Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

Cas particulier d'une onde progressive sinusoïdale (ou harmonique) dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive

Définition d'une O.P.H.

Modèle:AlDans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire

$($

non dispersive

$)$

, une « onde progressive sinusoïdale »  le long de l'axe

$Ox$

est une onde sinusoïdale du type

«$s(x,t)=$ $A(x)\cos [\omega t+\phi (x)]$» telle que

Modèle:Alla « vibration observée à toute abscisse

$x>0$

reproduit la vibration observée en

$x=0$

avec le retard temporel

$\tau =\pm \frac{x}{c}$

» suivant que la propagation se fait dans le sens

$\nearrow$ $($

ou

$\searrow )$

de l'axe

$Ox$

 :

• dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire $($non dispersive$)$ dans le sens des $x\nearrow$, l'O.P.H. de pulsation $\omega$ s'écrit «$s(x,t)=s(0,t-\tau )=$ $s(0,t-|\tau |)=A_0\cos [\omega (t-\frac{x}{c})+{\phi }_0]$» ;
• dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire $($non dispersive$)$ dans le sens des $x\searrow$, l'O.P.H. de pulsation $\omega$ s'écrit «$s(x,t)=s(0,t-\tau )=$ $s(0,t+|\tau |)=A_0\cos [\omega (t+\frac{x}{c})+{\phi }_0]$».

Notion de pulsation spatiale, vecteur d'onde

Modèle:AlL'O.P.H. étant une fonction sinusoïdale de la variable $t\mp \frac{x}{c}$, peut se réécrire, après développement de l'argument du cosinus, selon «$s(x,t)=$ $A_0\cos [\omega t\mp \frac{\omega }{c}x+{\phi }_0]$» ; on en déduit que l'O.P.H. est une fonction sinusoïdale à la fois :

• du temps$t$ $($pour $x$ fixé$)$ avec une pulsation temporelle$\omega$,
• de la variable spatiale$x$ $($pour $t$ fixé$)$ avec une pulsation spatiale$k=\frac{\omega }{c}$ ;

Modèle:Alon réécrit alors l'O.P.H. «$s(x,t)=A_0\cos [\omega t\mp kx+{\phi }_0]$».

On parle alors de « double périodicité spatio-temporelle » de l'onde.

Périodicité temporelle de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), période et fréquence

Modèle:Al« À

$x$

fixé », l'O.P.H. s'écrivant «

$s(x,t)=A_0\cos [\omega t+\phi (x)]$

» avec «

$\phi (x)=\mp kx+{\phi }_0$

» est périodique de période temporelle

$T=\frac{2\pi }{\omega }$

et
Modèle:AlModèle:Transparentde fréquence temporelle

$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$

 ;
Modèle:AlModèle:Transparentl'O.P.H. peut alors se réécrire

«$s(x,t)=A_0\cos [2\pi \frac{t}{T}+\phi (x)]=A_0\cos [2\pi ft+\phi (x)]$».

Périodicité spatiale de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), longueur d'onde et nombre d'onde

Modèle:Al« À

$t$

fixé », l'O.P.H. s'écrivant «

$s(x,t)=A_0\cos [\mp kx+\psi (t)]$

»Modèle:, avec «

$\psi (t)=\omega t+{\phi }_0$

» est périodique de période spatiale

$\lambda =\frac{2\pi }{k}$ $($

c.-à-d. « longueur d'onde » en

$m)$

et
Modèle:AlModèle:Transparentde fréquence spatiale

$\sigma =\frac{1}{\lambda }=\frac{k}{2\pi }$ $($

c.-à-d. « nombre d'onde » en

$m^{-1})$

 ;
Modèle:AlModèle:Transparentl'O.P.H. peut alors se réécrire

«$s(x,t)=A_0\cos [\mp 2\pi \frac{x}{\lambda }+\psi (t)]=A_0\cos [\mp 2\pi \sigma x+\psi (t)]$».

Modèle:AlLe vecteur d'onde peut être écrit selon

«$\overrightarrow{k}=\pm k{\overrightarrow{u}}_x=\pm \frac{2\pi }{\lambda }{\overrightarrow{u}}_x=\pm 2\pi \sigma {\overrightarrow{u}}_x$».

Lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une O.P.H.

Modèle:AlLa pulsation spatiale $k$ étant liée à la pulsation temporelle $\omega$ et la célérité de propagation $c$ par «$k=\frac{\omega }{c}$», nous en déduisons la « période spatiale $($ou longueur d'onde$)$» «$\lambda =\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{\frac{\omega }{c}}=$ $\frac{2\pi }{\omega }c$» soit, compte tenu de la définition de la période temporelle «$T=\frac{2\pi }{\omega }$», la relation «$\lambda =cT$». Modèle:Proposition

Modèle:AlOn en déduit aussi la longueur d'onde

$\lambda$

en fonction de la fréquence

$($

temporelle

$)f$

et la célérité de propagation

$c$

selon

«$\lambda =\frac{c}{f}$».

Modèle:AlEn conclusion : On peut trouver toutes les grandeurs relatives à la périodicité spatio-temporelle de l'O.P.H. quand on connaît l'une d'entre elles et la célérité de propagation, en effet :

• si on connaît la période$($temporelle$)$$T$, alors on en déduit :
  Modèle:Transparentla pulsation $($temporelle$)$ $\omega =\frac{2\pi }{T}$,
  Modèle:Transparentla fréquence $($temporelle$)$ $f=\frac{1}{T}$,
  Modèle:Transparentla longueur d'onde $($ou période spatiale$)$ $\lambda =cT$,
  Modèle:Transparentle nombre d'onde $($ou fréquence spatiale$)$ $\sigma =\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{cT}$ et
  Modèle:Transparentla norme du vecteur d'onde $($ou pulsation spatiale$)$ $k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{cT}$ ;
• si on connaît la fréquence$($temporelle$)$$f$, alors on en déduit :
  Modèle:Transparentla pulsation $($temporelle$)$ $\omega =2\pi f$,
  Modèle:Transparentla période $($temporelle$)$ $T=\frac{1}{f}$,
  Modèle:Transparentla longueur d'onde $($ou période spatiale$)$ $\lambda =cT=\frac{c}{f}$,
  Modèle:Transparentle nombre d'onde $($ou fréquence spatiale$)$ $\sigma =\frac{1}{\lambda }=\frac{f}{c}$ et
  Modèle:Transparentla norme du vecteur d'onde $($ou pulsation spatiale$)$ $k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi f}{c}$ ;
• si on connaît la longueur d'onde$($ou période spatiale$)$$\lambda$, alors on en déduit :
  Modèle:Transparentle nombre d'onde $($ou fréquence spatiale$)$ $\sigma =\frac{1}{\lambda }$,
  Modèle:Transparentla norme du vecteur d'onde $($ou pulsation spatiale$)$ $k=\frac{2\pi }{\lambda }$,
  Modèle:Transparentla période $($temporelle$)$ $T=\frac{\lambda }{c}$,
  Modèle:Transparentla fréquence $($temporelle$)$ $f=\frac{1}{T}=\frac{c}{\lambda }$ et
  Modèle:Transparentla pulsation $($temporelle$)$ $\omega =2\pi f=\frac{2\pi c}{\lambda }$.

Modèle:AlL'O.P.H. peut alors se réécrire selon l'une de ses trois formes équivalentes :

«$s(x,t)=\{\begin{array}{c}{A}_0\cos [2\pi (\frac{t}{T}\mp \frac{x}{\lambda })+{\phi }_0]\\ A_0\cos [2\pi (ft\mp \sigma x)+{\phi }_0]\\ A_0\cos [\omega t\mp kx+{\phi }_0]\end{array}$».

Notion de déphasage de l'onde entre des points séparés d'une distance finie au même instant

Définition

Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens $+$

Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens $-$

Modèle:AlLa phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. à l'abscisse

$x$

étant «

$\phi (x)={\phi }_0\mp kx={\phi }_0\mp \frac{2\pi }{\lambda }x$

»

$\Rightarrow$

Modèle:Alle signal au point d'abscisse

$x_1$

est déphasé, par rapport au signal considéré au même instant au point d'abscisse

$x_0$

, de

«$\mathrm{\Delta }\phi =\phi (x_1)-\phi (x_0)=\mp k(x_1-x_0)=\mp \frac{2\pi }{\lambda }(x_1-x_0)=\mp \frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{\Delta }x$» $($avec $\mathrm{\Delta }x=x_1-x_0)$ ;

Modèle:Alce résultat se retrouve facilement par des considérations physiques :

• si $x_1>x_0$ et si la propagation se fait dans le sens des $x\nearrow$, « le signal en $x_1$ est, sur le signal en $x_0$ considéré au même instant, en retard temporel de $\tau =\frac{x_1-x_0}{c}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{c}$» $($en notant $\mathrm{\Delta }x=x_1-x_0)$, ce qui se traduit par le déphasage «$\mathrm{\Delta }\phi$ $=\phi (x_1)-\phi (x_0)=-2\pi \frac{\tau }{T}=-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }x}{cT}$» qui se réécrit «$\phi (x_1)-\phi (x_0)=$ $-\frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{\Delta }x$» $\{$voir ci-contre$\}$,

• si $x_1>x_0$ et si la propagation se fait dans le sens des $x\searrow$, « le signal en $x_1$ est, sur le signal en $x_0$ considéré au même instant, en retard temporel de $\tau =-\frac{x_1-x_0}{c}=-\frac{\mathrm{\Delta }x}{c}$» $($en notant $\mathrm{\Delta }x=x_1-x_0)$, ce qui se traduit par le déphasage Modèle:Nobr $=\phi (x_1)-\phi (x_0)=-2\pi \frac{\tau }{T}=2\pi \frac{\mathrm{\Delta }x}{cT}$ qui se réécrit $\phi (x_1)-\phi (x_0)$ $=\frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{\Delta }x$» $\{$voir ci-contre$\}$.

Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en phase

Modèle:AlLa condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse

$x_0$

et

$x_1$

considérées au même instant soient en phase s'écrit «

$\mathrm{\Delta }\phi =\phi (x_1)-\phi (x_0)=p^{\prime }2\pi ,p^{\prime }\in {\mathbb{Z}}^{*}$

» soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,

«$\mathrm{\Delta }x=x_1-x_0=p\lambda ,p\in {\mathbb{Z}}^{*}$».

Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en opposition de phase

Modèle:AlLa condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse

$x_0$

et

$x_1$

considérées au même instant soient en opposition de phase s'écrit «

$\mathrm{\Delta }\phi =\phi (x_1)-\phi (x_0)=(p^{\prime }+\frac{1}{2})2\pi$

avec

$p^{\prime }\in \mathbb{Z}$

» soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,

«$\mathrm{\Delta }x=x_1-x_0=(p+\frac{1}{2})\lambda ,p\in \mathbb{Z}$».

Notion de déphasage de l'onde entre des instants écartés d'une durée finie (au même endroit)

Préliminaire à la définition

Modèle:AlLe signal transporté par l'O.P.H. au point d'abscisse

$x$

et à l'instant

$t$

s'écrivant «

$s(x,t)=A_0\cos [\mp kx+{\psi }_1(t)]$

», avec «

${\psi }_1(t)=\omega t+{\phi }_0$

», soit

«$s(x,t)=\{\begin{array}{cc}{A}_0\cos [kx-{\psi }_1(t)]& \text{si propagation dans le sens des }x\searrow \\ A_0\cos [-kx+{\psi }_1(t)]& \text{si propagation dans le sens des }x\nearrow \end{array}$»,

Modèle:Alnous définissons le déphasage après avoir mis le signal sous la forme «

$s(x,t)=A_0\cos [kx+\psi (t)]$

», avec «

$\psi (t)=\{\begin{array}{cccc}{\psi }_1(t)& =& \omega t+{\phi }_0& \text{si propagation dans le sens des }x\searrow \\ -{\psi }_1(t)& =& -\omega t-{\phi }_0& \text{si propagation dans le sens des }x\nearrow \end{array}$

».

Définition

Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux instants au même point

Modèle:AlAu lieu d'envisager le signal transporté par l'onde au même instant mais en deux points différents, on considère le signal transporté par l'onde au même endroit mais à deux instants différents

$t_1$

et

$t_0$

, sachant que la phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. à l'instant

$t$

est défini selon «

$\psi (t)=\mp \omega t\mp {\phi }_0=$ $\mp \frac{2\pi }{T}t\mp {\phi }_0$

»Modèle:,, on en déduit que le signal à l'instant

$t_1$

est déphasé par rapport au signal à l'instant

$t_0$

considéré au même point de

«$\mathrm{\Delta }\psi =$ $\psi (t_1)-\psi (t_0)=$ $\mp \omega (t_1-t_0)=\mp \frac{2\pi }{T}(t_1-t_0)=\mp \frac{2\pi }{T}\mathrm{\Delta }t$» $($en notant $\mathrm{\Delta }t=t_1-t_0)$ ;

Modèle:Alce résultat peut se retrouver par des considérations physiques :

• si $t_1>t_0$ et si la propagation se fait dans le sens des $x\nearrow$, « le signal à $t_1$ en l'abscisse $x$ est identique au signal à $t_0$ en l'abscisse $x-\delta$ où $\delta =c(t_1-t_0)=c\mathrm{\Delta }t$ $($en notant $\mathrm{\Delta }t=t_1-t_0)$ est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre $t_0$ et $t_1$», $\Rightarrow$ le déphasage «$\mathrm{\Delta }\psi =\psi (t_1)-\psi (t_0)=-2\pi \frac{\delta }{\lambda }=$ $-2\pi \frac{c\mathrm{\Delta }t}{cT}$» que l'on peut réécrire «$\psi (t_1)-\psi (t_0)=-\frac{2\pi }{T}\mathrm{\Delta }t$»,
• si $t_1>t_0$ et si la propagation se fait dans le sens des $x\searrow$, « le signal à $t_1$ en l'abscisse $x$ est identique au signal à $t_0$ en l'abscisse $x-\delta$ où $\delta =$ $-c(t_1-t_0)=-c\mathrm{\Delta }t$ $($en notant $\mathrm{\Delta }t=t_1-t_0)$ est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre $t_0$ et $t_1$», $\Rightarrow$ le déphasage «$\mathrm{\Delta }\psi =\psi (t_1)-\psi (t_0)=-2\pi \frac{\delta }{\lambda }=2\pi \frac{c\mathrm{\Delta }t}{cT}$» que l'on peut réécrire «$\psi (t_1)-\psi (t_0)=\frac{2\pi }{T}\mathrm{\Delta }t$».

Étude expérimentale, mesure de la célérité, de la longueur d'onde et du déphasage d'une O.P.H.

Principe de la mesure de la célérité de propagation dans un milieu unidimensionnel, exemple de la détermination expérimentale de la célérité du son dans l'air

Dispositif expérimental pour la mesure de la célérité du son dans l'air

Enregistrement permettant de déduire la célérité du son dans l'air

Modèle:AlOn dispose deux microphones à la distance $d$ l'un de l'autre, l'onde sonore utilisée étant créée dans l'alignement de ces deux microphones ;
Modèle:All'onde sonore correspond par exemple à un coup donné sur un socle en bois, le signal capté par le 1^er microphone étant envoyé sur la voie $CH1$ d'un oscilloscope numérique et celui capté par le 2^ème microphone sur la voie $CH2$ du même oscilloscope numérique Modèle:Nobr ci-contre à gauche$)$ ;

Modèle:Alle signal capté par le 1^er microphone étant choisi comme source de déclenchement à l'enregistrement « monocoup » de l'oscilloscope, on observe l'enregistrement ci-contre à droite :

Modèle:Alla distance $d$ étant mesurée avec précision $($emploi d'un banc Modèle:Nobr et le retard temporel $\tau$ étant également connu avec précision Modèle:Nobr estime aisément cette dernière par déplacement de curseurs verticaux sur l'oscilloscope$)$, on peut évaluer la célérité du son dans l'air par «$c=\frac{d}{\tau }$».

Principe de la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. dans un milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air

Dispositif expérimental pour la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air

Modèle:AlUn émetteur d'ultrasons étant alimenté par un G.B.F. à une fréquence $f=44,0kHz$, deux récepteurs sont placés sur un même banc, quasiment dans l'alignement avec l'émetteur, le 1^er étant fixe et le 2^ème mobile, les signaux reçus par chacun d'eux étant repérés respectivement sur les voies $CH1$ et $CH2$ d'un oscilloscope numérique ;
Modèle:Alsans réglage préalable sur le récepteur $2$ proche du récepteur $1$, on observe a priori un déphasage entre ces deux signaux ;
Modèle:Alon déplace le récepteur $2$ de façon à ce que les signaux soient en phase, on repère alors la position du récepteur $2$ notée $x_2^0$, et
Modèle:Alon poursuit le déplacement en recherchant les positions correspondant aux signaux en phase jusqu'à une n^ème position notée $x_2^n$ ;
Modèle:Al« la distance $x_2^n-x_2^0$ s'identifie alors à $n\lambda$», ce qui permet d'en déduire la longueur d'onde de l'O.P.H. ultrasonore avec une précision d'autant meilleure que $n$ peut être grand ;
Modèle:Alconnaissant la fréquence de l'onde on en déduit la célérité de propagation dans l'air par «$c=\lambda f$».

Principe de la mesure d'un déphasage d'une O.P.H. enregistrée en deux positions distinctes du milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air

Modèle:AlOn reprend le montage précédent et, sans effectuer de réglage a priori, les signaux enregistrés sur les voies $CH1$ et $CH2$ de l'oscilloscope sont déphasés $\{$bien que le signal reçu par le récepteur $2$ soit « mathématiquement » en retard de phase sur le signal reçu par le récepteur $1$, il peut être « physiquement » en retard ou en avance et c'est uniquement ce déphasage que l'on mesure directement en fonctionnement $(y,t)$ de l'oscilloscope$\}$ ;

Modèle:Alon détermine le décalage « physique » temporel

$\mathrm{\Delta }t$

par curseurs de temps et on en déduit l'avance de phase « physique » du signal

$1$

sur le signal

$2$

par

«$\mathrm{\Delta }{\phi }_{\text{phys}}={({\phi }_1-{\phi }_2)}_{\text{phys}}=$ $\pm 2\pi \left(\frac{\mathrm{\Delta }t}{T}\right)$Modèle:, en $rad$» ou
«$\mathrm{\Delta }{\phi }_{\text{phys}}={({\phi }_1-{\phi }_2)}_{\text{phys}}=\pm 360\left(\frac{\mathrm{\Delta }t}{T}\right)$Modèle:, en $\text{°}$».Modèle:Al