Anneau (mathématiques)/Définitions

Anneau

Un corps a donc toujours au moins deux éléments. L'inverse d'un élément non nul d'un corps est toujours un élément non nul. Les éléments non nuls d'un corps forment un groupe pour la multiplication.

Sous-anneau

Modèle:Définition Tout sous-anneau hérite d’une structure d'anneau.

Idéaux

Modèle:Définition Un anneau nul n'a donc ni idéal à gauche maximal ni idéal à droite maximal.

On vérifie facilement le fait suivant : Modèle:Théorème

Modèle:Théorème Démonstration facile, laissée au lecteur.

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Modèle:Théorème Démonstration. Puisque A est non nul, on peut faire J = 0 dans le théorème qui précède.

Anneau quotient

Soient A un anneau et J un idéal bilatère de A.

En particulier, A est un groupe additif abélien et J un sous-groupe de A. Puisque le groupe additif A est abélien, le groupe quotient A/J du groupe A par son sous-groupe J est défini. Rappelons que les éléments de ce groupe sont les classes relatives à la relation d'équivalence « x - y appartient à J » (relation d'équivalence en $x$ et $y$ dans A). Cette relation s'écrit aussi $x\equiv y(\mathrm{mod}J)$ (« x et y sont congrus modulo J »). Les classes d'équivalence sont les parties de A de la forme $x+J$, où $x$ parcourt A. Si X est une de ces classes et $x$ un élément quelconque de X, alors X est égal à $x+J.$ La loi du groupe quotient A/J peut se caractériser comme l'unique application de $A/J\times A/J$ dans $A/J$ qui, pour tous éléments $a,b$ de A, envoie le couple $(a+J,b+J)$ d'éléments de A/J sur l'élément $a+b+J$ de A/J. C'est une loi de groupe abélien, qu'on notera +, comme la loi additive de A.

Nous allons munir A/J d'une seconde loi de composition interne, qui, avec la première, en fera un anneau. Soient $a,a^{\prime },b,b^{\prime }$ des éléments de A tels que $a\equiv a^{\prime }(\mathrm{mod}J)$ et $b\equiv b^{\prime }(\mathrm{mod}J).$ Prouvons que $ab\equiv a^{\prime }{b}^{\prime }(\mathrm{mod}J).$ Nous avons $a-a^{\prime }\in J$, d'où, puisque J est un idéal à droite de A, $(a-a^{\prime })b\in J$, autrement dit

(1)$ab-a^{\prime }b\in J.$

D'autre part, nous avons $b-b^{\prime }\in J$, d'où, puisque J est un idéal à gauche de A, $a^{\prime }(b-b^{\prime })\in J$, autrement dit

(2)$a^{\prime }b-a^{\prime }{b}^{\prime }\in J.$

De (1) et (2) résulte

$(ab-a^{\prime }b)+(a^{\prime }b-a^{\prime }{b}^{\prime })\in J$, autrement dit

$ab-a^{\prime }{b}^{\prime }\in J$, ou encore

$ab\equiv a^{\prime }{b}^{\prime }(\mathrm{mod}J)$, comme annoncé.

Il en résulte que si X et Y sont des classes modulo J (autrement dit des éléments de A/J), il existe une et une seule classe Z modulo J telle que pour tout élément $x$ de X et tout élément $y$ de Y, Z soit la classe de $x+y.$ Cela revient à dire qu'il existe une et une seule application de $A/J\times A/J$ dans $A/J$ (autrement dit une et une seule loi de composition interne dans A/J) qui, pour tous éléments $a,b$ de A, applique le couple $(a+J,b+J)$ sur l'élément $ab+J$ de A/J. Si cette loi est notée $\star$, on a donc

(3)$(a+J)\star (b+J)=ab+J$ pour tous éléments $a,b$ de A.

Prouvons que la loi + qu'on a définie plus haut dans A/J et la loi $\star$ qu'on vient de définir font de A/J un anneau. De (3), on déduit facilement que la loi $\star$ est associative et admet $1+J$ pour neutre. Il reste à prouver les deux formules de distributivité de $\star$ par rapport à l'addition dans A/J.

Soient $a,b,c$ des éléments de A. Nous allons transformer l'expression

(4)$(a+J)\star ((b+J)+(c+J))$

(où le même symbole + est employé dans deux sens différents).

Par définition de l'addition dans A/J, cette expression peut s'écrire

$(a+J)\star (b+c+J)$

ou encore, par définition de $\star$,

$a(b+c)+J$

ou encore, d'après la distributivité dans l'anneau A,

$ab+ac+J$

ou encore, par définition de l'addition dans A/J,

$(ab+J)+(ac+J)$,

ou encore, par définition de $\star$

$((a+J)\star (b+J))+((a+J)\star (b+J))$,

La comparaison avec l'écriture (4) de cette expression donne

$(a+J)\star ((b+J)+(c+J))=((a+J)\star (b+J))+((a+J)\star (b+J)).$

C'est une des deux formules de distributivité de $\star$ par rapport à + dans A/J. L'autre formule de distributivité se démontre de façon semblable, donc les lois + et $\star$ font bien de A/J un anneau.

Modèle:Définition On vérifie facilement que si A est un anneau et J un idéal bilatère de A, l'application $A\to A/J:a\mapsto a+J$ est un homomorphisme surjectif de l'anneau A sur l'anneau A/J. Cet homomorphisme est appelé l'homomorphisme canonique de A sur A/J.

Anneau intègre

Remarque

La première condition équivaut à $1_A\ne 0_A$, et la seconde à : pour tout élément non nul $a$ de l'anneau, la multiplication par $a$ (qui est un endomorphisme du groupe $(A,+)$) est injective.