Intégration de Riemann/Intégrale et primitives

Primitives d'une fonction

Le calcul de primitive est l'opération inverse du calcul de dérivée. Modèle:Définition

On a les propriétés suivantes en utilisant les propriétés de la dérivation : Modèle:Propriété

Modèle:Attention Contre-exemple : Soient les fonctions $f:x\mapsto x+1$ et $g:x\mapsto e^x$. On montre facilement que $F:x\mapsto \frac{x^2}{2}+x$ et $G:x\mapsto e^x$ sont des primitives respectivement de $f$ et $g$ mais pourtant :

1/ $FG:x\mapsto (\frac{x^2}{2}+x)e^x$ n’est pas une primitive de $fg$ puisque

$(FG{)}^{\prime }(x)=(F^{\prime }G+F{G}^{\prime })(x)=(x+1)e^x+(\frac{x^2}{2}+x)e^x\ne fg(x)\mathrm{\forall }x\in ℝ$ ;

2/ $\phi :x\mapsto x{e}^x$ est une primitive de $fg$ car :

${\phi }^{\prime }(x)=x{e}^x+1\times e^x=(x+1)e^x=fg(x)\mathrm{\forall }x\in ℝ$.

Primitives usuelles

Soient $a,b,C\in ℝ$ des constantes et $k$ un entier relatif.

Tableau des primitives simples

$f(x)$	$D_D$	$F(x)$
$0$	$ℝ$	$C$
$ax+b$	$ℝ$	$\frac{a{x}^2}{2}+bx+C$
$x^n$ ($\mathrm{\forall }n\in ℝ-\{-1\}$)	${ℝ}^{*}$ si $n\ge 0$; ${ℝ}_{+}^{*}$ sinon	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\sqrt{x}$	${ℝ}_{+}^{*}$	$\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$
$\frac{1}{x}$	${ℝ}_{+}^{*}$	$\ln x+C$
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	${ℝ}_{+}^{*}$	$\sqrt{x}+C$
$-\frac{1}{x^2}$	${ℝ}^{*}$	$\frac{1}{x}+C$
$\sin x$	$ℝ$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$ℝ$	$\sin x+C$
$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$ℝ\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$	$\tan x+C$
$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	$ℝ\setminus \left\{k\pi \right\}$	$\mathrm{cotan}x+C$
$e^x$	$ℝ$	$e^x+C$
$\ln x$	${ℝ}_{+}^{*}$	$x\ln x-x+C$

Le théorème fondamental de l'analyse : lien intégrale-primitives

Voici maintenant le lien entre l'intégration et les primitives :

Remarques :

• Dans la première partie du théorème, la variable $x$ est la « borne d’en haut » de l'intégrale : c’est pour cela qu'on parle parfois de « l'intégrale fonction de la borne d’en haut ».
• Ce théorème montre que toute fonction continue admet des primitives.

Exemples :

1. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}.$
2. $\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_2^5=\frac{125}{3}-\frac{8}{3}=\frac{117}{3}=39.$
3. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}\right]=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2}.$

Notion d'intégrale indéfinie (sans bornes) : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ admettant des primitives.

On note $\int f(x)\mathrm{d}x$, l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur l'intervalle $I$.

Donc, si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ : $\int f(x)\mathrm{d}x=\{x\mapsto F(x)+k\mid k\in ℝ\}.$

Par abus de langage, cette notation désigne aussi une primitive quelconque de $f$ : il faut toutefois bien garder à l'esprit qu’il existe une infinité de primitives définies à une constante additive près.

Méthodes de calcul intégral

La principale méthode utilisée pour calculer des intégrales est d’abord l'usage du théorème fondamental de l'analyse.

Notez qu'on n'utilise (presque) jamais la définition théorique de l'intégrale pour calculer une intégrale.

Intégration par parties

Exemples :

1/ Calculer $\int x{e}^x\mathrm{d}x$.

On intègre par parties en posant :

$u(x)=x\Rightarrow u^{\prime }(x)=1$

$v^{\prime }(x)=e^x\Leftarrow v(x)=e^x.$

On a donc : Modèle:Encadre

2/ Une double intégration par parties :

Calculer $\int e^x\sin x\mathrm{d}x$.

On intègre par parties en posant :

$u(x)=e^x\Rightarrow u^{\prime }(x)=e^x$

$v^{\prime }(x)=\sin x\Leftarrow v(x)=-\cos x.$

On a donc :

$\int e^x\sin x\mathrm{d}x=-e^x\cos x+\int e^x\cos x\mathrm{d}x.$

Pour calculer la dernière intégrale, on intègre (encore) par parties en posant :

$u(x)=e^x\Rightarrow u^{\prime }(x)=e^x$

$v^{\prime }(x)=\cos x\Leftarrow v(x)=\sin x.$

On a donc :

$\int e^x\cos x\mathrm{d}x=e^x\sin x-\int e^x\sin x\mathrm{d}x$. On est revenu à l'intégrale qu'on voulait calculer : le serpent se mord la queue ! Est-on réellement bloqué pour autant ?

3/ Calculer $\int \ln x\mathrm{d}x.$

On ne connaît pas a priori de primitive de $x\mapsto \ln x$ (et c’est bien ce qu'on cherche).

L'astuce dans ces cas-là (une fonction « seule » dont on ne connaît que la dérivée mais pas la primitive) consiste à intégrer par parties en posant :

$u(x)=\ln x\Rightarrow u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

$v^{\prime }(x)=1\Leftarrow v(x)=x$.

(On a remarqué que $\ln x=1\times \ln x$, tout simplement !)

On a donc :

$\int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x-\int x\frac{1}{x}\mathrm{d}x=x\ln x-x+C(C\in ℝ).$

Donc (c'est un résultat à retenir) : Modèle:Encadre On montre en fait plus généralement (et sans plus de difficulté) que pour tout réel $\alpha \ne -1$ :

$\int x^{\alpha }\ln x\mathrm{d}x=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\ln x-\frac{x^{\alpha +1}}{(\alpha +1{)}^2}+C(C\in ℝ)$ :

Changement de variables

Modèle:Démonstration déroulante Remarque : Une fonction $\phi$ bijective de classe ${𝒞}^1$ dont la réciproque est alors de classe ${𝒞}^1$ est appelée un ${𝒞}^1$-difféomorphisme.

Pour utiliser cette formule en pratique :

• poser $x=\phi (t)$ et donc $\mathrm{d}x={\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ ;
• changer les bornes d'intégration : si $x=\alpha =\phi (t)$, alors $t=a$ et si $x=\beta =\phi (t)$ , alors $t=b$ .

Remarquez que cette formule s'utilise dans les deux sens, comme le montrent les exemples.

Exemples :

1/ $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x+2}{x^2+4x-1}=\underset{4}{\overset{11}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{2t}={[\frac{1}{2}\ln t]}_4^{11}=\frac{\ln 11-\ln 4}{2}$.

On a fait le changement de variables $t=x^2+4x-1={\phi }^{-1}(x)$ et $\mathrm{d}t=2x+4\mathrm{d}x=2(x+2)\mathrm{d}x$.

Pour les bornes : si $x=1$, alors $t=1^2+4\times 1-1=4$ et si $x=2$, alors $t=2^2+4\times 2-1=11$.

2/ $I=\int \frac{\mathrm{d}x}{1+{\cos }^{2}x}=\int \frac{\mathrm{d}x}{2{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}=\int \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x(2+{\tan }^{2}x)}$ puisque ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1\mathrm{\forall }x\in ℝ$.

On pose $t=\tan x$ donc $\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x}$.
Alors $I=\int \frac{\mathrm{d}t}{2+t^2}=\int \frac{\mathrm{d}t}{2(1+(\frac{t}{\sqrt{2}}{)}^2)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan u=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan (\frac{\sqrt{2}}{2}t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan (\frac{\sqrt{2}}{2}\tan x)$ à une constante près.

On a posé $u=\frac{t}{\sqrt{2}}$ et donc $\mathrm{d}t=\sqrt{2}\mathrm{d}u$.

Intégration des fractions rationnelles

Pour intégrer une fraction rationnelle (si la solution ne peut être trouvée directement avec les méthodes ci-dessus), il faut la décomposer en éléments simples . L'intégration devient ensuite relativement aisée sauf lorsqu'on rencontre des éléments simples de deuxième espèce de la forme :

$A(x)=\int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d{)}^n}\mathrm{d}x$ où $a,b,c,d\in ℝ|\delta =c^2-4d<0$ et $n\in \mathbb{N}$.

Pour calculer $A(x)$, il faut :

1/ Faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur :

$ax+b=\frac{a}{2}(2x+c)+b-\frac{ac}{2}\Rightarrow A(x)=\int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d{)}^n}\mathrm{d}x=\int \frac{\frac{a}{2}(2x+c)+b-\frac{ac}{2}}{(x^2+cx+d{)}^n}\mathrm{d}x=\frac{a}{2}\int \frac{\mathrm{d}(x^2+cx+d)}{(x^2+cx+d{)}^n}+(b-\frac{ac}{2})\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d{)}^n}$. La seule réelle difficulté qui est apparue est le calcul de $\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d{)}^n}$. C'est ce calcul que l’on va chercher maintenant à effectuer.

2/ Remplacer $x^2+cx+d$ par sa forme canonique :

On obtient $x^2+cx+d={(x+\frac{c}{2})}^2+d-\frac{c^2}{4}=t^2+k^2\mathrm{o}\stackrel{`}{\mathrm{u}}t=x+\frac{c}{2}\mathrm{e}\mathrm{t}k=\sqrt{d-\frac{c^2}{4}}$.

On cherche à calculer $\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d{)}^n}=\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2{)}^n}$.

3/ Calculer $\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2{)}^n}$ :

• Si $n=1$, alors on obtient $\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)}=\frac{1}{k}\arctan \left(\frac{t}{k}\right)$ (voir « fonction arctan »).
• Si $n\ne 1$, alors on pose $u=\arctan (\frac{t}{k})$ et l'on a (tous calculs faits…) :

$\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2{)}^n}=k^{1-2n}\int {\cos }^{2n-2}u\mathrm{d}u$, qu'on calcule par linéarisation avec les formules d'Euler.

Règles de Bioche : intégration des fractions rationnelles en cos x et sin x

Voir Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques.