Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : dualité onde-particule

Exemples d'expérience mettant en évidence la notion de photon (ou particule de lumière) : l'effet photoélectrique et la diffusion Compton

Modèle:AlIl s'agit des 1^ères mises en évidence reconnues historiquement, l'électron émis étant considéré comme une particule, la lumière doit être un ensemble de particules de lumière pour interpréter l'effet photoélectrique $($ou la diffusion Compton$)$.

Description de l'effet photoélectrique

Modèle:AlC'est l'émission d'électrons par un métal lorsqu'il est éclairé par un rayonnement du domaine visible ou ultra-violet ;

Modèle:Alle phénomène n'existe que si la longueur d'onde du rayonnement dans le vide ${\lambda }_0$ est $<$ à une longueur d'onde de seuil ${\lambda }_{\text{seuil}}$ caractéristique du métal et
Modèle:AlModèle:Transparentsi cette longueur d'onde ${\lambda }_0$ est $>$ à ${\lambda }_{\text{seuil}}$ il n'y a pas d'effet photoélectrique possible même si le rayonnement correspond à une « puissance très intense ».

Interprétation de l'effet photoélectrique en considérant l'aspect corpusculaire de la lumière (Einstein 1905)

Modèle:AlEn $1900$, pour interpréter le spectre d'émission du rayonnement électromagnétique d'un corps chauffé $($émission essentiellement dans l'infra-rouge$)$,
Modèle:AlModèle:TransparentMax Planck supposa que l'énergie s'échange entre la matière et le rayonnement par multiples d'une valeur minimale « le quantum d'énergie » dont l'expression est liée à la fréquence $\nu$ de l'onde par «$E_{\text{quantum}}=h\nu$» $($relation de Planck - EinsteinModèle:,$)$ où $h$ est une constante fondamentale de la physique $($appelée à l'heure actuelle « constante de Planck » et valant Modèle:Nobr $6,6260701510^{-34}J\cdot s$»$)$ ;

Modèle:Alen $1905$, Albert Einstein reprit l'hypothèse de Planck en supposant que la lumière elle-même $($et non plus les échanges entre la matière et la lumière$)$ est un ensemble de « quanta de lumière », chaque « grain » de lumière étant d'énergie $h\nu$ ;

Modèle:Alpour Einstein, l'effet photoélectrique devient l'absorption par un électron du métal d'un seul quantum de lumière et si cette énergie est suffisante, l'électron peut être arraché au métal ;

Modèle:Alénergies potentielles de liaison dans un métal suivant que l'électron considéré est effectivement lié ou arraché au métal :
Modèle:AlModèle:Transparentun électron, lié au métal, possédant de l'énergie potentielle de liaison,
Modèle:AlModèle:Transparentn'est plus lié s'il est arraché au métal par absorption d'énergie,
Modèle:AlModèle:Transparentdans cette situation il est légitime de considérer cette énergie potentielle de liaison nulle ;
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinissant la référence de l'énergie potentielle de liaison de l'électron dans le métal quand l'électron est arraché,
Modèle:AlModèle:Transparenton en déduit que, lié au métal, il possède une énergie potentielle de liaison ${ℰ}_{p,\text{liaison}}<0$ dépendant du métal ;
Modèle:AlModèle:Transparenton définit «${ℰ}_{p,\text{liaison}}$» en introduisant « le travail d'extraction » correspondant $W_{\text{extraction}}>0$ comme l'énergie minimale à fournir pour que l'électron, pris dans son état fondamental $($c.-à-d. non excité$)$, puisse être arraché au métal c.-à-d. obéissant à la règle de conservation de l'énergie de l'électron «${ℰ}_{p,\text{liaison}}+W_{\text{extraction}}=0$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«${ℰ}_{p,\text{liaison}}=-W_{\text{extraction}}<0$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentquelques valeurs de travail d'extraction pour différents métaux :
Modèle:AlModèle:Transparent«$\begin{array}{cccccc}\text{fer}& \text{césium}& \text{potassium}& \text{magnésium}& \text{zinc}& \text{nickel}\\ W_{Fe}=1,8eV& W_{Cs}=2,1eV& W_K=2,4eV& W_{Mg}=2,4eV& W_{Zn}=3,4eV& W_{Ni}=5,0eV\end{array}$» ;

Modèle:All'électron lié au métal peut donc être arraché si « l'énergie du quantum de lumière qu'il absorbe est $>$ au travail d'extraction du métal » soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$h\nu >W_{\text{extraction}}$» ou «$\nu >\frac{W_{\text{extraction}}}{h}={\nu }_{\text{seuil}}$» ou encore,
Modèle:AlModèle:Transparenten termes de longueur d'onde dans le vide, «${\lambda }_0=\frac{c}{\nu }<\frac{hc}{W_{\text{extraction}}}={\lambda }_{\text{seuil}}$», par exemple
Modèle:AlModèle:Transparentla longueur d'onde de seuil de l'effet photoélectrique pour le fer est «${\lambda }_{\text{seuil, Fe}}=\frac{hc}{W_{Fe}}$ avec $W_{Fe}$ en $J$ soit $W_{Fe}\simeq 1,8\times 1,610^{-19}\simeq 2,8810^{-19}J$» $\Rightarrow$ «${\lambda }_{\text{seuil, Fe}}\simeq \frac{6,62610^{-34}\times 310^8}{2,8810^{-19}}$ en $m$» soit «${\lambda }_{\text{seuil, Fe}}\simeq 0,69\mu m$» justifiant l'« effet photoélectrique dans le fer pour le visible et les U.V. à l'exclusion du rouge et des I.R. en accord avec ${\lambda }_0<{\lambda }_{\text{seuil, Fe}}\simeq 0,69\mu m$» et
Modèle:AlModèle:Transparentla longueur d'onde de seuil pour le nickel se calcule selon «${\lambda }_{\text{seuil, Ni}}=\frac{hc}{W_{Ni}}$ avec $W_{Ni}$ en $J$ soit $W_{Ni}\simeq 5,0\times 1,610^{-19}\simeq 8,010^{-19}J$» $\Rightarrow$ «${\lambda }_{\text{seuil, Ni}}\simeq \frac{6,62610^{-34}\times 310^8}{8,010^{-19}}$ en $m$» soit «${\lambda }_{\text{seuil, Ni}}\simeq 0,25\mu m$» justifiant l'« effet photoélectrique dans le nickel uniquement pour les U.V. non trop proches en accord avec ${\lambda }_0<{\lambda }_{\text{seuil, Ni}}\simeq 0,25\mu m$» $($pas d'effet photoélectrique dans le nickel pour le visible ou l'I.R.$)$ ;

Modèle:Alcette théorie permet aussi de déterminer l'énergie cinétique d'extraction de l'électron comme étant l'excédent d'énergie par rapport au travail d'extraction soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$K_{\text{extraction}}={ℰ}_{p,\text{liaison}}+h\nu =-W_{\text{extraction}}+h\nu$» » ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$K_{\text{extraction}}=h(\nu -{\nu }_{\text{seuil}})$» par utilisation de la fréquence de seuil ${\nu }_{\text{seuil}}=\frac{W_{\text{extraction}}}{h}$ ;

Modèle:Aldes expériences menées par Robert Millikan entre $1905$ et $1915$ confirmèrent cette théorie et
Modèle:AlModèle:Transparentconfirmèrent la valeur numérique de $h$.

Description de la diffusion Compton

Modèle:AlLa diffusion Compton fut découverte par Arthur Compton en $1923$, elle se définit comme le phénomène de diffusion d'un rayonnement par la matière, cette dernière renvoyant dans tout l'espace un rayonnement de même nature appelé « onde diffusée » ;
Modèle:AlModèle:Transparent« classiquement » on explique la diffusion des ondes électromagnétiques par le fait que les électrons de la matière sont mis en mouvement sous l'action du champ électromagnétique de l'onde incidente, le mouvement d'oscillation de ces derniers à la fréquence de l'onde incidente engendrant un rayonnement diffusé de même fréquence que « sa source » ;
Modèle:AlModèle:Transparentainsi l'onde diffusée expliquée par la mécanique classique doit être de même fréquence que l'onde incidente ;

Modèle:Alen envoyant des rayons X de longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0=0,71\text{Å}$Modèle:, sur une cible de carbone, A. Compton observa un rayonnement diffusé de longueur d'onde dans le vide différente de celle du rayonnement incident, en contradiction avec la théorie classique.

Interprétation de la diffusion Compton en considérant l'aspect corpusculaire des rayons X (Compton 1922)

Justification de l'effet Compton par collision entre un photon et un électron dans le cadre relativiste, on trouve ${{\lambda }^{\prime }}_0-{\lambda }_0=$ $\frac{h}{m_{e}c}[1-\cos (\theta )]$ avec $m_e$ masse de l'électron

Modèle:AlA. Compton interpréta la diffusion de même nom comme une collision entre un électron de la matière et un « grain » de lumière $($associé au rayonnement incident$)$d'énergie «$E=h\nu =\frac{hc}{{\lambda }_0}$» et de quantité de mouvement «$\overrightarrow{p}=$ $\frac{E}{c}\overrightarrow{u}=\frac{h}{{\lambda }_0}\overrightarrow{u}$», $(\overrightarrow{u}$ étant le vecteur unitaire dans la direction et le sens du mouvement du « grain » de lumière$)$ ;

Modèle:Alau cours de la collision le « grain » de lumière est absorbé puis réémis avec une énergie moindre correspondant à l'acquisition d'énergie cinétique par l'électron Modèle:Nobr les « schémas de la collision » ci-contre$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentle « grain » de lumière diffusé ayant une énergie $E^{\prime }$ moindre que celui de l'onde incidente $E$ c.-à-d. «$E_{\text{diffusion}}<E_{\text{incident}}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentsa fréquence ${\nu }^{\prime }$ est également plus faible que l'incidente $\nu$ c.-à-d. «${\nu }_{\text{diffusion}}<{\nu }_{\text{incident}}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentsa longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0{}^{\prime }=\frac{c}{{\nu }^{\prime }}$ plus grande que l'incidente ${\lambda }_0=\frac{c}{\nu }$ c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_{0,\text{diffusion}}>{\lambda }_{0,\text{incident}}$» ;

Modèle:Alle calcul fondé sur les lois de la mécanique relativiste $\{$utilisant la conservation de l'énergie totale et celle de la quantité de mouvement totale du système des deux particules $($électron et « grain » de lumièreModèle:,$\left)\right\}$ donne un résultat en accord avec l'expérience, voir l'établissement du résultat en complément Modèle:Nobr Modèle:Preuve

Preuve incontournable du caractère corpusculaire de la lumière

Modèle:Alles deux expériences précédemment citées sont des preuves incontournables du caractère corpusculaire de la lumière car, dans aucune des deux, l'aspect ondulatoire ne permet d'interpréter l'expérience :

• pour l'effet photoélectrique, l'absorption d'une onde lumineuse monochromatique de haute intensité et de basse fréquence devrait entraîner l'éjection d'électrons du métal en contradiction avec l'observation expérimentale $\dots$
  Modèle:Transparenten effet l'intensité de l'onde lumineuse incidente étant grande, si nous supposons l'absorption uniformément répartie sur la surface du métal et de durée suffisamment grande, l'énergie moyenne absorbée pendant cette durée par n'importe quelle région microscopique entourant un électron de conduction du métal étant $>$ à son travail d'extraction, l'électron devrait être arraché du métal et un effet photoélectrique observé mais $\dots$
  Modèle:Transparentsi ce dernier ne l'est pas c'est parce que l'aspect ondulatoire de la lumière ne peut être appliqué ici, la grande énergie moyenne absorbée pendant la durée considérée précédemment devant être interprétée en terme corpusculaire comme un grand nombre de « grains » de lumière arrivant successivement, à un rythme élevé, dans la région microscopique entourant un électron de conduction du métal avec chaque « grain » de lumière d'énergie insuffisante pour arracher un électron de conduction du métal ; de même
  Modèle:Transparentl'absorption d'une onde lumineuse monochromatique de faible intensité et de haute fréquence ne devrait entraîner aucune éjection d'électrons du métal en contradiction avec l'observation expérimentale $\dots$
  Modèle:Transparenten effet l'intensité de l'onde lumineuse incidente étant faible, si nous supposons l'absorption uniformément répartie sur la surface du métal et de durée suffisamment petite, l'énergie moyenne absorbée pendant cette durée par n'importe quelle région microscopique entourant un électron de conduction du métal étant $<$ à son travail d'extraction, l'électron ne devrait pas être arraché et aucun effet photoélectrique observé mais $\dots$
  Modèle:Transparentsi ce dernier est néanmoins observé c'est parce que l'aspect ondulatoire de la lumière ne peut être appliqué ici, la faible énergie moyenne absorbée pendant la durée considérée précédemment devant être interprétée en terme corpusculaire comme un petit nombre de « grains » de lumière arrivant successivement, à un rythme très lent, dans la région microscopique entourant un électron de conduction du métal avec chaque « grain » de lumière d'énergie suffisante pour arracher un électron de conduction du métal ;
• pour la diffusion Compton, l'absorption d'une onde électromagnétique de fréquence X par une cible de carbone s'interprétant, dans l'hypothèse d'adoption de l'aspect ondulatoire de l'onde, en une mise en mouvement oscillatoire d'électrons de la cible à la même fréquence que celle de l'onde puis en l'émission d'une onde électromagnétique dans n'importe quelle direction à la même fréquence que celle des oscillations, fréquence de l'onde diffusée en contradiction avec l'observation expérimentale $\dots$
  Modèle:AlModèle:Transparenten effet la diffusion Compton correspond à un rayonnement X réémis de fréquence toujours plus faible que celle du rayonnement X incident $\dots$
  Modèle:AlModèle:Transparentsi cette fréquence est plus faible et non égale c'est parce que l'aspect ondulatoire du rayonnement X ne peut être appliqué ici, il faut envisager l'aspect corpusculaire, la diffusion Compton étant un choc entre un « grain » de lumièreModèle:, de fréquence X et un électron de la cible, une partie de l'énergie du « grain » de lumièreModèle:, incident étant cédée à l'électron subissant le choc.

Expérience mettant en évidence le caractère ondulatoire de la lumière : interférences lumineuses par fentes d'Young

Description de l'expérience d'interférences lumineuses par fentes d'Young

Revoir le paragraphe « exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Interprétation en terme ondulatoire

Revoir le chap.$5$ « Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence » en entier de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et plus particulièrement
le paragraphe « condition d'interférences constructives ou destructives en termes de déphasage » de ce chap.$5$ de cette même leçon « Signaux physiques (PCSI) ».Modèle:Al

Tentative d'interprétation en terme corpusculaire

Modèle:AlPour tenter une interprétation corpusculaire de l'expérience d'interférences lumineuses par les fentes d'Young, nous supposons que
Modèle:AlModèle:Transparentla « source » éclairant les fentes d'Young provienne d'un faisceau de puissance si faible qu'en termes de « grains » de lumière il ne peut correspondre qu'à des « grains » de lumière envoyés un par un,
Modèle:AlModèle:Transparentl'écran étant remplacé par un détecteur C.C.D. très sensible permettant de localiser l'impact ; en faisant varier le temps de pose on accroît le nombre de « grains » de lumière arrivant sur les fentes et on fait les observations suivantes :

• chaque « grain » de lumière donne un impact sur le C.C.D. en se comportant comme un corpuscule localisé mais en un point aléatoire $($ne correspondant pas au trajet classique d'une particule « passant par l'une ou l'autre des fentes »$)$,
• les impacts sur le C.C.D. se répartissent inégalement, dessinant, au fur et à mesure que le nombre de « grains » lumineux $\nearrow$, les franges d'interférences prédites par la théorie ondulatoire.

Modèle:AlEn conclusion, l'interprétation corpusculaire de la lumière dans l'expérience d'interférences lumineuses par fentes d'Young ne peut être envisagée, même si la puissance de la source est si faible qu'on peut considérer l'envoi de « grains » de lumière un par un,
Modèle:AlModèle:Transparentcar les impacts successifs sur le détecteur sont aléatoires, ne pouvant correspondre en aucun cas au passage du « grain » de lumière provenant de la source « de photons uniques » par l'une ou l'autre des fentes ;
Modèle:AlModèle:Transparentsi l'expérience dure suffisamment longtemps, la figure formée par l'accumulation des impacts sur le détecteur en fonction de la position sur ce dernier correspond statistiquement à la figure trouvée en utilisant l'aspect ondulatoire de la lumière $($si on envisage une source « de photons uniques », l'interprétation ondulatoire de l'expérience d'interférences par fentes d'Young nécessite de pouvoir faire une statistique sur les impacts, c.-à-d. une durée de fonctionnement de la source « de photons uniques » suffisamment grande pour que l'envoi de « grains » de lumière soit suffisamment important$)$.

Preuve incontournable du caractère ondulatoire de la lumière

Modèle:AlL'expérience d'interférences lumineuses par les fentes d'Young est une preuve incontournable de l'aspect ondulatoire de la lumière car,
Modèle:AlModèle:Transparentmême si la source utilisée est de très faible puissance comme c'est le cas d'une source « de photons uniques »,
Modèle:AlModèle:Transparentl'utilisation de l'aspect corpusculaire de la lumière ne permet pas d'interpréter chaque impact successif sur l'écran alors que
Modèle:AlModèle:Transparentla répartition statistique de ces impacts correspond effectivement à la répartition lumineuse obtenue par interprétation ondulatoire.

Dualité onde - particule de la lumière

Aspect ondulatoire de la lumière

Modèle:AlL'aspect ondulatoire de la lumière a été introduit succinctement dans le paragraphe « grandeurs vibrantes en électromagnétisme, célérité de la propagation » du chap.$2$,
Modèle:AlModèle:Transparentun peu plus détaillé dans le paragraphe « caractère vectoriel de la grandeur vibrante en optique, le champ électromagnétique » du chap.$9$ et
Modèle:AlModèle:Transparentutilisé dans les paragraphes « observation du phénomène de diffraction en optique » et
Modèle:AlModèle:Transparent« exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young » tous deux du chap.$8$,
Modèle:AlModèle:Transparentces chapitres étant tous tirés de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Aspect corpusculaire de la lumière

Modèle:AlLa particule associé à la lumière s'appelle le « photon », il possède les propriétés suivantes :

• il est de masse nulle,
• Modèle:Transparentde charge nulle,
• Modèle:Transparentse déplace, quel que soit le référentiel considéré, à la vitesse limite $c\simeq 3,0010^{8}m\cdot s^{-1}$ $($appelée à juste titre « vitesse de la lumière dans le vide »$)$,
• associé à une onde monochromatique de fréquence $\nu$ c.-à-d. de longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0=\frac{c}{\nu }$, il a l'« énergie $E_{\gamma }=h\nu =\frac{hc}{{\lambda }_0}$» et
  Modèle:Transparentla « quantité de mouvement ${\overrightarrow{p}}_{\gamma }=\frac{E_{\gamma }}{c}\overrightarrow{u}=\frac{h}{{\lambda }_0}\overrightarrow{u}$» avec
  Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{u}$ vecteur unitaire dirigeant et orientant son mouvement.

Ordre de grandeur de l'énergie d'un photon

Modèle:AlUn photon de lumière visible $($par exemple de longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0=0,600\mu m$$)$ a une énergie qui se calcule selon «$E_{\gamma }=\frac{hc}{{\lambda }_0}\simeq$ $\frac{6,62610^{-34}\times 310^8}{{\lambda }_0(\text{en m})}$ en $J$»
Modèle:AlModèle:Transparent$($sur l'exemple du jaune «$E_{\gamma ,\text{jaune}}\simeq \frac{6,62610^{-34}\times 310^8}{0,60010^{-6}}\simeq 3,3210^{-19}J$»Modèle:, soit «$E_{\gamma ,\text{jaune}}\simeq 2,075eV$»Modèle:,$)$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'ordre de grandeur de l'énergie d'un photon du visible « entre $E_{\gamma ,\text{rouge}}\simeq 1,55eV$Modèle:, et $E_{\gamma ,\text{violet}}\simeq 3,10eV$Modèle:, » ;

Modèle:Alon peut réécrire la relation définissant l'énergie du photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide en unités appropriées à savoir l'$eV$ pour l'énergie et
Modèle:AlModèle:Transparentle $\mu m$ pour la longueur d'onde dans le vide selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$E_{\gamma }(\text{en }eV)\simeq \frac{1,24}{{\lambda }_0(\text{en }\mu m)}$»Modèle:, ;

pour les autres longueurs d'onde dans le vide d'un rayonnement électromagnétique les ordres de grandeur sont les suivants :
«$\begin{array}{cccc}\text{rayonnement}& {\lambda }_0(\text{en }m)& \nu (\text{en }Hz)& E_{\gamma }(\text{en }eV)\\ \text{ondes hertziennes}& >310^4& <10^{12}& <410^{-3}(4meV)\\ \text{infrarouges}& 7,510^{-7}<\cdots <310^{-4}& 10^{12}<\cdots <410^{14}& 410^{-3}<\cdots <1,5\\ \text{visible}& 410^{-7}<\cdots <7,510^{-7}& 410^{14}<\cdots <7,510^{14}& 1,5<\cdots <3,1\\ \text{ultra-violets}& 10^{-8}<\cdots <410^{-7}& 7,510^{14}<\cdots <310^{16}& 3,1<\cdots <125\\ \text{rayons X}& 210^{-11}<\cdots <10^{-8}& 310^{16}<\cdots <1,510^{19}& 125<\cdots <6010^3\\ \text{rayons }\gamma & <210^{-11}& >1,510^{19}& 125>6010^3(60keV)\end{array}$»Modèle:,Modèle:,.

Débit de photons

Modèle:AlPour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, les faisceaux utilisés doivent être de « très faible puissance », sinon l'aspect corpusculaire est masqué par le « débit important de photons », par exemple un « laser hélium-néon » de longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0=0,633\mu m$ et de puissance $𝒫=1,0mW$ correspond à un « débit de photons $n_{\gamma }(\text{en }{s}^{-1})=\frac{𝒫}{E_{\gamma }}=$ $\frac{𝒫{\lambda }_0}{hc}$»Modèle:, soit Modèle:Nobr $=\frac{𝒫{\lambda }_0}{hc}\simeq \frac{10^{-3}\times 0,63310^{-6}}{6,62610^{-34}\times 3,0010^8}\simeq 3,210^{15}{s}^{-1}$» c.-à-d. un « débit très important » à l'échelle de temps mésoscopiqueModèle:, ;

Modèle:AlModèle:Transparentavec un détecteur de résolution temporelle de $100ns=10^{-7}s$, pour espérer détecter les photons un par un, il est nécessaire que la fréquence d'émission des photons par le faisceau laser précédemment introduit soit $<$ à $10^7{s}^{-1}$ par exemple $3,210^6{s}^{-1}$ correspondant à une puissance du faisceau divisée par un facteur $10^9$ soit égale à $𝒫=1,0pW$ mais, ce système simple ne fonctionne pas correctement à cause de l'« irrégularité d'émission des photons » ;
Modèle:AlModèle:Transparentil existe néanmoins des systèmes beaucoup plus élaborés permettant d'envoyer des photons un par un et
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinissant ce qu'on appelle des sources « de photons uniques ».

Exemples d'expérience mettant en évidence la notion d'onde de matière : interférences d'un faisceau d'électrons homocinétiques par fentes d'Young et autres interférences

Description de l'expérience d'interférences d'un faisceau d'électrons homocinétiques par fentes d'Young (ou dispositif analogue)

Interférence électronique réalisée avec un faisceau d'électrons séparé par fentes d'Young

• La 1^ère expérience d'interférences électroniques a été réalisée par Charles Fert et ses collaborateurs en $1956$ au laboratoire d'optique électronique de Toulouse, elle consistait à séparer un faisceau d'électrons homocinétiques à l'aide d'un « fil d'araignée métallisé chargé électriquement », les deux faisceaux obtenus interférant au-delà du fil $($il s'agit bien d'une expérience d'interférences mais non par fentes d'Young$)$ ;
• la 1^ère interférence électronique par fentes d'Young a été réalisée par Claus Jönsson en $1961$, le faisceau d'électrons étant séparé par deux fentes fines très rapprochées entaillées sur une feuille de cuivre Modèle:Nobr schéma de principe ci-contre$)$ ;
• enfin la 1^ère interférence d'« électron unique » a été réalisée en $1989$ par Akira Tonomura en utilisant un dispositif de séparation analogue à celui de Fert et de ses collaborateurs $($il ne s'agit donc pas d'interférences par fentes d'Young$)$ ;
• dans les deux 1^ers exemples cités, l'observation est identique à celle décrite lors de l'expérience d'interférences par fentes d'Young et
  dans le 3^ème exemple elle est identique à celle des interférences « par photon unique » réalisée peu de temps avant $1986$ par Alain Aspect et Philippe Grangier.

Images successives de l'écran dans l'expérience de Tonomura avec un nombre $\nearrow$ d'électrons détectés

Modèle:AlNous allons décrire un peu plus en détail cette dernière expérience d'interférences d'« électron unique » réalisée par Akira TonomuraModèle:, :

Modèle:Al$\succ$Les électrons arrivant un par un sur le détecteur tombent sur un film fluorescent, leur impact provoquant l'émission d'environ $500$ photons lesquels sont collectés par un dispositif d'imagerie ;

Modèle:Al$\succ$le caractère successif d'émission des électrons est réalisé à l'aide d'un faible flux électronique du faisceau de l'ordre de $10^3{s}^{-1}$ c.-à-d. que les électrons sont émis en moyenne toutes les $ms$ ; ces électrons ont une énergie cinétique moyenne de $50keV$ $($ils sont donc relativistes$)$ correspondant à une vitesse moyenne de $1,2510^{8}m\cdot s^{-1}$ du point $M$ dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude $ℛ$ à l'instant $t$ et $c$ la célérité de la lumière dans le videModèle:, ;

Modèle:Al$\succ$l'observation de l'animation ci-dessus modélisant la construction progressive d'une figure d'interférences d'électrons ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentdes images successives avec un nombre $\nearrow$ d'électrons détectés dans l'expérience de Tonomura, ci-contre,
Modèle:AlModèle:Transparentappelle les remarques suivantes :

• on observe, au début de l'animation $[$ou dans les images (ɑ) et (b)$]$, une répartition aléatoire des points d'impact, contraire à ce que donnerait l'applicabilité de la mécanique relativiste $\Rightarrow$ la mécanique « classique » n'est donc pas applicable ici ;
• au fur et à mesure que le nombre d'électrons détectés $\nearrow$, on observe une modulation régulière du nombre d'impacts enregistrés identique à l'observation des franges lumineuses en optique.

Interférences d'atomes

Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par fentes d'Young

Modèle:AlEn $1991$ Oliver Carnal et Jürgen Mlynek ont réalisé une expérience d'interférences de fentes d'Young avec des « atomes d'hélium » ;
Modèle:AlModèle:Transparentles atomes d'hélium étaient tout d'abord diffractés par une fente de largeur $s_1=$ $2\mu m$ en direction des fentes d'Young situées à une distance $L=64cm$ et larges chacune de $s_2=1\mu m$ dont les centres étaient séparés de $a=8\mu m$, puis
Modèle:AlModèle:Transparentdétectés par un détecteur large de $2\mu m$ situé à une distance $L^{\prime }=64cm$ des fentes d'Young $($voir figure ci-contre$)$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentles observations sont identiques aux précédentes $\dots$

Nombre d'atomes détectés pendant $10min$ en fonction de la position du détecteur dans l'expérience d'interférences d'atomes d'hélium

Modèle:AlRemarques $⇝$ avantage des interférences atomiques relativement aux interférences lumineuses :
Modèle:AlModèle:Transparentles atomes voyageant beaucoup plus lentement que la lumière restent plus longtemps en interaction dans l'interféromètre et sont donc nettement plus sensibles ; cette sensibilité accrue peut être mise à profit pour des mesures très précises comme celle de l'« accélération de la pesanteur » ;
Modèle:AlModèle:Transparentun autre avantage est qu'on accède à un domaine de longueur d'onde plus étendu allant du micromètre au nanomètre alors que les interférences lumineuses autorisent un domaine autour du micromètre ;
Modèle:AlModèle:Transparentenfin les interférences atomiques sont exploitées pour faire de l'holographie avec des atomes $($en effet les figures d'interférence sont des microstructures atomiques permettant de concevoir des techniques microlithographiques encore plus fines que celles existant actuellement$)$ $\dots$

Modèle:AlCi-contre la détection d'atomes en fonction de la position du détecteur, la détection ayant duré $10min$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentl'interfrange peut être estimée à $8,4\mu m\pm 0,8\mu m$ et la théorie fournit une valeur de $i\simeq \frac{\lambda }{a}{L}^{\prime }\simeq$ $\frac{1,0310^{-3}}{810^{-6}}\times 0,64$ en $m$ soit $i\simeq 8,2\mu m$ en bon accord avec l'expérience.

Interférences de molécules

Modèle:AlÀ une température donnée « plus la masse de la molécule est grande », plus « sa vitesse $($quadratique moyenne$)$ est faible » mais
Modèle:AlModèle:Transparent« plus sa quantité de mouvement est grande », et par suite « plus sa longueur d'onde est faible » ;

Modèle:Alen $1999$, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences à l'aide d'un « réseau ultrafin »
Modèle:AlModèle:Transparentavec une molécule de très grande taille le « fullerène $C_{60}$»
Modèle:AlModèle:Transparentde masse molaire moléculaire $720g\cdot mo{l}^{-1}$ et plus récemment
Modèle:AlModèle:Transparentdes « molécules deux fois plus grosses » dérivées du tétraphénylporphyrine
Modèle:AlModèle:Transparentde masse molaire moléculaire $5000g\cdot mo{l}^{-1}$.

Modèle:AlCommentaires : les observations sont identiques à celles obtenues lors des interférences d'atomes, en effet
Modèle:AlModèle:Transparentla longueur d'onde associée aux molécules interférant étant plus faible que celle des atomes utilisés dans les interférences d'atomes $($voir l'introduction de ce paragraphe$)$ mais
Modèle:AlModèle:Transparentla distance entre fentes créant les interférences l'étant aussi $($utilisation d'un « réseau ultrafin » dans les interférences de molécules$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentl'interfrange est d'un même ordre de grandeur.

Expérience mettant en évidence le caractère particulaire de la matière : déviation électronique dans un tube cathodique

Présentation du tube cathodique

Modèle:AlLe tube cathodique est la succession sous vide

• d'un « canon à électrons » servant à produire des électrons et à les accélérer,
• d'un interface dans lequel les électrons vont être déviés transversalement sous l'action d'une tension électrique et
• d'un écran sur lequel la déviation est observable.

Canon à électrons

Schéma expliquant le fonctionnement d'un canon à électrons

Modèle:AlDans un canon à électrons, des électrons sont émis par « effet thermoélectronique » provenant d'une électrode $(K)$ dans le voisinage d'un filament métallique chauffé, l'énergie cinétique d'éjection des électrons de $(K)$ restant très faible, ils ne quittent pas spontanément son voisinage et forme autour d'elle une charge d'espace négative qui s'oppose à la poursuite de l'effet thermoélectronique ;

Modèle:AlModèle:Transparentle but poursuivi étant de créer un faisceau d'électrons, on accélère les électrons arrachés en imposant une d.d.p. $U_{\text{accél}}$ entre cette électrode $(K)$ et l'électrode de sortie $(A)$ du canon à électrons avec $U_{\text{accél}}>0$, $(K)$ étant appelée « cathode » et $(A)$ « anode » ;

Modèle:AlModèle:Transparenton observe effectivement un faisceau d'électrons quasi homocinétiques à la sortie du canon en accord avec le caractère particulaire des électrons $[$dans l'interface l'électron n'étant soumis qu'à la force électrique $\overrightarrow{F}=-e\overrightarrow{E}$ laquelle dérive de l'énergie potentielle électrique ${ℰ}_p=-eV$, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique de l'électron entre $(K)$ et $(A)$ soit, dans la mesure où son énergie cinétique lors de l'extraction de $(K)$ est considérée comme négligeable, Modèle:Nobr $\simeq 0-e{V}_K$» et «${ℰ}_m(A)\simeq \frac{1}{2}{m}_e{v}_0^2-e{V}_A$» $\Rightarrow$ «$\frac{1}{2}{m}_e{v}_0^2\simeq e(V_A-V_K)=e{U}_{\text{accél}}$»$]$.

Déviation électronique dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation

Schéma expliquant la déviation électronique entre les plaques horizontales d'un tube cathodique

Modèle:AlLe faisceau d'électrons homocinétiques pénètrent dans l'interface entre les deux plaques longitudinales de déviation aux bornes de laquelle on impose une d.d.p. $U$ permanente et on observe une dérive transversale de la trajectoire du faisceau dans le sens des potentiels croissants, dérive « visualisée sur l'écran » situé à la sortie de l'interface par phénomène de fluorescence de ce dernier $($voir schéma explicatif Modèle:Nobr
Modèle:Alcette observation est là encore en accord avec le caractère particulaire des électrons.

Modèle:AlL'électron dans l'interface n'est soumis qu'à la force électrique $\overrightarrow{F}=-e\overrightarrow{E}$Modèle:, et l'application de la r.f.d.n. à l'électron dans le référentiel lié aux plaques $($supposé galiléen$)$ conduit à un « vecteur-accélération constant $\overrightarrow{a}=-\frac{e}{m_e}\overrightarrow{E}$» ;

Modèle:Alen projetant sur les trois axes, on en déduit

$\left\{\begin{array}{c}{a}_x=0\\ a_y=-\frac{e}{m_e}{E}_y\\ a_z=0\end{array}\right\}$

soit, en intégrant une 1^ère fois, les lois horaires de vitesse
Modèle:AlModèle:Transparent

$\left\{\begin{array}{c}{v}_x=v_0\\ v_y=-\frac{e}{m_e}{E}_{y}t\\ v_z=0\end{array}\right\}$

avec les C.I. de vitesse

$\left\{\begin{array}{c}{v}_x(0)=v_0\\ v_y(0)=0\\ v_z(0)=0\end{array}\right\}$

puis en intégrant une 2^ème fois, une 1^ère forme des lois horaires de position
Modèle:AlModèle:Transparent

$\left\{\begin{array}{c}x=v_{0}t\\ y=-\frac{e}{2m_e}{E}_y{t}^2\\ z=0\end{array}\right\}$

avec les C.I. de position

$\left\{\begin{array}{c}x(0)=0\\ y(0)=0\\ z(0)=0\end{array}\right\}$

, soit enfin, en éliminant

$E_y$

au profit de

$U$

et

$d$

par «

$E_y=-\frac{U}{d}$

»
Modèle:AlModèle:Transparentune 2^ème forme des lois horaires de position du mouvement de l'électron dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation

«$\left\{\begin{array}{c}x=v_{0}t\\ y=\frac{eU}{2m_{e}d}{t}^2\\ z=0\end{array}\right\}$» ;

• le mouvement est donc plan, dans le plan $z=0$,
• le projeté de l'électron sur $Ox$, noté $M_x$, a un mouvement uniforme de vitesse $v_0$ et
• Modèle:TransparentModèle:Alcelui sur $Oy$, noté $M_y$, Modèle:Transparentun mouvement uniformément varié d'accélération $a_y=\frac{eU}{m_{e}d}$ ;

Modèle:Alces lois horaires étant également les équations paramétriques de la trajectoire, on détermine les équations cartésiennes de cette dernière en éliminant le temps par

$t=\frac{x}{v_0}$

soit

«$\left\{\begin{array}{c}y=\frac{eU}{2m_{e}d{v}_0^2}{x}^2\\ z=0\end{array}\right\}$» définissant une parabole $($voir schéma ci-dessus$)$.

Modèle:AlÀ la sortie de l'espace champ, l'électron n'est plus soumis à « aucune force » et par suite
Modèle:AlModèle:Transparenta un mouvement rectiligne uniforme de direction tangente à la parabole et de vitesse égale à celle en $S$ $($point de sortie de l’espace$)$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentil a alors un impact $I$ $($d'ordonnée $Y)$ sur un écran situé à $D$ du centre $J$ de l'espace champ.

Modèle:AlLa trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation étant une parabole et
Modèle:Transparentcelle à la sortie de l'espace champ étant la tangente à cette parabole au point de sortie, nous en déduisons que
Modèle:Alla trajectoire à la sortie de l'espace champ passe par le centre $J$ de l'espace champ d'où «$\tan (\alpha )=\frac{Y}{D}$» dont on tire «$Y=D\tan (\alpha )$».

Modèle:AlLa détermination de

$\tan (\alpha )$

peut se faire de la même façon en utilisant «

$y_S=\frac{eU}{2m_e{v}_0^{2}d}{l}^2$

» d'où «

$\tan (\alpha )=\frac{y_S}{\frac{l}{2}}=\frac{el}{m_e{v}_0^{2}d}U$

» que l'on reporte dans «

$Y=D\tan (\alpha )$

»

$\Rightarrow$

«$Y=\frac{e}{m_e{v}_0^2}\frac{lD}{d}U$» c.-à-d. une « déflexion électrique $\propto$ à la tension imposée »,
sa mesure permettant de déterminer la valeur de la tension $($principe de l'oscilloscope analogique$)$.

Modèle:AlRemarque : L'expression de la déflexion électrique reste valable en régime dépendant du temps, si $\overrightarrow{E}(t)$ peut être considéré comme permanent durant le « temps de vol de l'électron »,
Modèle:AlModèle:Transparentc'est le cas dans le cadre de l'A.R.Q.S. ;
Modèle:AlModèle:Transparenton écrira, dans le cas d’une tension $u(t)$ alternative de période $T$, que «$T\gg \tau$» soit pratiquement «$T>10\tau$» $($avec $\tau$ « temps de vol de l'électron »$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentle « temps de vol » se calculant par $x(t)=v_{0}t$ soit «$\tau =\frac{l}{v_0}$» ;
Modèle:AlModèle:TransparentA.N. : avec $v_0\simeq 13300km\cdot s^{-1}$ et $l=5cm$ on trouve «$\tau \simeq \frac{510^{-2}}{1,3310^7}\simeq 3,7710^{-9}s=3,77ns$» et
Modèle:AlModèle:Transparentla déflexion électrique pourra être utilisée pour des tensions alternatives de période $T\gtrsim 37,7ns$ ou des fréquences «$f\lesssim 26,5MHz$».
Modèle:AlModèle:TransparentAvec cette limite en fréquence $(f\lesssim 26,5MHz)$, on peut affirmer que ce sera toujours applicable au laboratoire à condition de rester dans le cadre de l'A.R.Q.S..

Dualité onde - particule de la matière

L'onde de matière de de Broglie

Modèle:AlD'après ce qui précède, la lumière $($et plus généralement tout rayon électromagnétique$)$ possède le double aspect « onde-particule »,
Modèle:AlModèle:Transparentl'aspect présenté par la lumière dépendant de l'« expérience réalisée » ;

Modèle:Alcompte-tenu de cela, Louis de Broglie émit l'hypothèse en $1923$ que la « matière » laquelle, par définition, a un aspect corpusculaire, devrait aussi présenter un aspect ondulatoire,
Modèle:AlModèle:Transparentil postula donc l'existence, pour toute particule massique, d'une onde de matière qui lui est associée et
Modèle:AlModèle:Transparentétablit, sur des arguments théoriques, une expression pour la longueur d'onde $($appelée « longueur d'onde de de Broglie de la particule »$)$.

La longueur d'onde de de Broglie

Modèle:AlL'expression de la longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule, «${\lambda }_{d.B.}$» postulée par Louis de Broglie en $1923$ est
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_{d.B.}=\frac{h}{p}$», $h\simeq 6,62610^{-34}J\cdot s$ étant la constante de Planck et
Modèle:AlModèle:Transparent$p$ la « norme du vecteur-quantité de mouvement » de la particule dans son aspect corpusculaire .

Modèle:AlRemarque : C'est la même relation que celle permettant de définir la quantité de mouvement d'un photon $\gamma$ associé à une onde électromagnétique monochromatique de longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0$,
Modèle:AlModèle:Transparenten effet celle-ci s'écrit «$p_{\gamma }=\frac{h}{{\lambda }_0}$Modèle:, $\iff$ ${\lambda }_0=\frac{h}{p_{\gamma }}$».

Expression de la longueur d'onde de de Broglie de la particule en fonction, entre autres, de sa vitesse dans son aspect corpusculaire

Cas d'une particule newtonienne

Modèle:AlUne particule newtonienne est une particule dont le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ dans le référentiel d'étude est de norme $\ll$ devant la vitesse de la lumière dans le vide $c\simeq 310^{5}km\cdot s^{-1}$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$v=\Vert \overrightarrow{v}\Vert \ll c$».

Modèle:AlLe vecteur-quantité de mouvement $\overrightarrow{p}$ d'une particule newtonienne est liée à son vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ dans le référentiel d'étude et à sa masse $m$ par «$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$» et par suite
Modèle:Alla longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule newtonienne se réécrit, dans le référentiel d'étude, «${\lambda }_{d.B.}=\frac{h}{p}$ $=\frac{h}{mv}$».

Cas d'une particule relativiste

Modèle:AlUne particule est relativiste dans un référentiel d'étude si elle n'est pas newtonienne dans ce référentiel ; ainsi elle sera relativiste
Modèle:AlModèle:Transparentsi son vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ dans le référentiel d'étude est de norme $\cancel{\ll }$ devant la vitesse de la lumière dans le vide $c\simeq 310^{5}km\cdot s^{-1}$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$v=\Vert \overrightarrow{v}\Vert \cancel{\ll }c$».

Modèle:AlLe vecteur-quantité de mouvement

$\overrightarrow{p}$

d'une particule relativiste est liée à son vecteur vitesse

$\overrightarrow{v}$

dans le référentiel d'étude et à sa masse

$m$

par «

$\overrightarrow{p}=\gamma m\overrightarrow{v}$

»
Modèle:AlModèle:Transparentavec «

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

» le « facteur de Lorentz » de la particule de vecteur vitesse

$\overrightarrow{v}$

et par suite
Modèle:Alla longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule relativiste se réécrit, dans le référentiel d'étude, «

${\lambda }_{d.B.}=\frac{h}{p}$

$=\frac{h}{\gamma mv}=\frac{h\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{mv}=\frac{h}{m}\sqrt{\frac{1}{v^2}-\frac{1}{c^2}}$

»Modèle:,.

Première vérification expérimentale

Modèle:AlEn $1927$ Clinton Joseph Davisson  avec l'aide de Lester Germer  ont observé la diffraction d'un faisceau d'électrons par un monocristal de nickel, ceci était donc la 1^ère preuve qu'un faisceau d'électrons pouvait avoir un comportement ondulatoire ;

Modèle:Alun solide peut diffracter une onde s'il possède une structure périodique dans trois directions de l'espace $($ce qui est le cas pour un cristal$)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentsi la longueur d'onde de l'onde est proche de la période spatiale de la structure  ; pour le monocristal de nickel la période spatiale est de l'ordre de l'$\text{Ǻ}$ ;

Modèle:Aldans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $54V$ $\Rightarrow$ une énergie cinétique de $K=54eV$ $($ils sont donc newtoniens$)$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$K\simeq 54\times 1,610^{-19}\simeq 86,410^{-19}J$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentune vitesse de $v=\sqrt{\frac{2K}{m_e}}$ $\simeq \sqrt{\frac{2\times 86,410^{-19}}{0,9110^{-30}}}\simeq 4,3610^{6}m\cdot s^{-1}$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$v\simeq 4360km\cdot s^{-1}$ donnant
Modèle:AlModèle:Transparentune quantité de mouvement $p=m_{e}v$ $\simeq 0,9110^{-30}\times 4,3610^6$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$p\simeq 3,9710^{-24}kg\cdot m\cdot s^{-1}$ et donc
Modèle:AlModèle:Transparentune longueur d'onde de de Broglie associée ${\lambda }_{d.B.}=\frac{h}{p}$ $\simeq \frac{6,62610^{-34}}{3,9710^{-24}}$
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_{d.B.}\simeq 1,6710^{-10}m=1,67\text{Ǻ}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentmême ordre de grandeur que la périodicité du monocristal de nickel.

Applications actuelles

Microscopie électronique

Modèle:AlUn microscope optique ne peut révéler des « détails $⪅$ à la longueur d'onde ${\lambda }_0$ utilisée » c.-à-d. de l'ordre du micromètre $1\mu m=10^{-6}m$, par contre
Modèle:Alun microscope électronique permet de révéler des détails de limite $⪅$ à la longueur d'onde de de Broglie d'un électron, d'ordre de grandeur égale à $1\text{Ǻ}$ quand il n'est pas relativiste,
Modèle:AlModèle:Transparentpouvant descendre jusqu'à $1pm=10^{-12}m$ quand il est relativiste,
Modèle:AlModèle:Transparentsoit une résolution $10^4$ à $10^6$ fois plus grande que celle d'un microscope optique :

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $100V$ $\Rightarrow$ une énergie cinétique de $K=100eV$ $($il est donc newtonien$)$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$K\simeq 100\times 1,610^{-19}\simeq 1,610^{-17}J$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentune quantité de mouvement $p=\sqrt{2m_{e}K}$ $\iff$ «$pc=\sqrt{2E_e^{0}K}$» soit
Modèle:AlModèle:Transparent$pc=\sqrt{2\times 51110^3\times 100}\simeq 10,1110^{3}eV$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$p\simeq 10,11keV/c$»Modèle:, et donc
Modèle:AlModèle:Transparentune longueur d'onde de de Broglie ${\lambda }_{d.B.}=\frac{h}{p}$ $=\frac{hc}{pc}$
Modèle:AlModèle:Transparent${\lambda }_{d.B.}\simeq \frac{6,62610^{-34}\times 310^8}{10,1110^3\times 1,610^{-19}}$ en $m$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_{d.B.}\simeq 1,2410^{-10}m=1,24\text{Ǻ}$».

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $100kV$ $\Rightarrow$ une énergie cinétique de $K=100keV$ $($il est donc relativiste$)$ ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent$K\simeq 10^5\times 1,610^{-19}\simeq 1,610^{-14}J$ soit
Modèle:AlModèle:Transparentune énergie totale $E=K+E_e^0=\gamma E_e^0$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$E\simeq 511+100=611keV$»Modèle:, d'où
Modèle:AlModèle:Transparentune quantité de mouvement $p=\frac{\sqrt{E^2-{\left(E_e^0\right)}^2}}{c}$ $\iff$ $pc=\sqrt{E^2-{\left(E_e^0\right)}^2}$,
Modèle:AlModèle:Transparent$pc=\sqrt{611^2-511^2}\simeq 335keV$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$p\simeq 335keV/c$»Modèle:, et donc
Modèle:AlModèle:Transparentune longueur d'onde de de Broglie ${\lambda }_{d.B.}=\frac{h}{p}$ $=\frac{hc}{pc}$
Modèle:AlModèle:Transparent${\lambda }_{d.B.}\simeq \frac{6,62610^{-34}\times 310^8}{33510^3\times 1,610^{-19}}$ en $m$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_{d.B.}\simeq 3,7110^{-12}m=3,71pm$».

Diffraction de neutrons

Modèle:AlLes neutrons « thermiques » $($c.-à-d. des neutrons en agitation thermique à la température ordinaire $T\simeq 300K$$\}$ ayant une longueur d'onde de de Broglie de l'ordre de grandeur de la taille des atomes ^{(voir justification en fin de paragraphe)} sont utilisés comme « sonde pour explorer la matière à l'échelle atomique ».

Modèle:AlOrdre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : l'énergie cinétique moyenne d'agitation d'un neutron « thermique » à la température ordinaire $T\simeq 300K$ étant
Modèle:AlModèle:Transparent«$K^{*}\simeq 0,039eV$», nous en déduisons
Modèle:AlModèle:Transparentsa quantité de mouvement quadratique moyenne $p^{*}=\sqrt{2m_n{K}^{*}}$Modèle:, $\Rightarrow$ $p^{*}c=\sqrt{2E_n^0{K}^{*}}$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$p^{*}c\simeq \sqrt{2\times 939,610^6\times 0,039}\simeq 8,5610^{3}eV$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$p^{*}c\simeq 8,56keV$ $\Rightarrow$ «$p^{*}\simeq 8,56keV/c$»Modèle:, d'où
Modèle:AlModèle:Transparentune longueur d'onde de de Broglie ${\lambda }_{d.B.}=\frac{h}{p}$ $=\frac{hc}{pc}$
Modèle:AlModèle:Transparent${\lambda }_{d.B.}\simeq \frac{6,62610^{-34}\times 310^8}{8,5610^3\times 1,610^{-19}}$ en $m$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_{d.B.}\simeq 1,4510^{-10}m=1,45\text{Å}$ »
Modèle:AlModèle:Transparenteffectivement de la taille des atomes.

Relation de Planck - Einstein et conséquences

Modèle:AlLa relation de Planck - EinsteinModèle:, est la relation applicable à un photon liant son énergie $E_{\gamma }$ à la fréquence $\nu$ de l'onde associée c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent«$E_{\gamma }=h\nu$» où $h=6,6260701510^{-34}J\cdot s$ est la constante de Planck  ;

Modèle:Alune conséquence du lien entre fréquence $\nu$ et longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0$, à savoir «${\lambda }_0=\frac{c}{\nu }$», est la réécriture de l'énergie du photon sous la forme «$E_{\gamma }=\frac{hc}{{\lambda }_0}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentdont on peut déduire la norme de la quantité de mouvement du photon $p_{\gamma }$ à l'aide de la « relation liant l'énergie masse d'une particule $E^0$ à son énergie totale $E$ et la norme de sa quantité de mouvement $p$» à savoir «$E=\sqrt{{\left(E^0\right)}^2+p^2{c}^2}$» soit $p_{\gamma }c=E_{\gamma }$ ou $p_{\gamma }=\frac{E_{\gamma }}{c}$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparentle lien entre la norme de la quantité de mouvement du photon $p_{\gamma }$ et la longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0$ de l'onde associée «$p_{\gamma }=\frac{h}{{\lambda }_0}$»Modèle:,.

Modèle:AlRemarque : Nous avons vu que

• l'énergie d'un photon suit la relation de Planck - EinsteinModèle:, «$E_{\gamma }=h\nu$» dans laquelle «$\nu$ est la fréquence temporelle de l'onde associée » et que
• la norme de sa quantité de mouvement suit la relation de de Broglie «$p_{\gamma }=h\sigma$» dans laquelle «$\sigma =\frac{1}{{\lambda }_0}$ est le nombre d'onde de l'onde associée c.-à-d. sa fréquence spatiale » ;

Modèle:AlModèle:Transparentnous en concluons une correspondance entre grandeurs caractérisant l'onde électromagnétique et celles caractérisant la particule associée :

« fréquence temporelle de l'onde électromagnétique »	$\stackrel{h\times }{⟶}$	« énergie du photon associé »,
« fréquence spatiale de l'onde électromagnétique »	$\stackrel{h\times }{⟶}$	« quantité de mouvement du photon associé ».

Relation de Louis de Broglie et conséquences

Modèle:AlLa relation de de Broglie est la relation applicable à toute particule massique liant la norme de la quantité de mouvement

$p$

de la particule à
Modèle:AlModèle:Transparentla longueur d'onde de l'« onde de matière » associée

${\lambda }_{d.B.}$

c.-à-d. «$p=\frac{h}{{\lambda }_{d.B.}}$» où $h=6,6260701510^{-34}J\cdot s$ est la constante de Planck ;

Modèle:Alune conséquence du lien entre norme de quantité de mouvement

$p$

, énergies de masse

$E^0$

et totale

$E=E^0+K$

d'une particule, à savoir «

$E=\sqrt{{\left(E^0\right)}^2+p^2{c}^2}$

»Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparentest l'expression de l'énergie totale

$E$

de la particule en fonction, entre autres, de

${\lambda }_{d.B.}$

c.-à-d. la longueur d'onde de l'« onde de matière » associée

«$E=\sqrt{{\left(E^0\right)}^2+\frac{h^2{c}^2}{{\lambda }_{d.B.}^2}}$».

Modèle:AlParallèlement à l'introduction de

${\lambda }_{d.B.}$

c.-à-d. la longueur d'onde de l'« onde de matière » associée à une particule,
Modèle:AlModèle:TransparentL. de Broglie définit, en prolongeant la relation de Planck - EinsteinModèle:, applicable à un photon,
Modèle:AlModèle:Transparentune « fréquence

$($

temporelle

$)$ ${\nu }_{d.B.}$

» pour cette « onde de matière » associée à l'énergie totale

$E$

de la particule par

«$E=h{\nu }_{d.B.}$»,

Modèle:AlModèle:Transparentla célérité de propagation de l'« onde de matière » étant alors définie par «

$v_{\text{onde}}={\lambda }_{d.B.}{\nu }_{d.B.}=\frac{h}{p}\frac{E}{h}=\frac{E}{p}=c\frac{E}{pc}$

»,
Modèle:AlModèle:Transparentse réécrivant, en introduisant l'expression de la vitesse relative de la particule

${\beta }_{\text{part}}=\frac{v_{\text{part}}}{c}$

Modèle:AlModèle:Transparenten fonction des grandeurs cinétiques de cette dernière à savoir
Modèle:AlModèle:Transparent

${\beta }_{\text{part}}=\frac{pc}{E}$

,
Modèle:AlModèle:Transparentselon «

$v_{\text{onde}}=\frac{c}{{\beta }_{\text{part}}}>c$

»

$\Rightarrow$

«

$v_{\text{onde}}{v}_{\text{part}}=c^2$

» ;
Modèle:AlModèle:Transparentla norme de la quantité de mouvement

$p$

de la particule peut être réécrite en fonction, entre autres, de la « fréquence

$($

temporelle

$)$ ${\nu }_{d.B.}$

» de l'« onde de matière » associée selon

«$p=\frac{\sqrt{E^2-{\left(E^0\right)}^2}}{c}$ $=\frac{\sqrt{h^2{\nu }_{d.B.}^2-{\left(E^0\right)}^2}}{c}$».

Ordres de grandeurs intervenant dans les phénomènes quantiques

Modèle:AlLes ordres de grandeurs de la longueur d'onde de de Broglie ont déjà été partiellement calculés dans le courant de ce chapitre, ils sont rappelés ci-dessous :

• électrons « non relativistes » : ${\lambda }_{d.B.}\simeq 1\text{Ǻ}$Modèle:,,
• électrons « relativistes » : ${\lambda }_{d.B.}\simeq 1pm=10^{-12}m$,
• neutrons « thermiques » : ${\lambda }_{d.B.}\simeq 1\text{Ǻ}$Modèle:,,
• neutrons « rapides » : ${\lambda }_{d.B.}\simeq 1fm$ $($correspondant aux dimensions du noyau, utilisables pour sonder les noyaux atomiques$)$,
• atomes utilisés dans les interférences atomiques : ${\lambda }_{d.B.}\simeq 1\text{Ǻ}$,
• macromolécules utilisées dans les interférences moléculaires : ${\lambda }_{d.B.}\simeq 1pm=10^{-12}m$ $\dots$