Théorie générale des nombres complexes/La forme algébrique des nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes

Remarques

• Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
• En tant qu'ensemble, $ℂ$ est donc ${ℝ}^2$. On a simplement décidé de noter $a+\mathrm{i}b$, au lieu de $(a,b)$, le couple des deux réels $a$ et $b$. En particulier :
  • le couple $(0,1)$ est noté $0+\mathrm{i}1$, ou plus simplement $\mathrm{i}$ ;
  • pour tout réel $a$, le couple $(a,0)$ est noté $a+\mathrm{i}0$, ou plus simplement $a$.

Addition et multiplication dans $ℂ$

Remarques

• En particulier, ${\mathrm{i}}^2=-1$. On vient donc de donner un fondement à l'usuelle pseudo-définition au niveau 13 du nombre i.
• La notation $a+\mathrm{i}b$ est compatible avec ces définitions car le nombre complexe correspondant au couple $(a,b)\in {ℝ}^2$ est bien la somme de celui correspondant à $(a,0)$ et du produit de ceux correspondant à $(0,1)$ et $(b,0)$. On peut également le noter $a+b\mathrm{i}$, car la multiplication dans $ℂ$ est commutative.

Remarque

De plus, $ℝ$ s'identifie à un sous-anneau de $ℂ$, ce qui fait également de $ℂ$ une $ℝ$-algèbre.

Conjugué et module d'un nombre complexe

Le produit de $x+\mathrm{i}y$ par son conjugué est le réel positif $x^2+y^2$. Sa racine carrée porte un nom :

Le corps des nombres complexes

Le module d'un nombre complexe non nul étant non nul, on en déduit : Modèle:Proposition

Nous avons montré que $(ℂ,+,\cdot )$ est un anneau commutatif unifère et que tout élément non nul de $ℂ$ est inversible, d'où la propriété suivante :