport à la construction de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $1922$ « pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent » ;
Modèle:AlMax Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947), physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $1918$ « pour ses travaux en théorie des quanta » ; en son hommage, la période de l'histoire cosmologique suivant immédiatement l'apparition de l'Univers pendant laquelle les quatre interactions fondamentales $($ électromagnétisme, interaction faible, interaction forte et gravitation $)$ n'en formait qu'une, fut baptisée « ère de Planck », sa durée « temps de Planck » étant estimée à $1 0^{- 43} s$ .

[89] Toutefois le vecteur-accélération d'un point dans le système de coordonnées sphériques étant trop compliqué pour être retenu $($ ou trop long à établir pour être retrouvé $)$ , on se ramènera au système de coordonnées le plus proche pour appliquer la r.f.d.n. $($ relation fondamentale de la dynamique newtonienne $)$ à savoir le repérage cylindro-polaire $\dots$

[Frenet-90] 90,00 ^90,01 ^90,02 ^90,03 ^90,04 ^90,05 ^90,06 ^90,07 ^90,08 ^90,09 ^90,10 ^90,11 et ^90,12 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet $[$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules $]$ .

[91] Il n'est donc pas exigible pour un étudiant de classe préparatoire $($ option PCSI $)$ .

[92] Traduisant le fait que la vitesse lue sur le tachymètre augmente ou diminue.

[93] La distance non algébrisée séparant $A$ de $M$ sur $(Γ)$ étant $| s | = | \overset{↷}{A M} | = \overset{⌢}{A M}$ .

[point_anguleux-94] 94,0 ^94,1 ^94,2 ^94,3 ^94,4 ^94,5 et ^94,6 En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.

[cercle_osculateur-95] 95,0 et ^95,1 Une définition plus précise $($ également valable pour une courbe gauche $)$ pourrait être : soient $M$ un point de $(Γ)$ et $M^{″}$ un point voisin de $M$ sur $(Γ)$ , le cercle osculateur Modèle:Nobr appelé cercle de courbure $)$ de la courbe $(Γ)$ au point $M$ est la limite du cercle passant par $M$ et $M^{″}$ en étant tangent à $(Γ)$ en $M$ quand $M^{″}$ tend vers $M$ , voir aussi le paragraphe « Définitions et propriétés » de l'article de « wikipédia » intitulé « cercle osculateur ».

[96] Pour définir un cercle osculateur il faut qu'il existe une tangente unique au point $M$ , on ne peut donc pas définir un cercle osculateur en un point anguleux où existe une tangente à gauche $\neq$ de la tangente à droite $($ mais on peut définir un cercle osculateur à gauche et un cercle osculateur à droite $)$ .

[97] Comme $ℛ_{M} = C M ⩾ 0$ , un rayon de courbure est une grandeur positive ou nulle.

[98] Pour définir un plan osculateur il faut bien sûr que les plans tangents existent $($ c.-à-d. qu'il existe une tangente unique au point $M$ , tout plan contenant cette tangente $-$ et il y en a une infinité $-$ définissant alors un plan tangent particulier $)$ , parmi tous ces plans il en existe un se rapprochant localement le plus de la courbe c'est le plan osculateur.

[99] La notion de plan osculateur a été introduite par Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) $[$ mathématicien français particulièrement précoce $($ à l'âge de douze ans il écrit un mémoire sur quatre courbes géométriques et entre à l'Académie des Sciences à dix-huit ans $)$ , on lui doit des travaux en analyse mathématique, en géométrie différentielle et en géodésie $($ science s'attachant à résoudre les dimensions et la forme de la Terre $)]$ .

[100] La normale principale à $(Γ)$ en $M$ est encore la direction normale dans le plan osculateur ou le plan de la courbe si cette dernière est plane.

[101] Ou, si la courbe est plane, $⊥$ au plan de la courbe ; ce plan étant usuellement noté $x O y$ et le vecteur normal secondaire est noté ${\vec{u}}_{z}$ ou ${\vec{u}}^{'}_{z} = - {\vec{u}}_{z}$ suivant le sens du vecteur normal secondaire défini ci-après.

[102] Ainsi l'angle entre le vecteur unitaire tangentiel et le vecteur normal principal est $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = + \frac{π}{2}$ .
Modèle:AlSi la courbe est plane dans le plan $x O y$ , le sens « $+$ » des mesures d'angle de ce plan doit être tel que $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = + \frac{π}{2}$ ;
Modèle:Transparentor ce sens « $+$ » est déterminé par le sens du vecteur normal secondaire, d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le vecteur normal secondaire est ${\vec{u}}_{z}$ $[$ si $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = \hat{({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y})}]$ ${$ correspondant à $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z})$ directe, le plan $x O y$ étant orienté dans le sens
Modèle:Al Modèle:Transparenttrigonométrique $($ ou anti-horaire $)}$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le vecteur normal secondaire est ${\vec{u}}^{'}_{z} = - {\vec{u}}_{z}$ $[$ si $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = - \hat{({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y})}]$ ${$ correspondant à $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z})$ indirecte, le plan $x O y$ étant orienté
Modèle:Al Modèle:Transparentdans le sens anti-trigonométrique $($ ou horaire $)}$ .
Modèle:AlRemarque : voir les notes « ⁵⁸ » et « ⁵⁹ » plus haut dans ce chapitre pour d'autres appellations synonymes de trigonométrique et anti-trigonométrique.

[103] Ce pourrait être un point fixe de $(Γ)$ et en particulier le point $A$ .

[vecteur_unitaire_tangentiel-104] 104,0 ^104,1 ^104,2 ^104,3 et ^104,4 Voir le paragraphe « rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée » plus haut dans ce chapitre.

[omis_pour_une_courbe_plane-105] 105,0 et ^105,1 Omis pour une courbe plane d'où les parenthèses.

[vecteur_unitaire_normal_principal_en_un_point_d'une_courbe_plane-106] 106,0 et ^106,1 Voir le paragraphe « 2^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal » plus haut dans ce chapitre.
Modèle:AlLe vecteur unitaire normal $($ principal $)$ de Frenet $\vec{n}$ en un point $M$ non anguleux d'une courbe plane $(Γ)$ est directement $⊥$ au vecteur unitaire tangentiel $\vec{τ}$ en $M$ de $(Γ)$ $[$ « directement » car on choisit d'orienter le plan de la courbe tel que l'angle algébrisé $\hat{(\vec{τ}, \vec{n})} = + \frac{π}{2}$ , le vecteur unitaire normal secondaire $\vec{b} = \vec{τ} \land \vec{n}$ $⊥$ au plan de la courbe orientant ces angles étant, dans le cas de la figure, de sens opposé à ${\vec{u}}_{z}$ ${$ mais il serait dans le sens de ${\vec{u}}_{z}$ si la courbure de $(Γ)$ en $M$ était inversée, c.-à-d. si le centre de courbure associé était de l'autre côté de $M}$ voir aussi la note « ¹⁰⁴ » plus haut dans ce chapitre $]$ .

[égalité_des_angles_entre_normales_et_entre_tangentes-107] Par égalité d'angles à côtés respectivement $⊥$ , cette propriété étant applicable à condition qu'il n'y ait pas de point d'inflexion de $(Γ)$ entre $M_{1}$ et $M_{2}$ , en effet la présence d'un point d'inflexion de $(Γ)$ entre $M_{1}$ et $M_{2}$ $\Rightarrow$ une inversion de courbure de $(Γ)$ entre ces deux points et comme le vecteur unitaire normal est toujours de sens vers le centre de courbure associé, un positionnement inverse de $\vec{n}$ par rapport à $\vec{τ}$ entre les deux points ce qui nécessite que les sens $+$ de mesure des angles soient inversés lors du passage d'un point à l'autre d'où l'inapplicabilité de la propriété énoncée.

[108] $M \neq$ d'un point d'inflexion de $(Γ)$ .

[109] À chaque valeur d'abscisse curviligne $s$ on associe un point $M$ que la courbe soit ouverte ou fermée et à chaque point $M$ , non anguleux, on associe une valeur de $α$ , aussi peut-on définir de façon unique la fonction $α = α (s)$ ; en restreignant éventuellement le domaine de définition de $s$ on peut alors inverser la fonction pour obtenir la fonction inverse $s = s (α)$ ; dans « $\lim \limits_{δ α \to 0} [\frac{δ s}{δ α}]$ » on reconnaît la définition de la dérivée par rapport à $α$ de $s = s (α)$ .

[110] L'établissement de cette formule a nécessité que $M$ ne soit pas un point d'inflexion de $(Γ)$ mais
Modèle:Aldans le cas où $M$ serait un point d'inflexion de $(Γ)$ , le rayon de courbure y étant infini et $\frac{d α}{d s}$ y étant stationnaire $\Rightarrow$ $\frac{d s}{d α}$ infini d'où l'applicabilité de la formule en un point d'inflexion de $(Γ)$ .

[ne_s'applique_qu'à_une_courbe_plane-111] 111,0 et ^111,1 Cette définition $($ ou relation $)$ ne s'applique qu'à une courbe plane.

[utilisation_de_alpha_pour_une_courbe_plane-112] 112,0 et ^112,1 Voir le paragraphe « définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane » plus haut dans ce chapitre.

[courbure_d'une_courbe-113] 113,0 et ^113,1 La courbure étant l'inverse du rayon de courbure et s'exprimant en $m^{- 1}$ .

[114] On vérifie l'homogénéité « $‖ \frac{d (\vec{τ})}{d s} ‖$ » est en $m^{- 1}$ et « $‖ \frac{\vec{n}}{ℛ_{M}} ‖$ » en $m^{- 1}$ , « $‖ \vec{τ} ‖$ » et « $‖ \vec{n} ‖$ » étant sans dimension.

[dérivée_de_tau_par_rapport_à_s_pour_une_courbe_plane-115] Voir le paragraphe « établissement de la définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane » plus haut dans ce chapitre.

[vecteur_unitaire_normal_principal-116] 116,0 ^116,1 et ^116,2 Voir le paragraphe « 2^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal » plus haut dans ce chapitre.

[rayon_de_courbure_d'une_courbe_plane_ou_gauche-117] 117,0 ^117,1 et ^117,2 Voir le paragraphe « notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point » plus haut dans ce chapitre.

[118] Les définitions et expressions ayant permis d'établir cette relation pour une courbe plane n'ayant aucune signification pour une courbe gauche, seule cette relation est utilisable dans le cas d'une courbe gauche.

[119] Obtenue en dérivant l'équation paramétrique vectorielle de la courbe par rapport à $s$ .

[120] Voir le paragraphe « 3^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire » plus haut dans ce chapitre.

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace

Repérage intrinsèque d'un point dans l'espace

Repérage cartésien d'un point dans l'espace

Choix d'un repère cartésien

Coordonnées cartésiennes d'un point

Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace

Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point

Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point

Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point

Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien

Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire

Repérage sphérique d'un point dans l'espace

Principe du repérage sphérique d'un point

Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point

Composantes sphériques du vecteur position d'un point

Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point

Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique

Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point

Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien

Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique

Vecteur déplacement élémentaire d'un point

Définition intrinsèque

Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Calcul préliminaire

Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires

Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Calcul préliminaire

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique

Complément : différentielle des vecteurs de base sphérique

Détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique

Détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique

Détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique

Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique

Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du 1er vecteur de base sphérique

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques

Repérages d'une courbe dans l'espace

Repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe

Repérage paramétrique d'une courbe

Choix du système de coordonnées adapté au problème

En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe

Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1er vecteur de la base locale de Frenet associée

Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point

Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point

2ème et 3ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée

2ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal

3ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire

Rappel, composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée

Définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane

Définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane)

Établissement de la définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane

Énoncé de la définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe gauche

Notes et références

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