Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Formes différentielles et différentielles de fonctions

Forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »

Définition d'une forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »

Modèle:AlOn appelle « forme différentielle des variables indépendantes$(x,y,z)$ », toute expression formée à partir des trois fonctions scalaires de classe $C^1$
Modèle:AlModèle:Transparent$\{A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z)\}$
Modèle:AlModèle:Transparentdes trois variables indépendantes $(x,y,z)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentdes trois éléments différentiels $(dx,dy,dz)$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz$» .

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace tridimensionnel

Modèle:AlSi $(x,y,z)$ sont les coordonnées cartésiennes du point générique $M$ de l'espace à trois dimensions,
Modèle:AlModèle:Transparentla circulation élémentaire du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)=A_x(M){\overrightarrow{u}}_x+A_y(M){\overrightarrow{u}}_y+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z$
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinie selon $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$est une forme différentielle car
Modèle:AlModèle:Transparent$\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=A_x(M)dx+A_y(M)dy+A_z(M)dz$,
Modèle:AlModèle:Transparentles trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant respectivement
Modèle:AlModèle:Transparentles trois composantes cartésiennes du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ soit $\left\{\begin{array}{c}A(x,y,z)=A_x(M)\\ B(x,y,z)=A_y(M)\\ C(x,y,z)=A_z(M)\end{array}\right\}$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'un point dans l'espace tridimensionnel

Modèle:AlSi $(\rho ,\theta ,z)$ sont les coordonnées cylindro-polaires $($ou cylindriques$)$ du point générique $M$ de l'espace à trois dimensions ,
Modèle:AlModèle:Transparentla circulation élémentaire du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)=A_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z$
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinie selon $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$est une forme différentielle car
Modèle:AlModèle:Transparent$\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=A_{\rho }(M)d\rho +A_{\theta }(M)\rho d\theta +A_z(M)dz$,
Modèle:AlModèle:Transparentles trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant liées aux
Modèle:AlModèle:Transparenttrois composantes cylindro-polaires $($ou cylindriques$)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ par
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{c}A(\rho ,\theta ,z)=A_{\rho }(M)\\ B(\rho ,\theta ,z)=\rho A_{\theta }(M)\\ C(\rho ,\theta ,z)=A_z(M)\end{array}\right\}$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées sphériques d'un point dans l'espace tridimensionnel

Modèle:AlSi $(r,\theta ,\phi )$ sont les coordonnées sphériques du point générique $M$ de l'espace à trois dimensions ,
Modèle:AlModèle:Transparentla circulation élémentaire du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)=A_r(M){\overrightarrow{u}}_r(M)+A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)$
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinie selon $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$est une forme différentielle car
Modèle:AlModèle:Transparent$\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=A_r(M)dr+A_{\theta }(M)rd\theta +A_{\phi }(M)r\sin (\theta )d\phi$,
Modèle:AlModèle:Transparentles trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant liées aux
Modèle:AlModèle:Transparenttrois composantes sphériques du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ par $\left\{\begin{array}{c}A(r,\theta ,\phi )=A_r(M)\\ B(r,\theta ,\phi )=r{A}_{\theta }(M)\\ C(r,\theta ,\phi )=r\sin (\theta )A_{\phi }(M)\end{array}\right\}$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes ne sont pas des coordonnées d'un point de l'espace

Modèle:AlNous aurons de nombreux exemples dans le domaine de la thermodynamique ou de la statique des fluides, les variables indépendantes pouvant être

• définies en chaque point $M$ de l'espace comme la température absolue $T_M$, la pression $p_M$, la concentration volumique molaire $c_M$ ou la masse volumique ${\mu }_M$ ou
• définies pour l'ensemble du système $(\mathrm{\Sigma })$ étudié comme le volume $V_{(\mathrm{\Sigma })}$, la quantité de matière $n_{(\mathrm{\Sigma })}$ ou la masse $m_{(\mathrm{\Sigma })}$ ou encore
• un ensemble des deux judicieusement défini $\dots$

Distinction entre forme différentielle et différentielle de fonction scalaire des variables indépendantes « x, y et z »

Dans ce paragraphe, $(x,y,z)$ désigne n'importe quel type de variables indépendantes .

Rappel sur la notion de différentielle d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes et généralisation à plus de deux variables indépendantes

Modèle:AlRevoir la « notion de différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentla « définition correspondante » introduites au chap.

$6$

de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit

pour la fonction scalaire des deux variables indépendantes $(x,y)\stackrel{f}{\to }f(x,y)\in ℝ,\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2$,
la différentielle $df$ définie au point $(x_0,y_0)$ selon $df={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)dx+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)dy$
dans laquelle ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)$ sont les dérivées partielles de $f$ au point en question Modèle:,  ;

Modèle:AlModèle:Transparentla généralisation à une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes est explicitée ci-dessous dans le cas de trois variables indépendantes soit

pour la fonction scalaire des trois variables indépendantes $(x,y,z)\stackrel{f}{\to }f(x,y,z)\in ℝ,\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {ℝ}^3$,
la différentielle $df$ définie en $(x_0,y_0,z_0)$ selon $df={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)dx+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)dy+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)dz$
dans laquelle ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)$, ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)$ sont les dérivées partielles de $f$ au point en question Modèle:, .

Distinction entre une « forme différentielle » et une « différentielle de fonction scalaire » (exposée dans le cas de deux variables indépendantes)

Modèle:AlLa différentielle$df$de la fonction scalaire$f$ des deux variables indépendantes $(x,y)$
Modèle:AlModèle:Transparentétant un cas particulier de forme différentielle${\delta }_{\text{forme diff}}(x,y)$ avec les deux fonctions $\{A(x,y),B(x,y)\}$, a priori indépendantes l'une de l'autre,
Modèle:AlModèle:Transparentliées entre elles comme dérivées partielles de la fonction $f$,
Modèle:AlModèle:Transparentnous qualifierons de « forme différentielle » la différentielle d'une fonction scalaire tant que
Modèle:AlModèle:Transparentnous n'aurons pas vérifié qu'il s'agit bien d'une différentielle de fonction scalaire $\dots$

Modèle:AlSi on intègre une forme différentielle quelconque des deux variables indépendantes $(x,y)$ à partir d'un point $M_1$ jusqu'à un point $M_2$ en suivant une courbe $(\mathrm{\Gamma })$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$si on obtient un résultat dépendant de la courbe$(\mathrm{\Gamma })$ suivie pour un même couple de points extrêmes $(M_1,M_2)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla forme différentielle n'est pas une différentielle de fonction scalaire mais
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$si on obtient un résultat indépendant de la courbe$(\mathrm{\Gamma })$ suivie pour un même couple de points extrêmes $(M_1,M_2)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla forme différentielle est en fait une différentielle de fonction scalaire .

Retour sur les exemples où les trois variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point de l'espace tridimensionnel

Correspondance entre « forme différentielle des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de cet espace »

Modèle:AlDans le cas où les variables indépendantes sont des coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point $M$ de l'espace tridimensionnel,
Modèle:AlModèle:Transparenttoute forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}(M)$ est la circulation élémentaire d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ et
Modèle:AlModèle:Transparenttoute circulation élémentaire d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ est une forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}(M)$ :

• en repérage cartésien $M(x,y,z)$, toute forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}(M)=A(M)dx+B(M)dy+C(M)dz$ est la circulation élémentaire du champ vectoriel
  Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{A}(M)\left\{\begin{array}{c}{A}_x(M)=A(M)\\ A_y(M)=B(M)\\ A_z(M)=C(M)\end{array}\right\}$,
• en repérage cylindro-polaire $M(\rho ,\theta ,z)$ toute forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}(M)=A(M)d\rho +B(M)d\theta +C(M)dz$ est la circulation élémentaire du champ vectoriel
  Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{A}(M)\left\{\begin{array}{c}{A}_{\rho }(M)=A(M)\\ A_{\theta }(M)=\frac{B(M)}{\rho }\\ A_z(M)=C(M)\end{array}\right\}$ et
• en repérage sphérique $M(r,\theta ,\phi )$ toute forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}(M)=A(M)dr+B(M)d\theta +C(M)d\phi$ est la circulation élémentaire du champ vectoriel
  Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{A}(M)\left\{\begin{array}{c}{A}_r(M)=A(M)\\ A_{\theta }(M)=\frac{B(M)}{r}\\ A_{\phi }(M)=\frac{C(M)}{r\sin (\theta )}\end{array}\right\}$.

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative » et correspondance entre la « circulation élémentaire d'un tel champ » et la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace »

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative »

Modèle:AlUn champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe$(\mathrm{\Gamma })$ de $M_1$ à $M_2$ c.-à-d. ${𝒞}_{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{A}(M)]=\underset{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}{\int }\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)$
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}{\int }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$
Modèle:AlModèle:Transparentest indépendante de la courbe$(\mathrm{\Gamma })$ suivie.

Correspondance entre « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative »

Modèle:AlCompte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : $\bullet$« toute forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}(M)$ dont l'intégrale en suivant une courbe $(\mathrm{\Gamma })$ à partir d'un point $M_1$ jusqu'à un point $M_2$
Modèle:AlModèle:Transparentest indépendante de la courbe suivie
Modèle:AlModèle:Transparentest une différentielle de fonction scalaire » ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« toute forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}(M)$ des coordonnées de l'espace
Modèle:AlModèle:Transparentest aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace » et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« tout champ vectoriel de l'espace dont la circulation le long de la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ de $M_1$ à $M_2$
Modèle:AlModèle:Transparentest indépendante de la courbe suivie
Modèle:AlModèle:Transparentest dit à circulation conservative » ,
Modèle:AlModèle:Transparenton en déduit $▸$toute « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace »
Modèle:AlModèle:Transparentest la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace
Modèle:AlModèle:Transparentà circulation conservative » et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$toute « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace à circulation conservative
Modèle:AlModèle:Transparentest la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace ».

Définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative »

Modèle:AlCompte-tenu de la correspondance entre une « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et
Modèle:AlModèle:Transparentla « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative »,
Modèle:AlModèle:Transparentnous en déduisons une définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative » :

Modèle:AlDéfinition équivalente : Un champ vectoriel de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire est une différentielle de fonction scalaire $($c.-à-d. une différentielle exacte $)$.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire (conditions d'« égalités des dérivées croisées »)

Recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire

Modèle:AlSoit ${\delta }_{\text{forme diff}}=A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz$ une forme différentielle qui est la différentielle d'une fonction scalaire $f(x,y,z)$ c.-à-d. telle que
Modèle:AlModèle:Transparent${\delta }_{\text{forme diff}}=df$ avec $df={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)dx+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)dy+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)dz$, cette identification devant être vérifiée pour tout triplet $(dx,dy,dz)$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{c}A(M)={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)\\ B(M)={\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)\\ C(M)={\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)\end{array}\right\}$ ;

Modèle:Allors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat $($théorème de Schwarz admis$)$
Modèle:AlModèle:Transparent$\Rightarrow$ les C.N. suivantes $\bullet$«${\left\{\frac{\partial \left[{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}\right]}{\partial y}\right\}}_{x,z}(M)={\left\{\frac{\partial \left[{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}\right]}{\partial x}\right\}}_{y,z}(M)$» $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial A}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)={\left(\frac{\partial B}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«${\left\{\frac{\partial \left[{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}\right]}{\partial z}\right\}}_{x,y}(M)={\left\{\frac{\partial \left[{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}\right]}{\partial x}\right\}}_{y,z}(M)$» $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial A}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)={\left(\frac{\partial C}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«${\left\{\frac{\partial \left[{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}\right]}{\partial z}\right\}}_{x,y}(M)={\left\{\frac{\partial \left[{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}\right]}{\partial y}\right\}}_{x,z}(M)$» $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial B}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)={\left(\frac{\partial C}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)$.

Modèle:AlCes trois C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire $($c.-à-d. une différentielle exacte $)$
Modèle:AlModèle:Transparentsont connues sous le nom de « conditions d'égalités des dérivées croisées » .

Intégration d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée

Modèle:AlPréliminaire : Bien que les variables indépendantes au nombre de $2$ ou $3$ ne soient pas nécessairement des coordonnées de points de l'espace physique,
Modèle:AlModèle:Transparentnous pouvons construire un espace virtuel à $2$ ou $3$ dimensions tel qu'un point quelconque de cet espace virtuel ait pour coordonnées les variables indépendantes utilisées $[$par exemple,
Modèle:AlModèle:Transparenten thermodynamique ou statique des fluides, si les variables indépendantes sont la pression $p$ et la température absolue $T$,
Modèle:AlModèle:Transparentl'espace virtuel à $2$ dimensions serait généré par l'ensemble des couples $(T,p)$ possibles$]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton peut définir une courbe continue dans cet espace virtuel à $2$ ou $3$ dimensions par $2$ ou $3$ équations paramétriques ou
Modèle:AlModèle:Transparentpar $1$ ou $2$ équation(s) explicite(s) Modèle:, , et par conséquent
Modèle:AlModèle:Transparentdéfinir aussi une courbe continue fermée dans cet espace virtuel.

Modèle:AlSoit la différentielle $df$ de la fonction scalaire $f$ de deux variables indépendantes $(x,y)$ $\{$ou de trois variables indépendantes $(x,y,z)$$\}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentune courbe continue fermée $(\mathrm{\Gamma })$ de l'espace engendré par tous les couples $(x,y)$ possibles $\{$ou engendré par tous les triplets $(x,y,z)$ possibles$\}$,
Modèle:AlModèle:Transparentl'intégrale curviligne ${\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}df$ étant égale à ${[f(P)]}_{P_0}^{P_0}$ est nulle quelle que soit la courbe $(\mathrm{\Gamma })$.

Modèle:AlConclusion : L'intégrale d'une différentielle exacte sur une courbe continue fermée est nécessairement nulle c.-à-d. «${\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}df=0\mathrm{\forall }(\mathrm{\Gamma })$» .

Exemple de forme différentielle vérifiant les conditions d'« égalités des dérivées croisées » mais n'étant pas une différentielle de fonction scalaire

Modèle:AlSoit ${\delta }_{\text{forme diff}}=-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$ forme différentielle des deux variables indépendantes $(x,y)$ définie sur ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }\left\{(0,0)\right\}$ telle que
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccc}A(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}& \Rightarrow & {\left(\frac{\partial A}{\partial y}\right)}_x=-\frac{(x^2+y^2)-y2y}{{(x^2+y^2)}^2}=\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}\\ B(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}& \Rightarrow & {\left(\frac{\partial B}{\partial x}\right)}_y=\frac{(x^2+y^2)-x2x}{{(x^2+y^2)}^2}=\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ forme vérifiant la condition d'égalité des dérivées croisées mais
Modèle:AlModèle:Transparentce n'est pas la différentielle d'une fonction scalaire car « son intégrale sur un cercle $(\mathrm{\Gamma })$ de centre $(0,0)$ ne donne pas $0$» en effet
Modèle:AlModèle:Transparent$(\mathrm{\Gamma })$ étant un cercle de centre $O$, le meilleur repérage du point générique $P$ de $(\mathrm{\Gamma })$ est $P(r,\theta )$ $\{$coordonnées polaires de pôle $(0,0)\}$ où
Modèle:AlModèle:Transparent$r$ est le rayon du cercle, d'où,
Modèle:AlModèle:Transparentavec $\left\{\begin{array}{ccc}x=r\cos (\theta )& \Rightarrow & dx=-r\sin (\theta )d\theta \\ y=r\sin (\theta )& \Rightarrow & dy=r\cos (\theta )d\theta \end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ la réécriture de la forme différentielle en restant sur $(\mathrm{\Gamma })$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent${\delta }_{\text{forme diff sur}(\mathrm{\Gamma })}=-\frac{\sin (\theta )}{r}[-r\sin (\theta )d\theta ]+\frac{\cos (\theta )}{r}[r\cos (\theta )d\theta ]=d\theta$ et par suite
Modèle:AlModèle:Transparent${\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy={\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}{\delta }_{\text{forme diff}}$ $=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta =2\pi$ et donc $\ne 0$.

Modèle:AlConclusion : Les conditions d'égalité des dérivées croisées vérifiées par une forme différentielle $($alors qualifiée de « fermée »$)$ne sont pas suffisantes pour que cette forme soit une différentielle exacte .

Conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire

Modèle:AlPréliminaire : Une partie $U$ de ${ℝ}^n,n\in {\mathbb{N}}^{*}$, est dite « étoilée » lorsque «$U$ contient au moins un point $P$ tel que le segment $\left[PQ\right]\subset U$ $\mathrm{\forall }Q\in U$»  ;
Modèle:AlModèle:Transparentune partie $U$ de ${ℝ}^n,n\in {\mathbb{N}}^{*}$, est dite « convexe » ssi $U$ est étoilée par rapport à chacun de ses points.

Modèle:AlNous admettrons le lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de ${ℝ}^n,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ :

Modèle:Théorème Modèle:AlDans le cas d'une forme différentielle sur laquelle le lemme de Poincaré s'applique, la fonction dont cette forme est la différentielle
Modèle:AlModèle:Transparentest appelée « primitive de la forme différentielle sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».

Modèle:AlRemarques : La forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$ des deux variables indépendantes $(x,y)$ définie sur ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }\left\{(0,0)\right\}$ est effectivement fermée
Modèle:AlModèle:Transparentmais la partie$U$du domaine de définition choisie pour définir le cercle $(\mathrm{\Gamma })$ de centre $(0,0)$ et de rayon $r$ le long duquel on intègre la forme différentielle,
Modèle:AlModèle:Transparentà savoir $U$identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée$\{$en effet $P$ et $Q$ étant deux points diamétralement opposés sur le cercle,
Modèle:AlModèle:Transparentle segment $\left[PQ\right]\subset ̸U$ car il passe par le centre $(0,0)\in ̸U\}$, on en déduit que
Modèle:AlModèle:Transparentcette forme différentielle n'est pas exacte sur la partie $U$ identique au disque privé du centre.

Modèle:AlModèle:TransparentToutefois, en physique, les formes différentielles qui y sont introduites et qui sont fermées sont pratiquement toujours définies sur une partie étoilée et par conséquent
Modèle:AlModèle:Transparentsont des différentielles exactes .

Exemples de forme différentielle, déterminations (ou non) de sa fermeture puis des primitives de cette forme différentielle dans le cas où cette dernière est exacte

1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée

Modèle:AlLa forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz)dz$ est-elle fermée sur ${ℝ}^3$ $($c.-à-d. cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées$)$ ?

Modèle:AlPour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c.-à-d. des fonctions $\left\{\begin{array}{c}A(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)\\ B(x,y,z)=(2xy+2yz)\\ C(x,y,z)=(2xz)\end{array}\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparentrespectivement cœfficient de $\left\{\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right\}$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$${\left(\frac{\partial A}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)=2y\stackrel{\text{?}}{=}{\left(\frac{\partial B}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)=2y$ soit une 1^ère condition vérifiée ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$${\left(\frac{\partial A}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)=2z\stackrel{\text{?}}{=}{\left(\frac{\partial C}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)=2z$ soit une 2^ème condition vérifiée et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$${\left(\frac{\partial B}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)=2y\stackrel{\text{?}}{=}{\left(\frac{\partial C}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)=0$ soit une 3^ème condition non vérifiée  ;
Modèle:AlModèle:Transparentconclusion : la forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz)dz$
Modèle:AlModèle:Transparentn'étant pas fermée n'est donc pas une différentielle exacte et
Modèle:AlModèle:Transparenttoute tentative de recherche de primitive de cette forme différentielle conduirait à une impasse
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$voir la méthode de recherche dans le paragraphe suivant$\}$.

2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » fermée et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude

Modèle:AlLa forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz+y^2)dz$ est-elle fermée sur ${ℝ}^3$ $($c.-à-d. vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées$)$ ?

Modèle:AlPour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c.-à-d. des fonctions $\left\{\begin{array}{c}A(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)\\ B(x,y,z)=(2xy+2yz)\\ C(x,y,z)=(2xz+y^2)\end{array}\right\}$
Modèle:AlModèle:Transparentrespectivement cœfficient de $\left\{\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right\}$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$${\left(\frac{\partial A}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)=2y\stackrel{\text{?}}{=}{\left(\frac{\partial B}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)=2y$ soit une 1^ère condition vérifiée ,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$${\left(\frac{\partial A}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)=2z\stackrel{\text{?}}{=}{\left(\frac{\partial C}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)=2z$ soit une 2^ème condition vérifiée et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$${\left(\frac{\partial B}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)=2y\stackrel{\text{?}}{=}{\left(\frac{\partial C}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)=2y$ soit une 3^ème et dernière condition vérifiée  ;
Modèle:AlModèle:Transparentconclusion : la forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz+y^2)dz$
Modèle:AlModèle:Transparentétant fermée est vraisemblablement une différentielle exacte Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparenton peut donc se lancer dans la recherche des primitives de la forme différentielle $($voir ci-dessous$)$.

Modèle:AlRecherche de primitives de cette forme différentielle : identifiant la forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz+y^2)dz$
Modèle:AlModèle:Transparentavec la différentielle $df={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)dx+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)dy+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)dz$ de la fonction cherchée $f(x,y,z)$,
Modèle:AlModèle:Transparenton est donc amené à trouver une fonction $f(x,y,z)$ connaissant les trois dérivées partielles
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccccc}A(x,y,z)& =& x^2+y^2+z^2& =& {\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)\\ B(x,y,z)& =& 2xy+2yz& =& {\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)\\ C(x,y,z)& =& 2xz+y^2& =& {\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)\end{array}\right\}$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentpour cela il est conseillé de procéder exclusivement de la façon décrite ci-dessous  :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$à partir de ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, on intègre par rapport à $x$, $($en laissant $y$ et $z$ figés le temps de l'intégration$)$, soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$f(x,y,z)=\frac{x^3}{3}+y^{2}x+z^{2}x+\phi (y,z)$» avec «$\phi (y,z)$ fonction arbitraire des deux variables indépendantes $y$ et $z$» puis,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$on dérive l'expression précédente relativement à $y$ $($en laissant $x$ et $z$ figés le temps de la dérivation$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentdans le but d'introduire la fonction $\phi (y,z)$ restant à déterminer dans la 2^ème équation soit
Modèle:AlModèle:Transparent${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)=2yx+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y,z)$ d'où la réécriture de la 2^ème équation ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)=2xy+2yz$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent$2yx+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y,z)=2xy+2yz$ soit,
Modèle:AlModèle:Transparentaprès simplification évidente, ${\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y,z)=2yz$ que l'on intègre par rapport à $y$, $($en laissant $z$ figé le temps de l'intégration$)$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$\phi (y,z)=y^{2}z+F(z)$» où «$F(z)$ est une fonction arbitraire de la variable $z$» dont on déduit
Modèle:AlModèle:Transparent«$f(x,y,z)=\frac{x^3}{3}+y^{2}x+z^{2}x+y^{2}z+F(z)$» avec «$F(z)$ fonction arbitraire de la variable $z$» enfin,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$on dérive l'expression précédente relativement à $z$ $($en laissant $x$ et $y$ figés le temps de la dérivation$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentdans le but d'introduire la fonction $F(z)$ restant à déterminer dans la 3^ème équation soit
Modèle:AlModèle:Transparent${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)=2zx+y^2+\frac{dF}{dz}(z)$ d'où la réécriture de la 3^ème équation ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)=2xz+y^2$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent$2zx+y^2+\frac{dF}{dz}(z)=2xz+y^2$ soit,
Modèle:AlModèle:Transparentaprès simplification évidente, $\frac{dF}{dz}(z)=0$ que l'on intègre par rapport à $z$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$F(z)=cste$» $\Rightarrow$ les primitives de la forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz+y^2)dz$
Modèle:AlModèle:Transparent«$f(x,y,z)=\frac{x^3}{3}+y^{2}x+z^{2}x+y^{2}z+cste$».

Retour sur le 1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée et constatation du blocage de la méthode de recherche de primitives de cette forme en accord avec leur inexistence

Modèle:AlSupposons que nous n'ayons pas cherché à savoir si la forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz)dz$ est fermée sur ${ℝ}^3$ $($c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentsi cette forme vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées$)$ et que, néanmoins,
Modèle:AlModèle:Transparentnous appliquions la méthode de recherche de primitives exposée dans le paragraphe précédent alors qu'il n'existe pas de primitives pour cette forme ,
Modèle:AlModèle:Transparentla méthode appliquée doit nécessairement conduire à une impasse, c'est la description de cette impasse que l'on présente ci-dessous :

Modèle:AlModèle:TransparentSi nous identifions, $($à tort$)$, la forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz)dz$
Modèle:AlModèle:Transparentavec la différentielle $df={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)dx+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)dy+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)dz$ d'une fonction $f(x,y,z)$,
Modèle:AlModèle:Transparenton est amené à chercher une fonction $f(x,y,z)$ connaissant les trois dérivées partielles $\left\{\begin{array}{ccccc}A(x,y,z)& =& x^2+y^2+z^2& \stackrel{?}{=}& {\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)\\ B(x,y,z)& =& 2xy+2yz& \stackrel{?}{=}& {\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)\\ C(x,y,z)& =& 2xz& \stackrel{?}{=}& {\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)\end{array}\right\}$ ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$à partir de ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)\stackrel{?}{=}{x}^2+y^2+z^2$, on intègre par rapport à $x$, $($en laissant $y$ et $z$ figés le temps de l'intégration$)$, soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$f(x,y,z)=\frac{x^3}{3}+y^{2}x+z^{2}x+\phi (y,z)$» avec «$\phi (y,z)$ fonction arbitraire des deux variables indépendantes $y$ et $z$» puis,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$on dérive l'expression précédente relativement à $y$ $($en laissant $x$ et $z$ figés le temps de la dérivation$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentdans le but d'introduire la fonction $\phi (y,z)$ restant à déterminer dans la 2^ème équation soit
Modèle:AlModèle:Transparent${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)=2yx+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y,z)$ d'où la réécriture de la 2^ème équation ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)=2xy+2yz$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent$2yx+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y,z)=2xy+2yz$ soit,
Modèle:AlModèle:Transparentaprès simplification évidente, ${\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y,z)=2yz$ que l'on intègre par rapport à $y$, $($en laissant $z$ figé le temps de l'intégration$)$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$\phi (y,z)=y^{2}z+F(z)$» où «$F(z)$ est une fonction arbitraire de la variable $z$» dont on déduit
Modèle:AlModèle:Transparent«$f(x,y,z)=\frac{x^3}{3}+y^{2}x+z^{2}x+y^{2}z+F(z)$» avec «$F(z)$ fonction arbitraire de la variable $z$» enfin,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$on dérive l'expression précédente relativement à $z$ $($en laissant $x$ et $y$ figés le temps de la dérivation$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentdans le but d'introduire la fonction $F(z)$ restant à déterminer dans la 3^ème équation soit
Modèle:AlModèle:Transparent${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)=2zx+y^2+\frac{dF}{dz}(z)$ d'où la réécriture de la 3^ème équation ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)=2xz$ selon
Modèle:AlModèle:Transparent$2zx+y^2+\frac{dF}{dz}(z)=2xz$ soit,
Modèle:AlModèle:Transparentaprès simplification évidente, $\cancel{\frac{dF}{dz}(z)\stackrel{?}{=}-y^2}$ ce qui n'admet aucune solution du fait que $\frac{dF}{dz}(z)$ ne doit dépendre que de $z$ et aucunement de $y$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'impasse cherchée établissant qu'il n'existe aucune primitive de la forme différentielle ${\delta }_{\text{forme diff}}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz)dz$,
Modèle:AlModèle:Transparentla raison de cette impasse étant que cette forme n'est pas fermée Modèle:, et par conséquent encore moins exacte.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative et détermination des potentiels scalaires dont dérive un tel champ

Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences

Modèle:AlUn champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions étant « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire est une différentielle de fonction scalaire $($ou une différentielle exacte $)$ soit
Modèle:Transparent$\overrightarrow{A}(M)$ « à circulation conservative » ssi $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ est une différentielle exacte $\Rightarrow$
Modèle:Alla recherche de l'éventuel caractère « à circulation conservative » d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace à deux ou trois dimensions est équivalente à
Modèle:Alcelle de l'éventuel caractère « d'être une différentielle exacte » de la circulation élémentaire de ce champ vectoriel $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ et par suite,
Modèle:Alil suffira de travailler sur cette forme différentielle $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ pour en tirer toutes les conséquences sur le champ vectoriel dont elle est la circulation élémentaire .

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative

Modèle:AlD'après le « paragraphe précédent » les C.N. $($mais non suffisantes$)$ pour qu'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative » sont
Modèle:AlModèle:Transparentcelles pour lesquelles la circulation élémentaire du champ vectoriel $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ est une « différentielle exacte  » ;
Modèle:AlModèle:Transparentainsi, suivant la nature du repérage des points de l'espace $($supposé à trois dimensions$)$, nous obtenons :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$en repérage cartésien $\overrightarrow{A}(M)=A_x(M){\overrightarrow{u}}_x+A_y(M){\overrightarrow{u}}_y+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z$ $\Rightarrow$ $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=A_x(M)dx+A_y(M)dy+A_z(M)dz$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentles C.N. $($mais non suffisantes$)$ pour que $\overrightarrow{A}(M)$ soit « à circulation conservative » sont
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)={\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)\\ {\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)={\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)\\ {\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)={\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)\end{array}\right\}$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$en repérage cylindro-polaire $\overrightarrow{A}(M)=A_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }+A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z$ soit, avec $\overrightarrow{dM}=d\rho {\overrightarrow{u}}_{\rho }+\rho d\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }+dz{\overrightarrow{u}}_z$, on en déduit
Modèle:AlModèle:Transparent$\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=A_{\rho }(M)d\rho +A_{\theta }(M)\rho d\theta +A_z(M)dz$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentles C.N. $($mais non suffisantes$)$ pour que $\overrightarrow{A}(M)$ soit « à circulation conservative » sont
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{c}{\left[\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)={\left[\frac{\partial \left(\rho A_{\theta }\right)}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)\\ {\left[\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)={\left[\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)\\ {\left[\frac{\partial \left(\rho A_{\theta }\right)}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)={\left[\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)\end{array}\right\}$ ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)=A_{\theta }(M)+\rho {\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)\\ {\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)={\left(\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)\\ \rho {\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)={\left(\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)\end{array}\right\}$Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$en repérage sphérique $\overrightarrow{A}(M)=A_r(M){\overrightarrow{u}}_r+A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }$ soit, avec $\overrightarrow{dM}=dr{\overrightarrow{u}}_r+rd\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }+r\sin (\theta )d\phi {\overrightarrow{u}}_{\phi }$, on en déduit
Modèle:AlModèle:Transparent$\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=A_r(M)dr+A_{\theta }(M)rd\theta +A_{\phi }(M)r\sin (\theta )d\phi$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentles C.N. $($mais non suffisantes$)$ pour que $\overrightarrow{A}(M)$ soit « à circulation conservative » sont
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccc}{\left[\frac{\partial A_r}{\partial \theta }\right]}_{r,\phi }(M)& =& {\left[\frac{\partial \left(r{A}_{\theta }\right)}{\partial r}\right]}_{\theta ,\phi }(M)\\ {\left[\frac{\partial A_r}{\partial \phi }\right]}_{r,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial [r\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial r}\right]}_{\theta ,\phi }(M)\\ {\left[\frac{\partial \left(r{A}_{\theta }\right)}{\partial \phi }\right]}_{r,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial [r\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }\right]}_{r,\phi }(M)\end{array}\right\}$ ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial A_r}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }(M)=A_{\theta }(M)+r{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M)\\ {\left(\frac{\partial A_r}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M)=\sin (\theta )A_{\phi }(M)+r\sin (\theta ){\left(\frac{\partial A_{\phi }}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M)\\ \cancel{r}{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M)=\cancel{r}\cos (\theta )A_{\phi }(M)+\cancel{r}\sin (\theta ){\left(\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }(M)\end{array}\right\}$Modèle:, .

Circulation d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions à circulation conservative sur une courbe continue fermée

Modèle:AlSoient le champ vectoriel « à circulation conservative » $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace physique à deux ou trois dimensions et une courbe continue fermée $(\mathrm{\Gamma })$ de cet espace,
Modèle:AlModèle:Transparentl'intégrale curviligne ${\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](P)$ étant égale à ${[𝒞\left\{\overrightarrow{A}\right\}(P)]}_{P_0}^{P_0}$
Modèle:AlModèle:Transparentest nulle quelle que soit la courbe $(\mathrm{\Gamma })$.

Modèle:AlConclusion : La circulation d'un champ vectoriel « à circulation conservative » sur une courbe continue fermée d'un espace à deux ou trois dimensions
Modèle:AlModèle:Transparentest nécessairement nulle soit ${\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}\overrightarrow{A}(P)\cdot \overrightarrow{dP}=0\mathrm{\forall }(\mathrm{\Gamma })$.

Exemple de champ vectoriel vérifiant les C.N. pour être « à circulation conservative » mais pour lequel les conditions ne sont pas suffisantes

Modèle:AlSoit $\overrightarrow{A}(M)=-\frac{y}{x^2+y^2}{\overrightarrow{u}}_x+\frac{x}{x^2+y^2}{\overrightarrow{u}}_y$ le champ vectoriel de l'espace physique à deux dimensions défini sur ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }\left\{(0,0)\right\}$ tel que
Modèle:AlModèle:Transparentsa circulation élémentaire vérifie la C.N. pour que ce champ soit « à circulation conservative » à savoir que
Modèle:Transparentcette circulation élémentaire soit une différentielle exacte Modèle:, $($c.-à-d. de C.N. « égalité des dérivées croisées »$)$
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccc}{A}_x(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}& \Rightarrow & {\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_x=-\frac{(x^2+y^2)-y2y}{{(x^2+y^2)}^2}=\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}\\ A_y(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}& \Rightarrow & {\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_y=\frac{(x^2+y^2)-x2x}{{(x^2+y^2)}^2}=\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ vérifiant la condition d'égalité des dérivées croisées mais
Modèle:AlModèle:Transparentce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative car sa circulation sur un cercle $(\mathrm{\Gamma })$ de centre $(0,0)$ serait alors $0$,
Modèle:AlModèle:Transparentce qui n'est pas le cas en effet
Modèle:AlModèle:Transparent${\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](P)={\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}\overrightarrow{A}(P)\cdot \overrightarrow{dP}={\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$
Modèle:AlModèle:Transparentse simplifie en repérant le point générique $P$ du cercle $(\mathrm{\Gamma })$ de centre $(0,0)$ et de rayon $r$
Modèle:AlModèle:Transparentpar ses coordonnées polaires de pôle $(0,0)$ soit $P(r,\theta )$, dont on tire
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccc}x=r\cos (\theta )& \Rightarrow & dx=-r\sin (\theta )d\theta \\ y=r\sin (\theta )& \Rightarrow & dy=r\cos (\theta )d\theta \end{array}\right\}$ permettant de réécrire
Modèle:AlModèle:Transparent$\delta {𝒞}_{\text{sur}(\mathrm{\Gamma })}\left[\overrightarrow{A}\right](P)=-\frac{\sin (\theta )}{r}[-r\sin (\theta )d\theta ]+\frac{\cos (\theta )}{r}[r\cos (\theta )d\theta ]$
Modèle:AlModèle:Transparent$=d\theta$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent${\oint }_{P_0\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{P}_0}\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](P)=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta =2\pi$ et donc $\ne 0$.

Modèle:AlConclusion : Les C.N. pour qu'un champ vectoriel soit « à circulation conservative » c.-à-d. « sa circulation élémentaire est une différentielle exacte  » ne sont, a priori, pas suffisantes.

Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative »

Modèle:Théorème Modèle:AlDans le cas où le lemme de Poincaré $($réécrit en terme de champ vectoriel$)$ s'applique à un champ vectoriel,
Modèle:AlModèle:Transparentl'opposé de la fonction dont la circulation élémentaire est la différentielle
Modèle:AlModèle:Transparentest appelé « potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel
Modèle:AlModèle:Transparentsur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».

Modèle:AlRemarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)=-\frac{y}{x^2+y^2}{\overrightarrow{u}}_x+\frac{x}{x^2+y^2}{\overrightarrow{u}}_y$ défini sur ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }\left\{(0,0)\right\}$ est effectivement fermée
Modèle:AlModèle:Transparentmais la partie$U$du domaine de définition contenant le cercle $(\mathrm{\Gamma })$ de centre $(0,0)$ et de rayon $r$ sur lequel on cherche la circulation,
Modèle:AlModèle:Transparentà savoir $U$identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée $\{$en effet $P$ et $Q$ étant des points diamétralement opposés sur $(\mathrm{\Gamma })$,
Modèle:AlModèle:Transparentle segment $\left[PQ\right]$ passant par $(0,0)\in ̸U$ est $\subset ̸U\}$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparentcette circulation élémentaire n'est pas exacte sur la partie $U$ identique au disque privé du centre et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentle champ vectoriel$\overrightarrow{A}(M)=-\frac{y}{x^2+y^2}{\overrightarrow{u}}_x+\frac{x}{x^2+y^2}{\overrightarrow{u}}_y$n'est pas à circulation conservative.

Modèle:AlModèle:TransparentToutefois, en physique, les champs vectoriels introduits et vérifiant la fermeture de leur circulation élémentaire Modèle:, sont usuellement définis sur une partie étoilée et par conséquent
Modèle:AlModèle:Transparentsont des champs vectoriels à circulation conservative .

Détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions

Modèle:Définition Modèle:AlLa détermination des potentiels scalaires $V(M)$ dont dérive un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ à circulation conservative revenant à
Modèle:Alcelle des primitives de la circulation élémentaire $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ usuellement suivie d'un changement de signe $\Rightarrow$ appliquer la méthode exposée au paragraphe
Modèle:Al« 2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes “ x, y, z ” fermé et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude » plus haut dans ce chapitre.

Modèle:AlExemple : le champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)=(x^2+y^2+z^2){\overrightarrow{u}}_x+(2xy+2yz){\overrightarrow{u}}_y+(2xz+y^2){\overrightarrow{u}}_z$ de l'espace à trois dimensions
Modèle:AlModèle:Transparentdont la circulation élémentaire $\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=(x^2+y^2+z^2)dx+(2xy+2yz)dy+(2xz+y^2)dz$
Modèle:AlModèle:Transparentest une forme différentielle fermée Modèle:, $($plus précisément, vérifiant que la fermeture est assurée sur toute partie étoilée de ${ℝ}^3$,
Modèle:AlModèle:Transparentune différentielle exacte Modèle:, $)$,
Modèle:AlModèle:Transparentforme différentielle dont les primitives ont été déterminées précédemment d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla connaissance des potentiels scalaires $V(M)$ dont dérive le champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{A}(M)=(x^2+y^2+z^2){\overrightarrow{u}}_x+(2xy+2yz){\overrightarrow{u}}_y+(2xz+y^2){\overrightarrow{u}}_z$ dérivant de $V(M)=-(\frac{x^3}{3}+y^{2}x+z^{2}x+y^{2}z)+cste$.

2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions

Modèle:Définition Modèle:AlJustification de l'équivalence $\bullet$« 1^ère définition $\Rightarrow$ 2^ème définition » : La 1^ère définition des potentiels scalaires $V(M)$ dont dérive le champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ à circulation conservative étant
Modèle:AlModèle:Transparent«$\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=-dV\mathrm{\forall }\overrightarrow{dM}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentle gradient d'un champ scalaire $V(M)$ étant défini intrinsèquement comme
Modèle:AlModèle:Transparentle champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)$ dont la circulation élémentaire est
Modèle:AlModèle:Transparentla différentielle du champ scalaire c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)\cdot \overrightarrow{dM}=dV\mathrm{\forall }\overrightarrow{dM}$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparentpar somme de ces deux relations, $\{\overrightarrow{A}(M)+\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)\}\cdot \overrightarrow{dM}=0\mathrm{\forall }\overrightarrow{dM}$ $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{A}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)$» C.Q.F.D.  ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« 2^ème définition $\Rightarrow$ 1^ère définition » : La 2^ème définition des potentiels scalaires $V(M)$ dont dérive le champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ à circulation conservative étant
Modèle:AlModèle:Transparent«$\overrightarrow{A}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)$» dont
Modèle:AlModèle:Transparenton multiplie scalairement chaque membre par $\overrightarrow{dM}$ pour obtenir, dans le membre de gauche, $\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentla circulation élémentaire du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentdans le membre de droite $-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)\cdot \overrightarrow{dM}$ c.-à-d. $-dV$
Modèle:AlModèle:Transparentl'opposé de la différentielle du potentiel scalaire $V(M)$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=-dV$» C.Q.F.D. .

Propriété locale d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

Rappel de la 1^ère définition d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

Modèle:AlSoient un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » et
Modèle:AlModèle:Transparentune courbe continue $(\mathrm{\Gamma })$ quelconque sur laquelle sont choisies deux positions quelconques $(M_1,M_2)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla circulation ${𝒞}_{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{A}(M)]$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ le long de $(\mathrm{\Gamma })$ orientée de $M_1$ à $M_2$
Modèle:AlModèle:Transparent${𝒞}_{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{A}(M)]=\underset{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}{\int }\delta 𝒞\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\underset{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}{\int }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$
Modèle:AlModèle:Transparentest indépendante de la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ suivie $[$voir le paragraphe
Modèle:AlModèle:Transparent« notion de champ vectoriel à circulation conservative » plus haut dans ce chapitre$]$.

Circulation le long d'une courbe fermée d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

Modèle:AlSoient un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative »,
Modèle:AlModèle:Transparentune courbe continue fermée $({\mathrm{\Gamma }}_f)$ quelconque orientée dans un sens arbitraire et
Modèle:AlModèle:Transparentun couple de points distincts $(M_1,M_2)$ quelconque sur la courbe $({\mathrm{\Gamma }}_f)$ séparant cette dernière en deux portions de courbe $(\mathrm{\Gamma })$ et $({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$ toutes deux orientées de $M_1$ vers $M_2$
Modèle:AlModèle:Transparent$[(\mathrm{\Gamma })$ étant la portion de courbe orientée dans le même sens que $({\mathrm{\Gamma }}_f)$,
Modèle:AlModèle:Transparent$({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$ celle orientée en sens contraire de $({\mathrm{\Gamma }}_f)]$,
Modèle:Alde la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons que la circulation du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ le long de $(\mathrm{\Gamma })$ ou $({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$ de $M_1$ à $M_2$ est la même soit
Modèle:AlModèle:Transparent${𝒞}_{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{A}(M)]={𝒞}_{M_1\stackrel{({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{A}(M)]$ c.-à-d. $\underset{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}{\int }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=\underset{M_1\stackrel{({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })}{\to }{M}_2}{\int }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}{\int }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=-\underset{M_2\stackrel{({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })}{\to }{M}_1}{\int }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$
Modèle:AlModèle:Transparentd'où $\underset{M_1\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{M}_2}{\int }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}+\underset{M_2\stackrel{({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })}{\to }{M}_1}{\int }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=0$ soit «$\underset{({\mathrm{\Gamma }}_f)}{\oint }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=0$» Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparentc.-à-d. la propriété ci-dessous : Modèle:Proposition

Théorème de Kelvin - Stokes

Modèle:AlLe théorème de Kelvin - Stokes Modèle:, $($admis$)$ transforme la circulation d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée $(\mathrm{\Gamma })$ orientée de façon arbitraire,
Modèle:AlModèle:Transparenten flux du rotationnel du champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)$ à travers une surface ouverte quelconque ${𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}$ s'appuyant sur $(\mathrm{\Gamma })$
Modèle:AlModèle:Transparentdont l'orientation est en accord avec celle du contour $(\mathrm{\Gamma })$ limitant
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$condition d'applicabilité de ce théorème si le rotationnel du champ $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)$ est continu sur toute la surface ouverte ${𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}$ s'appuyant sur $(\mathrm{\Gamma })\}$ :

Propriété locale caractérisant un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

Modèle:AlPropriété directe : soit un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » et une courbe fermée $(\mathrm{\Gamma })$ quelconque orientée de façon arbitraire,

• la propriété de la circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée $\Rightarrow$«${𝒞}_{(\mathrm{\Gamma })}[\overrightarrow{A}(M)]=\underset{(\mathrm{\Gamma })}{\oint }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=0\mathrm{\forall }(\mathrm{\Gamma })$» Modèle:, ,
• l'application du théorème de Kelvin - Stokes Modèle:, $\Rightarrow$ «$\underset{(\mathrm{\Gamma })}{\oint }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=\underset{{𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}}{\iint }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)\cdot {\overrightarrow{dS}}_P$» Modèle:, Modèle:, $\{$l'orientation de $({𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })})$ étant en accord avec celle de $(\mathrm{\Gamma })$$\}$,
• l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\Rightarrow$ «$\underset{{𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}}{\iint }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)\cdot {\overrightarrow{dS}}_P=0\mathrm{\forall }({𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })})$» et, comme la surface $({𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })})$ sur laquelle l'intégration est faite est quelconque,
  Modèle:Transparentla fonction vectorielle de l'espace tridimensionnel dont on calcule le flux est nulle en tout point de l'espace soit «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)=\overrightarrow{0}\mathrm{\forall }P$»  ;

Modèle:AlModèle:Transparentun champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » est tel que son rotationnel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ est nul en tout point $M$ de son domaine de définition.

Modèle:AlPropriété réciproque : soit un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{0}\mathrm{\forall }M$ et une surface ouverte $(𝒮)$ quelconque limitée par $({\mathrm{\Gamma }}_f)$, courbe fermée,
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$l'orientation de $(𝒮)$ étant en accord avec celle de $({\mathrm{\Gamma }}_f)$$\}$,

• l'utilisation du théorème de Kelvin - Stokes Modèle:, $\Rightarrow$ «$\underset{(𝒮)}{\iint }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)\cdot {\overrightarrow{dS}}_P=\underset{({\mathrm{\Gamma }}_f)}{\oint }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$» Modèle:, Modèle:, ,
• la nullité du rotationnel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ «$\underset{(𝒮)}{\iint }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)\cdot {\overrightarrow{dS}}_P=\underset{(𝒮)}{\iint }\overrightarrow{0}\cdot {\overrightarrow{dS}}_P=0$» ,
• l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\Rightarrow$ «$\underset{({\mathrm{\Gamma }}_f)}{\oint }\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=0$» ce qui assure que le champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ est « à circulation conservative »  ;

Modèle:AlModèle:Transparentun champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{0}\mathrm{\forall }M$ est « à circulation conservative ». Modèle:Théorème

Formule de Green - Riemann (cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes)

Modèle:AlLa formule de Green - Riemann Modèle:, Modèle:, , cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes Modèle:, vu plus haut dans ce chapitre pour un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ d'un espace bidimensionnel plan,
Modèle:AlModèle:Transparenttransforme la circulation de ce champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ le long d'une courbe fermée plane $(\mathrm{\Gamma })$ orientée dans le sens trigonométrique direct,
Modèle:AlModèle:Transparenten intégrale surfacique de la grandeur $[{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_y-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_x](P)$ sur la surface plane ${𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}$ limitée par $(\mathrm{\Gamma })$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$condition d'applicabilité de cette formule si $[{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_y-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_x](P)$ est continue sur toute la surface plane ${𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}$ limitée par $(\mathrm{\Gamma })\}$ :

Modèle:Théorème Modèle:AlRemarque 1 : Si on plonge l'espace bidimensionnel plan $(xOy)$ dans l'espace tridimensionnel $({ℰ}_3)$ $\{$le vecteur de base ${\overrightarrow{u}}_z$ de la 3^ème dimension orientant $(xOy)$ dans le sens trigonométrique direct$\}$,
Modèle:AlModèle:Transparentle champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ de l'espace bidimensionnel plan $(xOy)$ étant considéré comme champ vectoriel de l'espace tridimensionnel $({ℰ}_3)$ avec «$A_z=0$» pour composante sur ${\overrightarrow{u}}_z$,
Modèle:AlModèle:Transparentla grandeur $[{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_y-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_x](x,y)$ à intégrer sur la surface plane ${𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}$ du plan $xOy$ dans l'intégrale surfacique de la formule de Green - Riemann Modèle:, Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparents'identifie à la seule composante cartésienne non nulle du rotationnel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ dans $({ℰ}_3)$,
Modèle:AlModèle:Transparentc.-à-d. la composante sur ${\overrightarrow{u}}_z$, soit «$[{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_y-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_x](x,y)$ $=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)\cdot {\overrightarrow{u}}_z$Modèle:,  » et par suite,
Modèle:AlModèle:Transparentla formule de Green - Riemann Modèle:, Modèle:, se réécrit «${𝒞}_{(\mathrm{\Gamma })}[\overrightarrow{A}(M)]=\underset{{𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}}{\iint }\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)\cdot {\overrightarrow{u}}_z\}dxdy=\underset{{𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}}{\iint }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)\cdot \left[dxdy{\overrightarrow{u}}_z\right]$» Modèle:, ou,
Modèle:AlModèle:Transparentle vecteur surface élémentaire de ${𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}$ s'écrivant ${\overrightarrow{dS}}_P=dxdy{\overrightarrow{u}}_z$
Modèle:AlModèle:Transparent«${𝒞}_{(\mathrm{\Gamma })}[\overrightarrow{A}(M)]=\underset{{𝒮}_{\text{lim. par }(\mathrm{\Gamma })}}{\iint }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](P)\cdot {\overrightarrow{dS}}_P$Modèle:,  », cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes Modèle:, .

Modèle:AlRemarque 2 : On en déduit la propriété locale caractéristique d'un champ vectoriel

$\overrightarrow{A}(M)$

« à circulation conservative » d'un espace bidimensionnel plan

$(xOy)$

 :

«$[{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_y-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_x](x,y)=0$ » $\iff$ «${\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_y(x,y)={\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_x(x,y)$ ».

Retour sur les conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à circulation conservative

Modèle:AlNous avons établi ces conditions dans le paragraphe « conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative »
Modèle:AlModèle:Transparentplus haut dans ce chapitre, les C.N.

$($

mais non suffisantes

$)$

sont, dans les trois principaux types de repérage des points de l'espace :
Modèle:AlModèle:Transparent

$\bullet$

en repérage cartésien, «

$\overrightarrow{A}(M)=A_x(M){\overrightarrow{u}}_x+A_y(M){\overrightarrow{u}}_y+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z$

» est « à circulation conservative » si
Modèle:AlModèle:Transparent

$\left\{\begin{array}{ccc}{\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)& =& {\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)\\ {\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)& =& {\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)\\ {\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)& =& {\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)\end{array}\right\}$

$\iff$ $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{z,x}(M)-{\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{y,x}(M)=0\\ {\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)-{\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{z,y}(M)=0\\ {\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)=0\end{array}\right\}$

Modèle:AlModèle:Transparentsoit finalement

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{0}$

,
Modèle:AlModèle:Transparent

$\bullet$

en repérage cylindro-polaire , «

$\overrightarrow{A}(M)=A_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }+A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z$

» est « à circulation conservative » si
Modèle:AlModèle:Transparent

$\left\{\begin{array}{ccc}{\left[\frac{\partial \left(\rho A_{\theta }\right)}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)\\ {\left[\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)\\ {\left[\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)& =& {\left[\frac{\partial \left(\rho A_{\theta }\right)}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)\end{array}\right\}$$\iff$

Modèle:AlModèle:Transparent

$\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{\rho }{\left[\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)-{\left[\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)& =& 0\\ {\left[\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)-{\left[\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)& =& 0\\ \frac{1}{\rho }\{{\left[\frac{\partial \left(\rho A_{\theta }\right)}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)-{\left[\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)\}& =& 0\end{array}\right\}$

Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparentsoit finalement

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{0}$

et
Modèle:AlModèle:Transparent

$\bullet$

en repérage sphérique , «

$\overrightarrow{A}(M)=A_r(M){\overrightarrow{u}}_r+A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }$

» est « à circulation conservative » si
Modèle:AlModèle:Transparent

$\left\{\begin{array}{ccc}{\left[\frac{\partial \left(r{A}_{\theta }\right)}{\partial \phi }\right]}_{r,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial [r\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }\right]}_{r,\phi }(M)\\ {\left[\frac{\partial A_r}{\partial \phi }\right]}_{r,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial [r\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial r}\right]}_{\theta ,\phi }(M)\\ {\left[\frac{\partial A_r}{\partial \theta }\right]}_{r,\phi }(M)& =& {\left[\frac{\partial \left(r{A}_{\theta }\right)}{\partial r}\right]}_{\theta ,\phi }(M)\end{array}\right\}$$\iff$

Modèle:AlModèle:Transparent

$\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{r\sin (\theta )}\{{\left[\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }\right]}_{r,\phi }(M)-{\left[\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }\right]}_{r,\theta }(M)\}& =& 0\\ \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left[\frac{\partial A_r}{\partial \phi }\right]}_{r,\theta }(M)-\frac{1}{r}{\left[\frac{\partial \left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial r}\right]}_{\theta ,\phi }(M)& =& 0\\ \frac{1}{r}\{{\left[\frac{\partial \left(r{A}_{\theta }\right)}{\partial r}\right]}_{\theta ,\phi }(M)-{\left[\frac{\partial A_r}{\partial \theta }\right]}_{r,\phi }(M)\}& =& 0\end{array}\right\}$

Modèle:,
Modèle:AlModèle:Transparentsoit finalement

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{0}$

.
Modèle:AlConclusion : les C.N.

$($

mais non suffisantes

$)$

pour que

$\overrightarrow{A}(M)$

soit « à circulation conservative » s'identifie à la propriété locale pour qu'un tel champ vectoriel soit « à circulation conservative » soit

«$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{0}$ ».

Retour sur les conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à circulation conservative »

Modèle:AlNous avons vu, d'après le lemme de Poincaré $($réécrit en terme de champ vectoriel$)$, que
Modèle:AlModèle:Transparenttout champ vectoriel d'un espace tridimensionnel
Modèle:AlModèle:Transparentpour lequel la circulation élémentaire est une forme différentielle fermée
Modèle:AlModèle:Transparentsur un ouvert étoilé de son domaine de définition
Modèle:AlModèle:Transparentest un champ vectoriel à circulation conservative ;
Modèle:Alnous avons établi, au paragraphe précédent, l'équivalence entre « la circulation élémentaire du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ est une forme différentielle fermée et
Modèle:AlModèle:Transparentla nullité du rotationnel du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ c.-à-d. $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{0}$» ,
Modèle:Alnous pouvons donc affirmer que « la condition de nullité du rotationnel du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ sur un ouvert étoilé du domaine de définition de ce champ vectoriel  »
Modèle:AlModèle:Transparentest suffisante pour que le champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ soit « à circulation conservative » ainsi
Modèle:AlModèle:Transparent«$\overrightarrow{A}(M)$ est “ à circulation conservative ” sur un ouvert étoilé de ${ℝ}^3$ ssi $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{0}$ en tout point de cet ouvert ».