Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

Modèle:Chapitre

Modèle:AlPour simplifier l'exposé nous nous placerons dans le cas de deux variables indépendantes, la « généralisation à plus de deux s'imaginant aisément »^[1].

Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantes

Modèle:Définition

Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernières

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensions

Modèle:AlLe plus facile à concevoir $($ mais non le plus pratique $)$ consiste à représenter le graphe dans un repère à trois dimensions $(O, \vec{x^{'} x}, \vec{y^{'} y}, \vec{z^{'} z})$ , les axes $(\vec{x^{'} x}, \vec{y^{'} y})$ permettant de préciser les valeurs des deux variables indépendantes $(x, y)$ et l'axe $(\vec{z^{'} z})$ la valeur de $f (x, y)$ correspondante ; le graphe de la fonction dans ce repère est alors la surface d'équation « $z = f (x, y)$ »^[2] ;

Modèle:Alexemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir l'altitude par la fonction « $(x, y) \overset{f}{\to} altitude = f (x, y)$ » mais aussi
Modèle:Al Modèle:Transparentla composition surfacique en lombrics par « $(x, y) \overset{g}{\to} nbre de lombrics \cdot m^{- 2} = g (x, y)$ »^[3] ou
Modèle:Al Modèle:Transparentd'autres grandeurs encore $\dots$

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensions

Modèle:AlDans l'exemple de l'altitude, il existe une façon plus pratique utilisant un repère à deux dimensions $(O, \vec{x^{'} x}, \vec{y^{'} y})$ consistant à tracer, sur ce repère, les courbes de niveaux $-$ par exemple la courbe de niveau $z_{0}$ est la courbe joignant les points $(x, y)$ dont l'image par $f$ est $z_{0}$ $-$ on trace alors les courbes de niveaux pour les niveaux « $z_{0} \pm n Δ z, n \in ℕ^{*}$ »^[4], si les courbes sont très resserrées cela signifie que l'altitude varie très rapidement alors que si elles sont très écartées l'altitude varie très lentement ;

Modèle:Alon peut bien sûr étendre cela à n'importe quelle fonction de deux variables indépendantes en traçant dans un repère à deux dimensions les courbes de niveaux c.-à-d. les courbes joignant les points $(x, y)$ dont l'image par $f$ est de valeur constante^[5].

Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes

Modèle:AlPour fixer le propos, considérons une fonction scalaire à trois variables indépendantes « $(x, y, z) \overset{f}{\to} f (x, y, z) \in ℝ, \forall (x, y, z) \in ℝ^{3}$ » ; par exemple la température ou la pression en chaque point de l'espace ;

Modèle:Alil est impossible de généraliser la 1^ère représentation car ceci nécessiterait de définir un repère à quatre dimensions ce que notre cerveau est incapable de représenter ;

Modèle:Alpar contre la généralisation de la 2^ème représentation nécessitant de définir un repère à trois dimensions et des niveaux associés à des valeurs de $f (x, y, z)$ constante, est possible $-$ même si cela reste peu pratique $-$ on obtiendrait alors des « surfaces de niveaux » $-$ par exemple dans le cas de la température en chaque point de l'espace, la surface isotherme $0 °C$ ^[6] ;

Modèle:Alles surfaces de niveaux restant d'utilisation peu pratique, on peut peaufiner leur connaissance en représentant diverses coupes par un plan

∥

à

x O z

ou par un plan

∥

à

y O z

ou encore par un plan

∥

à

x O y

, l'avantage étant que ces coupes donnant des courbes dans un repère à deux dimensions sont facilement transportables.

Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes

Modèle:AlSoient deux variables

(x, y)

réelles indépendantes, et la fonction scalaire

f

de ces deux variables

«

(x, y) \overset{f}{\to} f (x, y) \in ℝ, \forall (x, y) \in ℝ^{2}

»

Modèle:Aldont on veut étudier la variation en fonction de chaque variable en définissant des dérivées adéquates.

Définition des dérivées partielles

Modèle:AlSi on fige une des variables $($ par exemple $y)$ , la fonction devient $-$ pendant la durée du maintien constant de la variable $-$ fonction d'une seule variable $($ sur l'exemple, fonction de $x)$ notée $f_{y} (x)$ et sachant définir la dérivée d'une fonction d'une variable $($ sur l'exemple, de la variable $x)$ , on obtient la variation de $f$ relativement à $x$ à $y$ figé par : $\frac{d f_{y}}{d x} (x)$ que l'on notera « ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y)$ »^[7], appelée « dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ à $y$ figé, calculée au point $(x, y)$ »^[8] ;

Modèle:Alsi on fige l'autre variable $($ donc la variable $x)$ , la fonction devient $-$ pendant la durée du maintien constant de la variable $-$ fonction de la seule variable $y$ notée $f_{x} (y)$ et sachant définir la dérivée d'une fonction de la variable $y$ , on obtient la variation de $f$ relativement à $y$ à $x$ figé par : $\frac{d f_{x}}{d y} (y)$ que l'on notera « ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y)$ »^[9], appelée « dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ à $x$ figé, calculée au point $(x, y)$ »^[10].

Exemple de calcul de dérivées partielles

Modèle:AlCalculer les dérivées partielles 1^ères de la fonction $f$ définie par « $f (x, y) = x \sin (x^{2} + y^{2})$ » :

dérivée partielle de $f$ par rapport $y$ à $x$ figé : « ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y) = x \cos (x^{2} + y^{2}) 2 y = 2 x y \cos (x^{2} + y^{2})$ »^[11],
dérivée partielle de $f$ par rapport $x$ à $y$ figé : « ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y) = \sin (x^{2} + y^{2}) + x \cos (x^{2} + y^{2}) 2 x$ »^[12] qui se réécrit selon « ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y) = \sin (x^{2} + y^{2}) + 2 x^{2} \cos (x^{2} + y^{2})$ ».

Vérification du théorème de Schwarz sur un exemple

Modèle:AlLe théorème de Schwarz^[13]Modèle:,^[14] énonce : « lors du calcul d'une dérivée partielle 2^nde croisée, on peut effectuer les dérivations successives dans n'importe quel ordre » c.-à-d.

«

{[\frac{\partial}{\partial y} {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y}]}_{x} (x, y) = {[\frac{\partial}{\partial x} {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x}]}_{y} (x, y)

».

Modèle:AlVérification sur l'exemple du paragraphe précédent : $f (x, y) = x \sin (x^{2} + y^{2})$ : $∙$ dérivée partielle de ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y) = 2 x y \cos (x^{2} + y^{2})$ par rapport $x$ à $y$ figé :
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{\partial}{\partial x} {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x}]}_{y} (x, y) = 2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - 2 x y \sin (x^{2} + y^{2}) 2 x$ »^[15], soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{\partial}{\partial x} {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x}]}_{y} (x, y) = 2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y \sin (x^{2} + y^{2})$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ dérivée partielle de ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y) = \sin (x^{2} + y^{2}) + 2 x^{2} \cos (x^{2} + y^{2})$ par rapport $y$ à $x$ figé :
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{\partial}{\partial y} {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y}]}_{x} (x, y) = 2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - 2 x^{2} \sin (x^{2} + y^{2}) 2 y$ »^[16], soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{\partial}{\partial y} {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y}]}_{x} (x, y) = 2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y \sin (x^{2} + y^{2})$ » identique à la dérivée 2^nde précédente.

Modèle:AlConséquence : Du fait du théorème de Schwarz^[13]Modèle:,^[14] les dérivées 2^ndes croisées seront notées indifféremment « $\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ » ou « $\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}$ ».

Définition des dérivées logarithmiques partielles

Modèle:AlÀ partir de la « fonction scalaire $f$ de deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ dérivable partiellement relativement à $x$ à $y$ figé $($ ou relativement à $y$ à $x$ figé $)$ en $(x_{0}, y_{0})$ et
Modèle:Al Modèle:Transparenttelle que $f (x_{0}, y_{0})$ soit $\neq 0$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparenton définit le « nombre dérivé logarithmique partiel de $f$ relativement à $x$ à $y$ figé $($ ou relativement à $y$ à $x$ figé $)$ en $(x_{0}, y_{0})$ » selon
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}{f (x_{0}, y_{0})}$ » dans lequel ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ est le nombre dérivé logarithmique partiel de $f$ relativement à $x$ à $y$ figé en $(x_{0}, y_{0})$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}{f (x_{0}, y_{0})}$ » dans lequel ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})$ est le nombre dérivé logarithmique partiel de $f$ relativement à $y$ à $x$ figé en $(x_{0}, y_{0})$ .

Modèle:AlFonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes :
Modèle:Al Modèle:TransparentSi la fonction scalaire $f$ de deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ est dérivable partiellement relativement à $x$ à $y$ figé ${$ ou à $y$ à $x$ figé $}$
Modèle:Al Modèle:Transparentsur un domaine $I_{x} \subseteq ℝ^{2}$ de dérivabilité partielle relativement à $x$ à $y$ figé
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ ou un domaine $I_{y} \subseteq ℝ^{2}$ de dérivabilité partielle relativement à $y$ à $x$ figé $}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla fonction dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ à $y$ figé
Modèle:Transparent ${$ ou par rapport à $y$ à $x$ figé $}$ est définie par
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\forall (x, y) \in I_{x}, (x, y) \overset{{f^{'}}_{x}}{\to} {f^{'}}_{x} (x, y) = {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y)$ »^[17] ${$ ou par
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\forall (x, y) \in I_{y}, (x, y) \overset{{f^{'}}_{y}}{\to} {f^{'}}_{y} (x, y) = {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y)$ »^[18] $}$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentsi l'image de $I_{x}$ ${$ ou de $I_{y}}$ par $f$ ne contient pas $0$ ^[19] c.-à-d. « $f (I_{x}) ⊉ {0}$ » ${$ ou $f (I_{y}) ⊉ {0}}$ ^[19] ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent« si $f (x, y) \neq 0 \forall (x, y) \in I_{x}$ » ${$ ou $f (x, y) \neq 0 \forall (x, y) \in I_{y}}$ ^[19],
Modèle:Al Modèle:Transparent« les nombres dérivés logarithmiques partiels de $f$ relativement à $x$ à $y$ figé en $(x_{0}, y_{0})$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{{f^{'}}_{x} (x_{0}, y_{0})}{f (x_{0}, y_{0})}$ ^[17] définis pour chaque couple $(x_{0}, y_{0}) \in I_{x}$ »^[19]
Modèle:Al Modèle:Transparentsont les « images de $(x_{0}, y_{0})$ par une fonction $h_{x}$ »^[20] définie par
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\forall (x, y) \in I_{x}, (x, y) \overset{h_{x}}{\to} h_{x} (x, y) = \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y)}{f (x, y)}$ »^[19] appelée
Modèle:Al Modèle:Transparent« dérivée logarithmique partielle de la fonction $f$ relativement à $x$ à $y$ figé » ${$ c'est aussi la
Modèle:Al Modèle:Transparent« dérivée partielle relativement à $x$ à $y$ figé de la fonction composée $[\ln \circ | |] \circ f$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \ln [| f |]$ » $}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent« les nombres dérivés logarithmiques partiels de $f$ relativement à $y$ à $x$ figé en $(x_{0}, y_{0})$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{{f^{'}}_{y} (x_{0}, y_{0})}{f (x_{0}, y_{0})}$ ^[18] définis pour chaque couple $(x_{0}, y_{0}) \in I_{y}$ »^[19]
Modèle:Al Modèle:Transparentsont les « images de $(x_{0}, y_{0})$ par une fonction $h_{y}$ »^[20] définie par
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\forall (x, y) \in I_{y}, (x, y) \overset{h_{y}}{\to} h_{y} (x, y) = \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y)}{f (x, y)}$ »^[19] appelée
Modèle:Al Modèle:Transparent« dérivée logarithmique partielle de la fonction $f$ relativement à $y$ à $x$ figé » ${$ c'est aussi la
Modèle:Al Modèle:Transparent« dérivée partielle relativement à $y$ à $x$ figé de la fonction composée $[\ln \circ | |] \circ f$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \ln [| f |]$ » $}$ .

Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Modèle:AlSoient deux variables

(x, y)

réelles indépendantes, et la fonction scalaire

f

de ces deux variables

«

(x, y) \overset{f}{\to} f (x, y) \in ℝ, \forall (x, y) \in ℝ^{2}

»

Modèle:Aldont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à partir de la dérivée de cette fonction par rapport à la variable et de la différentielle de la variable,
Modèle:Al Modèle:Transparentà la différence près qu'ici il y a deux variables et deux dérivées partielles

\dots

Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extension

Modèle:AlOn définit la petite variation de la fonction

f

sur le pavé

[x_{0}, x_{0} + δ x] \times [y_{0}, y_{0} + δ y]

par

«

δ f \overset{déf}{=} f (x_{0} + δ x, y_{0} + δ y) - f (x_{0}, y_{0})

» ;

Modèle:Alpar généralisation de l'approximation linéaire à une fonction de deux variables indépendantes, on établit la relation suivante :

«

δ f \underset{lin}{\overset{approx}{=}} {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) δ x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) δ y + ε (δ x, δ y)

»
avec «

\lim_{δ x \to 0} \frac{ε (δ x, δ y)}{δ x} = 0

et

\lim_{δ y \to 0} \frac{ε (δ x, δ y)}{δ y} = 0

».

Modèle:Solution

En physique on note «

δ f \underset{lin}{\overset{approx}{≃}} {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) δ x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) δ y

».

Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Modèle:Définition

Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physique

Modèle:Proposition Modèle:AlJustification : $d f$ s'identifie à $δ f$ quand $δ x \to 0$ et $δ y \to 0$ selon l'approximation linéaire,
Modèle:Al Modèle:Transparentor par définition $δ f = f (x_{0} + δ x, y_{0} + δ y) - f (x_{0}, y_{0})$ devient, à la limite où $δ x \to 0$ et $δ y \to 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $= f (x_{0} + d x, y_{0} + d y) - f (x_{0}, y_{0})$ , $d x$ se substituant à $δ x$ et $d y$ à $δ y$ .

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Modèle:AlCe sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; $∙$ « $d (u + v) = d u + d v$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $d (c s t e) = 0$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $d (u v) = (d u) v + u (d v)$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $d (\frac{u}{v}) = \frac{(d u) v - u (d v)}{v^{2}}$ ».

Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Modèle:AlSoit à calculer la différentielle de « $f (x, y) = x \sin (x^{2} + y^{2})$ » ; nous voyons deux méthodes,

l'une utilisant les règles de différenciation précédentes ainsi que la différenciation de fonctions composées,
l'autre calculant au préalable les dérivées partielles et utilisant la définition de la différentielle.

Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduites

Modèle:Al« $d f = (d x) \sin (x^{2} + y^{2}) + x d [\sin (x^{2} + y^{2})]$ » avec $∙$ « $d [\sin (x^{2} + y^{2})] = c o s (x^{2} + y^{2}) d [x^{2} + y^{2}]$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $d [x^{2} + y^{2}] = d [x^{2}] + d [y^{2}]$ », enfin
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « $d [x^{2}] = 2 x d x$ » et « $d [y^{2}] = 2 y d y$ »,

Modèle:Alfinalement on obtient, en regroupant toutes les informations, « $d f = \sin (x^{2} + y^{2}) d x + x \cos (x^{2} + y^{2}) [2 x d x + 2 y d y]$ » ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d f = [\sin (x^{2} + y^{2}) + 2 x^{2} \cos (x^{2} + y^{2})] d x + 2 x y \cos (x^{2} + y^{2}) d y$ ».

Par calcul préalable des dérivées partielles

Modèle:AlCes calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats :

∙

«

{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y) = \sin (x^{2} + y^{2}) + 2 x^{2} \cos (x^{2} + y^{2})

»^[21] et
Modèle:Al Modèle:Transparent

∙

«

{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y) = 2 x y \cos (x^{2} + y^{2})

»^[21] d'où :

«

d f = {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y) d x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y) d y = [\sin (x^{2} + y^{2}) + 2 x^{2} \cos (x^{2} + y^{2})] d x + 2 x y \cos (x^{2} + y^{2}) d y

»^[22].

Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantes

Modèle:AlÀ partir de la « fonction scalaire $f$ de deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ dérivable partiellement relativement à $x$ à $y$ figé $($ ou relativement à $y$ à $x$ figé $)$ en $(x_{0}, y_{0})$ et
Modèle:Al Modèle:Transparenttelle que $f (x_{0}, y_{0})$ soit $\neq 0$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparenton a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction $f$ par rapport à $x$ ^[23] » pour $(x, y)$ du domaine ${I^{'}}_{x}$ de dérivabilité partielle par rapport à $x$ ^[23]
Modèle:Al Modèle:Transparenttel que $f (x, y)$ est $\neq 0$ ^[19]Modèle:,^[24] selon
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\forall (x, y) \in {I^{'}}_{x}, (x, y) \overset{h_{x}}{\to} h_{x} (x, y) = \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y)}{f (x, y)}$ »^[19] ${$ c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à $x$ ^[23] de la fonction composée
Modèle:Al Modèle:Transparent $[\ln \circ | |] \circ f = \ln [| f |]$ » $}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentla « dérivée logarithmique partielle de la fonction $f$ par rapport à $y$ ^[25] » pour $(x, y)$ du domaine ${I^{'}}_{y}$ de dérivabilité partielle par rapport à $y$ ^[25]
Modèle:Al Modèle:Transparenttel que $f (x, y)$ est $\neq 0$ ^[19]Modèle:,^[24] selon
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\forall (x, y) \in {I^{'}}_{y}, (x, y) \overset{h_{y}}{\to} h_{y} (x, y) = \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y)}{f (x, y)}$ »^[19] ${$ c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à $y$ ^[25] de la fonction composée
Modèle:Al Modèle:Transparent $[\ln \circ | |] \circ f = \ln [| f |]$ » $}$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton déduit la définition de la différentielle logarithmique de la fonction $f$ à partir des définitions des dérivées logarithmiques partielles de $f$ de la même façon que
Modèle:Al Modèle:Transparentla définition de la différentielle de la fonction $f$ a été déduite à partir des définitions des dérivées partielles de $f$ ^[26]. Modèle:Définition

Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composée

Modèle:AlSoit la « fonction scalaire $φ$ de deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ dérivable partiellement relativement à $x$ ^[23] $($ et relativement à $y$ ^[25] $)$ en $(x_{0}, y_{0})$ ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentla « fonction scalaire $f$ d'une variable réelle $u$ dérivable en $u_{0} = φ (x_{0}, y_{0})$ », nous pouvons conclure que

Modèle:Al Modèle:Transparentla fonction scalaire composée $F = f \circ φ$ des deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ , est dérivable partiellement relativement à $x$ ^[23] $($ et relativement à $y$ ^[25] $)$ en $(x_{0}, y_{0})$ et donc
Modèle:Al Modèle:Transparentdifférentiable, la « différentielle de $F$ en $(x_{0}, y_{0})$ » s'écrivant
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d F \overset{déf}{=} {(\frac{\partial F}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial F}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ »^[27] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla « fonction scalaire $φ$ des deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ étant de même différentiable en $(x_{0}, y_{0})$ », la « différentielle de $φ$ en $(x_{0}, y_{0})$ » s'écrit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d φ \overset{déf}{=} {(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ »^[27]
Modèle:Al Modèle:Transparentpouvant s'écrire encore, en posant « $u = φ (x, y)$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d u \overset{déf}{=} {(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ » ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla « fonction scalaire $f$ de la variable réelle $u = φ (x, y)$ étant de même différentiable en $u_{0} = φ (x_{0}, y_{0})$ », la « différentielle de $f$ en $u_{0}$ » s'écrit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d f \overset{déf}{=} \frac{d f}{d u} (u_{0}) d u = f^{'} (u_{0}) d u$ »^[28] ;

Modèle:Alreportant l'expression « $d u = {(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ » dans « $d f = f^{'} (u_{0}) d u$ » $\Rightarrow$ « $d f = f^{'} (u_{0}) {{(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y}$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d f = f^{'} (u_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + f^{'} (u_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ » s'identifiant à
Modèle:Al Modèle:Transparentla différentielle $d F$ de $F = f \circ φ$ en $(x_{0}, y_{0})$ » ou encore, en éliminant $u_{0}$ ^[29],
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d F = f^{'} [φ (x_{0}, y_{0})] {(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + f^{'} [φ (x_{0}, y_{0})] {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ »
Modèle:Al Modèle:Transparents'identifiant à « $d F = {(\frac{\partial F}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial F}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ » ;

Modèle:Alnous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée $F = f \circ φ$ dans laquelle $φ$ est une fonction de deux variables indépendantes $(x, y)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $f$ une fonction scalaire de la variable $u = φ (x, y)$ »
Modèle:Al Modèle:Transparenten identifiant, deux à deux, les cœfficients de $d x$ et ceux de $d y$ dans les deux expressions précédentes de $d F$ : Modèle:Théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composée

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable

Modèle:AlSoit la « fonction $g = {g_{1}, g_{2}}$ d'une variable réelle $t$ à valeurs dans $ℝ^{2}$ ^[30] dérivable en $t_{0}$ ^[31] ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentla « fonction scalaire $φ$ de deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ dérivable partiellement relativement à $x$ ^[23] $($ et relativement à $y$ ^[25] $)$ en $(x_{0}, y_{0}) = g (t_{0})$ », nous en déduisons que

Modèle:Al Modèle:Transparentla fonction scalaire composée $G = φ \circ g$ de la variable réelle $t$ est dérivable en $t_{0}$ et donc
Modèle:Al Modèle:Transparentdifférentiable, la « différentielle de $G$ en $t_{0}$ » s'écrivant
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d G \overset{déf}{=} \frac{d G}{d t} (t_{0}) d t = G^{'} (t_{0}) d t$ »^[28] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla « fonction $g = {g_{1}, g_{2}}$ de la variable réelle $t$ à valeurs dans $ℝ^{2}$ ^[30] étant de même différentiable en $t_{0}$ », la « différentielle de $g$ en $t_{0}$ » s'écrit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d g \overset{déf}{=} {\frac{d g_{1}}{d t} (t_{0}), \frac{d g_{2}}{d t} (t_{0})} d t = {{g^{'}}_{1} (t_{0}), {g^{'}}_{2} (t_{0})} d t$ »^[32] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla « fonction scalaire $φ$ des deux variables réelles indépendantes $(x, y) = g (t) = {g_{1} (t), g_{2} (t)}$ étant de même différentiable en $(x_{0}, y_{0}) = g (t_{0}) = {g_{1} (t_{0}), g_{2} (t_{0})}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentla « différentielle de $φ$ en $(x_{0}, y_{0})$ » s'écrit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d φ \overset{déf}{=} {(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ »^[27] ;

Modèle:Alreportant « ${\begin{matrix} d x = {g^{'}}_{1} (t_{0}) d t \\ d y = {g^{'}}_{2} (t_{0}) d t \end{matrix}}$ »^[33] dans « $d φ = {(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ » $\Rightarrow$ « $d φ = {(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) {g^{'}}_{1} (t_{0}) d t + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) {g^{'}}_{2} (t_{0}) d t$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d φ = [{(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) {g^{'}}_{1} (t_{0}) + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) {g^{'}}_{2} (t_{0})] d t$ » s'identifiant à
Modèle:Al Modèle:Transparentla « différentielle $d G$ de $G = φ \circ g$ en $t_{0}$ » ou encore, en éliminant $(x_{0}, y_{0})$ ^[34]
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d G = {{(\frac{\partial φ}{\partial x})}_{y} [g_{1} (t_{0}), g_{2} (t_{0})] {g^{'}}_{1} (t_{0}) + {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{x} [g_{1} (t_{0}), g_{2} (t_{0})] {g^{'}}_{2} (t_{0})} d t$ »
Modèle:Al Modèle:Transparents'identifiant à « $d G = G^{'} (t_{0}) d t$ » ;

Modèle:Alnous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction composée $G = φ \circ g$ dans laquelle $g = {g_{1}, g_{2}}$ est une fonction de la variable $t$ à valeurs dans $ℝ^{2}$ ^[30] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $φ$ une fonction scalaire de deux variables indépendantes $(x, y) = g (t)$ »
Modèle:Al Modèle:Transparenten identifiant, deux à deux, le cœfficient de $d t$ dans les deux expressions précédentes de $d G$ : Modèle:Théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions de deux autres variables indépendantes

Modèle:AlSoit la « fonction $φ = {φ_{1}, φ_{2}}$ de deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ à valeurs dans $ℝ^{2}$ ^[35] dérivable partiellement relativement à $x$ ^[23] $($ et relativement à $y$ ^[25] $)$ en $(x_{0}, y_{0})$ »^[36]
Modèle:Transparentet la « fonction scalaire $ψ$ de deux autres variables réelles indépendantes $(u, v)$ dérivable partiellement relativement à $u$ ^[37] $($ et relativement à $v$ ^[38] $)$ en $(u_{0}, v_{0}) = φ (x_{0}, y_{0})$ »^[39], $\Rightarrow$

Modèle:Al Modèle:Transparentla fonction scalaire composée $G = ψ \circ φ$ des deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ est dérivable partiellement en $(x_{0}, y_{0})$ et donc
Modèle:Al Modèle:Transparentdifférentiable, la « différentielle de $G$ en $(x_{0}, y_{0})$ » s'écrivant
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d G \overset{déf}{=} {(\frac{\partial G}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial G}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ »^[27] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla « fonction $φ = {φ_{1}, φ_{2}}$ des deux variables réelles indépendantes $(x, y)$ à valeurs dans $ℝ^{2}$ ^[35] étant de même différentiable en $(x_{0}, y_{0})$ », la « différentielle de $φ$ en $(x_{0}, y_{0})$ » s'écrit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d φ \overset{déf}{=} {{(\frac{\partial φ_{1}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ_{1}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y, \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\dots {(\frac{\partial φ_{2}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ_{2}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y}$ »^[40] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla « fonction scalaire $ψ$ des deux variables réelles indépendantes $(u, v) = φ (x, y) = {φ_{1} (x, y), φ_{2} (x, y)}$ étant de même différentiable en $(u_{0}, v_{0}) = φ (x_{0}, y_{0})$ ^[41],
Modèle:Al Modèle:Transparentla « différentielle de $ψ$ en $(u_{0}, v_{0})$ » s'écrit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d ψ \overset{déf}{=} {(\frac{\partial ψ}{\partial u})}_{v} (u_{0}, v_{0}) d u + {(\frac{\partial ψ}{\partial v})}_{u} (u_{0}, v_{0}) d v$ »^[27] ;

Modèle:Alreportant « ${\begin{matrix} d u = {(\frac{\partial φ_{1}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ_{1}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y \\ d v = {(\frac{\partial φ_{2}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ_{2}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y \end{matrix}}$ »^[42] dans « $d ψ = {(\frac{\partial ψ}{\partial u})}_{v} (u_{0}, v_{0}) d u + {(\frac{\partial ψ}{\partial v})}_{u} (u_{0}, v_{0}) d v$ » $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d ψ = {(\frac{\partial ψ}{\partial u})}_{v} (u_{0}, v_{0}) {{(\frac{\partial φ_{1}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ_{1}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y} + \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\dots {(\frac{\partial ψ}{\partial v})}_{u} (u_{0}, v_{0}) {{(\frac{\partial φ_{2}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ_{2}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y}$ »
Modèle:Al Modèle:Transparents'identifiant à la « différentielle $d G$ de $G = ψ \circ φ$ en $(x_{0}, y_{0})$ » ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparenten éliminant $(u_{0}, v_{0}) = {φ_{1} (x_{0}, y_{0}), φ_{2} (x_{0}, y_{0})} = φ (x_{0}, y_{0})$ , $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d G = {(\frac{\partial ψ}{\partial u})}_{v} [φ (x_{0}, y_{0})] {{(\frac{\partial φ_{1}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ_{1}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $+ {(\frac{\partial ψ}{\partial v})}_{u} [φ (x_{0}, y_{0})] {{(\frac{\partial φ_{2}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial φ_{2}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y}$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentsoit encore, en regroupant les termes $\propto$ à $d x$ et ceux $\propto$ à $d y$ dans $d G$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $d G = {{(\frac{\partial ψ}{\partial u})}_{v} [φ (x_{0}, y_{0})] {(\frac{\partial φ_{1}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) + {(\frac{\partial ψ}{\partial v})}_{u} [φ (x_{0}, y_{0})] {(\frac{\partial φ_{2}}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})} d x$
Modèle:Al Modèle:Transparent $+ {{(\frac{\partial ψ}{\partial u})}_{v} [φ (x_{0}, y_{0})] {(\frac{\partial φ_{1}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) + {(\frac{\partial ψ}{\partial v})}_{u} [φ (x_{0}, y_{0})] {(\frac{\partial φ_{2}}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})} d y$ »
Modèle:Al Modèle:Transparents'identifiant à « $d G = {(\frac{\partial G}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial G}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y$ » ;

Modèle:Alnous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée $G = ψ \circ φ = ψ \circ {φ_{1}, φ_{2}}$ dans laquelle $φ = {φ_{1}, φ_{2}}$ est une fonction des deux variables réelles
Modèle:Al Modèle:Transparentindépendantes $(x, y)$ à valeurs dans $ℝ^{2}$ ^[35] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $ψ$ une fonction scalaire des deux variables indépendantes
Modèle:Al Modèle:Transparent $(u, v) = φ (x, y) = {φ_{1} (x, y), φ_{2} (x, y)}$ »
Modèle:Al Modèle:Transparenten identifiant, deux à deux, les cœfficients de $d x$ et ceux de $d y$ dans les deux expressions précédentes de $d G$ : Modèle:Théorème

Notes et références

↑ À l'exception de la représentation graphique en fonction des variables indépendantes.
↑ Si ce graphe est très facile à lire, il n'est pas très pratique à construire ni à transporter car nécessitant un repère à trois dimensions.
↑ Dont l'importance est capitale pour les écosystèmes $\dots$
↑ $Δ z$ définissant le « pas » des courbes de niveaux.
↑ Les valeurs constantes choisies forment usuellement une « progression arithmétique » $[$ notion introduite au chap. $12$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ de raison égale au « pas » des courbes de niveaux.
↑ Le positionnement de la surface isotherme $0 °C$ est important car il permet de connaître l'état de l'eau dans l'atmosphère suivant que l'endroit considéré est au-dessus ou au-dessous de cette surface isotherme.
↑ On a utilisé la notation différentielle de la dérivée de la fonction $f_{y}$ de la variable $x$ , mais on aurait pu encore noter $f'_{y} (x)$ .
↑ En pratique $-$ même si cela reste correct $-$ ne plus utiliser la notation $\frac{d f_{y}}{d x} (x)$ ou $f'_{y} (x)$ pour noter la « dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ à $y$ figé » mais la noter « ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y)$ » et lire « dé rond f sur dé rond x à y figé » ou la nommer par son nom complet « dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ à $y$ figé ».
↑ On a utilisé la notation différentielle de la dérivée de la fonction $f_{x}$ de la variable $y$ , mais on aurait pu encore noter $f'_{x} (y)$ .
↑ En pratique $-$ même si cela reste correct $-$ ne plus utiliser la notation $\frac{d f_{x}}{d y} (y)$ ou $f'_{x} (y)$ pour noter la « dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ à $x$ figé » mais la noter « ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y)$ » et lire « dé rond f sur dé rond y à x figé » ou la nommer par son nom complet « dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ à $x$ figé ».
↑ $x$ est constant d'une part et d'autre part on dérive la fonction sinus par rapport à son argument et on multiplie par la dérivée de son argument $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ à $x$ figé.
↑ Dérivée d'un produit dans lequel $x$ varie, d'où l'existence du 1^er terme, pour le 2^ème terme, on dérive la fonction sinus par rapport à son argument et on multiplie par la dérivée de son argument $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ à $y$ figé.
↑ ^13,0 et ^13,1 Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921) mathématicien allemand, dont les travaux portèrent sur des sujets allant de l'analyse réelle et complexe à la géométrie différentielle, en passant par le calcul des variations ; il contribua à propager en Italie et en France les idées du mathématicien Karl Weierstrass dont il fut l'élève par les notes de cours qu'il prit en $1861$ ;
Modèle:AlKarl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques $[$ on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass continue partout et dérivable nulle part $]$ .
↑ ^14,0 et ^14,1 En France et en Belgique le théorème de Schwarz est encore appelé théorème de Clairaut.
Modèle:AlAlexis Claude Clairaut (1713 - 1765) mathématicien français très précoce : à l'âge de $12$ ans il écrit un mémoire sur $4$ corbes géométriques du 3^ème degré qu'il a découvertes, à $16$ ans il achève son traité intitulé Recherches sur les courbes à double courbure $[$ c.-à-d. sur les courbes gauches $($ ou non planes $)]$ dont la publication lui valut d'entrer à l'Académie des sciences à l'âge de $18$ ans, en $1736$ il participe à l'expédition en Laponie dirigée par Maupertuis dont l'objet est d'évaluer la longueur d'un degré d'arc de méridien, il publie en $1743$ un traité intitulé Théorie de la Figure de la Terre où il démontre le théorème portant son nom explicitant l'aplatissement géométrique de la Terre ; dans les années qui suivirent, il s'intéresse aux mouvements très complexes de la Lune et $1759$ il calcule le périhélie de la comète de Halley.
Modèle:AlPierre Louis Moreau de Maupertuis (1698 - 1759) philosophe, mathématicien, physicien, astronome et naturaliste français qui contribua notamment à la diffusion des théories de Newton hors d'Angleterre, et à l'établissement du principe de moindre action ; il participa à une 1^{ère</sup expédition menée en $1735$ au Pérou pour mesurer la longueur d'un degré d'arc équatorial et dirigea une 2^ème expédition en Laponie en <ma\;1736\;</math> dans le but de mesurer la longueur d'un degré d'arc polaire.}
↑ $y$ est constant d'une part et d'autre part on dérive un produit de fonctions, la fonction cosinus devant être dérivée par rapport à son argument et le résultat obtenu multiplié par la dérivée de l'argument par rapport à $x$ à $y$ figé.
↑ $x$ est constant d'une part et d'autre part on dérive la fonction cosinus ou sinus en la dérivant par rapport à son argument et en multipliant le résultat par la dérivée de l'argument relativement à $y$ à $x$ figé.
↑ ^17,0 et ^17,1 La fonction dérivée partielle de $f$ relativement à $x$ à $y$ figé est notée « ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y}$ » ou « ${f^{'}}_{x}$ » ou encore « $\partial_{x} f$ ».
↑ ^18,0 et ^18,1 La fonction dérivée partielle de $f$ relativement à $y$ à $x$ figé est notée « ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x}$ » ou « ${f^{'}}_{y}$ » ou encore « $\partial_{y} f$ ».
↑ ^19,00 ^19,01 ^19,02 ^19,03 ^19,04 ^19,05 ^19,06 ^19,07 ^19,08 ^19,09 et ^19,10 Si $f$ s'annule pour des valeurs de $I_{x}$ ${$ ou de $I_{y}}$ il convient de « restreindre $I_{x}$ ${$ ou $I_{y}}$ au plus grand ${I^{'}}_{x} \subset I_{x}$ tel que $f ({I^{'}}_{x}) = f (I_{x}) ∖ {0}$ » ${$ ou au plus grand ${I^{'}}_{y} \subset I_{y}$ tel que $f ({I^{'}}_{y}) = f (I_{y}) ∖ {0}}$ .
↑ ^20,0 et ^20,1 Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
↑ ^21,0 et ^21,1 Voir le paragraphe « exemple de calcul de dérivées partielles » plus haut dans ce chapitre.
↑ On trouve effectivement le même résultat ; cela peut paraître plus court mais n'oubliez pas qu'il faut calculer les dérivées partielles au préalable.
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 et ^23,6 Sous entendu « à $y$ figé », abus d'omission possible car il n'y a que deux variables, la dérivation partielle par rapport à l'une d'elles se fait nécessairement en figeant l'autre.
↑ ^24,0 et ^24,1 Voir le paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^25,0 ^25,1 ^25,2 ^25,3 ^25,4 ^25,5 et ^25,6 Sous entendu « à $x$ figé », abus d'omission possible car il n'y a que deux variables, la dérivation partielle par rapport à l'une d'elles se fait nécessairement en figeant l'autre.
↑ Voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 et ^27,4 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées définition de la différentielle d'une fonction de deux variables
↑ ^28,0 et ^28,1 Voir le paragraphe « différentielle d'une fonction scalaire d'une variable (définition) » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Par $u_{0} = φ (x_{0}, y_{0})$ .
↑ ^30,0 ^30,1 et ^30,2 La fonction $g = {g_{1}, g_{2}}$ étant définie par deux composantes pourrait être qualifiée de « vectorielle $($ d'un espace à deux dimensions $)$ », les fonctions vectorielles d'un espace à trois dimensions étant définies dans le paragraphe « définition d'un champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La notion de dérivabilité d'une fonction vectorielle d'un espace à deux dimensions se déduisant aisément de celle d'un espace à trois dimensions, voir le paragraphe « définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », un couple de fonctions scalaires d'une variable réelle pouvant être considéré comme les composantes d'une fonction vectorielle de cette variable réelle à image dans un espace à deux dimensions.
↑ Ces expressions découlant de $(x, y) = {g_{1} (t), g_{2} (t)}$ .
↑ Par $(x_{0}, y_{0}) = {g_{1} (t_{0}), g_{2} (t_{0})}$ .
↑ ^35,0 ^35,1 et ^35,2 La fonction $φ = {φ_{1}, φ_{2}}$ étant définie par deux composantes pourrait être qualifiée de « vectorielle $($ d'un espace à deux dimensions $)$ », les fonctions vectorielles d'un espace à trois dimensions étant définies dans le paragraphe « définition d'un champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Une fonction vectorielle d'un espace à deux dimensions $($ comme d'un espace à trois dimensions $)$ pouvant être définie par la donnée de ses composantes sur une base cartésienne de l'espace Modèle:Nobr la note « ⁴¹ » plus haut dans ce chapitre $)$ , la notion de dérivabilité partielle d'une telle fonction se déduit de celle de ses composantes, voir le paragraphe « définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que le paragraphe « définition des dérivées partielles » plus haut dans ce chapitre.
↑ Sous entendu « à $v$ figé », abus d'omission possible car il n'y a que deux variables, la dérivation partielle par rapport à l'une d'elles se fait nécessairement en figeant l'autre.
↑ Sous entendu « à $u$ figé », abus d'omission possible car il n'y a que deux variables, la dérivation partielle par rapport à l'une d'elles se fait nécessairement en figeant l'autre.
↑ Voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${$ exposé en dimension trois et utilisé en dimension deux $}$ , un couple de fonctions scalaires de deux variables réelles indépendantes pouvant être considéré comme les composantes d'une fonction vectorielle de ces deux variables réelles à image dans un espace à deux dimensions.
↑ Avec $φ (x_{0}, y_{0}) = {φ_{1} (x_{0}, y_{0}), φ_{2} (x_{0}, y_{0})}$ .
↑ Ces expressions découlant de $(u, v) = {φ_{1} (x, y), φ_{2} (x, y)}$ .

Modèle:Bas de page

[1] À l'exception de la représentation graphique en fonction des variables indépendantes.

[2] Si ce graphe est très facile à lire, il n'est pas très pratique à construire ni à transporter car nécessitant un repère à trois dimensions.

[3] Dont l'importance est capitale pour les écosystèmes $\dots$

[4] $Δ z$ définissant le « pas » des courbes de niveaux.

[5] Les valeurs constantes choisies forment usuellement une « progression arithmétique » $[$ notion introduite au chap. $12$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ de raison égale au « pas » des courbes de niveaux.

[6] Le positionnement de la surface isotherme $0 °C$ est important car il permet de connaître l'état de l'eau dans l'atmosphère suivant que l'endroit considéré est au-dessus ou au-dessous de cette surface isotherme.

[7] On a utilisé la notation différentielle de la dérivée de la fonction $f_{y}$ de la variable $x$ , mais on aurait pu encore noter $f'_{y} (x)$ .

[8] En pratique $-$ même si cela reste correct $-$ ne plus utiliser la notation $\frac{d f_{y}}{d x} (x)$ ou $f'_{y} (x)$ pour noter la « dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ à $y$ figé » mais la noter « ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y)$ » et lire « dé rond f sur dé rond x à y figé » ou la nommer par son nom complet « dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ à $y$ figé ».

[9] On a utilisé la notation différentielle de la dérivée de la fonction $f_{x}$ de la variable $y$ , mais on aurait pu encore noter $f'_{x} (y)$ .

[10] En pratique $-$ même si cela reste correct $-$ ne plus utiliser la notation $\frac{d f_{x}}{d y} (y)$ ou $f'_{x} (y)$ pour noter la « dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ à $x$ figé » mais la noter « ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y)$ » et lire « dé rond f sur dé rond y à x figé » ou la nommer par son nom complet « dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ à $x$ figé ».

[11] $x$ est constant d'une part et d'autre part on dérive la fonction sinus par rapport à son argument et on multiplie par la dérivée de son argument $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ à $x$ figé.

[12] Dérivée d'un produit dans lequel $x$ varie, d'où l'existence du 1^er terme, pour le 2^ème terme, on dérive la fonction sinus par rapport à son argument et on multiplie par la dérivée de son argument $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ à $y$ figé.

[Schwarz-13] 13,0 et ^13,1 Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921) mathématicien allemand, dont les travaux portèrent sur des sujets allant de l'analyse réelle et complexe à la géométrie différentielle, en passant par le calcul des variations ; il contribua à propager en Italie et en France les idées du mathématicien Karl Weierstrass dont il fut l'élève par les notes de cours qu'il prit en $1861$ ;
Modèle:AlKarl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques $[$ on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass continue partout et dérivable nulle part $]$ .

[théorème_de_Clairaut-14] 14,0 et ^14,1 En France et en Belgique le théorème de Schwarz est encore appelé théorème de Clairaut.
Modèle:AlAlexis Claude Clairaut (1713 - 1765) mathématicien français très précoce : à l'âge de $12$ ans il écrit un mémoire sur $4$ corbes géométriques du 3^ème degré qu'il a découvertes, à $16$ ans il achève son traité intitulé Recherches sur les courbes à double courbure $[$ c.-à-d. sur les courbes gauches $($ ou non planes $)]$ dont la publication lui valut d'entrer à l'Académie des sciences à l'âge de $18$ ans, en $1736$ il participe à l'expédition en Laponie dirigée par Maupertuis dont l'objet est d'évaluer la longueur d'un degré d'arc de méridien, il publie en $1743$ un traité intitulé Théorie de la Figure de la Terre où il démontre le théorème portant son nom explicitant l'aplatissement géométrique de la Terre ; dans les années qui suivirent, il s'intéresse aux mouvements très complexes de la Lune et $1759$ il calcule le périhélie de la comète de Halley.
Modèle:AlPierre Louis Moreau de Maupertuis (1698 - 1759) philosophe, mathématicien, physicien, astronome et naturaliste français qui contribua notamment à la diffusion des théories de Newton hors d'Angleterre, et à l'établissement du principe de moindre action ; il participa à une 1^{ère</sup expédition menée en $1735$ au Pérou pour mesurer la longueur d'un degré d'arc équatorial et dirigea une 2^ème expédition en Laponie en <ma\;1736\;</math> dans le but de mesurer la longueur d'un degré d'arc polaire.}

[15] $y$ est constant d'une part et d'autre part on dérive un produit de fonctions, la fonction cosinus devant être dérivée par rapport à son argument et le résultat obtenu multiplié par la dérivée de l'argument par rapport à $x$ à $y$ figé.

[16] $x$ est constant d'une part et d'autre part on dérive la fonction cosinus ou sinus en la dérivant par rapport à son argument et en multipliant le résultat par la dérivée de l'argument relativement à $y$ à $x$ figé.

[notation_de_dérivée_partielle_par_rapport_à_x-17] 17,0 et ^17,1 La fonction dérivée partielle de $f$ relativement à $x$ à $y$ figé est notée « ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y}$ » ou « ${f^{'}}_{x}$ » ou encore « $\partial_{x} f$ ».

[notation_de_dérivée_partielle_par_rapport_à_y-18] 18,0 et ^18,1 La fonction dérivée partielle de $f$ relativement à $y$ à $x$ figé est notée « ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x}$ » ou « ${f^{'}}_{y}$ » ou encore « $\partial_{y} f$ ».

[0_exclu-19] 19,00 ^19,01 ^19,02 ^19,03 ^19,04 ^19,05 ^19,06 ^19,07 ^19,08 ^19,09 et ^19,10 Si $f$ s'annule pour des valeurs de $I_{x}$ ${$ ou de $I_{y}}$ il convient de « restreindre $I_{x}$ ${$ ou $I_{y}}$ au plus grand ${I^{'}}_{x} \subset I_{x}$ tel que $f ({I^{'}}_{x}) = f (I_{x}) ∖ {0}$ » ${$ ou au plus grand ${I^{'}}_{y} \subset I_{y}$ tel que $f ({I^{'}}_{y}) = f (I_{y}) ∖ {0}}$ .

[notation_personnelle-20] 20,0 et ^20,1 Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.

[calcul_de_dérivées_partielles_de_l'exemple-21] 21,0 et ^21,1 Voir le paragraphe « exemple de calcul de dérivées partielles » plus haut dans ce chapitre.

[22] On trouve effectivement le même résultat ; cela peut paraître plus court mais n'oubliez pas qu'il faut calculer les dérivées partielles au préalable.

[à_y_figé-23] 23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 et ^23,6 Sous entendu « à $y$ figé », abus d'omission possible car il n'y a que deux variables, la dérivation partielle par rapport à l'une d'elles se fait nécessairement en figeant l'autre.

[dérivée_logarithmique_partielle-24] 24,0 et ^24,1 Voir le paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » plus haut dans ce chapitre.

[à_x_figé-25] 25,0 ^25,1 ^25,2 ^25,3 ^25,4 ^25,5 et ^25,6 Sous entendu « à $x$ figé », abus d'omission possible car il n'y a que deux variables, la dérivation partielle par rapport à l'une d'elles se fait nécessairement en figeant l'autre.

[26] Voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » plus haut dans ce chapitre.

[définition_de_la_différentielle_d'une_fonction_de_deux_variables-27] 27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 et ^27,4 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées définition de la différentielle d'une fonction de deux variables

[définition_de_la_différentielle_d'une_fonction_d'une_variable-28] 28,0 et ^28,1 Voir le paragraphe « différentielle d'une fonction scalaire d'une variable (définition) » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[29] Par $u_{0} = φ (x_{0}, y_{0})$ .

[fonction_vectorielle-30] 30,0 ^30,1 et ^30,2 La fonction $g = {g_{1}, g_{2}}$ étant définie par deux composantes pourrait être qualifiée de « vectorielle $($ d'un espace à deux dimensions $)$ », les fonctions vectorielles d'un espace à trois dimensions étant définies dans le paragraphe « définition d'un champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[dérivabilité_d'une_fonction_vectorielle-31] La notion de dérivabilité d'une fonction vectorielle d'un espace à deux dimensions se déduisant aisément de celle d'un espace à trois dimensions, voir le paragraphe « définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[définition_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable-32] Voir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », un couple de fonctions scalaires d'une variable réelle pouvant être considéré comme les composantes d'une fonction vectorielle de cette variable réelle à image dans un espace à deux dimensions.

[33] Ces expressions découlant de $(x, y) = {g_{1} (t), g_{2} (t)}$ .

[34] Par $(x_{0}, y_{0}) = {g_{1} (t_{0}), g_{2} (t_{0})}$ .

[fonction_vectorielle_-_bis-35] 35,0 ^35,1 et ^35,2 La fonction $φ = {φ_{1}, φ_{2}}$ étant définie par deux composantes pourrait être qualifiée de « vectorielle $($ d'un espace à deux dimensions $)$ », les fonctions vectorielles d'un espace à trois dimensions étant définies dans le paragraphe « définition d'un champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[dérivabilité_partielle_d'une_fonction_vectorielle-36] Une fonction vectorielle d'un espace à deux dimensions $($ comme d'un espace à trois dimensions $)$ pouvant être définie par la donnée de ses composantes sur une base cartésienne de l'espace Modèle:Nobr la note « ⁴¹ » plus haut dans ce chapitre $)$ , la notion de dérivabilité partielle d'une telle fonction se déduit de celle de ses composantes, voir le paragraphe « définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que le paragraphe « définition des dérivées partielles » plus haut dans ce chapitre.

[à_v_figé-37] Sous entendu « à $v$ figé », abus d'omission possible car il n'y a que deux variables, la dérivation partielle par rapport à l'une d'elles se fait nécessairement en figeant l'autre.

[à_u_figé-38] Sous entendu « à $u$ figé », abus d'omission possible car il n'y a que deux variables, la dérivation partielle par rapport à l'une d'elles se fait nécessairement en figeant l'autre.

[dérivabilité_partielle_d'une_fonction_scalaire-39] Voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » plus haut dans ce chapitre.

[définition_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_de_plusieurs_variables-40] Voir le paragraphe « écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${$ exposé en dimension trois et utilisé en dimension deux $}$ , un couple de fonctions scalaires de deux variables réelles indépendantes pouvant être considéré comme les composantes d'une fonction vectorielle de ces deux variables réelles à image dans un espace à deux dimensions.

[41] Avec $φ (x_{0}, y_{0}) = {φ_{1} (x_{0}, y_{0}), φ_{2} (x_{0}, y_{0})}$ .

[42] Ces expressions découlant de $(u, v) = {φ_{1} (x, y), φ_{2} (x, y)}$ .

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

Sommaire

Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantes

Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernières

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensions

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensions

Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes

Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes

Définition des dérivées partielles

Exemple de calcul de dérivées partielles

Vérification du théorème de Schwarz sur un exemple

Définition des dérivées logarithmiques partielles

Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extension

Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physique

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduites

Par calcul préalable des dérivées partielles

Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantes

Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composée

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composée

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions de deux autres variables indépendantes

Notes et références

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantes

Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernières

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensions

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensions

Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes

Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes

Définition des dérivées partielles

Exemple de calcul de dérivées partielles

Vérification du théorème de Schwarz sur un exemple

Définition des dérivées logarithmiques partielles

Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extension

Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physique

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduites

Par calcul préalable des dérivées partielles

Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantes

Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composée

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composée

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions de deux autres variables indépendantes

Notes et références

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