Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités

Espace et temps classiques en cinématique newtonienne

Caractère « absolu » de l'espace et du temps en cinématique newtonienne

(

de façon implicite

)

le caractère absolu de l'espace :
Modèle:Al Modèle:Transparent« l'espace existerait indépendamment de la matière et de l'énergie et servirait de cadre dans lequel se positionneraient ces derniers » ^[2] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentil postule $($ également de façon implicite $)$ le caractère absolu du temps :
Modèle:Al Modèle:Transparent« selon lui, le temps préexiste à l'Univers, il " s'écoule " toujours dans le même sens et
Modèle:Al Modèle:Transparentcet " écoulement " est indépendant de l'espace et du contenu de ce dernier » ^[3].

Référentiel d'espace

Modèle:AlUn référentiel d'espace est un « solide » ^[4] de référence par rapport auquel on repère le point ;

Modèle:Al Modèle:Transparentpour quantifier le repérage du point il faudra attacher au référentiel d'espace un repère d'espace
Modèle:Al Modèle:Transparent $($ c.-à-d. une origine et trois vecteurs de base $)$ .

Référentiel de temps

Modèle:AlUn référentiel de temps est une « horloge » ^[5] de référence utilisée pour repérer l’événement ;

Modèle:Al Modèle:Transparentpour quantifier le repérage de l’événement il faudra attacher au référentiel de temps un repère de temps $($ c.-à-d. une origine des temps et une unité ^[6] $)$ .

Référentiel d'espace-temps

Modèle:AlLe choix simultané des deux référentiels définit un « référentiel d'espace - temps » ^[7].

Référentiel d'observation, caractère relatif du mouvement

Choix d'un référentiel d'observation (ou d'étude) pour définir le mouvement d'un point

Modèle:AlDécrire le mouvement d'un point c'est donner sa position relativement à son environnement aux différents instants successifs de son évolution ;

Modèle:Alil faut donc préciser le référentiel d'espace relativement auquel la position du point est décrite et

Modèle:Al Modèle:Transparentle référentiel de temps relativement auquel les événements sont repérés, c.-à-d.

Modèle:Al Modèle:Transparentchoisir un référentiel d'espace-temps appelé « référentiel d'étude $($ ou d'observation $)$ ».

Choix d'un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) pour quantifier le mouvement du point

Modèle:AlPour décrire quantitativement le mouvement d'un point, on choisit

un repère d'espace ${$ c.-à-d. une origine d'espace et une base orthonormée $($ usuellement directe ^[8], l'espace étant supposé orienté à droite ^[9] $)}$ lié à la composante d'espace du référentiel d'étude et
un repère de temps $($ encore appelé « chronologie » $) {$ c.-à-d. une origine de temps et « unité de temps » ^[10] $}$ lié à la composante de temps du référentiel d'étude.

Repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation)

Modèle:AlLe repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude $($ ou d'observation $)$ nécessite le repérage

dans l'espace qui se fait par $≻$ un vecteur $\vec{O M}$ appelé « vecteur position du lieu » ^[11] où $O$ est en général l'origine du repère d'espace ^[12] et $M$ le lieu où se produit l'événement ponctuel
Modèle:Transparent $($ on parle de repérage intrinsèque ^[13] $)$ ou
Modèle:Transparent $≻$ trois scalaires appelés « coordonnées du lieu » $($ le repérage utilisant la base choisie $)$ et
dans le temps qui se fait par un scalaire $t$ appelé « date de l'événement ».

Définition de l'unité légale de temps « la seconde » (symbole « s »)

Modèle:AlL'unité légale de mesure du temps est « la seconde » $($ symbole $s)$ dont la définition est donnée ci-dessous :

Modèle:Définition

Définition de l'unité légale de longueur « le mètre » (symbole « m »)

Modèle:AlL'unité légale de mesure du longueur est « le mètre » $($ symbole $m)$ dont la définition est donnée ci-dessous :

Modèle:Définition

Caractère relatif du mouvement du point

Modèle:AlSi on considère deux référentiels dont les repères d'espace sont en mouvement l'un par rapport à l'autre et un point $M$ immobile relativement au 1^er, ce point $M$ étant un point lié au 1^er repère d'espace se déplace relativement au 2^ème comme tout point lié au 1^er repère ;

Modèle:Alle point $M$ n'a donc pas le même mouvement relativement aux deux repères d'espace, son mouvement est donc relatif.

Modèle:AlExemple : vous êtes assis dans un train $($ définissant le référentiel $ℛ_{1})$ lequel se déplace sur Terre $($ définissant le référentiel $ℛ_{2})$ , vous êtes immobile dans $ℛ_{1}$ et mobile dans $ℛ_{2}$ .

Modèle:AlAutre exemple : Un train s'apprête à sortir de gare : il avance à une vitesse de $3 k m \cdot h^{- 1}$ par rapport au sol.

Modèle:Al Modèle:TransparentUn passager, noté $A$ , avance vers l'arrière du train à une vitesse de $3 k m \cdot h^{- 1}$ par rapport au train.

Modèle:Al Modèle:TransparentÀ l'arrière du train se trouve un autre passager, noté $C$ , qui fait signe à son ami, noté $B$ , resté sur le quai.

Modèle:Al Modèle:TransparentPour $C$ , $A$ avance à $3 k m \cdot h^{- 1}$ alors que pour $B$ , $A$ est immobile !

Modèle:Al Modèle:TransparentLe mouvement de $A$ dépend donc de l'observateur : c'est ce qu'on appelle la relativité du mouvement.

Description « intrinsèque » du mouvement d'un point, loi horaire vectorielle

On rappelle que « intrinsèque » signifie « indépendant du choix d'une base ».

Repérage intrinsèque du point M dans le référentiel d'espace, vecteur position de M

Modèle:AlLe repérage intrinsèque du point $M$ dans le référentiel d'espace se fait par un vecteur $\vec{O M}$ appelé « vecteur position ^[11] du point $M$ dans le référentiel d'espace », $O$ étant un point fixe du référentiel d'espace choisi en général à l'origine du repère d'espace associé au référentiel.

Repérage d'un événement lié à M dans le référentiel de temps, date de l'événement

Modèle:AlLe repérage d'un évènement lié au point $M$ dans le référentiel de temps se fait par un scalaire $t$ appelé « date de l'événement » ^[14], l'origine des temps étant a priori arbitraire $[$ souvent choisie au début du mouvement du point $M ($ l'événement origine étant alors l'occupation par le point $M$ de sa position de départ $)$ $\Rightarrow$ $t ⩾ 0$ mais ce n'est pas une nécessité $]$
Modèle:Aldans le cas où le choix de l'origine des temps est arbitraire, $t$ est un réel de signe quelconque,

$t < 0$ correspondant à la date d'un événement « antérieur » à l'événement origine et
$t > 0$ Modèle:Transparentà la date d'un événement « postérieur » à l'événement origine.

Loi horaire vectorielle décrivant le mouvement de M relativement au référentiel d'étude

Modèle:AlLe mouvement de $M$ dans le référentiel d'étude est caractérisé par la donnée de la fonction « $t \overset{\vec{O M}}{⟼} \vec{O M} = \vec{O M} (t)$ » ^[15], fonction vectorielle de la variable scalaire $t$ ^[16] définissant la loi horaire vectorielle du mouvement du point $M$ dans le référentiel d'étude.

Trajectoire du mouvement de M dans le référentiel d'étude

Modèle:AlLa trajectoire $(𝒯)$ du mouvement du point $M$ dans le référentiel d'espace est l'ensemble des points du référentiel d'espace représentant les positions successives de $M$ au cours du temps ;

Modèle:Al« $\vec{O M} = \vec{O M} (t)$ » est aussi l'« équation paramétrique vectorielle de la trajectoire $(𝒯)$ » ^[17].

Définition du vecteur vitesse du point, évaluation à partir d'un enregistrement régulier des positions et notion d'hodographe de pôle O du mouvement du point

Modèle:AlOn utilise ici la notion de dérivée d'une fonction vectorielle de la variable $t$ introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Modèle:AlLa notion d'hodographe de pôle $O$ du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.

Définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude

Modèle:AlLe vecteur vitesse du point $M$ relativement au référentiel d'étude $ℛ$ , noté ${\vec{V}}_{M} (t)$ est la dérivée temporelle du vecteur position soit « ${\vec{V}}_{M} (t) = \dot{\vec{O M}} (t) = \frac{d \vec{O M}}{d t} (t)$ » ^[18] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentla norme du vecteur vitesse $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖$ s'exprime en $m \cdot s^{- 1}$ .

Évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Détermination du vecteur vitesse du point à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers $($ à l'exception du 1^er et du dernier $)$ ^[19]

Modèle:AlSi on suit la position de

M

sur sa trajectoire

(𝒯)

aux instants successifs espacés de

δ t

(

voir enregistrement ci-contre

)

, on évaluera le vecteur vitesse

{\vec{V}}_{M} (t_{0})

du point

M

à un instant

t_{0}

quasi-quelconque de l'enregistrement ^[20] par

«

{\vec{V}}_{M} (t_{0}) ≃ \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0} - δ t)}{2 δ t} = \frac{\vec{M_{t_{0} - δ t} M_{t_{0} + δ t}}}{2 δ t}

» ^[21] soit,

Modèle:Alavec l'échelle des vitesses «

1 c m \cdot {(2 δ t)}^{- 1} \hat{=} 1 c m

» ^[22],
Modèle:Al Modèle:Transparent«

{\vec{V}}_{M} (t_{0})

est obtenu en reportant

\vec{M_{t_{0} - δ t} M_{t_{0} + δ t}}

à partir de

M (t_{0})

» voir figure ci-contre

\dots

Modèle:AlTous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et
Modèle:Al Modèle:Transparentexplicitée ci-contre en $M_{6}$ $($ en $M_{6}$ on a reporté $M_{5} M_{7})$ ;

Modèle:Alil n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesse en $M_{0}$ et en $M_{7}$ par cette méthode $\dots$

Définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M

« L'hodographe

(ℋ)

de pôle

O

^[24] du mouvement de

M

dans le référentiel

ℛ

» est
« l'ensemble des positions

P

dans

ℛ

tel que

\vec{O P} (t) \hat{=} {\vec{V}}_{M} (t)

» ^[22]Modèle:, ^[25].

Construction de l'hodographe de pôle O du mouvement de M à partir d'un enregistrement régulier des positions du point

Modèle:AlIl suffit $($ à partir d'un même pôle $O$ ^[24] $)$ de reporter les vecteurs vitesse de $M$ obtenus aux différents instants de l'enregistrement régulier
Modèle:Al Modèle:Transparent $($ obtenus sur le schéma ci-dessus à droite $)$ , et
Modèle:Alon obtient alors une succession régulière de positions $P$ permettant d'en déduire « l'hodographe de pôle $O$ ^[24] du mouvement de $M$ »
Modèle:Al Modèle:Transparent $($ voir ci-contre à gauche $)$ .

Modèle:AlLes positions $P$ ne peuvent être obtenues aux instants extrêmes de l'enregistrement des positions de $M$ .

Vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse

Modèle:AlVoir le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'introduction y étant faite en repérant le point $M$ par son abscisse curviligne $s_{M}$ ^[26] ;
Modèle:Alnous la reproduisons en repérant la position du point $M$ sur sa trajectoire par l'instant d'occupation $t$ ^[27] :

Modèle:AlSi le point mobile se déplace sur la courbe $(Γ)$ avec un paramétrage cinématique,

$M$ étant la position $($ supposée non anguleuse ^[28] $)$ du point à l'instant $t$ et
$M^{'}$ celle $($ supposée également non anguleuse ^[28] $)$ à l'instant infiniment proche $t + d t$ ,

Modèle:Al« le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $(Γ)$ à partir de la date $t$ » s'écrit « $\vec{M M^{'}} = \vec{O M^{'}} - \vec{O M}$ » ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{M M^{'}} = \vec{O M} (t + d t) - \vec{O M} (t)$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentce qui peut être traduit par
Modèle:Al Modèle:Transparent« la différentielle de $\vec{O M}$ » ^[29] soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{M M^{'}} = d [\vec{O M}]$ » usuellement noté
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{M M^{'}} = \vec{d M}$ » ^[30].

Modèle:AlPropriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire : « si $\vec{d M} \neq \vec{0}$ » il est « tangent à la courbe $(Γ)$ en $M$ » ^[31].

Modèle:AlÉvaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : on différencie le vecteur position considéré comme fonction de $t$ et on obtient
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d \vec{O M} = \dot{\vec{O M}} (t) d t = \frac{d \vec{O M}}{d t} (t) d t$ » ^[32] soit « $\vec{d M} = {\vec{V}}_{M} (t) d t$ » ^[33] et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur vitesse ${\vec{V}}_{M} (t)$ $($ quand il n'est pas nul $)$ est tangent à la trajectoire en $\underline{M}$ .

Modèle:AlAutre définition du vecteur vitesse du point $\underline{M}$ : « ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{\vec{d M} (t)}{d t}$ » ^[34] c.-à-d. « le taux de variation horaire du vecteur déplacement élémentaire $\vec{d M} (t)$ » obtenu en divisant ce dernier par $d t$ .

Définition du vecteur accélération du point, évaluation à partir de la détermination régulière des points de l'hodographe du mouvement de pôle O (ou directement sur la trajectoire)

Modèle:AlOn prolonge la notion de dérivée 2^nde d'une fonction scalaire de la variable $t$ introduite dans le paragraphe « définition (de la dérivée 2^nde d'une fonction scalaire) » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à celle de dérivée 2^nde d'une fonction vectorielle de la variable $t$ , la dérivée 1^ère ayant été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » du chap. $4$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Modèle:AlOn rappelle que la notion d'hodographe de pôle $O$ du mouvement d'un point n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I.
Modèle:Al Modèle:Transparentdoit être introduite pour être utilisée, c'est en effet un complément.

Définition (intrinsèque) du vecteur accélération du point M dans le référentiel d'étude

Modèle:AlLe vecteur accélération du point $M$ relativement au référentiel d'étude $ℛ$ , noté ${\vec{a}}_{M} (t)$ est la dérivée temporelle du vecteur vitesse soit « ${\vec{a}}_{M} (t) = {\dot{\vec{V}}}_{M} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ » ^[35] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentc'est aussi la dérivée temporelle 2^nde du vecteur position soit « ${\vec{a}}_{M} (t) = \ddot{\vec{O M}} (t) = \frac{d^{2} \vec{O M}}{d t^{2}} (t)$ » ^[36] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentla norme du vecteur accélération $‖ {\vec{a}}_{M} (t) ‖$ s'exprime en $m \cdot s^{- 2}$ .

Lien avec l'hodographe de pôle O du mouvement de M

Modèle:AlDe la définition de « l’hodographe

(ℋ)

de pôle

O

^[24] du mouvement de

M

dans le référentiel

ℛ

» à savoir « ensemble des positions

P

dans

ℛ

tel que

\vec{O P} (t) \hat{=} {\vec{V}}_{M} (t)

^[22]Modèle:, ^[25] », on déduit, en effectuant la dérivation temporelle de chaque membre, «

\frac{d \vec{O P}}{d t} (t) \hat{=} {\vec{a}}_{M} (t)

» soit, en remarquant que «

\frac{d \vec{O P}}{d t} (t)

est le vecteur vitesse du point

P

de l'hodographe

(ℋ)

dans le référentiel

ℛ

»,

«

{\vec{V}}_{P} (t) \hat{=} {\vec{a}}_{M} (t)

»

⇓

au même instant

t

, le vecteur vitesse de

P

sur l'hodographe

(ℋ)

représente
le vecteur accélération de

M

sur la trajectoire

(𝒯)

.

Détermination du vecteur vitesse du point $P$ de l'hodographe de pôle $O$ à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers $($ à l'exception du 1^er et du dernier de l'hodographe $)$ ^[23]

Modèle:AlSuivant la position de $M$ sur sa trajectoire tous les $δ t$ , on a pu tracer les vecteurs vitesse aux différents instants, puis
Modèle:Al Modèle:Transparentl'hodographe $(ℋ)$ de pôle $O$ correspondant $($ voir ci-contre $)$ ;

Modèle:Alon transpose aux points $P$ de $(ℋ)$ l'opération d'évaluation des vecteurs vitesse des points $M$ de $(𝒯)$ ^[37]
Modèle:Al Modèle:Transparentpour déterminer le vecteur vitesse d'un point $P$ de $(ℋ)$ à un instant $t_{0}$ quasi-quelconque ^[20] selon
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{P} (t_{0}) ≃ \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0} - δ t)}{2 δ t} = \frac{\vec{P_{t_{0} - δ t} P_{t_{0} + δ t}}}{2 δ t}$ » ^[38] soit,

Modèle:Alavec l'échelle des vitesses sur l'hodographe « $1 c m \cdot {(2 δ t)}^{- 1} \hat{=} 1 c m$ » ^[22],
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{P} (t_{0})$ est obtenu en reportant $\vec{P_{t_{0} - δ t} P_{t_{0} + δ t}}$ à partir de $P (t_{0})$ » voir figure ci-contre $\dots$

Modèle:AlTous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et
Modèle:Al Modèle:Transparentexplicitée ci-contre en $P_{5}$ $($ ainsi en $P_{5}$ on a reporté $P_{4} P_{6})$ ;

Modèle:Alil n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesse en $P_{1}$ et en $P_{6}$ par cette méthode $\dots$

Évaluation du vecteur accélération du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Report sur l'enregistrement de mouvement de $M$ à intervalles de temps réguliers du vecteur accélération du point $M$ obtenu sur l'hodographe de pôle $O$ de cet enregistrement comme vecteur vitesse du point $P$ considéré au même instant $($ à l'exception des deux 1^ers et des deux derniers de l'enregistrement $)$ ^[19]

Modèle:AlAprès détermination de l'hodographe et du vecteur vitesse d'un point $P$ à un instant $t_{0}$ quasi Modèle:Nobr du repérage sur l'hodographe $($ voir ci-contre à droite $)$ ,
Modèle:Alil suffit alors de reporter « ${\vec{V}}_{P_{0}} (t) \hat{=} {\vec{a}}_{M_{0}} (t)$ en $M_{0}$ » sur $(𝒯)$ , le vecteur accélération étant alors représenté avec l'échelle des accélérations « $1 c m \cdot {(2 δ t)}^{- 2} \hat{=} 1 c m$ » ^[22] $($ voir figure ci-contre à gauche avec le report en bleu des vecteurs vitesse des points de l'hodographe, lesquels vecteurs vitesse s'identifient aux vecteurs accélérations des points de la trajectoire correspondants $)$ .

Modèle:AlContournement de l'utilisation de l'hodographe de pôle

O

du mouvement de

M

^[39] : on peut déterminer directement sur l'enregistrement du mouvement de

M

à intervalles de temps réguliers, le vecteur accélération en un point

M (t_{0})

sans faire le tracé de l'hodographe ; pour cela
Modèle:Al Modèle:Transparenton détermine les vecteurs vitesse dans les deux positions précédant et suivant le point

M (t_{0})

soit «

{\begin{matrix} {\vec{V}}_{M} (t_{0} - δ t) ≃ \frac{\vec{M_{t_{0} - 2 δ t} M_{t_{0}}}}{2 δ t} \\ {\vec{V}}_{M} (t_{0} + δ t) ≃ \frac{\vec{M_{t_{0}} M_{t_{0} + 2 δ t}}}{2 δ t} \end{matrix}}

» puis on utilise «

{\vec{a}}_{M} (t_{0}) ≃ \frac{{\vec{V}}_{M} (t_{0} + δ t) - {\vec{V}}_{M} (t_{0} - δ t)}{2 δ t}

» ^[40] ou, avec le report des expressions de

{\vec{V}}_{M} (t_{0} + δ t)

et

{\vec{V}}_{M} (t_{0} - δ t)

, «

{\vec{a}}_{M} (t_{0}) ≃ \frac{\frac{\vec{M_{t_{0}} M_{t_{0} + 2 δ t}}}{2 δ t} - \frac{\vec{M_{t_{0} - 2 δ t} M_{t_{0}}}}{2 δ t}}{2 δ t} = \frac{\vec{M_{t_{0}} M_{t_{0} + 2 δ t}} - \vec{M_{t_{0} - 2 δ t} M_{t_{0}}}}{4 {(δ t)}^{2}}

» soit,

avec l'échelle des accélérations «

1 c m \cdot {(2 δ t)}^{- 2} \hat{=} 1 c m

» ^[22],
«

{\vec{a}}_{M} (t_{0})

déterminé en formant, à partir de

M (t_{0})

, la différence entre

\vec{M_{t_{0}} M_{t_{0} + 2 δ t}}

et

\vec{M_{t_{0} - 2 δ t} M_{t_{0}}}

»

\dots

Modèle:AlSur la figure ci-dessus à gauche, la construction sans référence à l'hodographe de pôle $O$ de l'enregistrement du mouvement de $M$
Modèle:Al Modèle:Transparenta été explicitée en vert, avec l'échelle des accélérations précédemment définie,
Modèle:Al Modèle:Transparentpour le vecteur accélération ${\vec{a}}_{M_{2}}$ en formant, à partir de $M_{2}$ , la différence entre $\vec{M_{2} M_{4}}$ et $\vec{M_{0} M_{2}} \dots$

Exploitation d'un enregistrement vidéo pour déterminer quantitativement l'évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération

Modèle:AlIl est possible de travailler sur un enregistrement vidéo $($ fait par vous-même ^[41] ou téléchargé ^[42] $)$
Modèle:Al Modèle:Transparentpour déterminer le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération du point à un instant quasi quelconque ^[20],
Modèle:Al Modèle:Transparentles échelles des vitesses et des accélérations pouvant être différentes de celles simplificatrices utilisées précédemment $\dots$

Notes et références

↑ Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
↑ Trois siècles plus tard, Einstein postule que l'espace a une géométrie dépendant de la matière et de l'énergie qu'il contient, l'espace n'est donc pas considéré par lui comme absolu mais dépendant de son contenu ;
Modèle:AlAlbert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑
Trois siècles plus tard, Einstein postule que le temps n'est pas absolu,
- d'une part il n'est pas le même pour deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre ${$ le temps " s'écoule " plus lentement pour un observateur immobile que pour un observateur mobile relativement à l'espace c'est ce qui est appelé la « dilatation du temps » $}$ ,
- d'autre part il dépend de l'espace dans la mesure où il n'est pas le même dans le vide stellaire et dans le champ d'une planète ou d'une étoile ${$ le temps " s'écoulant " plus lentement voire beaucoup plus lentement dans le champ d'une très grosse étoile $($ à tel point que son écoulement s'arrête sur l'horizon d'un trou noir $)}$ ;
Modèle:AlAlbert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en 1896 puis suisse en 1901 ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en 1905, la relativité générale en 1916 ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en 1921 pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Un solide $($ au sens de la mécanique $)$ est un système de points matériels indéformable.
↑ Une horloge est un appareil reproduisant un phénomène répétitif.
↑ Le sens est en effet toujours choisi du passé vers le futur.
↑ Toutefois, en cinématique newtonienne, l'espace et le temps restant indépendants, on peut se contenter de parler de référentiel d'espace et de référentiel de temps ;
Modèle:Alpar contre ceci n'est plus vrai en cinématique relativiste $($ l'espace dépendant du temps et inversement $)$ , il est alors nécessaire d'introduire un référentiel d'espace - temps.
↑ Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » dans le chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${$ son orientation suivant la « règle de la main droite » décrite dans la note « ¹² » du chapitre précité $}$ .
↑ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le sens d'évolution du temps étant fixé du passé vers le futur, le vecteur unitaire de repérage du temps se limite au choix d'une unité.
↑ ^11,0 et ^11,1 Voir le paragraphe « repérage intrinsèque d'un point dans l'espace » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Mais en fait il suffit que $O$ soit un point fixe du repère.
↑ C.-à-d. de repérage n'utilisant pas de base.
↑ L'événement étant l'occupation par le point d'une position de l'espace.
↑ En mathématique on note différemment la fonction et la valeur de la fonction pour une valeur de variable selon « $t \overset{f}{⟼} y = f (t)$ »,
Modèle:Alen physique on adopte le plus souvent une même notation pour éviter l'inflation des notations « $t \overset{y}{⟼} y = y (t)$ ».
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ De paramètre $t$ .
↑ Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
Modèle:Alon peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur position $d \vec{O M}$ et celle du temps $d t$ notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^19,0 et ^19,1 On a tracé la trajectoire par continuité associée à une certaine régularité mais ce tracé ne figure pas sur l'enregistrement.
↑ ^20,0 ^20,1 et ^20,2 À l'exception des instants initial et final $\dots$
↑ La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant $t_{0}^{+}$ selon « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}^{+}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0})}{δ t}$ » ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de la dérivée du vecteur position à l'instant $t_{0}^{-}$ selon « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}^{-}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{-}} \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0})}{δ t} = \lim \limits_{δ t^{'} \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0} - δ t^{'}) - \vec{O M} (t_{0})}{- δ t^{'}}$ »,
Modèle:Alces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse $($ ce que nous présupposons $)$ on peut réécrire le vecteur vitesse du point $M$ à la date $t_{0}$ « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}) = \frac{{\vec{V}}_{M} (t_{0}^{+}) + {\vec{V}}_{M} (t_{0}^{-})}{2}$ $= \frac{\lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0})}{δ t} + \lim \limits_{δ t^{'} \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0}) - \vec{O M} (t_{0} - δ t^{'})}{δ t^{'}}}{2}$ » soit, en posant $δ t^{'} = δ t$ pour symétriser l'expression, « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0} - δ t)}{2 δ t}$ » et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de $\vec{O M}$ pour $δ t$ petit avec sa limite quand $δ t \to 0$ .
↑ ^22,0 ^22,1 ^22,2 ^22,3 ^22,4 et ^22,5 Le symbole « $\hat{=}$ » signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte.
↑ ^23,0 et ^23,1 On a tracé l'hodographe par continuité associée à une certaine régularité de ce dernier.
↑ ^24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position de $M$ , nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.
↑ ^25,0 et ^25,1 Par abus d'écriture on écrira « $\vec{O P} (t) = {\vec{V}}_{M} (t)$ » sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.
↑ Voir le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Cette façon de procéder nécessitant un mouvement sur la courbe continue représente une « définition cinématique du vecteur déplacement élémentaire » alors que celle qui a été introduite dans le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » représente une « définition géométrique du vecteur déplacement élémentaire » indépendante de tout mouvement sur la courbe.
↑ ^28,0 et ^28,1 Position non anguleuse sur la trajectoire $($ on rappelle qu'en un point anguleux d'une courbe continue on définit deux demi-tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, alors que pour un point non anguleux il n'existe qu'une seule tangente, nous n'envisageons pas le cas de figure avec un point anguleux $)$ .
↑ On utilise la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable valable dans la mesure où $d t$ est un infiniment petit $[$ la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ .
↑ Car la différentielle est en fait indépendante du choix de $O$ .
↑ Voir le paragraphe « propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Revoir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle et sa façon de la calculer » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ L'instant où le vecteur déplacement élémentaire est défini n'est pas usuellement indiqué dans la notation $\vec{d M}$ mais il en dépend évidemment.
↑ Contrairement à ce qu'on fait usuellement l'instant de définition du vecteur déplacement élémentaire a été précisé sous la forme $\vec{d M} (t)$ pour que la dépendance relativement à $t$ du vecteur vitesse soit également présente dans le 2^nd membre.
↑ Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
Modèle:Alon peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur vitesse $d {\vec{V}}_{M}$ et celle du temps $d t$ notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles 2^ndes sont notées en surmontant la fonction de deux points successifs, mais
Modèle:Alon peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée seconde » dont nous nous contenterons de dire qu'il s'agit de la notation contractée de « $\frac{d \dot{f}}{d t} (t) = \frac{d \frac{d f}{d t}}{d t} (t)$ » sans chercher une autre signification, ce qui nécessiterait d'introduire trop de notions nouvelles $\dots$
↑ Voir le paragraphe « évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point » plus haut dans ce chapitre.
↑ La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant $t_{0}^{+}$ selon « ${\vec{V}}_{P} (t_{0}^{+}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0})}{δ t}$ » ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle à l'instant $t_{0}^{-}$ selon « ${\vec{V}}_{P} (t_{0}^{-}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{-}} \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0})}{δ t} = \lim \limits_{δ t^{'} \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0} - δ t^{'}) - \vec{O P} (t_{0})}{- δ t^{'}}$ »,
Modèle:Alces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse sur l'hodographe $($ et donc par continuité du vecteur accélération sur la trajectoire, ce que nous présupposons $)$ d'où « ${\vec{V}}_{P} (t_{0}) =$ $\frac{{\vec{V}}_{P} (t_{0}^{+}) + {\vec{V}}_{P} (t_{0}^{-})}{2} = \frac{\lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0})}{δ t} + \lim \limits_{δ t^{'} \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0}) - \vec{O P} (t_{0} - δ t^{'})}{δ t^{'}}}{2}$ » ou, avec $δ t^{'} = δ t$ , « ${\vec{V}}_{P} (t_{0}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0} - δ t)}{2 δ t}$ » et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de $\vec{O P}$ pour $δ t$ petit avec sa limite quand $δ t \to 0$ .
↑ La notion d'hodographe de pôle $O$ du mouvement de $M$ est un complément de programme de physique de P.C.S.I. mais l'évaluation du vecteur accélération du point $M$ directement sur l'enregistrement en est une exigence.
↑ La justification reproduit celle qui a été donnée pour « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}) ≃ \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0} - δ t)}{2 δ t}$ » en remplaçant « $\vec{O M} (t)$ par ${\vec{V}}_{M} (t)$ » et « ${\vec{V}}_{M} (t)$ par ${\vec{a}}_{M} (t)$ » $\dots$
↑ Vous pouvez disposer, dans ce cas, du logiciel « AviStep » permettant de faire les pointages et les mesures, ce dernier est téléchargeable gratuitement à l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html ».
↑ À l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html » il est aussi possible de télécharger des exemples de vidéo et de les traiter à l'aide du logiciel « AviStep » ;
Modèle:Alun autre exemple se trouve à l'adresse « http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/vaTS.swf » où on trouve un enregistrement vidéo à télécharger permettant de suivre le tracé d'un vecteur vitesse à partir des positions régulières du mouvement d'un ballon de basket puis le tracé d'un vecteur accélération $($ les fichiers d'extension « .swf » étant en désuétude, le lecteur qui permettait initialement de les ouvrir n'est plus disponible, toutefois on trouve encore des lecteurs pour les ouvrir voir le site « https://recoverit.wondershare.fr/video-recovery/what-is-swf-file.html » $)$ .

Modèle:Bas de page

[Newton-1] Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.

[2] Trois siècles plus tard, Einstein postule que l'espace a une géométrie dépendant de la matière et de l'énergie qu'il contient, l'espace n'est donc pas considéré par lui comme absolu mais dépendant de son contenu ;
Modèle:AlAlbert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[3] Trois siècles plus tard, Einstein postule que le temps n'est pas absolu,
d'une part il n'est pas le même pour deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre ${$ le temps " s'écoule " plus lentement pour un observateur immobile que pour un observateur mobile relativement à l'espace c'est ce qui est appelé la « dilatation du temps » $}$ ,

d'autre part il dépend de l'espace dans la mesure où il n'est pas le même dans le vide stellaire et dans le champ d'une planète ou d'une étoile ${$ le temps " s'écoulant " plus lentement voire beaucoup plus lentement dans le champ d'une très grosse étoile $($ à tel point que son écoulement s'arrête sur l'horizon d'un trou noir $)}$ ;
Modèle:AlAlbert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[4] 'une part il n'est pas le même pour deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre ${$ le temps " s'écoule " plus lentement pour un observateur immobile que pour un observateur mobile relativement à l'espace c'est ce qui est appelé la « dilatation du temps » $}$ ,

[5] 'autre part il dépend de l'espace dans la mesure où il n'est pas le même dans le vide stellaire et dans le champ d'une planète ou d'une étoile ${$ le temps " s'écoulant " plus lentement voire beaucoup plus lentement dans le champ d'une très grosse étoile $($ à tel point que son écoulement s'arrête sur l'horizon d'un trou noir $)}$ ;

[4] Un solide $($ au sens de la mécanique $)$ est un système de points matériels indéformable.

[5] Une horloge est un appareil reproduisant un phénomène répétitif.

[6] Le sens est en effet toujours choisi du passé vers le futur.

[7] Toutefois, en cinématique newtonienne, l'espace et le temps restant indépendants, on peut se contenter de parler de référentiel d'espace et de référentiel de temps ;
Modèle:Alpar contre ceci n'est plus vrai en cinématique relativiste $($ l'espace dépendant du temps et inversement $)$ , il est alors nécessaire d'introduire un référentiel d'espace - temps.

[base_directe-8] Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » dans le chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${$ son orientation suivant la « règle de la main droite » décrite dans la note « ¹² » du chapitre précité $}$ .

[orienté_à_droite-9] Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[10] Le sens d'évolution du temps étant fixé du passé vers le futur, le vecteur unitaire de repérage du temps se limite au choix d'une unité.

[vecteur_position-11] 11,0 et ^11,1 Voir le paragraphe « repérage intrinsèque d'un point dans l'espace » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[12] Mais en fait il suffit que $O$ soit un point fixe du repère.

[13] C.-à-d. de repérage n'utilisant pas de base.

[14] L'événement étant l'occupation par le point d'une position de l'espace.

[abus_de_notation-15] En mathématique on note différemment la fonction et la valeur de la fonction pour une valeur de variable selon « $t \overset{f}{⟼} y = f (t)$ »,
Modèle:Alen physique on adopte le plus souvent une même notation pour éviter l'inflation des notations « $t \overset{y}{⟼} y = y (t)$ ».

[16] Voir le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[17] De paramètre $t$ .

[18] Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
Modèle:Alon peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur position $d \vec{O M}$ et celle du temps $d t$ notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[Tracé_de_la_trajectoire-19] 19,0 et ^19,1 On a tracé la trajectoire par continuité associée à une certaine régularité mais ce tracé ne figure pas sur l'enregistrement.

[Sauf_initial_et_final-20] 20,0 ^20,1 et ^20,2 À l'exception des instants initial et final $\dots$

[justification_de_l'obtention_d'un_vecteur_vitesse-21] La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant $t_{0}^{+}$ selon « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}^{+}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0})}{δ t}$ » ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de la dérivée du vecteur position à l'instant $t_{0}^{-}$ selon « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}^{-}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{-}} \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0})}{δ t} = \lim \limits_{δ t^{'} \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0} - δ t^{'}) - \vec{O M} (t_{0})}{- δ t^{'}}$ »,
Modèle:Alces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse $($ ce que nous présupposons $)$ on peut réécrire le vecteur vitesse du point $M$ à la date $t_{0}$ « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}) = \frac{{\vec{V}}_{M} (t_{0}^{+}) + {\vec{V}}_{M} (t_{0}^{-})}{2}$ $= \frac{\lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0})}{δ t} + \lim \limits_{δ t^{'} \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0}) - \vec{O M} (t_{0} - δ t^{'})}{δ t^{'}}}{2}$ » soit, en posant $δ t^{'} = δ t$ pour symétriser l'expression, « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0} - δ t)}{2 δ t}$ » et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de $\vec{O M}$ pour $δ t$ petit avec sa limite quand $δ t \to 0$ .

[signification_du_signe_égal_surmonté_d'un_chapeau-22] 22,0 ^22,1 ^22,2 ^22,3 ^22,4 et ^22,5 Le symbole « $\hat{=}$ » signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte.

[Tracé_de_l'hodographe-23] 23,0 et ^23,1 On a tracé l'hodographe par continuité associée à une certaine régularité de ce dernier.

[pôle_de_l'hodographe-24] 24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position de $M$ , nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.

[notation_simplifiée_du_signe_égal_surmonté_d'un_chapeau-25] 25,0 et ^25,1 Par abus d'écriture on écrira « $\vec{O P} (t) = {\vec{V}}_{M} (t)$ » sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.

[abscisse_curviligne-26] Voir le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[27] Cette façon de procéder nécessitant un mouvement sur la courbe continue représente une « définition cinématique du vecteur déplacement élémentaire » alors que celle qui a été introduite dans le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » représente une « définition géométrique du vecteur déplacement élémentaire » indépendante de tout mouvement sur la courbe.

[non_anguleux-28] 28,0 et ^28,1 Position non anguleuse sur la trajectoire $($ on rappelle qu'en un point anguleux d'une courbe continue on définit deux demi-tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, alors que pour un point non anguleux il n'existe qu'une seule tangente, nous n'envisageons pas le cas de figure avec un point anguleux $)$ .

[29] On utilise la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable valable dans la mesure où $d t$ est un infiniment petit $[$ la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ .

[30] Car la différentielle est en fait indépendante du choix de $O$ .

[31] Voir le paragraphe « propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[32] Revoir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle et sa façon de la calculer » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[33] L'instant où le vecteur déplacement élémentaire est défini n'est pas usuellement indiqué dans la notation $\vec{d M}$ mais il en dépend évidemment.

[34] Contrairement à ce qu'on fait usuellement l'instant de définition du vecteur déplacement élémentaire a été précisé sous la forme $\vec{d M} (t)$ pour que la dépendance relativement à $t$ du vecteur vitesse soit également présente dans le 2^nd membre.

[35] Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
Modèle:Alon peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur vitesse $d {\vec{V}}_{M}$ et celle du temps $d t$ notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[36] Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles 2^ndes sont notées en surmontant la fonction de deux points successifs, mais
Modèle:Alon peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée seconde » dont nous nous contenterons de dire qu'il s'agit de la notation contractée de « $\frac{d \dot{f}}{d t} (t) = \frac{d \frac{d f}{d t}}{d t} (t)$ » sans chercher une autre signification, ce qui nécessiterait d'introduire trop de notions nouvelles $\dots$

[37] Voir le paragraphe « évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point » plus haut dans ce chapitre.

[justification_de_l'obtention_d'un_vecteur_vitesse_-_bis-38] La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant $t_{0}^{+}$ selon « ${\vec{V}}_{P} (t_{0}^{+}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0})}{δ t}$ » ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle à l'instant $t_{0}^{-}$ selon « ${\vec{V}}_{P} (t_{0}^{-}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{-}} \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0})}{δ t} = \lim \limits_{δ t^{'} \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0} - δ t^{'}) - \vec{O P} (t_{0})}{- δ t^{'}}$ »,
Modèle:Alces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse sur l'hodographe $($ et donc par continuité du vecteur accélération sur la trajectoire, ce que nous présupposons $)$ d'où « ${\vec{V}}_{P} (t_{0}) =$ $\frac{{\vec{V}}_{P} (t_{0}^{+}) + {\vec{V}}_{P} (t_{0}^{-})}{2} = \frac{\lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0})}{δ t} + \lim \limits_{δ t^{'} \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0}) - \vec{O P} (t_{0} - δ t^{'})}{δ t^{'}}}{2}$ » ou, avec $δ t^{'} = δ t$ , « ${\vec{V}}_{P} (t_{0}) = \lim \limits_{δ t \to 0^{+}} \frac{\vec{O P} (t_{0} + δ t) - \vec{O P} (t_{0} - δ t)}{2 δ t}$ » et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de $\vec{O P}$ pour $δ t$ petit avec sa limite quand $δ t \to 0$ .

[39] La notion d'hodographe de pôle $O$ du mouvement de $M$ est un complément de programme de physique de P.C.S.I. mais l'évaluation du vecteur accélération du point $M$ directement sur l'enregistrement en est une exigence.

[40] La justification reproduit celle qui a été donnée pour « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}) ≃ \frac{\vec{O M} (t_{0} + δ t) - \vec{O M} (t_{0} - δ t)}{2 δ t}$ » en remplaçant « $\vec{O M} (t)$ par ${\vec{V}}_{M} (t)$ » et « ${\vec{V}}_{M} (t)$ par ${\vec{a}}_{M} (t)$ » $\dots$

[41] Vous pouvez disposer, dans ce cas, du logiciel « AviStep » permettant de faire les pointages et les mesures, ce dernier est téléchargeable gratuitement à l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html ».

[42] À l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html » il est aussi possible de télécharger des exemples de vidéo et de les traiter à l'aide du logiciel « AviStep » ;
Modèle:Alun autre exemple se trouve à l'adresse « http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/vaTS.swf » où on trouve un enregistrement vidéo à télécharger permettant de suivre le tracé d'un vecteur vitesse à partir des positions régulières du mouvement d'un ballon de basket puis le tracé d'un vecteur accélération $($ les fichiers d'extension « .swf » étant en désuétude, le lecteur qui permettait initialement de les ouvrir n'est plus disponible, toutefois on trouve encore des lecteurs pour les ouvrir voir le site « https://recoverit.wondershare.fr/video-recovery/what-is-swf-file.html » $)$ .

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Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités

Sommaire

Espace et temps classiques en cinématique newtonienne

Caractère « absolu » de l'espace et du temps en cinématique newtonienne

Référentiel d'espace

Référentiel de temps

Référentiel d'espace-temps

Référentiel d'observation, caractère relatif du mouvement

Choix d'un référentiel d'observation (ou d'étude) pour définir le mouvement d'un point

Choix d'un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) pour quantifier le mouvement du point

Repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation)

Définition de l'unité légale de temps « la seconde » (symbole « s »)

Définition de l'unité légale de longueur « le mètre » (symbole « m »)

Caractère relatif du mouvement du point

Description « intrinsèque » du mouvement d'un point, loi horaire vectorielle

Repérage intrinsèque du point M dans le référentiel d'espace, vecteur position de M

Repérage d'un événement lié à M dans le référentiel de temps, date de l'événement

Loi horaire vectorielle décrivant le mouvement de M relativement au référentiel d'étude

Trajectoire du mouvement de M dans le référentiel d'étude

Définition du vecteur vitesse du point, évaluation à partir d'un enregistrement régulier des positions et notion d'hodographe de pôle O du mouvement du point

Définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude

Évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M

Construction de l'hodographe de pôle O du mouvement de M à partir d'un enregistrement régulier des positions du point

Vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse

Définition du vecteur accélération du point, évaluation à partir de la détermination régulière des points de l'hodographe du mouvement de pôle O (ou directement sur la trajectoire)

Définition (intrinsèque) du vecteur accélération du point M dans le référentiel d'étude

Lien avec l'hodographe de pôle O du mouvement de M

Évaluation du vecteur accélération du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Exploitation d'un enregistrement vidéo pour déterminer quantitativement l'évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération

Notes et références

Menu de navigation

Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités

Espace et temps classiques en cinématique newtonienne

Caractère « absolu » de l'espace et du temps en cinématique newtonienne

Référentiel d'espace

Référentiel de temps

Référentiel d'espace-temps

Référentiel d'observation, caractère relatif du mouvement

Choix d'un référentiel d'observation (ou d'étude) pour définir le mouvement d'un point

Choix d'un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) pour quantifier le mouvement du point

Repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation)

Définition de l'unité légale de temps « la seconde » (symbole « s »)

Définition de l'unité légale de longueur « le mètre » (symbole « m »)

Caractère relatif du mouvement du point

Description « intrinsèque » du mouvement d'un point, loi horaire vectorielle

Repérage intrinsèque du point M dans le référentiel d'espace, vecteur position de M

Repérage d'un événement lié à M dans le référentiel de temps, date de l'événement

Loi horaire vectorielle décrivant le mouvement de M relativement au référentiel d'étude

Trajectoire du mouvement de M dans le référentiel d'étude

Définition du vecteur vitesse du point, évaluation à partir d'un enregistrement régulier des positions et notion d'hodographe de pôle O du mouvement du point

Définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude

Évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M

Construction de l'hodographe de pôle O du mouvement de M à partir d'un enregistrement régulier des positions du point

Vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse

Définition du vecteur accélération du point, évaluation à partir de la détermination régulière des points de l'hodographe du mouvement de pôle O (ou directement sur la trajectoire)

Définition (intrinsèque) du vecteur accélération du point M dans le référentiel d'étude

Lien avec l'hodographe de pôle O du mouvement de M

Évaluation du vecteur accélération du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Exploitation d'un enregistrement vidéo pour déterminer quantitativement l'évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération

Notes et références

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