Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les torseurs

Notion d'équiprojectivité d'un champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel

Espace affine euclidien tridimensionnel

Modèle:AlUn espace tridimensionnel $ℰ$ est dit $\bullet$affine si on peut y définir le parallélisme ainsi que la notion de barycentre et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$euclidien si la « direction de l'espace affine » est un espace $ℝ-$vectoriel dans lequel on définit
Modèle:AlModèle:Transparentun produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine et
Modèle:AlModèle:Transparentl'angle entre deux bipoints .

Champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel

Modèle:AlUn champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sa définition est rappelée ci-dessous : Modèle:Définition

Notion de torseur

Domaine pratique d'utilisation de torseurs

Modèle:AlLes torseurs sont essentiellement utilisés en mécanique $($et plus particulièrement en mécanique du solide$)$, ils servent à modéliser des champs de vecteurs possédant des propriétés particulières comme

• le champ de vitesses d'un solide défini en chacun des points de ce dernier $[$les propriétés particulières traduisant le fait que la distance entre deux points quelconques du solide reste constante$]$ ou
• le champ de moments de forces de même source appliquées en chacun des points d'un solide $[$ici encore les propriétés particulières traduisent le fait que les points d'application des forces restent à une distance constante les uns des autres$]$ ou
• $\dots$

Définition d'un torseur

Modèle:Définition Modèle:AlAppellation : $𝒯(M)$ où $M\in ℰ$ est appelé « moment du torseur $𝒯$ au point $M$», c'est donc un élément de $𝒱$ $[$direction de $ℰ]$,
Modèle:AlModèle:Transparentle torseur $𝒯$ étant une application de $ℰ$ dans $𝒱$ $[$direction de $ℰ]$.

Propriétés d'un torseur

Notion de résultante d'un torseur

Modèle:Théorème Modèle:AlRemarque : D'après la relation de Varignon , on constate que $\overrightarrow{R}$ d'une part et $\{𝒯(M),𝒯(N)\}$ d'autre part ne se comportent pas de la même façon lors d'un changement d'orientation de $ℰ$,
Modèle:AlModèle:Transparentil y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de $\overrightarrow{R}$ et de $\overrightarrow{MN}$ $[\overrightarrow{MN}$, par construction, ne dépendant pas de l'orientation de l'espace
Modèle:AlModèle:Transparentest nécessairement un vecteur polaire $($ou vrai vecteur$)$$]$ :
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$le 1^er type de torseur correspondant à $\overrightarrow{R}$ ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine $\Rightarrow$ $\overrightarrow{R}$ est un vecteur polaire
Modèle:AlModèle:Transparent$($ou vrai vecteur$)$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$$\{\overrightarrow{R},\overrightarrow{MN}\}$ étant des vecteurs polaires $($ou vrais vecteurs$)$,
Modèle:AlModèle:Transparent$($c.-à-d. indépendants de l'orientation de l'espace affine$)$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{MN}$ est un vecteur axial $($ou pseudo-vecteur$)$ car la multiplication vectorielle
Modèle:AlModèle:Transparentdépend de l'orientation de l'espace affine et
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$$\{𝒯(M),𝒯(N)\}$ $[$comme $\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{MN}]$ sont des vecteurs axiaux $($ou pseudo-vecteurs$)$ car
Modèle:AlModèle:Transparentdépendants de l'orientation de l'espace affine,
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$le 2^ème type de torseur correspondant à $\overrightarrow{R}$ dépendant de l'orientation de l'espace affine $\Rightarrow$ $\overrightarrow{R}$ est un vecteur axial
Modèle:AlModèle:Transparent$($ou pseudo-vecteur$)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentcomme $\overrightarrow{MN}$ est un vecteur polaire $($ou vrai vecteur$)$ on en déduit que,
Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{MN}$ est un vecteur polaire $($ou vrai vecteur$)$ car la multiplication
Modèle:AlModèle:Transparentvectorielle dépend de l'orientation de l'espace affine, en résumé :
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$$\{𝒯(M),𝒯(N)\}$ $[$comme $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{MN}]$ sont des vecteurs polaires
Modèle:AlModèle:Transparent$($ou vrais vecteurs$)$ car
Modèle:AlModèle:Transparentindépendants de l'orientation de l'espace et
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$$\overrightarrow{R}$ est un vecteur axial $($ou pseudo-vecteur$)$, dépendant de l'orientation de l'espace affine.

Réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini

Modèle:AlUn torseur $𝒯$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $ℰ$ est déterminé par un couple de deux vecteurs $\in$ chacun à $𝒱$ $[$direction de $ℰ]$ ;
Modèle:Alon distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante $\overrightarrow{R}$ est un vecteur polaire $($ou vrai vecteur$)$ ou
Modèle:AlModèle:Transparentun vecteur axial $($ou pseudo-vecteur$)$ :

Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)

Modèle:AlCas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$($ou vrai vecteur$)$ : le torseur $𝒯$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $ℰ$
Modèle:AlModèle:Transparentétant déterminé par un couple de deux vecteurs $\{\overrightarrow{R},{\overrightarrow{ℳ}}_A\}\in {𝒱}^2$ $[𝒱$ étant la direction de $ℰ]$,
Modèle:AlModèle:Transparenton distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$un 1^er vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{R}$ indépendant du point $A$ en lequel $𝒯$ est appliqué et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$un 2^nd pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ ${\overrightarrow{ℳ}}_A$ dépendant a priori du point $A$ où $𝒯$ est appliqué ;
Modèle:AlModèle:Transparentce couple d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur $(\overrightarrow{R},{\overrightarrow{ℳ}}_A)\in {𝒱}^2$
Modèle:AlModèle:Transparentconstitue « la réduction du torseur$𝒯$au point$A\in ℰ$ »,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le 1^er vecteur « polaire » $\overrightarrow{R}$ étant la résultante du torseur et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le 2^nd vecteur « axial » ${\overrightarrow{ℳ}}_A$ le moment du torseur au point$A$,
Modèle:AlModèle:Transparentcette réduction du torseur $𝒯$ en $A\in ℰ$ s'écrivant symboliquement $𝒯={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A\end{array}\right\}}_A$Modèle:, .

Modèle:AlRemarques : D'après la note « ²⁴ », l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six,
Modèle:AlModèle:Transparentil est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée $\{{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z,{\overrightarrow{u}}_l,{\overrightarrow{u}}_m,{\overrightarrow{u}}_n\}$ de cet espace vectoriel de dimension six,
Modèle:AlModèle:Transparentpar les six composantes de sa réduction en un point $A$ quelconque de $ℰ$,
Modèle:AlModèle:Transparentces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes de la réduction du torseur au point$A\in ℰ$ soit,
Modèle:AlModèle:Transparentavec $\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R}& =& X{\overrightarrow{u}}_x+Y{\overrightarrow{u}}_y+Z{\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A& =& L_A{\overrightarrow{u}}_l+M_A{\overrightarrow{u}}_m+N_A{\overrightarrow{u}}_m\end{array}\right\}$Modèle:, , il est possible de réécrire la réduction du torseur $𝒯$ au point $A\in ℰ$ par
Modèle:AlModèle:Transparentses coordonnées plückeriennes $𝒯={\left\{\begin{array}{cc}X& L_A\\ Y& M_A\\ Z& N_A\end{array}\right\}}_{A,\left(\begin{array}{cc}{\overrightarrow{u}}_x& {\overrightarrow{u}}_l\\ {\overrightarrow{u}}_y& {\overrightarrow{u}}_m\\ {\overrightarrow{u}}_z& {\overrightarrow{u}}_n\end{array}\right)}$.

Modèle:AlModèle:TransparentD'après la relation de Varignon , la connaissance de « la réduction du torseur $𝒯$ en un point quelconque $A\in ℰ$ » permet de déduire le torseur en n'importe quel point $P\in ℰ$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_P={\overrightarrow{ℳ}}_A+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{AM}$Modèle:, .

Modèle:AlExemples : $\bullet$les torseurs statiques, voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, la résultante étant appelée résultante dynamique notée ${\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentle moment résultant en $A$ appelé moment résultant dynamique en $A$, noté ${\overrightarrow{ℳ}}_{A,\text{ext}}$ ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $ℛ$ fixé, voir le paragraphe « torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre,
Modèle:AlModèle:Transparentla résultante étant appelée résultante cinétique, notée ${\overrightarrow{P}}_{/ℛ}(t)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentle moment résultant en $A$ appelé moment cinétique résultant en $A$, noté ${\overrightarrow{\sigma }}_{A/ℛ}(t)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla relation de Varignon s'écrivant en $P$ selon ${\overrightarrow{\sigma }}_{P/ℛ}(t)={\overrightarrow{\sigma }}_{A/ℛ}(t)+{\overrightarrow{P}}_{/ℛ}(t)\wedge \overrightarrow{AP}(t)$ ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $ℛ$ fixé, voir le paragraphe « torseur dynamique » plus loin dans ce chapitre,
Modèle:AlModèle:Transparentla résultante étant appelée, par certains, quantité d'accélération Modèle:, , notée ${\left(\frac{d{\overrightarrow{P}}_{/ℛ}}{dt}\right)}_{ℛ}(t)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentle moment résultant en $A$ $($fixe dans $ℛ)$, appelé moment résultant du torseur dynamique en $A$,
Modèle:AlModèle:Transparentnoté ${\left(\frac{d{\overrightarrow{\sigma }}_{A/ℛ}}{dt}\right)}_{ℛ}(t)$Modèle:, ,
Modèle:AlModèle:Transparentla relation de Varignon s'écrivant en $P$ $($fixe dans $ℛ)$, $(A$ étant aussi fixe dans $ℛ)$, selon
Modèle:AlModèle:Transparent$\frac{d{\overrightarrow{\sigma }}_{P/ℛ}}{dt}(t)=\frac{d{\overrightarrow{\sigma }}_{A/ℛ}}{dt}(t)+\frac{d{\overrightarrow{P}}_{/ℛ}}{dt}(t)\wedge \overrightarrow{AP}(t)$.

Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur)

Modèle:AlCas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$($ou pseudo-vecteur$)$ : le torseur $𝒯$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $ℰ$
Modèle:AlModèle:Transparentétant déterminé par un couple de deux vecteurs $\{\overrightarrow{R},{\overrightarrow{ℳ}}_A\}\in {𝒱}^2$ $[𝒱$ étant la direction de $ℰ]$,
Modèle:AlModèle:Transparenton distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$un 1^er pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{R}$ indépendant du point $A$ en lequel $𝒯$ est appliqué et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$un 2^nd vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ ${\overrightarrow{ℳ}}_A$ dépendant a priori du point $A$ où $𝒯$ est appliqué ;
Modèle:AlModèle:Transparentce couple d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur $(\overrightarrow{R},{\overrightarrow{ℳ}}_A)\in {𝒱}^2$
Modèle:AlModèle:Transparentconstitue « la réduction du torseur$𝒯$au point$A\in ℰ$ »,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le 1^er vecteur « axial » $\overrightarrow{R}$ étant la résultante du torseur et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le 2^nd vecteur « polaire » ${\overrightarrow{ℳ}}_A$ le moment du torseur au point$A$,
Modèle:AlModèle:Transparentcette réduction du torseur $𝒯$ en $A\in ℰ$ s'écrivant symboliquement $𝒯={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A\end{array}\right\}}_A$Modèle:, .

Modèle:AlRemarques : D'après la note « ²⁴ », l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six,
Modèle:AlModèle:Transparentil est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée $\{{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z,{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z\}$ de cet espace vectoriel de dimension six,
Modèle:AlModèle:Transparentpar les six composantes de sa réduction en un point $A$ quelconque de $ℰ$,
Modèle:AlModèle:Transparentces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes de la réduction du torseur au point$A\in ℰ$ soit,
Modèle:AlModèle:Transparentavec $\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R}& =& X{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x+Y{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y+Z{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A& =& L_A{\overrightarrow{u}}_x+M_A{\overrightarrow{u}}_y+N_A{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$Modèle:, , il est possible de réécrire la réduction du torseur $𝒯$ au point $A\in ℰ$ par
Modèle:AlModèle:Transparentses coordonnées plückeriennes $𝒯={\left\{\begin{array}{cc}X& L_A\\ Y& M_A\\ Z& N_A\end{array}\right\}}_{A,\left(\begin{array}{cc}{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x& {\overrightarrow{u}}_x\\ {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y& {\overrightarrow{u}}_y\\ {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z& {\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right)}$.

Modèle:AlModèle:TransparentD'après la relation de Varignon , la connaissance de « la réduction du torseur $𝒯$ en un point quelconque $A\in ℰ$ » permet de déduire le torseur en n'importe quel point $P\in ℰ$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_P={\overrightarrow{ℳ}}_A+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{AM}$Modèle:, .

Modèle:AlExemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $ℛ$ fixé, voir le paragraphe « torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre,
Modèle:AlModèle:Transparentla résultante étant appelée vecteur rotation instantanée notée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$,
Modèle:AlModèle:Transparentle moment résultant en un point $A$ du solide étant appelé vecteur vitesse de $A$ dans le référentiel $ℛ$,
Modèle:AlModèle:Transparentnoté ${\overrightarrow{V}}_{A/ℛ}(t)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla relation de Varignon s'écrivant en $P$, point du solide, selon ${\overrightarrow{V}}_{P/ℛ}(t)={\overrightarrow{V}}_{A/ℛ}(t)+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\wedge \overrightarrow{AP}(t)$

Diverses opérations sur les torseurs

Égalité de torseurs

Modèle:AlDeux torseurs ${𝒯}_1$ et ${𝒯}_2$ sont égaux ssi leurs éléments de réduction au même point $A$ sont égaux soit «${𝒯}_1={𝒯}_2$ $\iff$ ${\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1={\overrightarrow{R}}_2\\ {\overrightarrow{{ℳ}_1}}_A={\overrightarrow{{ℳ}_2}}_A\end{array}\right\}}_A$».

Somme de deux torseurs

Modèle:AlLa somme de deux torseurs

${𝒯}_1$

et

${𝒯}_2$

est le torseur dont les éléments de réduction en un point

$A$

sont la somme des éléments de réduction de chacun des torseurs au même point

$A$

soit

«$𝒯={𝒯}_1+{𝒯}_2$ $\iff$ ${\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R}& =& {\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A& =& {\overrightarrow{{ℳ}_1}}_A+{\overrightarrow{{ℳ}_2}}_A\end{array}\right\}}_A$».

Multiplication d'un torseur par un scalaire

Modèle:AlSoit

$𝒯$

un torseur quelconque,

$\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$

, le torseur

$\lambda \times 𝒯$

est le torseur dont les éléments de réduction en un point

$A$

sont

$\lambda$

fois les éléments de réduction du torseur au même point

$A$

soit

«${𝒯}_{(\times \lambda )}=\lambda \times 𝒯$ $\iff$ ${\left\{\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{R}}_{(\times \lambda )}& =& \lambda \times \overrightarrow{R}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{(\times \lambda {)}_A}& =& \lambda \times {\overrightarrow{ℳ}}_A\end{array}\right\}}_A$».

Nullité d'un torseur

Modèle:AlUn torseur $𝒯$ est nul ssi ses éléments de réduction en un point $A$ sont tous deux nuls soit «$𝒯=0$ $\iff$ ${\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R}& =& \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A& =& \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_A$» .

Invariants d'un torseur

Modèle:Définition Modèle:AlCe sont : $\bullet$la résultante$\overrightarrow{R}$ du torseur $𝒯$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la projection du moment ${\overrightarrow{ℳ}}_P,\mathrm{\forall }P\in ℰ$ du torseur $𝒯$ sur sa résultante $\overrightarrow{R}$ soit «${\overrightarrow{ℳ}}_P\cdot \overrightarrow{R},\mathrm{\forall }P\in ℰ$» appelée « invariant scalaire du torseur »
Modèle:AlModèle:Transparent$[$se démontre d'après la relation de Varignon  : $\mathrm{\forall }(P,Q)\in {ℰ}^2,{\overrightarrow{ℳ}}_Q={\overrightarrow{ℳ}}_P+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_Q\cdot \overrightarrow{R}={\overrightarrow{ℳ}}_P\cdot \overrightarrow{R}\cancel{+[\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}]\cdot \overrightarrow{R}}$$]$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la relation d'équiprojectivité «$\mathrm{\forall }(P,Q)\in {ℰ}^2,{\overrightarrow{ℳ}}_P\cdot \overrightarrow{PQ}={\overrightarrow{ℳ}}_Q\cdot \overrightarrow{PQ}$» $[$contenu dans la définition d'un torseur $]$.

Notion d'axe central d'un torseur

Propriétés du torseur sur son axe central

Modèle:AlSi la résultante $\overrightarrow{R}$ du torseur $𝒯$ est $\ne \overrightarrow{0}$, $\bullet$son axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ est une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$ et dans la mesure où on admet l'existence d'un point central $A$
Modèle:AlModèle:Transparentc'est la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$ issue de $A$ en effet,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$d'après la relation de Varignon on peut écrire $\mathrm{\forall }(P,Q\ne P)\in {ℰ}^2,{\overrightarrow{ℳ}}_Q={\overrightarrow{ℳ}}_P+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}$ dont on déduit
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_Q\wedge \overrightarrow{R}={\overrightarrow{ℳ}}_P\wedge \overrightarrow{R}+[\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}]\wedge \overrightarrow{R}$ ou, en utilisant une formule du double produit vectoriel
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_Q\wedge \overrightarrow{R}={\overrightarrow{ℳ}}_P\wedge \overrightarrow{R}-[\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{R}]\overrightarrow{R}+{\overrightarrow{R}}^2\overrightarrow{PQ}$ et par suite, $\mathrm{\forall }(P,Q\ne P)\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$, $\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{ℳ}}_Q\wedge \overrightarrow{R}=\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_P\wedge \overrightarrow{R}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent$\cancel{{\overrightarrow{ℳ}}_Q\wedge \overrightarrow{R}}=\cancel{{\overrightarrow{ℳ}}_P\wedge \overrightarrow{R}}-[\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{R}]\overrightarrow{R}+{\overrightarrow{R}}^2\overrightarrow{PQ}$ avec $\overrightarrow{PQ}\ne \overrightarrow{0}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{PQ}=\frac{\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{R}}{{\overrightarrow{R}}^2}\overrightarrow{R}$ établissant la propriété directe
Modèle:AlModèle:Transparent« si $(P,Q\ne P)\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$, alors ils sont sur une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$» ou encore
Modèle:AlModèle:Transparentl'« ensemble des points centraux du torseur $𝒯$ est $\subset$ dans la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$ passant par $A$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$réciproquement, si $\overrightarrow{AQ}=\lambda \overrightarrow{R},\mathrm{\forall }\lambda \in {ℝ}^{*}$ avec $A$ point central dont l'existence est admise,
Modèle:AlModèle:Transparentla relation de Varignon donne ${\overrightarrow{ℳ}}_Q={\overrightarrow{ℳ}}_A\cancel{+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{AQ}}$ $\Rightarrow$ ${\overrightarrow{ℳ}}_Q\wedge \overrightarrow{R}={\overrightarrow{ℳ}}_A\wedge \overrightarrow{R}$ et par suite,
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_A\wedge \overrightarrow{R}=\overrightarrow{0}$ $(A$ point central de $𝒯)$ $\Rightarrow$ ${\overrightarrow{ℳ}}_Q\wedge \overrightarrow{R}=\overrightarrow{0}$ c.-à-d. $Q$ est un point central de $𝒯$,
Modèle:AlModèle:Transparentd'où l'« ensemble des points de la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$ passant par $A$ est $\subset$ dans l'axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentfinalement « la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$ issue du point central $A$ $($existence admise$)$ est l'axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ du torseur $𝒯$» ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le moment du torseur$𝒯$est le même en tout point de l'axe central${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ en effet, ${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ étant une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$
Modèle:AlModèle:Transparentdans la mesure où on admet l'existence d'un point central $A$,
Modèle:AlModèle:Transparentla relation de Varignon nous donne ${\overrightarrow{ℳ}}_Q={\overrightarrow{ℳ}}_P\cancel{+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}},\mathrm{\forall }(P,Q\ne P)\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ C.Q.F.D.  ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la norme du moment du torseur$𝒯$est minimale sur son axe central${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ en effet, ${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ étant une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$
Modèle:AlModèle:Transparentdans la mesure où on admet l'existence d'un point central $A$,
Modèle:AlModèle:Transparentla relation de Varignon nous donne ${\overrightarrow{ℳ}}_Q={\overrightarrow{ℳ}}_P+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}$ avec $P\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$, $\mathrm{\forall }Q\notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$,
Modèle:AlModèle:Transparentoù ${\overrightarrow{ℳ}}_P$ est $\parallel$ à $\overrightarrow{R}$ et $\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}$ $\perp$ à $\overrightarrow{R}$ donc à ${\overrightarrow{ℳ}}_P$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_Q{\Vert }^2=\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_P{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}{\Vert }^2\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\forall }Q& \notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}\\ P& \in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}\end{array}\right\}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent$\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_Q{\Vert }^2>\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_P{\Vert }^2$ car $\Vert \overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{PQ}{\Vert }^2\ne 0$ pour $\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\forall }Q& \notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}\\ P& \in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}\end{array}\right\}$,
Modèle:AlModèle:Transparentvrai $\mathrm{\forall }P\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$, le moment du torseur $𝒯$
Modèle:AlModèle:Transparentétant constant sur son axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent$\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_Q{\Vert }^2>\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_P{\Vert }^2,\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\forall }Q& \notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}\\ \mathrm{\forall }P& \in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}\end{array}\right\}$ C.Q.F.D. .

Torseurs particuliers et décomposition centrale d'un torseur quelconque

Torseur nul

Modèle:AlLe torseur nul $𝒩$ est le torseur dont les éléments de réduction en un point quelconque $P\in ℰ$ sont nuls soit $𝒩={\left\{\begin{array}{cc}\overrightarrow{R}& =\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_P& =\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_P$.

Torseur couple

Définition d'un torseur couple

Modèle:AlUn torseur couple $𝒞$ est un torseur pour lequel les éléments de réduction en n'importe quel point $P\in ℰ$ se réduisent à son moment non nul ${\overrightarrow{ℳ}}_P$ soit $\mathrm{\forall }P\in ℰ,𝒞={\left\{\begin{array}{cc}\overrightarrow{R}& =\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_P& \ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_P$.

Propriétés d'un torseur couple

• « Le moment d'un torseur couple$𝒞$est constant en tout point$P\in ℰ$» en effet la relation de Varignon appliquée à $𝒞$ en $\mathrm{\forall }(P,Q\ne P)\in {ℰ}^2$ $\Rightarrow$ ${\overrightarrow{ℳ}}_Q={\overrightarrow{ℳ}}_P\cancel{+\overrightarrow{0}\wedge \overrightarrow{PQ}}$ soit
  Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_P=\overrightarrow{\text{cste}}\mathrm{\forall }P\in ℰ$
  Modèle:Transparent$[$une conséquence est qu'il est inutile de préciser en quel point les éléments de réduction du couple sont évalués,
  Modèle:Transparentainsi le moment du couple $𝒞$ sera-t-il simplement noté $ℳ$ sans ajouter ${}_P$ en indice précisant le point $P$ où il est évalué$]$ ;
• un torseur couple$𝒞$n'a pas d'axe central$\nexists {\mathrm{\Delta }}_{𝒞}$, en effet l'existence d'un point central pour un torseur couple impliquerait qu'en ce point le moment du couple soit nul puisque colinéaire à sa résultante $\overrightarrow{0}$,
  Modèle:AlModèle:Transparentce qui est impossible, le moment d'un torseur couple étant constant $\ne \overrightarrow{0}$.

Somme de deux couples

• La somme de deux couples${𝒞}_1$et${𝒞}_2$est un couple si leurs moments${ℳ}_1$et${ℳ}_2$ne sont pas opposés, en effet $\mathrm{\forall }P\in ℰ$, les éléments de réduction de chacun des couples étant
  Modèle:Transparent${𝒞}_1={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1=\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_1\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_P$ et ${𝒞}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2=\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_2\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_P$,
  Modèle:Transparenton en déduit ceux de la somme des deux couples au même point $P$
  Modèle:Transparent${𝒞}_1+{𝒞}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2=\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_1+{\overrightarrow{ℳ}}_2\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_P$ assurant que
  Modèle:Transparentcette somme est un couple de moment ${\overrightarrow{ℳ}}_1+{\overrightarrow{ℳ}}_2$ ;

• si les moments des deux couples${𝒞}_1$et${𝒞}_2$sont opposés, la somme de ces deux couples${𝒞}_1+{𝒞}_2$est le torseur nul$𝒩$.

Torseur glisseur

Définition d'un torseur glisseur

Modèle:AlUn torseur glisseur $𝒢$ est un torseur pour lequel il existe un point particulier $A\in ℰ$ en lequel les éléments de réduction non nuls se réduisent à sa résultante $\overrightarrow{R}$, son moment en $A$ étant nul, c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{\exists }A\in ℰ,𝒢={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_A$.

Propriétés d'un torseur glisseur

• « Le moment d'un torseur glisseur$𝒢$est nul en tout point de son axe central${\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$» en effet le point particulier $A\in ℰ$ est un point de ${\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$ c.-à-d. un point central du glisseur $𝒢$,
  Modèle:Transparent$[$de ${\overrightarrow{ℳ}}_A=\overrightarrow{0}$ on tire ${\overrightarrow{ℳ}}_A\wedge \overrightarrow{R}=\overrightarrow{0}$ soit ${\overrightarrow{ℳ}}_A=\lambda \overrightarrow{R}$ avec $\lambda =0$ c.-à-d. une 1^ère justification ou
  Modèle:Transparentl'axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$ étant le lieu à $\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_P\Vert$ minimale , ${\overrightarrow{ℳ}}_A=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow$ $\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_A\Vert$ minimale d'où $A\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$
  Modèle:AlModèle:Transparentc.-à-d. une 2^ème justification$]$ et
  Modèle:AlModèle:Transparentle moment du torseur $𝒢$ en tout point de son axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$ étant le même est égal à celui de $A$ d'où
  Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{\forall }P\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$, ${\overrightarrow{ℳ}}_P=\overrightarrow{0}$ C.Q.F.D.  ;
• l'axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$ d'un torseur glisseur $𝒢$ est encore appelé support du glisseur ;
• en tout point $Q\notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$ les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls c.-à-d. $\mathrm{\forall }Q\notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒢},𝒢={\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R}& & \ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_Q& =\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{AQ}& \ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_Q$, en effet
  Modèle:Transparentle moment du glisseur $𝒢$ en $Q\notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$ s'obtient par relation de Varignon à partir de $A\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒢}$ soit
  Modèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_Q=\cancel{{\overrightarrow{ℳ}}_A+}\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{AQ}\ne \overrightarrow{0}$ car $\overrightarrow{AQ}$ non colinéaire à $\overrightarrow{R}$ C.Q.F.D. .

Autres caractérisations d'un torseur glisseur

• Un torseur$𝒯$dont les éléments de réduction en un point$B\in ℰ$sont non nuls et$\perp$ soit $𝒯={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_B\left[\begin{array}{c}\ne \overrightarrow{0}\\ \perp \text{à}\overrightarrow{R}\end{array}\right]\end{array}\right\}}_B$
  Modèle:AlModèle:Transparentest un glisseur en effet, appliquant la relation de Varignon en $P$ a priori quelconque $\in ℰ$ à partir de $B$ $\Rightarrow$
  Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_P={\overrightarrow{ℳ}}_B+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{BP}$ avec ${\overrightarrow{ℳ}}_B$ et $\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{BP}$ tous deux $\perp$ à $\overrightarrow{R}$, permettant de
  Modèle:AlModèle:Transparentchoisir $P_0\in ℰ$ vérifiant ${\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}=\overrightarrow{0}$ c.-à-d. $\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{B{P}_0}=-{\overrightarrow{ℳ}}_B$ $\Rightarrow$
  Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$$\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{B{P}_0}$ et ${\overrightarrow{ℳ}}_B$ colinéaires $\iff$ $(\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{B{P}_0})\wedge {\overrightarrow{ℳ}}_B=\overrightarrow{0}$ ou,
  Modèle:AlModèle:Transparenten utilisant une des formules du double produit vectoriel on obtient
  Modèle:AlModèle:Transparent$-(\overrightarrow{B{P}_0}\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_B)\overrightarrow{R}\cancel{+(\overrightarrow{R}\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_B)\overrightarrow{B{P}_0}}=\overrightarrow{0}$ c.-à-d.
  Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{B{P}_0}\subset$ dans le plan $\perp$ à ${\overrightarrow{ℳ}}_B$ en $B$ $($C.N. non S. $)$ avec
  Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$choix supplémentaire de $\overrightarrow{B{P}_0}\subset$ dans le plan $\perp$ à $\overrightarrow{R}$ en $B$ soit
  Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{B{P}_0}\subset$ dans le plan $\perp$ à $(\overrightarrow{R},{\overrightarrow{ℳ}}_B)$ en $B$ $\Rightarrow$ le trièdre
  Modèle:AlModèle:Transparent$(\overrightarrow{R},{\overrightarrow{ℳ}}_B,\overrightarrow{B{P}_0})$ est orthogonal ou, avec $\overrightarrow{B{P}_0}\wedge \overrightarrow{R}={\overrightarrow{ℳ}}_B$,
  Modèle:AlModèle:Transparent$(\overrightarrow{R},{\overrightarrow{ℳ}}_B,\overrightarrow{B{P}_0})$ orthogonal direct dans $ℰ$ orienté à droite ,
  Modèle:AlModèle:Transparent$\Rightarrow$ sens de $\overrightarrow{B{P}_0}$ déterminé par la règle de la main droite , finalement
  Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$la condition $\overrightarrow{B{P}_0}\wedge \overrightarrow{R}={\overrightarrow{ℳ}}_B$ $\Rightarrow$ $\Vert \overrightarrow{B{P}_0}\wedge \overrightarrow{R}\Vert =\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_B\Vert$ ou,
  Modèle:AlModèle:Transparent$\Vert \overrightarrow{B{P}_0}\Vert \Vert \overrightarrow{R}\Vert |\sin \widehat{\left(\overrightarrow{B{P}_0}\overrightarrow{R}\right)}|=\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_B\Vert$ soit, avec $\overrightarrow{B{P}_0}$ $\perp$ à $\overrightarrow{R}$,
  Modèle:AlModèle:Transparent$\Vert \overrightarrow{B{P}_0}\Vert \Vert \overrightarrow{R}\Vert =\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_B\Vert$ $\Rightarrow$ $\Vert \overrightarrow{B{P}_0}\Vert =\frac{\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_B\Vert }{\Vert \overrightarrow{R}\Vert }$ C.Q.F.D. Modèle:, d'où
  Modèle:AlModèle:Transparentla déduction que le torseur $𝒯$ est un glisseur de support passant par ce point particulier $P_0$.
• Un torseur$𝒯$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi son invariant scalaire est nul soit
  Modèle:Transparent«${\overrightarrow{ℳ}}_P\cdot \overrightarrow{R}=0,\mathrm{\forall }P\in ℰ$» en effet $\succ$si $𝒯$ est un glisseur et si $P\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ $[$son axe central$]$, ${\overrightarrow{ℳ}}_P=\overrightarrow{0}$ dont on déduit
  Modèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_P\cdot \overrightarrow{R}=0,\mathrm{\forall }P\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ alors que
  Modèle:Transparentsi $P\notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$, ${\overrightarrow{ℳ}}_P\ne \overrightarrow{0}$ est $\perp$ à $\overrightarrow{R}$ dont on déduit
  Modèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_P\cdot \overrightarrow{R}=0,\mathrm{\forall }P\notin {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ d'où la proposition directe ;
  Modèle:Transparent$\succ$si ${\overrightarrow{ℳ}}_P\cdot \overrightarrow{R}=0,\mathrm{\forall }P\in ℰ$ $(\overrightarrow{R}$ étant $\ne \overrightarrow{0})$, deux hypothèses peuvent être conjecturées :
  Modèle:Transparent$\bullet$il existe des points $P_0$ en lesquels ${\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow$
  Modèle:Transparentle torseur $𝒯$ est un glisseur par définition ou
  Modèle:Transparent$\bullet$il n'existe aucun point $P$ en lesquels ${\overrightarrow{ℳ}}_P=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow$
  Modèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_P(\ne \overrightarrow{0})\perp \overrightarrow{R}$ $\mathrm{\forall }P\in ℰ$, parmi ces points,
  Modèle:Transparenton choisit un $P_0$ et d'autres $Q$ tels que
  Modèle:Transparent$\overrightarrow{P_{0}Q}$ soit $\perp$ à $\overrightarrow{R}$ et ${\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}$,
  Modèle:Transparentla relation de Varignon en $Q$ à partir de $P_0$ $\Rightarrow$
  Modèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_Q={\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}+\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{P_{0}Q}$ dans laquelle
  Modèle:Transparent$(\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{P_{0}Q})\parallel {\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}$ et donc $\parallel {\overrightarrow{ℳ}}_Q$ d'où,
  Modèle:Transparentselon les sens comparés de $\overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{P_{0}Q}$ et ${\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}$,
  Modèle:Transparent$\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_Q\Vert =|\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}\Vert \pm \Vert \overrightarrow{R}\wedge \overrightarrow{P_{0}Q}\Vert |$ ou encore
  Modèle:Transparent$\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_Q\Vert =|\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}\Vert \pm \Vert \overrightarrow{R}\Vert \Vert \overrightarrow{P_{0}Q}\Vert |$ d'où
  Modèle:Transparentexistence de $Q_0$ tel que $\Vert {\overrightarrow{ℳ}}_{Q_0}\Vert =0$ ou ${\overrightarrow{ℳ}}_{Q_0}=\overrightarrow{0}$,
  Modèle:Transparentlaquelle, étant contraire à l'hypothèse initiale , prouve que
  Modèle:Transparentil existe des points $P_0$ en lesquels ${\overrightarrow{ℳ}}_{P_0}=\overrightarrow{0}$ et par suite
  Modèle:Transparentle torseur $𝒯$, par définition , est un glisseur
  Modèle:Transparentd'où la proposition réciproque.

Somme de deux glisseurs

• La somme de deux glisseurs${𝒢}_1$et${𝒢}_2$est un glisseur$\succ$si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$sont concourants soit ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}\cap {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}\ne \mathrm{\varnothing }$, plus précisément
  Modèle:Transparentsi ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}\cap {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}=\{P_0\}$ en effet, en $P_0$, les éléments de réduction des glisseurs étant ${𝒢}_1={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,P_0}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{P_0}$, ${𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,P_0}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{P_0}$,
  Modèle:AlModèle:Transparent$\Rightarrow$ les éléments de réduction de la somme des deux glisseurs au même point $P_0$ s'écrivent selon
  Modèle:AlModèle:Transparent${𝒢}_1+{𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,P_0}+{\overrightarrow{ℳ}}_{2,P_0}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{P_0}$ assurant que cette somme est un glisseur
  Modèle:AlModèle:Transparentdont le support est la droite issue de $P_0$ de vecteur directeur ${\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2$ ou
  Modèle:Transparent$\succ$si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$sont parallèles$($ou confondus$)$avec leurs résultantes non opposées en effet
  Modèle:Transparentsi ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$ est $\parallel$ à ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$ en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point $Q\notin {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}\cup {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$,
  Modèle:Transparentles éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point $Q$ sont
  Modèle:Transparent${𝒢}_1={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}\left[\begin{array}{c}\ne \overrightarrow{0}\\ \perp \text{à}{\overrightarrow{R}}_1\end{array}\right]\end{array}\right\}}_Q$ et ${𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}\left[\begin{array}{c}\ne \overrightarrow{0}\\ \perp \text{à}{\overrightarrow{R}}_2\end{array}\right]\end{array}\right\}}_Q$ $\Rightarrow$ ceux de la somme s'écrivent
  Modèle:Transparent${𝒢}_1+{𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}+{\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}\end{array}\right\}}_Q$, son moment en $Q$ a priori $\ne \overrightarrow{0}$, $\perp$ à ${\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2$ $\Rightarrow$
  Modèle:Transparent${𝒢}_1+{𝒢}_2$ est un glisseur de support « la droite passant par $Q_0$ $[$où ${\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q_0}+{\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q_0}=\overrightarrow{0}]$
  Modèle:AlModèle:Transparentde vecteur directeur ${\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2$» C.Q.F.D.  ;
  Modèle:Transparentremarque : si le moment de ${𝒢}_1+{𝒢}_2$ en $Q$ quelconque est nul, cela prouve, sans autre démonstration,
  Modèle:Transparentque ${𝒢}_1+{𝒢}_2$ est un glisseur de support « la droite passant par ce point $Q$ et
  Modèle:AlModèle:Transparentde vecteur directeur ${\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2$» ;
  Modèle:Transparentsi ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$ est confondu avec ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$, tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, $\mathrm{\forall }Q\in {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}={\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$,
  Modèle:Transparentles éléments de réduction des glisseurs en $Q$ sont ${𝒢}_1={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_Q$ et ${𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_Q$ $\Rightarrow$
  Modèle:Transparent${𝒢}_1+{𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}+{\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_Q$ $\Rightarrow$ ${𝒢}_1+{𝒢}_2$ est un glisseur de support l'axe central commun
  Modèle:AlModèle:Transparent${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}={\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$ et
  Modèle:AlModèle:Transparentde vecteur directeur ${\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2$.
• La somme de deux glisseurs${𝒢}_1$et${𝒢}_2$n'est pas un glisseur$\succ$si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$ne concourent pas c.-à-d. si ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$ et ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$ ne sont pas coplanaires.
• La somme de deux glisseurs${𝒢}_1$et${𝒢}_2$est un couple$\succ$si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$sont parallèles avec leurs résultantes opposées en effet
  Modèle:Transparentsi ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$ est $\parallel$ à ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$ en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point $Q\notin {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}\cup {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$,
  Modèle:Transparentles éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point $Q$ sont
  Modèle:Transparent${𝒢}_1={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}\left[\begin{array}{c}\ne \overrightarrow{0}\\ \perp \text{à}{\overrightarrow{R}}_1\end{array}\right]\end{array}\right\}}_Q$ et ${𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}\left[\begin{array}{c}\ne \overrightarrow{0}\\ \perp \text{à}{\overrightarrow{R}}_2\end{array}\right]\end{array}\right\}}_Q$ $\Rightarrow$ ceux de la somme s'écrivent
  Modèle:Transparent${𝒢}_1+{𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2=\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}+{\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}\end{array}\right\}}_Q$, ${\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}+{\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}$ étant $\ne \overrightarrow{0}$Modèle:, prouve que
  Modèle:Transparent${𝒢}_1+{𝒢}_2$ est un couple de moment constant $($propriété caractéristique d'un couple $)$.
• La somme de deux glisseurs${𝒢}_1$et${𝒢}_2$est le torseur nul$\succ$si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$sont confondus avec leurs résultantes opposées en effet
  Modèle:Transparentsi ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$ est confondu avec ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$, tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, $\mathrm{\forall }Q\in {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}={\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$,
  Modèle:Transparentles éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point $Q$ sont
  Modèle:Transparent«${𝒢}_1={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_Q$ et ${𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_Q$» $\Rightarrow$ ceux de la somme s'écrivent
  Modèle:Transparent${𝒢}_1+{𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1+{\overrightarrow{R}}_2=\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,Q}+{\overrightarrow{ℳ}}_{2,Q}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_Q$ $\Rightarrow$ ${𝒢}_1+{𝒢}_2$ est le torseur nul $𝒩$ C.Q.F.D. .

Décomposition centrale d'un torseur quelconque

Modèle:Théorème Modèle:AlDémonstration : Soit le torseur $𝒯$ et ses éléments de réduction en un point $A$ de son axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$, $𝒯={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_A$, nous décomposons
Modèle:AlModèle:Transparentles éléments de réduction du torseur $𝒯$ en $A$ de la façon unique selon $𝒯={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\ne \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_A+{\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_A$, avec
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le 1^er terme du 2^nd membre ${\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\ne \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_A$ définissant un glisseur unique $𝒢$ en $A$
Modèle:AlModèle:Transparentde support « la droite issue de $A$ de vecteur directeur $\overrightarrow{R}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le 2 ^nd terme du 2^nd membre ${\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_A\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_A$ définissant un couple unique $𝒞$ en $A$
Modèle:AlModèle:Transparentde moment constant égal à ${\overrightarrow{ℳ}}_A$.

Modèle:AlRemarque : C'est par le choix des éléments de réduction du torseur $𝒯$ en un point de son axe central ${\mathrm{\Delta }}_{𝒯}$ que l'on assure l'unicité de la décomposition précédente, c'est aussi
Modèle:AlModèle:Transparentla raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables pour établir cette décomposition étant $\{{\mathrm{\Delta }}_{𝒯},\overrightarrow{R},{\overrightarrow{ℳ}}_{A\in {\mathrm{\Delta }}_{𝒯}}\}$
Modèle:AlModèle:Transparentencore appelés « éléments centraux de $𝒯$».

Produit (ou comoment) de deux torseurs

Propriétés du produit (ou comoment) de deux torseurs

• Le produit$($ou comoment$)$de deux torseurs${𝒯}_1$et${𝒯}_2$est commutatif c.-à-d. ${𝒯}_1\otimes {𝒯}_2={𝒯}_2\otimes {𝒯}_1$ ;
• le produit$($ou comoment$)$de deux torseurs${𝒯}_1$et${𝒯}_2$est indépendant du point$A$en lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs en effet,
  Modèle:Transparentavec un point $B\in ℰ$ $\ne A$, seul le moment des torseurs est modifié selon la relation de Varignon
  Modèle:Transparent$\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{ℳ}}_{1,B}={\overrightarrow{ℳ}}_{1,A}+{\overrightarrow{R}}_1\wedge \overrightarrow{AB}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,B}={\overrightarrow{ℳ}}_{2,A}+{\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{AB}\end{array}\right]$ $\Rightarrow$
  Modèle:Transparent${\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,B}\end{array}\right\}}_B\otimes {\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,B}\end{array}\right\}}_B={\overrightarrow{R}}_1\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_{2,B}+{\overrightarrow{R}}_2\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_{1,B}$
  Modèle:AlModèle:Transparent$={\overrightarrow{R}}_1\cdot [{\overrightarrow{ℳ}}_{2,A}+{\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{AB}]+{\overrightarrow{R}}_2\cdot [{\overrightarrow{ℳ}}_{1,A}+{\overrightarrow{R}}_1\wedge \overrightarrow{AB}]$
  Modèle:AlModèle:Transparent$={\overrightarrow{R}}_1\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A}+{\overrightarrow{R}}_2\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_{1,A}\cancel{+{\overrightarrow{R}}_1\cdot [{\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{AB}]+{\overrightarrow{R}}_2\cdot [{\overrightarrow{R}}_1\wedge \overrightarrow{AB}]}$Modèle:,
  Modèle:AlModèle:Transparent$={\overrightarrow{R}}_1\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A}+{\overrightarrow{R}}_2\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_{1,A}={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,A}\end{array}\right\}}_A\otimes {\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A}\end{array}\right\}}_A$ soit finalement
  Modèle:Transparent${\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,B}\end{array}\right\}}_B\otimes {\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,B}\end{array}\right\}}_B={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,A}\end{array}\right\}}_A\otimes {\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A}\end{array}\right\}}_A$ C.Q.F.D. .
• Le produit$($ou comoment$)$de deux torseurs couples${𝒞}_1$et${𝒞}_2$est identiquement nul en effet ${𝒞}_1\otimes {𝒞}_2=\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_1\end{array}\right\}\otimes \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_2\end{array}\right\}$ $={\overrightarrow{0}}_{(1)}\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_2+{\overrightarrow{0}}_{(2)}\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_1=0$ C.Q.F.D.  ;
• le produit$($ou comoment$)$d'un torseur couple et d'un glisseur${𝒞}_1$et${𝒢}_2$n'est quasi jamais nul car ${𝒞}_1\otimes {𝒢}_2=\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_1\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}\otimes {\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_A$ $=\cancel{{\overrightarrow{0}}_{(1)}\cdot {\overrightarrow{0}}_{(2),A}+}{\overrightarrow{R}}_2\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_1$Modèle:,
  Modèle:Alen général $\ne 0$ ;
• le produit$($ou comoment$)$de deux torseurs glisseurs${𝒢}_1$et${𝒢}_2$est nul$\succ$si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$sont concourants en effet, en notant $A_0$ le point d'intersection des axes centraux,
  Modèle:Transparent${𝒢}_1\otimes {𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R_1}\ne 0\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,A_0}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_0}\otimes {\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_0}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_0}$
  Modèle:Transparent$=\cancel{{\overrightarrow{R}}_1\cdot {\overrightarrow{0}}_{(2),A_0}}+\cancel{{\overrightarrow{R}}_2\cdot {\overrightarrow{0}}_{(1),A_0}}$ $=0$ ou
  Modèle:Transparent$\succ$si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$sont confondus, en effet le cas des axes centraux confondus peut être considéré comme
  Modèle:Transparentle cas particulier d'axes centraux concourants en tous leurs points ou
  Modèle:Transparent$\succ$si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$sont parallèles en effet, avec $A_1\in {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$ $($donc hors ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2})$, ${𝒢}_1={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R_1}\ne 0\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,A_1}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_1}$ et
  Modèle:Transparent$A_1\notin {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$, ${𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R_2}\ne 0\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_1}\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_1}$ où ${\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_1}$ s'obtient
  Modèle:Transparentpar relation de Varignon appliquée en $A_1$ avec $A_2\in {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$,
  Modèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_1}=\cancel{{\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_2}+}{\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{A_2{A}_1}$ car ${\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_2\in {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}}=\overrightarrow{0}$,
  Modèle:Transparentsoit ${𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R_2}\ne 0\\ {\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{A_2{A}_1}\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_1}$ dont on déduit
  Modèle:Transparent${𝒢}_1\otimes {𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R_1}\ne 0\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,A_1}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_1}\otimes {\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{A_2{A}_1}\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_1}$
  Modèle:Transparent$={\overrightarrow{R}}_1\cdot [{\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{A_2{A}_1}]\cancel{+{\overrightarrow{R}}_2\cdot {\overrightarrow{0}}_{(1),A_1}}$ $=0$,
  Modèle:Transparentles trois vecteurs $({\overrightarrow{R}}_1,{\overrightarrow{R}}_2,\overrightarrow{A_2{A}_1})$ étant coplanaires
  Modèle:AlModèle:Transparentleur produit mixte est nul  ;
• le produit$($ou comoment$)$de deux torseurs glisseurs${𝒢}_1$et${𝒢}_2$est non nul si leurs axes centraux${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$et${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$ne sont pas concourants, parallèles ou confondus, en effet
  Modèle:Transparentcomme il n'existe aucun point commun des axes centraux ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$ et ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}$, on choisit un point $A_1\in {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_1}$
  Modèle:Transparentpour évaluer les éléments de réduction des torseurs $\Rightarrow$ ${\overrightarrow{ℳ}}_{1,A_1}=\overrightarrow{0}$, $\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_1}=\cancel{{\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_2}+}{\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{A_2{A}_1}\ne \overrightarrow{0}\\ A_2\in {\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_2}\Rightarrow {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_2}=\overrightarrow{0}\end{array}\right]$ d'où
  Modèle:Transparent${𝒢}_1\otimes {𝒢}_2={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R_1}\ne 0\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{1,A_1}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_1}\otimes {\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\ne \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{2,A_1}\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{A_1}={\overrightarrow{R}}_1\cdot [{\overrightarrow{R}}_2\wedge \overrightarrow{A_2{A}_1}]\cancel{+{\overrightarrow{R}}_2\cdot {\overrightarrow{0}}_{(1),A_1}}$ $\ne 0$,
  Modèle:Transparentles trois vecteurs $({\overrightarrow{R}}_1,{\overrightarrow{R}}_2,\overrightarrow{A_2{A}_1})$ n'étant pas coplanaires leur produit mixte est non nul .

Exemples de torseurs en mécanique

Torseur statique

Modèle:AlLe torseur statique $($ou torseur des actions mécaniques$)$ sert à modéliser les actions mécaniques lors de la résolution d'un problème de statique tridimensionnel .

Modèle:AlUne action mécanique exercée sur un système de points matériels ${\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}$ peut être représentée par une force ${\overrightarrow{F}}_k$ s'exerçant sur le point $A_k$ ou
Modèle:AlModèle:Transparentpar une répartition de forces de somme nulle ${\overrightarrow{C}}_{(l\in \left[[i\dots j]\right])}=\{{\overrightarrow{F}}_l,\sum _l^{\left[[i\dots j]\right]}{\overrightarrow{F}}_l=\overrightarrow{0}\}$
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinissant un couple au sens de la mécanique s'appliquant au moins
Modèle:AlModèle:Transparenten deux points distincts «$A_l,l\in \left[[i\dots j]\right]$» ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$chaque force ${\overrightarrow{F}}_k$ s'exerçant sur le point $A_k$ est un torseur glisseur ${𝒢}_k$ de support ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_k}$ défini par
Modèle:AlModèle:Transparentla droite issue de $A_k$ de vecteur directeur ${\overrightarrow{F}}_k$,
Modèle:AlModèle:Transparentses éléments de réduction en un point $O$ quelconque
Modèle:AlModèle:Transparentétant ${\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_k\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{O,{\overrightarrow{F}}_k}={\overrightarrow{F}}_k\wedge \overrightarrow{A_{k}O}\end{array}\right\}}_O$,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$chaque répartition de forces de somme nulle ${\overrightarrow{C}}_{(l\in \left[[i\dots j]\right])}=\{{\overrightarrow{F}}_l,\sum _l^{\left[[i\dots j]\right]}{\overrightarrow{F}}_l=\overrightarrow{0}\}$
Modèle:AlModèle:Transparentest un torseur couple ${𝒞}_{(l\in \left[[i\dots j]\right])}$,
Modèle:AlModèle:Transparentses éléments de réduction en un point $O$ quelconque étant
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{O,{\overrightarrow{C}}_{(l\in \left[[i\dots j]\right])}}=\sum _l^{\left[[i\dots j]\right]}{\overrightarrow{F}}_l\wedge \overrightarrow{A_{l}O}\end{array}\right\}$Modèle:, $\Rightarrow$

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$les actions mécaniques s'exerçant sur le système de points matériels ${\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}$
Modèle:AlModèle:Transparentsont représentées par un torseur ${𝒯}_{\text{stat.}}$ nommé « torseur statique  » dont
Modèle:AlModèle:Transparentles éléments de réduction en un point $O$ quelconque sont
Modèle:AlModèle:Transparent${𝒯}_{\text{stat.}}=\sum _k{𝒢}_k+\sum _{q,\text{indexant}}^{\left[[i\dots j]\right]}{𝒞}_q$
Modèle:AlModèle:Transparent$={\left\{\begin{array}{c}\sum _k{\overrightarrow{F}}_k\\ \sum _k{\overrightarrow{ℳ}}_{O,{\overrightarrow{F}}_k}+\sum _{q,\text{indexant}}^{\left[[i\dots j]\right]}{\overrightarrow{ℳ}}_{{\overrightarrow{C}}_{(l\in {\left[[i\dots j]\right]}_q)}}\end{array}\right\}}_O$.

Torseur cinématique

Modèle:AlLe torseur cinématique sert à représenter pratiquement les comportements de translation et de rotation d'un solide $($ou système indéformable de points matériels$)$ mais
Modèle:AlModèle:Transparentne peut pas être utilisé pour un système déformable $($ce qui limite son introduction dans le domaine de la physique$)$.

Modèle:AlOn établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide$\left(𝒮\right)={\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}),A_i{A}_j=cste\mathrm{\forall }(i,j)}$ dans un référentiel donné ${\overrightarrow{V}}_{A_k}(t)$
Modèle:AlModèle:Transparentest équiprojectif donc représentable par un torseur en effet
Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{\forall }(A_i,A_j)\in \left(𝒮\right),A_i{A}_j=cste$ $\Rightarrow$ $\Vert \overrightarrow{A_i{A}_j}(t){\Vert }^2=cst{e}^{\prime }$ $\Rightarrow$ $2\overrightarrow{A_i{A}_j}(t)\cdot \frac{d\overrightarrow{A_i{A}_j}}{dt}(t)=0\left(𝔞\right)$ d'où,
Modèle:AlModèle:Transparenten repérant les positions du solide dans le référentiel d'étude relativement à un point $O$ lié au référentiel,
Modèle:AlModèle:Transparent$\frac{d\overrightarrow{A_i{A}_j}}{dt}(t)=\frac{d\overrightarrow{O{A}_j}}{dt}(t)-\frac{d\overrightarrow{O{A}_i}}{dt}(t)={\overrightarrow{V}}_{A_j}(t)-{\overrightarrow{V}}_{A_i}(t)$, d'où $\left(𝔞\right)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{A_i{A}_j}(t)\cdot [{\overrightarrow{V}}_{A_j}(t)-{\overrightarrow{V}}_{A_i}(t)]=0$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{A_i{A}_j}(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{A_j}(t)=\overrightarrow{A_i{A}_j}(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{A_i}(t)$ établissant le caractère équiprojectif du champ de vitesse d'un solide  ;

Modèle:Ald'après la forme directe de la relation de Varignon Modèle:, on peut définir, pour le torseur du champ de vitesse d'un solide nommé « torseur cinématique »,
Modèle:AlModèle:Transparentun vecteur unique $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ vérifiant ${\overrightarrow{V}}_{A_j}(t)={\overrightarrow{V}}_{A_i}(t)+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\wedge \overrightarrow{A_i{A}_j}(t)$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ définissant la résultante du torseur cinématique  ;

Modèle:Alles éléments de réduction du torseur cinématique du solide $\left(𝒮\right)$ en un point $A$ de $\left(𝒮\right)$ sont ${𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\\ {\overrightarrow{V}}_A(t)\end{array}\right\}}_A$, le mouvement de $\left(𝒮\right)$ dépendant de la nature de son torseur cinématique :

• le torseur cinématique est un torseur couple si $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)=\overrightarrow{0}\mathrm{\forall }t$ traduisant une translation du solide, la relation de Varignon s'écrivant ${\overrightarrow{V}}_B(t)={\overrightarrow{V}}_A(t)$ pour $(A,B)\in (𝒮{)}^2$, dans ce cas le torseur cinématique n'a pas d'axe central,
• Modèle:Transparentun torseur glisseur si $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\ne \overrightarrow{0}$ avec l'existence d'un point $A\in (𝒮)$ tel que ${\overrightarrow{V}}_A(t)=\overrightarrow{0}$ $($point central du glisseur$)$, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de $A$ de vecteur directeur $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$» , les autres points $B\in (𝒮)$ et $\ne A$ de vecteurs vitesse ${\overrightarrow{V}}_B(t)=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\wedge \overrightarrow{AB}(t)$ selon la relation de Varignon établissent que le solide a un mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ autour du point fixe $A$ du solide ,
• Modèle:Transparentun torseur non particulier si $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\ne \overrightarrow{0}$ avec l'existence d'un point $A\in (𝒮)$ tel que ${\overrightarrow{V}}_A(t)\parallel$ à $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ $($point central du torseur $)$, le torseur ayant pour axe central ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}}(t)$ « la droite issue de $A$ de vecteur directeur $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$», les autres points $B\notin {\mathrm{\Delta }}_{{𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}}(t)$ de vecteurs vitesse ${\overrightarrow{V}}_B(t)={\overrightarrow{V}}_A(t)+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\wedge \overrightarrow{AB}(t)$ selon la relation de Varignon établissent que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ autour l'axe central ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}}(t)$ et d'une translation de vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_A(t)$ Modèle:Nobr et
• Modèle:Transparentun torseur non particulier si $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\ne \overrightarrow{0}$ avec absence de point $A\in (𝒮)$ tel que ${\overrightarrow{V}}_A(t)\parallel$ à $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ $($absence de point central du torseur$)$, le torseur n'ayant donc pas d'axe central ; le choix d'un point quelconque $P\in (𝒮)$ de vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_P(t)$ et d'un autre point $Q\in (𝒮)$ mais $\ne P$ de vecteurs vitesse ${\overrightarrow{V}}_Q(t)={\overrightarrow{V}}_P(t)+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\wedge \overrightarrow{PQ}(t)$ selon la relation de Varignon établit que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ autour d'un axe $\parallel$ à $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ passant par $P$ et d'une translation de vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_P(t)\parallel ̸$ à $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$.

Torseur cinétique

Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la cinétique newtonienne.

Modèle:AlLe torseur cinétique sert à représenter pratiquement les comportements de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels $($déformable ou indéformable$)$.

Modèle:AlLa grandeur cinétique d'un système de points matériels ${\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}$ dans le référentiel d'étude
Modèle:AlModèle:Transparentest représentée, à l'instant $t$, par son vecteur quantité de mouvement ${\overrightarrow{p}}_k(t)=m_k{\overrightarrow{V}}_{A_k}(t)$ du point $A_k$ avec $m_k$ masse du point et ${\overrightarrow{V}}_{A_k}(t)$ son vecteur vitesse à l'instant $t$ ;

Modèle:Alla quantité de mouvement ${\overrightarrow{p}}_k(t)$ du point $A_k$ est un torseur glisseur ${𝒢}_k$ dont le support ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_k}(t)$ est la droite issue de $A_k$ de vecteur directeur ${\overrightarrow{p}}_k(t)$,
Modèle:AlModèle:Transparentses éléments de réduction en un point $O$ quelconque sont ${\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{p}}_k(t)=m_k{\overrightarrow{V}}_{A_k}(t)\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{O,{\overrightarrow{p}}_k}(t)={\overrightarrow{p}}_k(t)\wedge \overrightarrow{A_{k}O}(t)\end{array}\right\}}_O$ ;

Modèle:All'ensemble des quantités de mouvement des points du système de points matériels ${\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}$
Modèle:AlModèle:Transparentest un torseur ${𝒯}_{\text{cinét.}}$ nommé « torseur cinétique »
Modèle:AlModèle:Transparentdont les éléments de réduction en un point $O$ quelconque sont ${𝒯}_{\text{cinét.}}=\sum _k{𝒢}_k={\left\{\begin{array}{c}\sum _k{\overrightarrow{p}}_k(t)\\ \sum _k{\overrightarrow{ℳ}}_{O,{\overrightarrow{p}}_k}(t)\end{array}\right\}}_O$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la résultante $\sum _k{\overrightarrow{p}}_k(t)=\sum _k{m}_k{\overrightarrow{V}}_k(t)$ du torseur cinétique notée $\overrightarrow{P}(t)$ est appelée « résultante cinétique » et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le moment $\sum _k{\overrightarrow{ℳ}}_{O,{\overrightarrow{p}}_k}(t)=\sum _k{\overrightarrow{p}}_k(t)\wedge \overrightarrow{A_{k}O}(t)$ du torseur cinétique noté, en physique,
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{\sigma }}_{O,{\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}}(t)$ est appelé « moment résultant cinétique » au point $O$ , il s'écrit, en physique,
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{\sigma }}_O(t)=\sum _k\overrightarrow{O{A}_k}(t)\wedge {\overrightarrow{p}}_k(t)=\sum _k\overrightarrow{O{A}_k}(t)\wedge m{\overrightarrow{V}}_k(t)$ et la relation de Varignon lui est applicable selon
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{\sigma }}_{O^{\prime }}(t)={\overrightarrow{\sigma }}_O(t)+\overrightarrow{P}(t)\wedge \overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ ou encore ${\overrightarrow{\sigma }}_{O^{\prime }}(t)=$ ${\overrightarrow{\sigma }}_O(t)+\overrightarrow{O^{\prime }O}\wedge \overrightarrow{P}(t)$.

Modèle:AlLe torseur cinétique du système de points matériels ${\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}$ dans le référentiel d'étude à l'instant $t$ est :

• un torseur couple si $\overrightarrow{P}(t)=\overrightarrow{0}\mathrm{\forall }t$ traduisant l'immobilité du C.D.I. $G$ du système quand celui-ci est fermé , la relation de Varignon s'écrivant ${\overrightarrow{\sigma }}_{O^{\prime }}(t)={\overrightarrow{\sigma }}_O(t)$ pour $(O,O^{\prime })\in {ℰ}^2$ quelconque, dans ce cas le torseur cinétique n'a pas d'axe central,
• un torseur glisseur si $\overrightarrow{P}(t)\ne \overrightarrow{0}$ avec l'existence d'un point $A\in ℰ$ tel que ${\overrightarrow{\sigma }}_A(t)=\overrightarrow{0}$ $($point central du glisseur$)$, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de $A$ de vecteur directeur Modèle:Nobr en un autre point $B\in (ℰ)$ et $\ne A$ le moment résultant cinétique s'écrit ${\overrightarrow{\sigma }}_B(t)=$ $\overrightarrow{P}(t)\wedge \overrightarrow{AB}$ $[$ou ${\overrightarrow{\sigma }}_B(t)=\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{P}(t)$ comme on le note préférentiellement en physique$]$ selon la relation de Varignon établissant que le moment résultant cinétique du système en $B$ est égal au moment cinétique en $B$ du point $A$ auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système,
• un torseur non particulier si $\overrightarrow{P}(t)\ne \overrightarrow{0}$ avec l'existence d'un point $A\in ℰ$ tel que ${\overrightarrow{\sigma }}_A(t)\parallel$ à $\overrightarrow{P}(t)$ $($point central du torseur $)$, le torseur ayant pour axe central ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒯}_{\text{cinét.}}}(t)$ « la droite issue de $A$ de vecteur directeur $\overrightarrow{P}(t)$», en un autre point $B\in (ℰ)$ et $\ne A$ le moment résultant cinétique s'écrit ${\overrightarrow{\sigma }}_B(t)=$ ${\overrightarrow{\sigma }}_A(t)+\overrightarrow{P}(t)\wedge \overrightarrow{AB}$ $[$ou ${\overrightarrow{\sigma }}_B(t)={\overrightarrow{\sigma }}_A(t)+\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{P}(t)$ comme on le note préférentiellement en physique$]$ selon la relation de Varignon établissant que le moment résultant cinétique du système en $B$ résulte de la composition du moment résultant cinétique en $A$ et du moment cinétique en $B$ du point $A$ auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants cinétiques étant $\perp$ entre eux et
• un torseur non particulier si $\overrightarrow{P}(t)\ne \overrightarrow{0}$ avec absence de point $A\in ℰ$ tel que ${\overrightarrow{\sigma }}_A(t)\parallel$ à $\overrightarrow{P}(t)$ $($absence de point central du torseur$)$, le torseur n'ayant pas d'axe central, considérant un point $D\in ℰ$ par rapport auquel le moment résultant cinétique est ${\overrightarrow{\sigma }}_D(t)$ et un autre point $B\in ℰ$ et $\ne D$ par rapport auquel le moment résultant cinétique s'écrit ${\overrightarrow{\sigma }}_B(t)={\overrightarrow{\sigma }}_D(t)+\overrightarrow{P}(t)\wedge \overrightarrow{DB}$ $[$ou ${\overrightarrow{\sigma }}_B(t)=$ ${\overrightarrow{\sigma }}_D(t)+\overrightarrow{BD}\wedge \overrightarrow{P}(t)$ comme on le note préférentiellement en physique$]$ selon la relation de Varignon établissant que le moment résultant cinétique du système en $B$ résulte de la composition du moment résultant cinétique en $D$, point quelconque, et du moment cinétique en $B$ du point $D$ auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants cinétiques étant a priori quelconques.

Torseur dynamique

Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la dynamique newtonienne.

Modèle:AlLe torseur dynamique sert à représenter les variations de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels $($déformable ou indéformable$)$.

Modèle:AlLa grandeur dynamique d'un système de points matériels ${\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}$ dans le référentiel d'étude
Modèle:AlModèle:Transparentest représentée, à l'instant $t$, par la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement $\frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)=\dot{{\overrightarrow{p}}_k}(t)=m_k{\overrightarrow{a}}_{A_k}(t)$ du point $A_k$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$m_k$ masse du point et ${\overrightarrow{a}}_{A_k}(t)=\dot{{\overrightarrow{V}}_k}(t)$ son vecteur accélération à l'instant $t$ ;

Modèle:Alla dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement $\dot{{\overrightarrow{p}}_k}(t)$ du point $A_k$ est un glisseur ${𝒢}_k$ dont le support ${\mathrm{\Delta }}_{{𝒢}_k}(t)$ est la droite issue de $A_k$ de vecteur directeur $\dot{{\overrightarrow{p}}_k}(t)=\frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)$ avec
Modèle:AlModèle:Transparentpour éléments de réduction en un point $O$ quelconque ${\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)=m_k{\overrightarrow{a}}_{A_k}(t)\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{O,\dot{{\overrightarrow{p}}_k}}(t)=\frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)\wedge \overrightarrow{A_{k}O}(t)\end{array}\right\}}_O$ ;

Modèle:All'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points du système de points matériels ${\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}$
Modèle:AlModèle:Transparentest un torseur ${𝒯}_{\text{dynam.}}$ nommé « torseur dynamique » avec
Modèle:AlModèle:Transparentpour éléments de réduction en un point $O\in ℰ$ ${𝒯}_{\text{dynam.}}=\sum _k{𝒢}_k={\left\{\begin{array}{c}\sum _k\frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)\\ \sum _k{\overrightarrow{ℳ}}_{O,\dot{{\overrightarrow{p}}_k}}(t)\end{array}\right\}}_O$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la résultante $\sum _k\frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)=\sum _k\dot{{\overrightarrow{p}}_k}(t)=\sum _k{m}_k{\overrightarrow{a}}_k(t)$ du torseur dynamique
Modèle:AlModèle:Transparentest appelée, par quelques uns, « quantité d'accélération » Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$le moment $\sum _k{\overrightarrow{ℳ}}_{O,\dot{{\overrightarrow{p}}_k}}(t)=\sum _k\frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)\wedge \overrightarrow{A_{k}O}(t)$ du torseur dynamique noté, en physique,
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_{O,\{A_k,\dot{\overrightarrow{p_k}},k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}\}}(t)=\sum _k\overrightarrow{O{A}_k}(t)\wedge \frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)$ est appelé, par quelques uns, Modèle:AlModèle:Transparent« moment (résultant) dynamique » au point $O$ il s'écrit donc, en physique,
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{tors. dynam.}}(t)=\sum _k\overrightarrow{O{A}_k}(t)\wedge \frac{d{\overrightarrow{p}}_k}{dt}(t)=\sum _k\overrightarrow{O{A}_k}(t)\wedge m{\overrightarrow{a}}_k(t)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentla relation de Varignon lui est applicable selon
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_{O^{\prime },\text{tors. dynam.}}(t)={\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{tors. dynam.}}(t)+\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}(t)\wedge \overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{ℳ}}_{O^{\prime },\text{tors. dynam.}}(t)={\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{tors. dynam.}}(t)+\overrightarrow{O^{\prime }O}\wedge \frac{d\overrightarrow{P}}{dt}(t)$.

Produit (ou comoment) du torseur statique exercé sur un solide et du torseur cinématique de ce dernier

Modèle:AlSoient ${𝒯}_{\text{stat. sur}(𝒮)}={\left\{\begin{array}{c}\sum _k{\overrightarrow{F}}_k\\ \sum _k{\overrightarrow{ℳ}}_{O,{\overrightarrow{F}}_k}+\sum _{q,\text{indexant}}^{\left[[i\dots j]\right]}{\overrightarrow{ℳ}}_{{\overrightarrow{C}}_{(l\in {\left[[i\dots j]\right]}_q)}}\end{array}\right\}}_O$ le torseur statique s'exerçant sur le solide $\left(𝒮\right)={\left\{A_k\right\}}_{(k\in \left[[1,n]\right],n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\})}$ ou ${𝒯}_{\text{stat. sur}(𝒮)}={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{ext}}\end{array}\right\}}_O$ et
Modèle:AlModèle:Transparent${𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\\ {\overrightarrow{V}}_O(t)\end{array}\right\}}_O$ le torseur cinématique du solide pour lequel $O$ doit être un point du solide,
Modèle:Alle produit $($ou comoment$)$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\left(𝒮\right)$, à savoir ${𝒯}_{\text{stat. sur}(𝒮)}\otimes {𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}$, nécessite de choisir $O\in \left(𝒮\right)$,
Modèle:AlModèle:Transparents'écrit ${𝒯}_{\text{stat. sur}(𝒮)}\otimes {𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}\\ {\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{ext}}\end{array}\right\}}_O\otimes {\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)\\ {\overrightarrow{V}}_O(t)\end{array}\right\}}_O$
Modèle:AlModèle:Transparent$={\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}\cdot {\overrightarrow{V}}_O(t)+{\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{ext}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ correspondant à
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la puissance développée par la résultante dynamique ${\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}$ lors de la translation de vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_O(t)$ c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent${\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}\cdot {\overrightarrow{V}}_O(t)$ augmentée de
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$la puissance développée par le moment résultant dynamique ${\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{ext}}$ lors de la rotation autour du point $O$
Modèle:AlModèle:Transparentde vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$
Modèle:AlModèle:Transparentc.-à-d. ${\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{ext}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ soit finalement
Modèle:AlModèle:Transparent${𝒯}_{\text{stat. sur}(𝒮)}\otimes {𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}={𝒫}_{\text{ext}}(t)$ c.-à-d. la puissance développée par les actions extérieures
Modèle:AlModèle:Transparents'exerçant sur le solide $(𝒮)$ ;

Modèle:Alen conclusion le produit

$($

ou comoment

$)$

des torseurs statique et cinématique relatif au solide

$\left(𝒮\right)$

évalue la puissance développée par les actions extérieures s'exerçant sur le solide

$\left(𝒮\right)$

Modèle:AlModèle:Transparentdans le référentiel où le torseur cinématique est déterminé soit

${𝒯}_{\text{stat. sur}(𝒮)}\otimes {𝒯}_{\text{cinémat. de}(𝒮)}={\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}\cdot {\overrightarrow{V}}_O(t)+{\overrightarrow{ℳ}}_{O,\text{ext}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)={𝒫}_{\text{ext}}(t)$.