Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Différentielle d'une fonction d'une variable

Dans ce chapitre les fonctions scalaires $($ou vectorielles$)$ d'une variable seront systématiquement considérées dérivables.

Élément différentiel d'une variable

Modèle:AlConsidérons une variable $x$ et une petite variation de cette variable notée $\delta x$ ;
Modèle:Transparentrendant cette petite variation aussi petite que possible $($c.-à-d. la faisant tendre vers $0)$, on obtient l'élément différentiel
Modèle:Transparentutilisé en physique et noté $dx$ ;
Modèle:Transparentcet élément différentiel est un infiniment petit.

Différentielle d'une fonction scalaire d'une variable

Modèle:AlSoit la fonction scalaire $f$ de la variable $x$ ;

Modèle:Alconsidérons la petite variation de cette fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[x,x+\delta x]$ notée $\delta f(x)$ et définie selon «$\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)$» ;

Modèle:Alcette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante «$\delta f(x)=f^{\prime }(x)\delta x+\phi (\delta x)\delta x$ avec $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta x\to 0}[\phi (\delta x)]=0$». Modèle:Définition Modèle:AlRemarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel $dx$ soit «$\frac{df}{dx}=f^{\prime }(x_0)$».

Modèle:AlEn conclusion pour exprimer la différentielle de $f$ pour la valeur $x_0$ de la variable $x$, on multiplie la dérivée$f^{\prime }(x_0)$par l'élément différentiel$dx$.

Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit

Modèle:AlRemarque préliminaire : propriété non valable si l'élément différentiel $dx$ est quelconque, ce n'est donc pas une propriété à utiliser en mathématique mais uniquement en physique.

Modèle:AlExposé : La petite variation $\delta f$ de $f$ sur l'intervalle $[x,x+\delta x]$ a été définie par «$\delta f=f(x+\delta x)-f(x)$» et,
Modèle:AlModèle:Transparentpar approximation linéaire nous avons pu écrire «$\delta f=f^{\prime }(x)\delta x+\phi (\delta x)\delta x$» avec «$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta x\to 0}[\phi (\delta x)]=0$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenten physique, $dx$ étant l'infiniment petit associé à $\delta x$ quand ce dernier tend vers $0$, on peut traduire ceci par «$\delta x=dx+\psi (\delta x)\delta x$» avec «$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta x\to 0}\psi (\delta x)=0$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentson report dans l'approximation linéaire nous conduit alors à «$\delta f=f^{\prime }(x)[dx+\psi (\delta x)\delta x]+\phi (\delta x)\delta x=f^{\prime }(x)dx+[f^{\prime }(x)\psi (\delta x)+\phi (\delta x)]\delta x$» ou encore,
Modèle:AlModèle:Transparenten définissant «$\alpha (\delta x)=f^{\prime }(x)\psi (\delta x)+\phi (\delta x)$» qui est telle que «$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta x\to 0}[\alpha (\delta x)]=0$» et,
Modèle:AlModèle:Transparentcompte-tenu de la définition de la différentielle de $f$ pour la valeur $x$ de la variable, «$df=f^{\prime }(x)dx$», on peut écrire
Modèle:Transparent«$\delta f=df+\alpha (\delta x)\delta x$» avec «$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta x\to 0}[\alpha (\delta x)]=0$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentainsi, dans la mesure où l'élément différentiel $dx$ est un infiniment petit, la petite variation $\delta f$ peut être confondue avec la différentielle $df$ quand $\delta x$ tend vers $0$,
Modèle:AlModèle:Transparentla différence entre les deux «$\delta f-df=\alpha (\delta x)\delta x$ étant un infiniment petit d'ordre supérieur » ;
Modèle:AlModèle:Transparenten physique nous noterons $\delta f\simeq df$ pour traduire la confusion à un ordre supérieur près. Modèle:Proposition

Quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable

Modèle:AlLes règles énoncées découlent des règles connues sur la dérivation de somme, produit ou quotient de fonctions d'une même variable ainsi que celle de la dérivation de la fonction constante, et
Modèle:AlModèle:Transparentdu fait que la différenciation s'obtient par dérivation suivie de la multiplication par l'élément différentiel de la variable ;
Modèle:Alles règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet$«$d(u+v)=du+dv$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$d\left(cste\right)=0$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$d\left(uv\right)=(du)v+u(dv)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{(du)v-u(dv)}{v^2}$».

Utilisation de la différenciation pour justifier la dérivée d'une fonction composée

Modèle:AlSoit à calculer la dérivée par rapport à $x$ de la fonction composée $f(x)=\ln |\sin [\exp \left(x^2\right)]|$, pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ$«$w(x)=x^2$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$«$v(w)=\exp \left(w\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$«$u(v)=\sin \left[v\right]$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$«$f(u)=\ln \left|u\right|$»
Modèle:AlModèle:Transparentdont on déduit la composition suivante «$f(x)=f\left[u\left\{v[w(x)]\right\}\right]$» ;

Modèle:Alon évalue alors successivement $\bullet$la différentielle de $f$ en fonction de $du$ soit «$df=\frac{df}{du}du=\frac{1}{u}du$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la différentielle de $u$ en fonction de $dv$ soit «$du=\frac{du}{dv}dv=\cos \left[v\right]dv$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la différentielle de $v$ en fonction de $dw$ soit «$dv=\frac{dv}{dw}dw=\exp \left(w\right)dw$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la différentielle de $w$ en fonction de $dx$ soit «$dw=\frac{dw}{dx}dx=2xdx$» ;

Modèle:Alon en déduit, par reports successifs, «$df=\frac{df}{du}du=\frac{df}{du}\frac{du}{dv}dv=\frac{df}{du}\frac{du}{dv}\frac{dv}{dw}dw=\frac{df}{du}\frac{du}{dv}\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dx}dx$» c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentla formule de dérivation de la fonction composée $f(x)=f\left[u\left\{v[w(x)]\right\}\right]$ écrite en notation différentielle «$\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\times \frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dw}\times \frac{dw}{dx}$» $($formule à utiliser directement$)$ d'où :

Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{df}{dx}=\frac{1}{u}\cos \left[v\right]\exp \left(w\right)2x$» ou, en éliminant les fonctions intermédiaires, «$\frac{df}{dx}=\frac{1}{\sin [\exp \left(x^2\right)]}\cos [\exp \left(x^2\right)]\exp \left(x^2\right)2x$» soit finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{df}{dx}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}[\exp \left(x^2\right)]\exp \left(x^2\right)2x$».

Modèle:AlCommentaires : En physique il est fréquent que l'on ait une fonction composée de deux fonctions, dans ce cas retenir la formule de dérivation de la fonction «$f\left[g\left(x\right)\right]$» sous la forme
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\times \frac{dg}{dx}$».

Différentielle logarithmique d'une fonction scalaire d'une variable

Modèle:AlPour une « fonction scalaire $f$ dérivable en tout $x_0$ de son domaine $I$ de dérivabilité telle que $f(x_0)\ne 0$ pour toute valeur $x_0\in I$», on définit
Modèle:AlModèle:Transparentla « fonction dérivée logarithmique de $f$ en $x\in I$» notée $h$ selon «$\mathrm{\forall }x\in I,x\stackrel{h}{\to }h(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$»Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$c'est aussi la « dérivée de la fonction composée $[\ln \circ |\left|\right]\circ f=\ln \left[\right|f\left|\right]$»$\}$. Modèle:Définition Modèle:AlRemarque : De même que pour la dérivée logarithmique de la fonction scalaire $f$ il n'y a pas de notation réglementée pour la différentielle logarithmique de cette même fonction $f$,
Modèle:AlModèle:Transparenttoutefois on trouve parfois la notation «$d[\ln |f\left|\right]$» soit «$d[\ln |f\left|\right]=\frac{df}{f(x_0)}$».

Différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

Définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable

Modèle:AlLa fonction vectorielle est dite dérivable en $t_0$ si $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to x_0}\frac{\overrightarrow{f}(t)-\overrightarrow{f}(t_0)}{t-t_0}$ existe, sa valeur définissant ${\overrightarrow{f}}^{\prime }(t_0)$ soit «$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to t_0}\frac{\overrightarrow{f}(t)-\overrightarrow{f}(t_0)}{t-t_0}={\overrightarrow{f}}^{\prime }(t_0)$» ;

Modèle:Alla fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si ${\overrightarrow{f}}^{\prime }(t_0)$ existe pour toutes les valeurs du domaine.

Définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

Modèle:AlSoit la fonction vectorielle $\overrightarrow{f}$ de la variable $t$ ;

Modèle:Alconsidérons la petite variation de cette fonction $\overrightarrow{f}(t)$ sur l'intervalle $[t,t+\delta t]$ notée $\delta \overrightarrow{f}(t)$ et définie selon «$\delta \overrightarrow{f}(t)=\overrightarrow{f}(t+\delta t)-\overrightarrow{f}(t)$» ;

Modèle:Alcette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante «$\delta \overrightarrow{f}(t)={\overrightarrow{f}}^{\prime }(t)\delta t+\overrightarrow{\phi }(\delta t)\delta t$ avec $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta t\to 0}[\overrightarrow{\phi }(\delta t)]=\overrightarrow{0}$». Modèle:Définition Modèle:AlRemarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel $dt$ soit «$\frac{\overrightarrow{df}}{dt}={\overrightarrow{f}}^{\prime }(t_0)$».

Modèle:AlEn conclusion pour exprimer la différentielle de $\overrightarrow{f}$ pour la valeur $t_0$ de la variable $t$, on multiplie la dérivée${\overrightarrow{f}}^{\prime }(t_0)$par l'élément différentiel$dt$.

Explicitation d'une fonction vectorielle d'une variable par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle

Modèle:AlConsidérant la fonction vectorielle $\overrightarrow{f}$ de la variable réelle $t$, de domaine de définition $𝔻$ et
Modèle:Alchoisissant une base « fixe » de l'espace physique $E\supset \overrightarrow{f}(𝔻)$, base appelée « cartésienne » et notée $\{{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z\}$ ;

Modèle:Aldécomposant $\overrightarrow{f}(t)$ sur la base cartésienne selon «$\overrightarrow{f}(t)=f_x(t){\overrightarrow{u}}_x+f_y(t){\overrightarrow{u}}_y+f_z(t){\overrightarrow{u}}_z$» $\Rightarrow$ il est possible de définir la fonction vectorielle$\overrightarrow{f}$à l'aide de trois fonctions scalaires$\{f_x,f_y,f_z\}$.

Définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle

Modèle:AlLa base choisie étant indépendante de la variable $t$, on peut dériver $($ou différencier$)$ la relation $\overrightarrow{f}(t)=f_x(t){\overrightarrow{u}}_x+f_y(t){\overrightarrow{u}}_y+f_z(t){\overrightarrow{u}}_z$ et on obtient :

• «${\overrightarrow{f}}^{\prime }(t)={f^{\prime }}_x(t){\overrightarrow{u}}_x+{f^{\prime }}_y(t){\overrightarrow{u}}_y+{f^{\prime }}_z(t){\overrightarrow{u}}_z$» c.-à-d. que la dérivée de la fonction vectorielle a pour composantes la dérivée de ses composantes,
• «$\overrightarrow{df}=d{f}_x{\overrightarrow{u}}_x+d{f}_y(t){\overrightarrow{u}}_y+d{f}_z(t){\overrightarrow{u}}_z$» c.-à-d. que la différentielle de la fonction vectorielle a pour composantes la différentielle de ses composantes.

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

Modèle:AlCes règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » plus haut dans ce chapitre,
Modèle:Alelles peuvent être justifiées par la décomposition des fonctions vectorielles dans la base cartésienne $\{{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z\}$ en leurs composantes scalaires sur lesquelles les règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable s'appliquent ;
Modèle:Alces règles sont donc les suivantes $\bullet$«$d(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\overrightarrow{du}+\overrightarrow{dv}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$d\left(\overrightarrow{cste}\right)=\overrightarrow{0}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$d\left(f\overrightarrow{v}\right)=(df)\overrightarrow{v}+f(\overrightarrow{dv})$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$d\left(\frac{\overrightarrow{u}}{g}\right)=\frac{(dg)\overrightarrow{u}-g(\overrightarrow{du})}{g^2}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$d(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})=\overrightarrow{du}\wedge \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{dv}$».

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire formée à partir de fonctions vectorielles d'une variable

Modèle:AlCes règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » plus haut dans ce chapitre,
Modèle:Alelles utilisent aussi les « quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du paragraphe ci-dessus et se justifient en combinant les deux ;
Modèle:Alces règles sont donc les suivantes $\bullet$«$d(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})=\overrightarrow{du}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{dv}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$d[(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}]=d(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}+(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{dw}=(\overrightarrow{du}\wedge \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{dv})\cdot \overrightarrow{w}+(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{dw}$» soit
Modèle:AlModèle:Transparenten utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle
Modèle:AlModèle:Transparent«$d[(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}]=(\overrightarrow{du}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}+(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{dv})\cdot \overrightarrow{w}+(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{dw}$».