Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices, généralités

Introduction des « matrices » en mathématiques

Modèle:AlEn mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, en termes calculatoires,
Modèle:AlModèle:Transparentles résultats théoriques de l'algèbre linéaire et
Modèle:AlModèle:Transparentdes applications linéaires .

Modèle:AlUne matrice $m\times n$ $\{$avec $(m,n)\in {\left[{\mathbb{N}}^{*}\right]}^2$Modèle:, tels qu'au moins un des nombres est $\ne$ de $1$$\}$
Modèle:AlModèle:Transparentest un tableau rectangulaire $\left[A\right]$ de $m$ lignes et $n$ colonnes,
Modèle:AlModèle:Transparentle terme générique de la matrice $\left[A\right]$ définie sur $ℝ$, noté $a_{i,j}$
Modèle:AlModèle:Transparentoccupant la case de la i^ème ligne et la j^ème colonne,
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice étant encore notée ${\left(a_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽n}$ $($voir ci-contre$)$ ;
Modèle:Alles appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de matrices :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« matrice nulle si $a_{i,j}=0\mathrm{\forall }(i,j)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« matrice colonne si $n=1$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« matrice ligne si $m=1$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« matrice carrée si $m=n\ne 1$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que $a_{i,j}=0\mathrm{\forall }j>i$ et $\mathrm{\exists }(i,j⩽i):a_{i,j}\ne 0$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que $a_{i,j}=0\mathrm{\forall }j<i$ et $\mathrm{\exists }(i,j⩾i):a_{i,j}\ne 0$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« matrice diagonale pour une matrice carrée telle que $a_{i,j}=0\mathrm{\forall }j\ne i$ et $\mathrm{\exists }j:a_{j,j}\ne 0$ » et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« matrice identité notée $\left[I\right]$ pour une matrice diagonale telle que $\mathrm{\forall }j:i_{j,j}=1$».
Modèle:Al Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons $($sauf avis contraire$)$ à des matrices définies sur $ℝ$.

Opérations sur les matrices

Transposition de matrices

Modèle:AlExemple : soit la matrice $\left[A\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$ de dimension $($ou taille$)$ $(3,2)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice transposée de $\left[A\right]$ est la matrice de dimension $($ou taille$)$ $(2,3)$ s'écrivant ${}^t\left[A\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$,
Modèle:AlModèle:Transparentelle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice $\left[A\right]$
Modèle:AlModèle:Transparent$($ou en permutant lignes et colonnes de la matrice de départ$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice transposée de ${}^t\left[A\right]$ redonnant la matrice $\left[A\right]$ soit ${}^t\left\{{}^t\left[A\right]\right\}=\left[A\right]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée ${}^t\left[A\right]$ de la matrice $\left[A\right]$ et
Modèle:AlModèle:Transparentson itération $($c.-à-d. la formation de la matrice transposée ${}^t\left\{{}^t\left[A\right]\right\}$ de la transposée ${}^t\left[A\right]$$)\dots$

Addition de matrices et multiplication par un scalaire

Modèle:AlCes opérations sont définies sur l'« ensemble des matrices de dimension $($ou de taille$)$ $(m,n)$ définies sur $ℝ$» et noté «$M_{m,n}\left(ℝ\right)$».

Addition de matrices de même dimension (ou taille)

Modèle:AlSur «$M_{m,n}\left(ℝ\right)$» on définit la loi de composition interne « addition de matrices » notée «$+$» ${\left\{M_{m,n}\left(ℝ\right)\right\}}^2\stackrel{+}{\to }{M}_{m,n}\left(ℝ\right)$ définie selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$\mathrm{\forall }\{\left(a_{i,j}\right),\left(b_{i,j}\right)\}\in {\left\{M_{m,n}\left(ℝ\right)\right\}}^2$», «$\{\left(a_{i,j}\right),\left(b_{i,j}\right)\}\stackrel{+}{\to }\left(a_{i,j}\right)+\left(b_{i,j}\right)=(a_{i,j}+b_{i,j})\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentl'ensemble «$M_{m,n}\left(ℝ\right)$» muni de l'addition «$+$» est un groupe abélien (ou commutatif) , en effet
Modèle:AlModèle:Transparentla loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet$associativité «$\left(a_{i,j}\right)+\{\left(b_{i,j}\right)+\left(c_{i,j}\right)\}=\left(a_{i,j}\right)+(b_{i,j}+c_{i,j})=(a_{i,j}+b_{i,j}+c_{i,j})=\{\left(a_{i,j}\right)+\left(b_{i,j}\right)\}+\left(c_{i,j}\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$commutativité «$\left(a_{i,j}\right)+\left(b_{i,j}\right)=(a_{i,j}+b_{i,j})=(b_{i,j}+a_{i,j})=\left(b_{i,j}\right)+\left(a_{i,j}\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$existence d'un élément neutre « la matrice nulle » qui vérifie «$\left(a_{i,j}\right)+\left(0_{i,j}\right)=(a_{i,j}+0_{i,j})=\left(a_{i,j}\right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$telle que toute matrice admet un opposé unique «$\mathrm{\forall }\left(a_{i,j}\right)$ $\mathrm{\exists }!$ un opposé $\left({a^{\prime }}_{i,j}\right)$ vérifiant ${a^{\prime }}_{i,j}=-a_{i,j}$» car
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left(a_{i,j}\right)+\left({a^{\prime }}_{i,j}\right)=(a_{i,j}+{a^{\prime }}_{i,j})=(a_{i,j}-a_{i,j})=\left(0_{i,j}\right)$».

Multiplication par un scalaire

Modèle:AlSur «$M_{m,n}\left(ℝ\right)$» on définit la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $ℝ$» notée «$\cdot$» $ℝ\times M_{m,n}\left(ℝ\right)\stackrel{\cdot }{\to }{M}_{m,n}\left(ℝ\right)$ définie selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,\mathrm{\forall }\left(a_{i,j}\right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$», «$\{\lambda ,\left(a_{i,j}\right)\}\stackrel{\cdot }{\to }\lambda \cdot \left(a_{i,j}\right)=\left(\lambda a_{i,j}\right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,\mathrm{\forall }\left(a_{i,j}\right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$», «$\{\left(a_{i,j}\right),\lambda \}\stackrel{\cdot }{\to }\left(a_{i,j}\right)\cdot \lambda =\left(a_{i,j}\lambda \right)=\left(\lambda a_{i,j}\right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentcette loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $ℝ$» définie sur le groupe abélien (ou commutatif) «$\{M_{m,n}\left(ℝ\right),+\}$» et notée «$\cdot$»
Modèle:AlModèle:Transparentpossède les propriétés : $\bullet$« distributivité par rapport à l'addition de $M_{m,n}\left(ℝ\right)$»
Modèle:AlModèle:Transparent«$\lambda \cdot \{\left(a_{i,j}\right)+\left(b_{i,j}\right)\}=\lambda \cdot \left(a_{i,j}\right)+\lambda \cdot \left(b_{i,j}\right)=\left(\lambda a_{i,j}\right)+\left(\lambda b_{i,j}\right)=(\lambda a_{i,j}+\lambda b_{i,j})=\left(\lambda \{a_{i,j}+b_{i,j}\}\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« distributivité par rapport à l'addition de $ℝ$»
Modèle:AlModèle:Transparent«$\{\lambda +\mu \}\cdot \left(a_{i,j}\right)=\lambda \cdot \left(a_{i,j}\right)+\mu \cdot \left(b_{i,j}\right)=\left(\lambda a_{i,j}\right)+\left(\mu a_{i,j}\right)=(\lambda a_{i,j}+\mu a_{i,j})=\left(\{\lambda +\mu \}{a}_{i,j}\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« associativité mixte par rapport à la multiplication dans $ℝ$»
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\lambda \mu \right\}\cdot \left(a_{i,j}\right)=\lambda \cdot \{\mu \cdot \left(a_{i,j}\right)\}=\lambda \cdot \left(\mu a_{i,j}\right)=\left(\lambda \mu a_{i,j}\right)=\left(\left\{\lambda \mu \right\}{a}_{i,j}\right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$telle que « l'élément neutre de la multiplication dans $ℝ$ noté $1_{ℝ}$ est neutre pour “$\cdot$” » «$1_{ℝ}\cdot \left(a_{i,j}\right)=\left(1_{ℝ}{a}_{i,j}\right)=\left(a_{i,j}\right)$».

Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée

Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée

Modèle:AlL'ensemble «$M_{m,n}\left(ℝ\right)$» muni de l'addition «$+$» étant un groupe abélien (ou commutatif) Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparentla loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $ℝ$» étant $\bullet$« distributive par rapport à l'addition de $M_{m,n}\left(ℝ\right)$» ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« Modèle:Transparentpar rapport à l'addition de $ℝ$» ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« associative mixte par rapport à la multiplication dans $ℝ$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« telle que l'élément neutre $1_{ℝ}$ de la multiplication dans $ℝ$
Modèle:AlModèle:Transparentest neutre pour la loi de composition externe » ,
Modèle:AlModèle:Transparentnous en déduisons que «$M_{m,n}\left(ℝ\right)$» est un «$ℝ$-espace vectoriel » et
Modèle:AlModèle:Transparentnous pourrions démontrer que « la dimension de cet espace vectoriel est $m\times n$».

Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canonique

Modèle:AlTout élément de $M_{m,n}\left(ℝ\right)$ est décomposable de façon unique sur sa base canonique composée des «$mn$ matrices ${\left[E\right]}_{p,q}$»
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$dans ${\left[E\right]}_{p,q}$ tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices ${}_{p,q}$ qui vaut $1$, ou
Modèle:AlModèle:Transparenten utilisant le symbole de Kronecker ${\delta }_{k,l}=\left\{\begin{array}{c}0\text{si }k\ne l\\ 1\text{si }k=l\end{array}\right\}$, l'écriture suivante
Modèle:AlModèle:Transparent${\left[E\right]}_{p,q}={\left(e_{i,j}^{p,q}\right)}_{p,q}$ avec $e_{i,j}^{p,q}={\delta }_{i,p}{\delta }_{j,q}$ pour $i\in \left[[1,m]\right]$ et $j\in \left[[1,n]\right]\}$,
Modèle:AlModèle:Transparentla décomposition de la matrice $\left[A\right]={\left(a_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽n}$ sur la base canonique s'écrivant
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[A\right]={\left(a_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽n}=\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽m\\ 1⩽q⩽n\end{array}}{a}_{p,q}\cdot {\left[E\right]}_{p,q}=\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽m\\ 1⩽q⩽n\end{array}}{a}_{p,q}\cdot {\left(e_{i,j}^{p,q}\right)}_{p,q}=\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽m\\ 1⩽q⩽n\end{array}}{a}_{p,q}\cdot {\left({\delta }_{i,p}{\delta }_{j,q}\right)}_{p,q}$».

Modèle:AlExemple : $\left[A\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$ de dimension $($ou taille$)$ $(3,2)$,
Modèle:AlModèle:Transparentles six vecteurs de la base canonique étant ${\left[E\right]}_{1,1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$, ${\left[E\right]}_{1,2}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$, ${\left[E\right]}_{2,1}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$, ${\left[E\right]}_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$, ${\left[E\right]}_{3,1}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$ et ${\left[E\right]}_{3,2}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$,
Modèle:AlModèle:Transparentla décomposition de $\left[A\right]$ sur sa base canonique s'écrit «$\left[A\right]=1\cdot {\left[E\right]}_{1,1}+2\cdot {\left[E\right]}_{1,2}+3\cdot {\left[E\right]}_{2,1}+4\cdot {\left[E\right]}_{2,2}+5\cdot {\left[E\right]}_{3,1}+6\cdot {\left[E\right]}_{3,2}$».

Multiplication matricielle à droite (ou à gauche)

Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)

Description du mode opératoire de la multiplication à droite de la matrice $\left[A\right]\in M_{4,2}\left(ℝ\right)$ par la matrice $\left[B\right]\in M_{2,3}\left(ℝ\right)$

Modèle:AlLa multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble $M_{m,n}\left(ℝ\right)$ des matrices de dimension $($ou de taille$)$ $(m,n)$ définies sur $ℝ$
Modèle:AlModèle:Transparentest une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à droite, d'une matrice de l'ensemble $M_{n,p}\left(ℝ\right)$
Modèle:AlModèle:Transparentdes matrices de dimension $($ou de taille$)$ $(n,p)$ définies sur $ℝ$,
Modèle:AlModèle:Transparentle résultat de cette multiplication matricielle à droite
Modèle:AlModèle:Transparentétant une matrice de l'ensemble $M_{m,p}\left(ℝ\right)$ des matrices de dimension $($ou de taille$)$ $(m,p)$ soit,
Modèle:AlModèle:Transparenten notant «$\times$» la multiplication matricielle $($à droite$)$, la définition de la loi de composition externe suivante
Modèle:AlModèle:Transparent$M_{m,n}\left(ℝ\right)\times M_{n,p}\left(ℝ\right)\stackrel{\times }{\to }{M}_{m,p}\left(ℝ\right)$ telle que
Modèle:AlModèle:Transparent« pour $\left[A\right]=\left(a_{i,j}\right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$ et $\left[B\right]=\left(b_{i,j}\right)\in M_{n,p}\left(ℝ\right)$», «$\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{m,p}\left(ℝ\right)$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent«${\left(a_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽n}\times {\left(b_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽n,1⩽j⩽p}={\left(c_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽p}$» où «$c_{i,j}=\sum _{k=\left[[1,n]\right]}{a}_{i,k}{b}_{k,j}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentvoir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.

Modèle:AlLa multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble $M_{m,n}\left(ℝ\right)$ des matrices de dimension $($ou de taille$)$ $(m,n)$ définies sur $ℝ$
Modèle:AlModèle:Transparentest une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à gauche, d'une matrice de l'ensemble $M_{q,m}\left(ℝ\right)$
Modèle:AlModèle:Transparentdes matrices de dimension $($ou de taille$)$ $(q,m)$ définies sur $ℝ$,
Modèle:AlModèle:Transparentle résultat de cette multiplication matricielle à gauche
Modèle:AlModèle:Transparentétant une matrice de l'ensemble $M_{q,n}\left(ℝ\right)$ des matrices de dimension $($ou de taille$)$ $(q,n)$ soit,
Modèle:AlModèle:Transparenten notant «$\times$» la multiplication matricielle $($à gauche$)$, la définition de la loi de composition externe suivante
Modèle:AlModèle:Transparent$M_{q,m}\left(ℝ\right)\times M_{m,n}\left(ℝ\right)\stackrel{\times }{\to }{M}_{q,n}\left(ℝ\right)$ telle que
Modèle:AlModèle:Transparent« pour $\left[A\right]=\left(a_{i,j}\right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$ et $\left[B\right]=\left(b_{i,j}\right)\in M_{q,m}\left(ℝ\right)$», «$\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{q,n}\left(ℝ\right)$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent«${\left(b_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽q,1⩽j⩽m}\times {\left(a_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽n}={\left(d_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽q,1⩽j⩽n}$» avec «$d_{i,j}=\sum _{l=\left[[1,m]\right]}{b}_{i,l}{a}_{l,j}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus
Modèle:AlModèle:Transparentà condition de permuter la position de $\left[A\right]$ avec celle de $\left[B\right]$.

Modèle:AlExemple : soit la matrice $\left[A\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\in M_{3,2}\left(ℝ\right)$ à multiplier à droite par la matrice $\left[B\right]=\left[\begin{array}{ccc}7& 9& 11\\ 8& 10& 12\end{array}\right]\in M_{2,3}\left(ℝ\right)$, on obtient la matrice $\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,3}\left(ℝ\right)$ soit $\left[C\right]=$
Modèle:AlModèle:Transparent$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}7& 9& 11\\ 8& 10& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}23& 29& 35\\ 53& 67& 81\\ 83& 105& 127\end{array}\right]$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentle choix des dimensions $($ou tailles$)$ des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice $\left[A\right]\in M_{3,2}\left(ℝ\right)$ par la matrice $\left[B\right]\in M_{2,3}\left(ℝ\right)$ soit aussi possible,
Modèle:AlModèle:Transparenton obtient alors la matrice $\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,2}\left(ℝ\right)$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$\left[D\right]=\left[\begin{array}{ccc}7& 9& 11\\ 8& 10& 12\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{cc}89& 116\\ 98& 128\end{array}\right]$ ;

Modèle:AlModèle:Transparenton vérifie que «$\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,2}\left(ℝ\right)$» est $\ne$ de «$\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,3}\left(ℝ\right)$», les dimensions $($ou tailles$)$ étant $($d'ailleurs$)$ différentes toutefois,
Modèle:AlModèle:Transparentsi les matrices facteurs $\left[A\right]$ et $\left[B\right]$ sont carrées de même dimension $($ou taille$)$, «$\left[A\right]\times \left[B\right]$ reste, en général, $\ne$ de $\left[B\right]\times \left[A\right]$»,
Modèle:AlModèle:Transparentles matrices produits étant carrées de même dimension $($ou taille$)$ que les matrices facteurs .

Relation de transposition d'un produit matriciel

Modèle:Propriété Modèle:AlDémonstration : soit «$\left[A\right]={\left(a_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽n}\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$ et $\left[B\right]={\left(b_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽n,1⩽j⩽p}\in M_{n,p}\left(ℝ\right)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« le produit $\left[A\right]\times \left[B\right]$ est une matrice $\left[C\right]\in M_{m,p}\left(ℝ\right)$» selon «${\left(a_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽n}\times {\left(b_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽n,1⩽j⩽p}={\left(c_{i,j}\right)}_{1⩽i⩽m,1⩽j⩽p}$» où «$c_{i,j}=\sum _{k=\left[[1,n]\right]}{a}_{i,k}{b}_{k,j}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice transposée de $\left[C\right]$ s'écrit alors ${}^t\left[C\right]={\left({c^{\prime }}_{j,i}\right)}_{1⩽j⩽p,1⩽i⩽m}$» avec «${c^{\prime }}_{j,i}=c_{i,j}=\sum _{k=\left[[1,n]\right]}{a}_{i,k}{b}_{k,j}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice transposée de $\left[B\right]$ s'écrivant ${}^t\left[B\right]={\left({b^{\prime }}_{j,i}\right)}_{1⩽j⩽p,1⩽i⩽n}$» avec «${b^{\prime }}_{j,i}=b_{i,j}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent« Modèle:Alcelle transposée de $\left[A\right]$ Modèle:Transparent${}^t\left[A\right]={\left({a^{\prime }}_{j,i}\right)}_{1⩽j⩽n,1⩽i⩽m}$» avec «${a^{\prime }}_{j,i}=a_{i,j}$», on en déduit
Modèle:AlModèle:Transparent« le produit ${}^t\left[B\right]\times {}^t\left[A\right]=\left[D\right]={\left(d_{ji}\right)}_{1⩽j⩽p,1⩽i⩽m}$» tel que «$d_{j,i}=\sum _{k=\left[[1,n]\right]}{b^{\prime }}_{j,k}{a^{\prime }}_{k,i}=\sum _{k=\left[[1,n]\right]}{b}_{k,j}{a}_{i,k}={c^{\prime }}_{j,i}$» $\Rightarrow$ «$\left[D\right]={}^t\left[C\right]$» et par suite
Modèle:AlModèle:Transparent«${}^t\left[B\right]\times {}^t\left[A\right]={}^t\{\left[A\right]\times \left[B\right]\}$» C.Q.F.D. .

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemble

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée

Modèle:AlToute matrice de l'ensemble $M_n\left(ℝ\right)$ des matrices carrées de dimension $($ou taille$)$ $n$ fixée pouvant être multipliée à droite $($ou à gauche$)$ par n'importe matrice de $M_n\left(ℝ\right)$,
Modèle:AlModèle:Transparent« la multiplication matricielle à droite $($ou à gauche$)$ définie sur $M_n\left(ℝ\right)$» devient alors « une loi de composition interne ${\left\{M_n\left(ℝ\right)\right\}}^2\stackrel{\times }{\to }{M}_n\left(ℝ\right)$»
Modèle:AlModèle:Transparentpossédant les propriétés : $\bullet$« associativité de la multiplication matricielle » c.-à-d. «$\{\left[A\right]\times \left[B\right]\}\times \left[C\right]=\left[A\right]\times \{\left[B\right]\times \left[C\right]\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle » soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[A\right]\times \{\left[B\right]+\left[C\right]\}=\left[A\right]\times \left[B\right]+\left[A\right]\times \left[C\right]$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« distributivité de la multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle » soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\{\left[A\right]+\left[B\right]\}\times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left[C\right]+\left[B\right]\times \left[C\right]$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« existence d'un élément neutre de la multiplication matricielle “la matrice identité $\left[I\right]$” » c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[A\right]\times \left[I\right]=\left[A\right]$ et $\left[I\right]\times \left[A\right]=\left[A\right]$».

Modèle:AlModèle:Transparent« La multiplication matricielle n'est pas commutative » c.-à-d. qu'usuellement «$\left[A\right]\times \left[B\right]\ne \left[B\right]\times \left[A\right]$» $($voir la note « ³⁰ » plus haut dans ce chapitre$)$.

Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée

Modèle:AlL'ensemble $M_n\left(ℝ\right)$ des matrices carrées de dimension $($ou taille$)$ $n$ fixée étant un cas particulier de l'ensemble $M_{m,n}\left(ℝ\right)$ des matrices de dimension $($ou taille$)$ $(m,n)$ fixée
Modèle:AlModèle:Transparentlequel, muni de l'addition «$+$», est un groupe abélien (ou commutatif) Modèle:, $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparentl'ensemble $\{M_n\left(ℝ\right),+\}$ des matrices carrées de dimension $($ou taille$)$ $n$ fixée muni de l'addition «$+$»
Modèle:AlModèle:Transparentest aussi un groupe abélien (ou commutatif) Modèle:, , de plus
Modèle:AlModèle:Transparentla multiplication matricielle étant une loi de composition interne de l'ensemble $M_n\left(ℝ\right)$ ayant les propriétés
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« associativité » ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« distributivité à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle » ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« existence d'un élément neutre » et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« absence de commutativité » $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« l'ensemble $M_n\left(ℝ\right)$ possède une structure d’anneau unitaire non commutatif » car
Modèle:AlModèle:Transparentl'ensemble $\{M_n\left(ℝ\right),+\}$ est un groupe abélien (ou commutatif) Modèle:, avec
Modèle:AlModèle:Transparentles propriétés de la 2^nde loi de composition interne «$\times$» ;
Modèle:All'ensemble $M_{m,n}\left(ℝ\right)$ des matrices de dimension $($ou taille$)$ $(m,n)$ fixée étant un $ℝ$-espace vectoriel et l'ensemble $M_n\left(ℝ\right)$ des matrices carrées de dimension $($ou taille$)$ $n$ fixée
Modèle:AlModèle:Transparenten étant un cas particulier $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent« l'ensemble $M_n\left(ℝ\right)$ des matrices carrées de dimension $($ou taille$)$ $n$ fixée
Modèle:AlModèle:Transparentest aussi un $ℝ$-espace vectoriel »
Modèle:AlModèle:Transparentdont la dimension est $n^2$ ;

Modèle:Alla loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $ℝ$» sur l'ensemble $M_n\left(ℝ\right)$ des matrices carrées de dimension $($ou taille$)$ $n$ fixée $\Rightarrow$ $M_n\left(ℝ\right)$ est un $ℝ$-espace vectoriel de par
Modèle:AlModèle:Transparentles propriétés de cette loi rappelées au paragraphe « multiplication par un scalaire » plus haut dans ce chapitre
Modèle:AlModèle:Transparentavec une structure de groupe abélien (ou commutatif) Modèle:, de l'ensemble $\{M_n\left(ℝ\right),+\}$,
Modèle:AlModèle:Transparentde plus, cette loi étant « associative mixte par rapport à la multiplication matricielle » c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent«$\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,\mathrm{\forall }\{\left[A\right],\left[B\right]\}\in {\left\{M_n\left(ℝ\right)\right\}}^2$, $\lambda \{\left[A\right]\times \left[B\right]\}=\left\{\lambda \left[A\right]\right\}\times \left[B\right]=\left[A\right]\times \left\{\lambda \left[B\right]\right\}$»
Modèle:AlModèle:Transparentpropriété qui, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et d'anneau unitaire que possède $M_n\left(ℝ\right)$,
Modèle:AlModèle:Transparentconfère à «$M_n\left(ℝ\right)$ une structure de $ℝ$-algèbre associative unitaire$($non commutative$)$» .

Interprétations linéaires de matrices

1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels

Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de R^m

Modèle:AlConsidérant l'ensemble ${ℝ}^m$ avec $m\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$ en tant que $ℝ$-espace vectoriel de dimension $m$ ainsi que « la base canonique ${\{e_1,\cdots e_i,\cdots e_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de cet espace avec
Modèle:AlModèle:Transparent$e_i={({\delta }_{1,i},\cdots {\delta }_{k,i},\cdots {\delta }_{m,i})}_{1⩽k⩽m}$» où «${\delta }_{k,i}=\left\{\begin{array}{c}0\text{si }k\ne i\\ 1\text{si }k=i\end{array}\right\}$ est
Modèle:AlModèle:Transparentle symbole de Kronecker » $\Rightarrow$

Modèle:Alnous pouvons définir $\bullet$une « correspondance bijective entre chaque élément $e_i={({\delta }_{1,i},\cdots {\delta }_{k,i},\cdots {\delta }_{m,i})}_{1⩽k⩽m}$ de la base canonique de ${ℝ}^m$ et
Modèle:AlModèle:Transparentchaque matrice colonne ${\left[\begin{array}{c}{\delta }_{1,i}\\ \cdots \\ {\delta }_{k,i}\\ \cdots \\ {\delta }_{m,i}\end{array}\right]}_{1⩽k⩽m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $M_{m,1}\left(ℝ\right)$» et par suite,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$une « correspondance bijective entre le $m$-uplet ${(a_1,\cdots a_i,\cdots a_m)}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$ et
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice colonne ${\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $M_{m,1}\left(ℝ\right)$» d'où la définition suivante
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« la matrice colonne ${\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}$ est la matrice coordonnée canonique du $m$-uplet ${(a_1,\cdots a_i,\cdots a_m)}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$».

Modèle:AlConsidérant l'ensemble ${ℝ}^m$ avec $m\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$ en tant que $ℝ$-espace vectoriel de dimension $m$ ainsi que « une autre base $($non canonique$)$ ${\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$»
Modèle:Alnous pouvons établir $\bullet$une « correspondance bijective entre chaque élément $b_i=\sum _{1⩽k⩽m}{b}_{k,i}{e}_k$ » de la base $($non canonique$)$ de ${ℝ}^m$ et
Modèle:AlModèle:Transparentchaque matrice colonne ${\left[\begin{array}{c}{b}_{1,i}\\ \cdots \\ b_{k,i}\\ \cdots \\ b_{m,i}\end{array}\right]}_{1⩽k⩽m}$ de l'ensemble $M_{m,1}\left(ℝ\right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$une « correspondance bijective entre le $m$-uplet de ${ℝ}^m$ de décomposition ${({\alpha }_1,\cdots {\alpha }_i,\cdots {\alpha }_m)}_{1⩽i⩽m}$ dans la base non canonique ${\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice colonne ${\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ \cdots \\ {\alpha }_i\\ \cdots \\ {\alpha }_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $M_{m,1}\left(ℝ\right)$» d'où la définition suivante
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« la matrice colonne ${\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ \cdots \\ {\alpha }_i\\ \cdots \\ {\alpha }_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}$ est la matrice coordonnée du $m$-uplet de ${ℝ}^m$ de décomposition ${({\alpha }_1,\cdots {\alpha }_i,\cdots {\alpha }_m)}_{1⩽i⩽m}$
Modèle:AlModèle:Transparentdans la base non canonique ${\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ » .

1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de R^m

Modèle:AlAprès avoir défini une correspondance bijective entre « le $m$-uplet ${(a_1,\cdots a_i,\cdots a_m)}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$» et
Modèle:AlModèle:Transparent« sa matrice coordonnée canonique ${\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}\in M_{m,1}\left(ℝ\right)$» ou
Modèle:AlModèle:Transparentune correspondance bijective entre « le $m$-uplet ${(a_1,\cdots a_i,\cdots a_m)}_{1⩽i⩽m}$ tel que $\sum _{1⩽i⩽m}{\alpha }_i{b}_i$ dans la base $($non canonique$)$ ${\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$ et
Modèle:AlModèle:Transparent« sa matrice coordonnée ${\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ \cdots \\ {\alpha }_i\\ \cdots \\ {\alpha }_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}\in M_{m,1}\left(ℝ\right)$ dans la base $($non canonique$)$ ${\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$» ,

Modèle:Alon prolonge cette correspondance bijective entre « les familles de $n$ $m$-uplets de ${\left[{ℝ}^m\right]}^n$ et
Modèle:AlModèle:Transparent« l'ensemble $M_{m,n}\left(ℝ\right)$ des matrices de dimension $($ou taille$)$ $(m,n)$» c.-à-d., en utilisant la base canonique de ${ℝ}^m$,
Modèle:AlModèle:Transparententre « l'élément ${\left\{\begin{array}{c}{(a_{1,1}\cdots a_{i,1}\cdots a_{m,1})}_{1⩽i⩽m}\\ ⋮\\ {(a_{1,j}\cdots a_{i,j}\cdots a_{m,j})}_{1⩽i⩽m}\\ ⋮\\ {(a_{1,n}\cdots a_{i,n}\cdots a_{m,n})}_{1⩽i⩽m}\end{array}\right\}}_{1⩽j⩽n}$ de la famille de $n$ “$m$-uplets ” de ${\left[{ℝ}^m\right]}^n$» et
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice de dimension $($ou taille$)$ $(m,n)$ ${\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,j}& \cdots & a_{1,n}\\ & & ⋮& & \\ a_{i,1}& \cdots & a_{i,j}& \cdots & a_{i,n}\\ & & ⋮& & \\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,j}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right]}_{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ 1⩽j⩽n\end{array}}\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$»
Modèle:AlModèle:Transparent$[$résultant de la juxtaposition des $n$ matrices coordonnées canoniques des “$m$-uplets ”$]$
Modèle:AlModèle:Transparentappelée matrice coordonnée canonique de la famille des $n$ “$m$-uplets ” ou,
Modèle:AlModèle:Transparentavec une base non canonique ${\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$,
Modèle:AlModèle:Transparententre « l'élément ${\left\{\begin{array}{c}{(a_{1,1}\cdots a_{i,1}\cdots a_{m,1})}_{1⩽i⩽m}\\ ⋮\\ {(a_{1,j}\cdots a_{i,j}\cdots a_{m,j})}_{1⩽i⩽m}\\ ⋮\\ {(a_{1,n}\cdots a_{i,n}\cdots a_{m,n})}_{1⩽i⩽m}\end{array}\right\}}_{1⩽j⩽n}$ de la famille de $n$ “$m$-uplets ” de ${\left[{ℝ}^m\right]}^n$ $(m$-uplet exprimé en base canonique de ${ℝ}^m)$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$le $m$-uplet générique de la famille ${(a_{1,j}\cdots a_{i,j}\cdots a_{m,j})}_{1⩽i⩽m}$ se décomposant en
Modèle:AlModèle:Transparentbase non canonique ${\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$ selon $\sum _{1⩽i⩽m}{\alpha }_{i,j}{b}_i\}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice de dimension $($ou taille$)$ $(m,n)$ ${\left[\begin{array}{ccccc}{\alpha }_{1,1}& \cdots & {\alpha }_{1,j}& \cdots & {\alpha }_{1,n}\\ & & ⋮& & \\ {\alpha }_{i,1}& \cdots & {\alpha }_{i,j}& \cdots & {\alpha }_{i,n}\\ & & ⋮& & \\ {\alpha }_{m,1}& \cdots & {\alpha }_{m,j}& \cdots & {\alpha }_{m,n}\end{array}\right]}_{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ 1⩽j⩽n\end{array}}\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$
Modèle:AlModèle:Transparent$[$résultant de la juxtaposition des $n$ matrices coordonnées $($non canoniques$)$ des “$m$-uplets ”$]$,
Modèle:AlModèle:Transparentappelée matrice coordonnée non canonique de la famille des $n$ “$m$-uplets ” en base non canonique ${\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$». Modèle:Définition

Matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de R^m

Modèle:AlConsidérant « le “$m$-uplet ” ${(a_1,\cdots a_i,\cdots a_m)}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$ décomposé dans une base non canonique $\left\{B\right\}={\{b_1,\cdots b_i,\cdots b_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$ selon $\sum _{1⩽i⩽m}{\alpha }_i{b}_i$» et
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice coordonnée non canonique $\left[X\right]={\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ \cdots \\ {\alpha }_i\\ \cdots \\ {\alpha }_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}$ du “$m$-uplet ” dans la base $\left\{B\right\}$» puis
Modèle:Transparent« le même “$m$-uplet ” ${(a_1,\cdots a_i,\cdots a_m)}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$ décomposé dans une autre base non canonique $\left\{C\right\}={\{c_1,\cdots c_i,\cdots c_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de ${ℝ}^m$ selon $\sum _{1⩽i⩽m}{\beta }_i{c}_i$» et
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice coordonnée non canonique $\left[X^{\prime }\right]={\left[\begin{array}{c}{\beta }_1\\ \cdots \\ {\beta }_i\\ \cdots \\ {\beta }_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}$ du “$m$-uplet ” dans la base $\left\{C\right\}$» ,

Modèle:Alnous cherchons « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée $\left[X\right]$ du “$m$-uplet ” dans la base $\left\{B\right\}$ à la matrice coordonnée $\left[X^{\prime }\right]$ du même “$m$-uplet ” dans la base $\left\{C\right\}$»
Modèle:AlModèle:Transparentà partir de la connaissance de la décomposition de la base $\left\{B\right\}$ sur la base $\left\{C\right\}$, matérialisée par une matrice carrée $\left[P\right]$ de dimension $($ou taille$)$ $m$ appelée
Modèle:AlModèle:Transparent« matrice de passage de la base$\left\{C\right\}$à la base$\left\{B\right\}$»
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$matrice $\left[P\right]$ obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de la
Modèle:AlModèle:Transparentdécomposition de chaque élément de la base non canonique $\left\{B\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparentdans la base non canonique $\left\{C\right\}$$\}$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentavec la matrice $\left[P\right]$ de passage de la base $\left\{C\right\}$ à la base $\left\{B\right\}$, nous établissons que
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice coordonnée $\left[X^{\prime }\right]$ du “$m$-uplet ” dans la base $\left\{C\right\}$» se déduit de
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice coordonnée $\left[X\right]$ du “$m$-uplet ” dans la base $\left\{B\right\}$» par
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[X^{\prime }\right]=\left[P\right]\times \left[X\right]$»  ;

Modèle:Alinversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée

$\left[X^{\prime }\right]$

du “

$m$

-uplet ” dans la base

$\left\{C\right\}$

à la matrice coordonnée

$\left[X\right]$

du même “

$m$

-uplet ” dans la base

$\left\{B\right\}$

» se détermine
Modèle:AlModèle:Transparentà partir de la décomposition de la base

$\left\{B\right\}$

sur la base

$\left\{C\right\}$

matérialisée par la matrice de passage

$\left[P\right]$

de la base

$\left\{C\right\}$

à la base

$\left\{B\right\}$

dont on déduit
Modèle:AlModèle:Transparentla décomposition de la base

$\left\{C\right\}$

sur la base

$\left\{B\right\}$

matérialisée par la « matrice de passage

${\left[P\right]}^{-1}$

de la base

$\left\{B\right\}$

à la base

$\left\{C\right\}$

» ,
Modèle:AlModèle:Transparent

$\{$

cette matrice résultant de l'inversion de la « matrice

$\left[P\right]$

de passage
Modèle:AlModèle:Transparentde la base

$\left\{C\right\}$

à la base

$\left\{B\right\}$

»

$\}$

et par suite
Modèle:AlModèle:Transparent« la relation permettant de passer de la matrice coordonnée

$\left[X^{\prime }\right]$

du “

$m$

-uplet ” dans la base

$\left\{C\right\}$

à la matrice coordonnée

$\left[X\right]$

du même “

$m$

-uplet ” dans la base

$\left\{B\right\}$

» s'écrit selon

«$\left[X\right]={\left[P\right]}^{-1}\times \left[X^{\prime }\right]$» .

Réécriture de la matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » par changement de base de R^m

Modèle:Al« La matrice coordonnée d'une famille de $n$ “$m$-uplets ” de ${\left[{ℝ}^m\right]}^n$ dans la base $\left\{B\right\}$ de ${ℝ}^m$ notée $\left[A\right]$» s'obtenant par « juxtaposition des matrices coordonnées de chaque “$m$-uplet ”
Modèle:AlModèle:Transparentdans la base $\left\{B\right\}$ de ${ℝ}^m$ à savoir ${\left[X_j\right]}_{1,⩽j⩽n}$» soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[A\right]={\left[\begin{array}{ccccc}{X}_{1,1}& \cdots & X_{1,j}& \cdots & X_{1,n}\\ & & ⋮& & \\ X_{i,1}& \cdots & X_{i,j}& \cdots & X_{i,n}\\ & & ⋮& & \\ X_{m,1}& \cdots & X_{m,j}& \cdots & X_{m,n}\end{array}\right]}_{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ 1⩽j⩽n\end{array}}\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$» et

Modèle:Al« la matrice coordonnée d'un “$m$-uplet ” dans la base $\left\{C\right\}$ de ${ℝ}^m$, ${\left[{X^{\prime }}_j\right]}_{1⩽j⩽n}$» s'obtenant en multipliant à gauche « la matrice coordonnée du “$m$-uplet ” dans la base $\left\{B\right\}$ de ${ℝ}^m$, ${\left[X_j\right]}_{1⩽j⩽n}$»
Modèle:AlModèle:Transparentpar « la matrice de passage $\left[P\right]$ de la base $\left\{C\right\}$ à la base $\left\{B\right\}$» selon
Modèle:AlModèle:Transparent«${\left[{X^{\prime }}_j\right]}_{1⩽j⩽n}=\left[P\right]\times {\left[X_j\right]}_{1⩽j⩽n}$» , on en déduit aisément que

Modèle:Al« la matrice coordonnée de la famille des

$n$

“

$m$

-uplets ” de

${\left[{ℝ}^m\right]}^n$

dans la base

$\left\{C\right\}$

de

${ℝ}^m$

,

$\left[A^{\prime }\right]={\left[\begin{array}{ccccc}{X^{\prime }}_{1,1}& \cdots & {X^{\prime }}_{1,j}& \cdots & {X^{\prime }}_{1,n}\\ & & ⋮& & \\ {X^{\prime }}_{i,1}& \cdots & {X^{\prime }}_{i,j}& \cdots & {X^{\prime }}_{i,n}\\ & & ⋮& & \\ {X^{\prime }}_{m,1}& \cdots & {X^{\prime }}_{m,j}& \cdots & {X^{\prime }}_{m,n}\end{array}\right]}_{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ 1⩽j⩽n\end{array}}\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$

» s'obtient selon la relation

«$\begin{array}{ccccc}\left[A^{\prime }\right]& =& \left[P\right]& \times & \left[A\right]\\ \text{dans }\left\{C\right\}& & \begin{array}{c}\text{de }\left\{C\right\}\\ \text{à }\left\{B\right\}\end{array}& & \text{dans }\left\{B\right\}\end{array}$» ;

Modèle:Alinversement « la matrice coordonnée de la famille des

$n$

“

$m$

-uplets ” de

${\left[{ℝ}^m\right]}^n$

dans la base

$\left\{B\right\}$

de

${ℝ}^m$

,

$\left[A\right]={\left[\begin{array}{ccccc}{X}_{1,1}& \cdots & X_{1,j}& \cdots & X_{1,n}\\ & & ⋮& & \\ X_{i,1}& \cdots & X_{i,j}& \cdots & X_{i,n}\\ & & ⋮& & \\ X_{m,1}& \cdots & X_{m,j}& \cdots & X_{m,n}\end{array}\right]}_{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ 1⩽j⩽n\end{array}}\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$

»
Modèle:AlModèle:Transparents'obtient à l'aide de « la matrice de passage

${\left[P\right]}^{-1}$

de la base

$\left\{B\right\}$

à la base

$\left\{C\right\}$

» selon

«$\begin{array}{ccccc}\left[A\right]& =& {\left[P\right]}^{-1}& \times & \left[A^{\prime }\right]\\ \text{dans }\left\{B\right\}& & \begin{array}{c}\text{de }\left\{B\right\}\\ \text{à }\left\{C\right\}\end{array}& & \text{dans }\left\{C\right\}\end{array}$» .

2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels

Définition d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans un autre espace vectoriel de dimension m

Modèle:Définition Modèle:AlRemarques : On constate qu'« une application du $ℝ$-espace vectoriel $E$ dans le $ℝ$-espace vectoriel $F$ est linéaire » ssi elle respecte les C.L. à savoir
Modèle:AlModèle:Transparentssi «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }{\left({\lambda }_i\right)}_{i\in \left[[1,p]\right]}\in {ℝ}^p\\ \mathrm{\forall }{\left(x_i\right)}_{i\in \left[[1,p]\right]}\in E^p\end{array}\right\}$, $\phi \left(\sum _i^{\left[[1,p]\right]}{\lambda }_i{x}_i\right)=\sum _i^{\left[[1,p]\right]}{\lambda }_i\phi \left(x_i\right)$».

Modèle:AlModèle:TransparentL'ensemble des applications linéaires du $ℝ$-espace vectoriel $E$ dans le $ℝ$-espace vectoriel $F$ est noté «$L(E,F)$» et
Modèle:AlModèle:Transparentcelui des applications linéaires bijectives $[$c.-à-d. des isomorphismes de $E$ dans $F]$ Modèle:TransparentModèle:Alnoté «$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}(E,F)$»  ;

Modèle:AlModèle:Transparentl'ensemble des applications linéaires du $ℝ$-espace vectoriel $E$ dans lui-même $[$c.-à-d. des endomorphismes de $E]$ est noté «$L\left(E\right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparentcelui des applications linéaires bijectives du $ℝ$-espace vectoriel $E$ dans $E$ $[$c.-à-d. des automorphismes de $E]$ Modèle:Alnoté «$GL\left(E\right)$» et encore appelé « groupe linéaire de $E$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentl'ensemble des applications linéaires du $ℝ$-espace vectoriel $E$ dans le corps $ℝ$ $[$corps de construction de l'espace vectoriel où l'application linéaire $($alors appelée « forme linéaire »$)$
Modèle:AlModèle:Transparentest définie$]$
Modèle:AlModèle:Transparentest noté $E^{*}$ et définit l'« espace dual de $E$» $[E^{*}$ étant donc l'ensemble des formes linéaires de $E$$]$.

2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)

Modèle:AlConsidérant deux $ℝ$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux $\bullet$un « 1^er$ℝ$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ avec choix d'une base $\left\{B\right\}={\{b_1,\cdots b_j,\cdots b_n\}}_{1⩽j⩽n}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$un « 2^nd$ℝ$-espace vectoriel $F$ de dimension $m$ avec choix d'une base $\left\{C\right\}={\{c_1,\cdots c_i,\cdots c_m\}}_{1⩽i⩽m}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentune « application linéaire $\phi$ de $E$ dans $F$» : Modèle:Définition Modèle:AlPropriétés : « à toute application linéaire $\phi$ d'un $ℝ$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ de base $\left\{B\right\}={\{b_1,\cdots b_j,\cdots b_n\}}_{1⩽j⩽n}$
Modèle:AlModèle:Transparentdans un $ℝ$-espace vectoriel $F$ de dimension $m$ de base $\left\{C\right\}={\{c_1,\cdots c_i,\cdots c_m\}}_{1⩽i⩽m}$»
Modèle:AlModèle:Transparenton peut associer « une et une seule matrice d'application linéaire $\left[A\right]$ de dimension $($ou taille$)$ $(m,n)$» dans laquelle
Modèle:AlModèle:Transparent« la j^ème colonne de $\left[A\right]$ est la matrice coordonnée de $\phi (b_j)$ dans la base $\left\{C\right\}={\{c_1,\cdots c_i,\cdots c_m\}}_{1⩽i⩽m}$ de $F$ c.-à-d. ${\left[\begin{array}{c}\phi (b_j{)}_1\\ \cdots \\ \phi (b_j{)}_i\\ \cdots \\ \phi (b_j{)}_m\end{array}\right]}_{1⩽i⩽m}$»
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$la décomposition de $\phi (b_j)$ dans la base $\left\{C\right\}={\{c_1,\cdots c_i,\cdots c_m\}}_{1⩽i⩽m}$ étant «$\phi (b_j)=\sum _{i=1..m}\phi (b_j{)}_i{c}_i$»$\}$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentla matrice $\left[A\right]$ appelée « matrice de l'application linéaire$\phi$dans le couple de bases$(\left\{B\right\},\left\{C\right\})$» et notée «${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)$»
Modèle:AlModèle:Transparentvérifie «$\mathrm{\forall }x\in E$» et «${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\}}(x)$ sa matrice coordonnée dans la base $\left\{B\right\}$ de $E$» ,
Modèle:AlModèle:Transparent« la matrice coordonnée de $\phi (x)$ dans la base $\left\{C\right\}$ de $F$, notée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]$» s'évalue par
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{ccccc}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]& =& {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)& \times & {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\}}(x)\\ \in M_{m1}\left(ℝ\right)& & \in M_{mn}\left(ℝ\right)& & \in M_{n1}\left(ℝ\right)\end{array}\right\}$».

Modèle:AlModèle:TransparentOn déduit que « l'application de l'ensemble$L(E,F)$ des applications linéaires du $ℝ$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ dans le $ℝ$-espace vectoriel $F$ de dimension $m$
Modèle:AlModèle:Transparentdans l'ensemble$M_{m,n}\left(ℝ\right)$ des matrices de dimension $($ou taille$)$ $(m,n)$»
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$application qui, à « chaque application linéaire $\phi \in L(E,F)$» fait correspondre « la matrice de l'application linéaire $\phi$ dans le couple de bases $(\left\{B\right\},\left\{C\right\})$ c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$»$\}$
Modèle:AlModèle:Transparentest un isomorphisme d'espaces vectoriels .

Exemple d'un automorphisme du plan vectoriel, la similitude directe $𝒮$ de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $45\text{°}$

Modèle:AlExemple : La similitude directe $𝒮$ de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $45\text{°}$
Modèle:AlModèle:Transparentest un automorphisme du $ℝ$-espace vectoriel euclidien $E$ de dimension $2$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentavec le choix de la base canonique $\left\{B_{\text{can}}\right\}=(e_1,e_2)$ pour décrire les vecteurs de $E$
Modèle:AlModèle:Transparentdu domaine de définition de l'automorphisme $𝒮$ et
Modèle:AlModèle:Transparentde la même base canonique $(e_1,e_2)$ pour les images par automorphisme $𝒮$
Modèle:AlModèle:Transparentdes vecteurs de $E$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccc}𝒮(e_1)& =\sqrt{2}[\cos (45\text{°})e_1+\sin (45\text{°})e_2]& =e_1+e_2\\ 𝒮(e_2)& =\sqrt{2}[\cos (135\text{°})e_1+\sin (135\text{°})e_2]& =-e_1+e_2\end{array}\right\}$,
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice de l'automorphisme $𝒮$ de $E$ dans le couple de bases $(\left\{B_{\text{can}}\right\},\left\{B_{\text{can}}\right\})$ s'écrit alors
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B_{\text{can}}\right\},\left\{B_{\text{can}}\right\}}\left(𝒮\right)=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$», d'où :
Modèle:AlModèle:Transparentun vecteur $x\in E$ de composantes $(a,b)$ dans la base canonique $\left\{B_{\text{can}}\right\}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentde matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B_{\text{can}}\right\}}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$
Modèle:AlModèle:Transparenta pour image, par similitude directe $𝒮$,
Modèle:AlModèle:Transparentle vecteur $𝒮(x)\in E$ de composantes $(a^{\prime },b^{\prime })$
Modèle:AlModèle:Transparentdans la base canonique $\left\{B_{\text{can}}\right\}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentde matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B_{\text{can}}\right\}}[𝒮(x)]$
Modèle:AlModèle:Transparents'obtenant selon
Modèle:AlModèle:Transparent${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B_{\text{can}}\right\}}[𝒮(x)]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a-b\\ a+b\end{array}\right]$ soit $\left\{\begin{array}{c}{a}^{\prime }=a-b\\ b^{\prime }=a+b\end{array}\right\}$.

Matrice de la composée de deux applications linéaires, la 1^ère d'un espace vectoriel E de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel F de dimension m de base C et la 2^ème de l'espace vectoriel F de dimension m de base C dans un espace vectoriel G de dimension p de base D

Modèle:AlConsidérant trois $ℝ$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux $\bullet$un « 1^er $ℝ$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ avec choix d'une base $\left\{B\right\}={\{b_1,\cdots b_j,\cdots b_n\}}_{1⩽j⩽n}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$un « 2^nd $ℝ$-espace vectoriel $F$ de dimension $m$ avec choix d'une base $\left\{C\right\}={\{c_1,\cdots c_i,\cdots c_m\}}_{1⩽i⩽m}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$un « 3^ème $ℝ$-espace vectoriel $G$ de dimension $p$ avec choix d'une base $\left\{D\right\}={\{d_1,\cdots c_k,\cdots d_p\}}_{1⩽k⩽p}$»
Modèle:Alainsi que deux « applications linéaires $▸$$\phi$ de $E$ dans $F$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$$\psi$ de $F$ dans $G$».

Modèle:AlOn appelle « matrice composée de l'application linéaire$\psi \circ \phi$ du $ℝ$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ de base $\left\{B\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparentdans le $ℝ$-espace vectoriel $G$ de dimension $p$ de base $\left\{D\right\}$ avec,
Modèle:AlModèle:Transparentpour $ℝ$-espace vectoriel intermédiaire $F$ de dimension $m$ de base $\left\{C\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla « matrice de dimension $($ou taille$)$ $(p,n)$ notée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{D\right\}}(\psi \circ \phi )\in M_{p,n}\left(ℝ\right)$»
Modèle:AlModèle:Transparenttelle que «${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$ étant la matrice de l'application linéaire $\phi$ dans le couple de bases $(\left\{B\right\},\left\{C\right\})$» et
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\},\left\{D\right\}}\left(\psi \right)\in M_{p,m}\left(ℝ\right)$ Modèle:Transparentla matrice de l'application linéaire $\psi$ dans le couple de bases $(\left\{C\right\},\left\{D\right\})$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla « matrice composée de l'application linéaire $\psi \circ \phi$ dans le couple de bases $(\left\{B\right\},\left\{D\right\})$» se détermine par
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{ccccc}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{D\right\}}(\psi \circ \phi )& =& {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\},\left\{D\right\}}\left(\psi \right)& \times & {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\\ \in M_{p,n}\left(ℝ\right)& & \in M_{p,m}\left(ℝ\right)& & \in M_{m,n}\left(ℝ\right)\end{array}\right\}$».

Changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image

Modèle:AlConsidérant deux $ℝ$-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux $\bullet$un « 1^er $ℝ$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ avec deux bases distinctes
Modèle:AlModèle:Transparent$\left[\begin{array}{c}\left\{B\right\}={\{b_1,\cdots b_j,\cdots b_n\}}_{1⩽j⩽n}\\ \left\{B^{\prime }\right\}={\{{b^{\prime }}_1,\cdots {b^{\prime }}_j,\cdots {b^{\prime }}_n\}}_{1⩽j⩽n}\end{array}\right]$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$un « 2^nd $ℝ$-espace vectoriel $F$ de dimension $m$ avec deux bases distinctes
Modèle:AlModèle:Transparent$\left[\begin{array}{c}\left\{C\right\}={\{c_1,\cdots c_i,\cdots c_m\}}_{1⩽i⩽m}\\ \left\{C^{\prime }\right\}={\{{c^{\prime }}_1,\cdots {c^{\prime }}_i,\cdots {c^{\prime }}_m\}}_{1⩽i⩽m}\end{array}\right]$»
Modèle:AlModèle:Transparentet une « application linéaire $\phi$ de $E$ dans $F$» ainsi que les matrices de l'application linéaire $\phi$ dans différents couples de bases :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« la matrice ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$ de l'application linéaire $\phi$ dans le couple de bases $(\left\{B\right\},\left\{C\right\})$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« la matrice ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\},\left\{C^{\prime }\right\}}\left(\phi \right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$ de l'application linéaire $\phi$ dans le couple de bases $(\left\{B^{\prime }\right\},\left\{C^{\prime }\right\})$» ;

Modèle:Alon se propose de « déterminer la matrice ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\},\left\{C^{\prime }\right\}}\left(\phi \right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$» connaissant «${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent« les matrices de passage ${\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}\in M_n\left(ℝ\right)$ de la base $\left\{B\right\}$ à la base $\left\{B^{\prime }\right\}$ ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparent${\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}\in M_m\left(ℝ\right)$ de la base $\left\{C\right\}$ à la base $\left\{C^{\prime }\right\}$», c.-à-d. de
Modèle:AlModèle:Transparent« déterminer les conséquences sur la matrice de l'application linéaire $\phi$ du changement simultané de la base dans laquelle les vecteurs de $E$ sont repérés et
Modèle:AlModèle:Transparentde celle dans laquelle ceux de $F$ le sont » ; on établit :
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\},\left\{C^{\prime }\right\}}\left(\phi \right)={\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}^{-1}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\times {\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}$» Modèle:Aldans laquelle «${\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}^{-1}$ est la matrice inverse de ${\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}$» .

Modèle:AlModèle:TransparentJustification : Appliquant $\phi$ à tout «$x\in E$ repéré dans la base $\left\{B\right\}={\{b_1,\cdots b_j,\cdots b_n\}}_{1⩽j⩽n}$ par la matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\}}(x)$»
Modèle:AlModèle:Transparenton obtient «$\phi (x)\in F$ repéré dans la base $\left\{C\right\}={\{c_1,\cdots c_i,\cdots c_m\}}_{1⩽i⩽m}$ par la matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]$» et
Modèle:AlModèle:Transparentnotant «${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$ la matrice de l'application linéaire $\phi$ dans le couple de bases $(\left\{B\right\},\left\{C\right\})$», on en déduit
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]$ de celle ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\}}(x)$ par
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]={\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\}}(x)$»  ;
Modèle:AlModèle:Transparentnotant «${\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}\in M_n\left(ℝ\right)$ la matrice de passage de la base $\left\{B\right\}$ à la base $\left\{B^{\prime }\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\}}(x)$ de $x\in E$ dans $\left\{B\right\}$ est liée à
Modèle:AlModèle:Transparentcelle ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)$ de $x\in E$ dans $\left\{B^{\prime }\right\}$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\}}(x)={\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)$» $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]$ de $\phi (x)\in F$ dans $\left\{C\right\}$ se réécrit en fonction de
Modèle:AlModèle:Transparentcelle ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)$ de $x\in E$ dans $\left\{B^{\prime }\right\}$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]={\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\times \{{\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=\{{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\times {\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}\}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)$»
Modèle:AlModèle:Transparentpar utilisation de l'associativité de la multiplication matricielle  ;
Modèle:AlModèle:Transparentnotant «${\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}\in M_m\left(ℝ\right)$ la matrice de passage de la base $\left\{C\right\}$ à la base $\left\{C^{\prime }\right\}$» dont on déduit en inversant
Modèle:AlModèle:Transparent«${\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}^{-1}\in M_m\left(ℝ\right)$ la matrice de passage de la base $\left\{C^{\prime }\right\}$ à la base $\left\{C\right\}$» et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C^{\prime }\right\}}[\phi (x)]$ de $\phi (x)\in F$ dans $\left\{C^{\prime }\right\}$ se réécrit en fonction de
Modèle:AlModèle:Transparentcelle ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]$ de $\phi (x)\in F$ dans $\left\{C\right\}$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C^{\prime }\right\}}[\phi (x)]={\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}^{-1}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C\right\}}[\phi (x)]$» et finalement
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C^{\prime }\right\}}[\phi (x)]$ de $\phi (x)\in F$ dans $\left\{C^{\prime }\right\}$ se réécrit en fonction de
Modèle:AlModèle:Transparentcelle ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)$ de $x\in E$ dans $\left\{B^{\prime }\right\}$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C^{\prime }\right\}}[\phi (x)]={\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}^{-1}\times ⟨\{{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\times {\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}\}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)⟩$
Modèle:AlModèle:Transparent$=\{{\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}^{-1}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\times {\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}\}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)\left(𝔞\right)$»
Modèle:AlModèle:Transparentpar utilisation de l'associativité de la multiplication matricielle  ;
Modèle:AlModèle:Transparentpour terminer, notant «${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\},\left\{C^{\prime }\right\}}\left(\phi \right)\in M_{m,n}\left(ℝ\right)$ la matrice de l'application linéaire $\phi$ dans le couple de bases $(\left\{B^{\prime }\right\},\left\{C^{\prime }\right\})$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla matrice coordonnée ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C^{\prime }\right\}}[\phi (x)]$ de $\phi (x)\in F$ dans $\left\{C^{\prime }\right\}$ se déduit de
Modèle:AlModèle:Transparentcelle ${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)$ de $x\in E$ dans $\left\{B^{\prime }\right\}$ par
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{C^{\prime }\right\}}[\phi (x)]={\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\},\left\{C^{\prime }\right\}}\left(\phi \right)\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\}}(x)$» soit
Modèle:AlModèle:Transparentpar identification avec la relation $\left(𝔞\right)$, valable $\mathrm{\forall }x\in E$, «${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\},\left\{C^{\prime }\right\}}\left(\phi \right)={\left[Q\right]}_{\left\{C\right\}\to \left\{C^{\prime }\right\}}^{-1}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{C\right\}}\left(\phi \right)\times {\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}$» C.Q.F.D. .

Modèle:AlCas particulier : Soit «$\phi \in L(E)$ un endomorphisme du $ℝ$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ dans lequel on choisit deux bases distinctes $\left(\begin{array}{c}\left\{B\right\}={\{b_1,\cdots b_j,\cdots b_n\}}_{1⩽j⩽n}\\ \left\{B^{\prime }\right\}={\{{b^{\prime }}_1,\cdots {b^{\prime }}_j,\cdots {b^{\prime }}_n\}}_{1⩽j⩽n}\end{array}\right)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent«${\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}\in M_n\left(ℝ\right)$ la matrice de passage de la base $\left\{B\right\}$ à la base $\left\{B^{\prime }\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« les matrices de l'endomorphisme $\phi$ de $E$ dans chaque couple de bases $(\left\{B\right\},\left\{B\right\})$ et $(\left\{B^{\prime }\right\},\left\{B^{\prime }\right\})$» étant liées par
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B^{\prime }\right\},\left\{B^{\prime }\right\}}\left(\phi \right)={\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}^{-1}\times {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\left\{B\right\},\left\{B\right\}}\left(\phi \right)\times {\left[P\right]}_{\left\{B\right\}\to \left\{B^{\prime }\right\}}$»
Modèle:AlModèle:Transparentsont qualifiées de « matrices semblables »,
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$« deux matrices $(\left[A\right],\left[B\right])\in {\left\{M_n\left(ℝ\right)\right\}}^2$ sont semblables » ssi «$\mathrm{\exists }\left[P\right]\in M_n\left(ℝ\right)$ inversible » telle que
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left[A\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]$ $\iff$ $\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times {\left[P\right]}^{-1}$
Modèle:AlModèle:Transparent$\iff$ $\left[B\right]={\left[P\right]}^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]$»$\}$.