Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Fonctions implicites

Dans ce chapitre nous nous limitons aux fonctions implicites les plus couramment utilisées en physique à savoir des fonctions implicites entre variables réelles.

Définition d'une fonction implicite

Fonction implicite entre deux variables réelles

Modèle:Définition Modèle:AlRemarques : La fonction « $ψ : x \overset{ψ}{\to} y$ » ou celle « $φ : y \overset{φ}{\to} x$ » définie pour tous les couples $(x, y)$ vérifiant l'équation $f (x, y) = 0$ est appelée « fonction implicite » ${f (x, y) = 0$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite »^[1] $)$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparent« $y = ψ (x)$ » ou « $x = φ (y)$ » est l'équation du graphe de la fonction implicite « $ψ$ ou $φ$ » ${$ mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions « $ψ$ ou $φ$ » pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une courbe en général continue^[2] $}$ .

Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus

Modèle:Définition Modèle:AlRemarques 1 : La fonction « $ψ : (x, z) \overset{ψ}{\to} y$ » ou celle « $φ : (y, z) \overset{φ}{\to} x$ » ou encore celle « $ζ : (x, y) \overset{ζ}{\to} z$ » définie pour tous les triplets $(x, y, z)$ vérifiant l'équation $f (x, y, z) = 0$ est appelée « fonction implicite » ${f (x, y, z) = 0$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite »^[3] $)$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparent« $y = ψ (x, z)$ » ou « $x = φ (y, z)$ » ou « $z = ζ (x, y)$ » est l'équation du graphe de la fonction implicite « $ψ$ ou $φ$ ou $ζ$ » ${$ mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions « $ψ$ ou $φ$ ou $ζ$ » pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une surface en général continue^[4] $}$ .

Modèle:AlRemarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles $($ ou plus $)$ se déduit aisément de celle exposée ci-dessus entre trois variables réelles, elle est simplement évoquée ci-après :

Modèle:Al Modèle:Transparentconsidérant « $(x, y, z, t) \in ℝ^{4}$ un quadruplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
Modèle:Al Modèle:Transparent« $f$ est une fonction de $ℝ^{4}$ dans $ℝ$ » définie par « $\forall (x, y, z, t) \in ℝ^{4} : (x, y, z, t) \overset{f}{\to} f (x, y, z, t) \in ℝ$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'équation $f (x, y, z, t) = 0$ définit une fonction implicite entre les variables $x$ , $y$ , $z$ et $t$ si on peut exprimer une des variables $x$ $[$ ou $y$ ou $z$ ou $t]$ en fonction des trois autres $(y, z, t)$ $[$ ou $(x, z, t)$ ou $(x, y, t)$ ou $(x, y, z)]$ pour tous les quadruplets $(x, y, z, t)$ vérifiant l'équation soit, par exemple,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $f (x, y, z, t) = 0$ définit une fonction implicite entre $x$ , $y$ , $z$ et $t$ » « si $\exists ψ : ℝ^{3} \mapsto ℝ$ telle que $f (x, y, z, t) = 0$ $\Leftrightarrow$ $y = ψ (x, z, t)$ »^[5] ou $\dots$

Exemples de fonctions implicites

Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles

Modèle:AlL'équation implicite « $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ » définit une fonction implicite « $ψ : x \in [- 1, + 1] \overset{ψ}{\to} y = ψ (x) = \pm \sqrt{1 - x^{2}}$ »^[6] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $φ : y \in [- 1, + 1] \overset{φ}{\to} x = φ (y) = \pm \sqrt{1 - y^{2}}$ »^[7]
Modèle:Al Modèle:Transparenttoutes deux étant l'équation du cercle trigonométrique^[8].

Modèle:AlL'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - 1 = 0$ » définit une fonction implicite « $ψ : x \in [- a^{'}, + a^{'}] \overset{ψ}{\to} y = ψ (x) = \pm b^{'} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a'^{2}}}$ »^[6] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $φ : y \in [- b^{'}, + b^{'}] \overset{φ}{\to} x = φ (y) = \pm a^{'} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{b'^{2}}}$ »^[7]
Modèle:Al Modèle:Transparenttoutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , dont $a^{'}$ est le demi-grand axe $($ ou le demi-petit axe $)$ et $b^{'}$ le demi-petit axe $($ ou le demi-grand axe $)$ ^[9]Modèle:,^[10].

Modèle:AlL'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 = 0$ » définit une fonction implicite « $ψ : x \in] - \infty, - a] \cup [+ a, + \infty [\overset{ψ}{\to} y = ψ (x) = \pm b \sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}} - 1}$ »^[6] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $φ : y \in] - \infty, - b] \cup [+ b, + \infty [\overset{φ}{\to} x = φ (y) = \pm a \sqrt{\frac{y^{2}}{b^{2}} + 1}$ »^[7]
Modèle:Al Modèle:Transparenttoutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre $O$ , d'axes focal $x^{'} x$ et non focal $y^{'} y$ , dont $a$ est le demi-axe focal et $b$ le demi-axe non focal^[11]Modèle:,^[12].

Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles

Modèle:AlL'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} + \frac{z^{2}}{c'^{2}} - 1 = 0$ » définit une fonction implicite « $ψ : (x, z) \in [- a^{'}, + a^{'}] \times [- c^{'}, + c^{'}] \overset{ψ}{\to} y = ψ (x, z) = \pm b^{'} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a'^{2}} - \frac{z^{2}}{c'^{2}}}$ »^[13] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $φ : (y, z) \in [- b^{'}, + b^{'}] \times [- c^{'}, + c^{'}] \overset{φ}{\to} x = φ (y, z) = \pm a^{'} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{b'^{2}} - \frac{z^{2}}{c'^{2}}}$ »^[14] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $ζ : (x, y) \in [- a^{'}, + a^{'}] \times [- b^{'}, + b^{'}] \overset{ζ}{\to} z = ζ (x, y) = \pm c^{'} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a'^{2}} - \frac{y^{2}}{b'^{2}}}$ »^[15]
Modèle:Al Modèle:Transparenttoutes trois étant l'équation de l'ellipsoïde triaxial de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} z$ , dont $a^{'}$ , $b^{'}$ et $c^{'}$ sont les demi-axes $($ paramètres positifs et deux à deux différents quand l'ellipsoïde est triaxial $)$ ^[16]Modèle:,^[17].

Modèle:AlL'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - \frac{z^{2}}{c'^{2}} - 1 = 0$ » définit une fonction implicite « $ψ : (x, z) \in {] - \infty, - a^{'}] \cup [+ a^{'}, + \infty [} \times ℝ \overset{ψ}{\to} y = ψ (x, z) = \pm b^{'} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{z^{2}}{c'^{2}}}$ »^[13] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $φ : (y, z) \in {] - \infty, - b^{'}] \cup [+ b^{'}, + \infty [} \times ℝ \overset{φ}{\to} x = φ (y, z) = \pm a^{'} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{b'^{2}} + \frac{z^{2}}{c'^{2}}}$ »^[14] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $ζ : (x, y) \in {] - \infty, - a^{'}] \cup [+ a^{'}, + \infty [} \times {] - \infty, - b^{'}] \cup [+ b^{'}, + \infty [} \overset{ζ}{\to} z = ζ (x, y)$ avec $ζ (x, y) =$ $\pm c^{'} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a'^{2}} - \frac{y^{2}}{b'^{2}}}$ »^[15]
Modèle:Al Modèle:Transparenttoutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} z$ , dont $a^{'}$ , $b^{'}$ et $c^{'}$ sont les demi-axes $($ paramètres positifs $)$ , le caractère connexe de l'hyperboloïde $($ présence d'une seule nappe $)$ étant assuré par le fait que $z$ peut prendre toute valeur réelle alors que $x$ et $y$ prennent des valeurs de la réunion de deux intervalles disjoints^[18]Modèle:,^[19].

Modèle:AlL'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - \frac{z^{2}}{c'^{2}} + 1 = 0$ » définit une fonction implicite « $ψ : (x, z) \in ℝ \times {] - \infty, - c^{'}] \cup [+ c^{'}, + \infty [} \overset{ψ}{\to} y = ψ (x, z) = \pm b^{'} \sqrt{\frac{z^{2}}{c'^{2}} - \frac{x^{2}}{a'^{2}} - 1}$ »^[13] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $φ : (y, z) \in ℝ \times {] - \infty, - b^{'}] \cup [+ b^{'}, + \infty [} \overset{φ}{\to} x = φ (y, z) = \pm a^{'} \sqrt{\frac{z^{2}}{c'^{2}} - \frac{y^{2}}{b'^{2}} - 1}$ »^[14] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $ζ : (x, y) \in ℝ^{2} \overset{ζ}{\to} z = ζ (x, y) = \pm c^{'} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}}}$ »^[15]
Modèle:Al Modèle:Transparenttoutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} z$ , dont $a^{'}$ , $b^{'}$ et $c^{'}$ sont les demi-axes $($ paramètres positifs $)$ , le caractère non connexe de l'hyperboloïde $($ présence de deux nappes $)$ étant assuré par le fait que $x$ et $y$ peuvent prendre toute valeur réelle alors que $z$ prend des valeurs de la réunion de deux intervalles disjoints^[20]Modèle:,^[21].

Dérivée d'une fonction implicite

Modèle:AlPréliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée première $($ ou n'importe quelle des dérivées partielles premières $)$ d'une fonction implicite en utilisant les dérivées partielles du 1^er membre de l'équation implicite dont la fonction implicite est solution ${$ l'utilisation de la relation ainsi trouvée peut être particulièrement utile quand la fonction implicite est impossible à déterminer algébriquement $}$ .

Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles

Modèle:Proposition Modèle:AlDémonstration : différenciant « $f (x, y) = 0$ en $(x_{0}, y_{0})$ » nous obtenons « $d f (x_{0}, y_{0}) = 0$ ou ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) d x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) d y = 0$ » dont nous déduisons, dans la mesure où ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) \neq 0$ , « $\frac{d y}{d x} = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}$ ${\frac{d y}{d x}$ étant $\frac{d ψ}{d x} (x_{0})$ par abus d'écriture $}$ C.Q.F.D^[22]. ».

Modèle:AlRemarque : à partir de « la fonction implicite

φ : y \overset{φ}{\to} x

solution de l'équation implicite

f (x, y) = 0

\Leftrightarrow

x = φ (y)

», pour laquelle «

f

est une fonction continue et différentiable en

(x_{0}, y_{0})

» nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite

φ

est continue et différentiable en

y_{0}

», la valeur de sa dérivée 1^ère en

y_{0}

pouvant se déterminer par

«

φ^{'} (y_{0}) = - \frac{{f^{'}}_{y} (x_{0}, y_{0})}{{f^{'}}_{x} (x_{0}, y_{0})}

» ou «

\frac{d φ}{d y} (y_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}

» si
« la dérivée partielle 1^ère de

f

par rapport à

x

(

à

y

figée

)

vérifie

{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

».

Modèle:AlLien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite^[23] : « les deux fonctions implicites

ψ : x \overset{ψ}{\to} y

et

φ : y \overset{φ}{\to} x

solutions de l'équation implicite

f (x, y) = 0

pour laquelle

f

est une fonction continue et différentiable en

(x_{0}, y_{0})

» étant elles-mêmes continues et différentiables, ont une dérivée 1^ère^[23] finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «

{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

ainsi que

{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

» en effet «

\frac{d φ}{d y} (y_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}

» et «

\frac{d ψ}{d x} (x_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}

»

\Rightarrow

\frac{d φ}{d y} (y_{0}) \frac{d ψ}{d x} (x_{0}) = [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}] = 1

d'où

«

\frac{d φ}{d y} (y_{0}) \frac{d ψ}{d x} (x_{0}) = 1

\Leftrightarrow

\frac{d φ}{d y} (y_{0}) = \frac{1}{\frac{d ψ}{d x} (x_{0})}

» si

{\begin{matrix} ψ : x \overset{ψ}{\to} y \\ φ : y \overset{φ}{\to} x \end{matrix}}

^[24].

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles

Modèle:Proposition Modèle:AlDémonstration : différenciant, à $z$ figée, « $f (x, y, z) = 0$ en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ » nous obtenons « $d_{z} f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0$ ^[25] ou ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) d x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) d y = 0$ » dont nous déduisons, dans la mesure où ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ , « $\frac{d y}{d x} = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ ${\frac{d y}{d x}$ étant ${(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0})$ par abus d'écriture $}$ C.Q.F.D^[22]. » et

Modèle:Al Modèle:Transparentdifférenciant, à $x$ figée, « $f (x, y, z) = 0$ en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ » nous obtenons « $d_{x} f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0$ ^[25] ou ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) d y + {(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) d z = 0$ » dont nous déduisons, dans la mesure où ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ , « $\frac{d y}{d z} = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ ${\frac{d y}{d z}$ étant ${(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0})$ par abus d'écriture $}$ C.Q.F.D^[22]. ».

Modèle:AlRemarque : à partir de « la fonction implicite

φ : (y, z) \overset{φ}{\to} x

solution de l'équation implicite

f (x, y, z) = 0

\Leftrightarrow

x = φ (y, z)

», pour laquelle «

f

est une fonction continue et différentiable en

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

» nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite

φ

est continue et différentiable en

(y_{0}, z_{0})

», sa dérivée partielle 1^ère par rapport à

y

à

z

figée ainsi que celle par rapport à

z

à

y

figée, toutes deux évaluées au point

(y_{0}, z_{0})

, pouvant se déterminer par

«

{φ^{'}}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{f^{'}}_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{f^{'}}_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

» ou «

{(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

» et
«

{φ^{'}}_{z} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{f^{'}}_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{f^{'}}_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

» ou «

{(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

» si
« la dérivée partielle 1^ère de

f

par rapport à

x

(

à

y

et

z

figées

)

vérifie

{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0

» ;

Modèle:Al Modèle:Transparentà partir de « la fonction implicite

ζ : (x, y) \overset{ζ}{\to} z

solution de l'équation implicite

f (x, y, z) = 0

\Leftrightarrow

z = ζ (x, y)

», pour laquelle «

f

est une fonction continue et différentiable en

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

» nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite

ζ

est continue et différentiable en

(x_{0}, y_{0})

», sa dérivée partielle 1^ère par rapport à

x

à

y

figée ainsi que celle par rapport à

y

à

x

figée, toutes deux évaluées au point

(x_{0}, y_{0})

, pouvant se déterminer par

«

{ζ^{'}}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{{f^{'}}_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{f^{'}}_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

» ou «

{(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

» et
«

{ζ^{'}}_{y} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{{f^{'}}_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{f^{'}}_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

» ou «

{(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

» si
« la dérivée partielle 1^ère de

f

par rapport à

z

(

à

x

et

y

figées

)

vérifie

{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0

».

Modèle:AlLiens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite^[26] : « les trois fonctions implicites $ψ : (x, z) \overset{ψ}{\to} y$ , $φ : (y, z) \overset{φ}{\to} x$ et $ζ : z \overset{ζ}{\to} (x, y)$ solutions de l'équation implicite $f (x, y, z) = 0$ pour laquelle $f$ est une fonction continue et différentiable en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ » étant elles-mêmes continues et différentiables, ont des dérivées partielles 1^ères^[26] liées $2$ à $2$ selon :

« ${(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})}$ »^[27] dans la mesure où « ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ ainsi que ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ » en effet « ${(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » et Modèle:Nobr $= - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » $\Rightarrow$ ${(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] = 1$ ^[28],
« ${(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}$ »^[29] dans la mesure où « ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ ainsi que ${(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ » en effet « ${(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » et Modèle:Nobr $= - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » $\Rightarrow$ ${(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] = 1$ ^[30] et
« ${(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}$ »^[31] dans la mesure où « ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ ainsi que ${(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ » en effet « ${(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » et Modèle:Nobr $= - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » $\Rightarrow$ ${(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] = 1$ ^[32] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentnous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères^[26] des trois fonctions implicites

ψ : (x, z) \overset{ψ}{\to} y

,

φ : (y, z) \overset{φ}{\to} x

et

ζ : z \overset{ζ}{\to} (x, y)

solutions de l'équation implicite

f (x, y, z) = 0

pour laquelle

f

est une fonction continue et différentiable en

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

», une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites

ψ

,

φ

et

ζ

solutions de l'équation implicite

f (x, y, z) = 0

{

à condition qu'aucune des trois dérivées partielles 1^ères de

f

ne s'annule au point

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

c'est-à-dire «

{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0

», «

{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0

» et «

{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0

»

}

soit :

«

{(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - 1

»^[33]Modèle:,^[34]

\Leftrightarrow

«

{(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}

»^[35],
Modèle:Al Modèle:Transparent

\Leftrightarrow

«

{(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - {(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, y_{0})

»^[36]Modèle:,^[37],
«

{(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (x_{0}, y_{0}) = - 1

»^[38]Modèle:,^[39]

\Leftrightarrow

«

{(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (x_{0}, y_{0})}

»^[40],
Modèle:Al Modèle:Transparent

\Leftrightarrow

«

{(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) = - {(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, y_{0})

»^[41]Modèle:,^[42].

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles (ou plus)

Modèle:AlSoit « l’équation implicite

f (x, y, z, t) = 0

des variables réelles

x

,

y

,

z

et

t

,

f

étant continue et différentiable en

(x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})

» et
Modèle:Al Modèle:Transparent« la fonction implicite

ψ : (x, z, t) \overset{ψ}{\to} y

solution de l'équation implicite » c'est-à-dire telle que «

f (x, y, z, t) = 0

\Leftrightarrow

y = ψ (x, z, t)

»,
Modèle:Al« la fonction implicite

ψ

étant, par suite, continue et différentiable en

(x_{0}, z_{0}, t_{0})

»,
Modèle:Al Modèle:Transparentsa dérivée partielle 1^ère par rapport à

x

, à

z

et

t

figées, évaluée au point

(x_{0}, z_{0}, t_{0})

peut se déterminer par

«

{ψ^{'}}_{x} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) = - \frac{{f^{'}}_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}{{f^{'}}_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}

» ou «

{(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z, t} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}

»,

Modèle:Al Modèle:Transparentsa dérivée partielle 1^ère par rapport à

z

, à

x

et

t

figées, évaluée au point

(x_{0}, z_{0}, t_{0})

Modèle:Transparentpar

«

{ψ^{'}}_{z} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) = - \frac{{f^{'}}_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}{{f^{'}}_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}

» ou «

{(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x, t} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}

» et

Modèle:Al Modèle:Transparentsa dérivée partielle 1^ère par rapport à

t

, à

x

et

z

figées, évaluée au point

(x_{0}, z_{0}, t_{0})

Modèle:Transparentpar

«

{ψ^{'}}_{t} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) = - \frac{{f^{'}}_{t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}{{f^{'}}_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}

» ou «

{(\frac{\partial ψ}{\partial t})}_{x, z} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial t})}_{x, y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}

»
si « la dérivée partielle 1^ère de

f

par rapport à

y

(x

,

z

et

t

étant figées

)

est telle que

{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) \neq 0

».

Modèle:AlDémonstration : différenciant, à $z$ et $t$ figées, « $f (x, y, z, t) = 0$ en $(x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})$ » nous obtenons « $d_{z, t} f (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) = 0$ ^[25] soit, en explicitant la différentielle, à $z$ et $t$ figées, de $f$ , ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) d x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) d y = 0$ » dont nous déduisons, dans la mesure où ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) \neq 0$ , « $\frac{d y}{d x} = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})}$ ${\frac{d y}{d x}$ étant ${(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z, t} (x_{0}, z_{0}, t_{0})$ par abus d'écriture $}$ C.Q.F.D^[22]. »,
Modèle:Al Modèle:Transparentles expressions des deux autres dérivées partielles 1^ères^[43] se déterminant de la même façon $\dots$

Modèle:Al« Les trois autres fonctions implicites “ $φ : (y, z, t) \overset{φ}{\to} x$ ”, “ $ζ : (x, y, t) \overset{ζ}{\to} z$ ” et “ $τ : (x, y, z) \overset{τ}{\to} t$ ” solutions de l'équation implicite $f (x, y, z, t) = 0$ sont continues et différentiables respectivement en “ $(y_{0}, z_{0}, t_{0})$ ”, “ $(x_{0}, y_{0}, t_{0})$ ” et “ $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ” », « les trois dérivées partielles 1^ères^[43] de chacune des trois autres fonctions implicites s'expriment en fonction de certaines dérivées partielles 1^ères de $f$ , de la même façon que celles de $ψ$ » $($ laissées au bon soin du lecteur $)$ .

Modèle:AlLiens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite^[43] : en procédant d'une façon analogue à celle utilisée pour les trois fonctions implicites d'une même équation implicite

f (x, y, z) = 0

, nous déterminons les « liens entre dérivées partielles des quatre fonctions implicites de la même équation implicite

f (x, y, z, t) = 0

»

{

si aucune des dérivées partielles 1^ères de

f

ne s'annule au point

(x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})

c'est-à-dire «

{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) \neq 0

», «

{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) \neq 0

», «

{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y, t} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) \neq 0

» et «

{(\frac{\partial f}{\partial t})}_{x, y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) \neq 0

»

}

dont un lien est explicité ci-dessous :

«

{(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z, t} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y, t} (y_{0}, z_{0}, t_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial t})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, t_{0}) {(\frac{\partial τ}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (- 1)^{4} = + 1

»^[44] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentil y a six relations du type précédent dont nous laissons l'explicitation au bon soin du lecteur $\dots$

Modèle:AlLiens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite entre plus de quatre variables : à partir de « l’équation implicite

f (x_{1}, . ., x_{i}, . ., x_{n}) = 0

des variables réelles

x_{1}

,

\dots

,

x_{i}

,

\dots

,

x_{n}

avec

n \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}

dans laquelle

f

est continue et différentiable en

(x_{1, 0}, . ., x_{i, 0}, . ., x_{n, 0})

», nous associons «

n

fonctions implicites solutions de

f (x_{1}, . ., x_{i}, . ., x_{n})

= 0

“

φ_{1} : (x_{2}, . ., x_{j}, . ., x_{n}) \overset{φ_{1}}{\to} x_{1}

”,

\dots

, “

φ_{i} : (x_{1}, . ., x_{i - 1}, x_{i + 1} . ., x_{n}) \overset{φ_{i}}{\to} x_{i}

”,

\dots

, “

φ_{n} : (x_{1}, . ., x_{j}, x_{n - 1}) \overset{φ_{n}}{\to} x_{n}

” » continues et différentiables en

(x_{2, 0}, . ., x_{j, 0}, . ., x_{n, 0})

,

\dots

,

(x_{1, 0}, . ., x_{i - 1, 0}, x_{i + 1, 0} . ., x_{n, 0})

,

\dots

,

(x_{1, 0}, . ., x_{j, 0}, . ., x_{n - 1, 0})

et nous pouvons établir «

(n - 1)!

liens entre les dérivées partielles^[45] judicieusement choisies des

n

fonctions implicites de l'équation

f (x_{1}, . ., x_{i}, . ., x_{n}) = 0

» du type

«

\prod_{k = 1 . . n} \frac{\partial φ_{σ^{k - 1} (1)}}{\partial x_{σ^{k} (1)}} = (- 1)^{n}

»^[45]
dans lequel

σ

une permutation de

S_{n}

^[46] et

σ^{k}

la puissance k de la permutation

σ

telle que

{\begin{matrix} σ^{0} (1) = 1 \\ σ^{n} (1) = 1 \end{matrix}}

,

σ

étant telle que «

σ (1)

est

\neq 1

» et «

σ^{k} (1) \notin {1, . . σ (1), . . σ^{k - 1} (1)}

\forall k \in [[1, n]]

»^[47],
sous la condition qu'« aucune des dérivées partielles 1^ères de

f

ne s'annule en

(x_{1, 0}, . ., x_{i, 0}, . ., x_{n, 0})

».

Théorème des fonctions implicites

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

Modèle:AlPréliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions une équation implicite $f (x, y) = 0$ des variables réelles $x$ et $y$ peut être résolue c'est-à-dire à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables $x$ $($ ou $y)$ en fonction de l'autre $y$ $($ ou $x)$ pour tous les couples $(x, y)$ vérifiant l'équation.

Énoncé

Modèle:Théorème

Modèle:AlAutre version du théorème des fonctions implicites en dimension deux : si « la dérivée partielle 1^ère de

f

par rapport à

x

(

à

y

figée

)

au point

(x_{0}, y_{0})

de l'ouvert

U

de

ℝ^{2}

est non nulle c'est-à-dire

{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

» en plus de «

f (x_{0}, y_{0}) = 0

», «

f

étant une fonction réelle de classe C^p

(p \in ℕ^{*})

^[48] définie sur l'ouvert

U

de

ℝ^{2}

», il existe une fonction réelle

φ

de classe classe C^p^[48], définie sur un intervalle ouvert réel

V^{'} ∋ y_{0}

et un voisinage ouvert de

(x_{0}, y_{0})

dans

U

, noté

Ω^{'}

, tels que

«

\forall (x_{0}, y_{0}) \in Ω^{'} et f (x_{0}, y_{0}) = 0

»

\Leftrightarrow

«

y \in V^{'} et x = φ (y)

»,
«

φ

définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite

f (x, y) = 0

».

Modèle:AlRemarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension deux dans l'une ou l'autre version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

Modèle:AlRetour sur l'équation implicite « $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ » équation cartésienne du cercle trigonométrique :
Modèle:Al Modèle:Transparenten tout point d'abscisse $x \in] - 1, + 1 [$ il existe deux valeurs de $y$ possibles, donc l'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux étant local ne peut fournir qu'une fonction implicite dont le graphe ne décrit qu'une partie du cercle trigonométrique : « ${\begin{matrix} y & = ψ_{+} (x) & = \sqrt{1 - x^{2}} \\ y & = ψ_{-} (x) & = - \sqrt{1 - x^{2}} \end{matrix}}$ », les fonctions implicites distinctes « $ψ_{+}$ étant de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessus de l'axe $x^{'} x$ » et « $ψ_{-}$ de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessous de l'axe $x^{'} x$ » ${$ chacune d'elles étant de classe C¹ c'est-à-dire continûment dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, la dérivée $\frac{d ψ_{+}}{d x} (x)$ ou $\frac{d ψ_{-}}{d x} (x)$ ne s'y annulant pas $}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentaux points d'abscisse $x_{+} = + 1$ et $x_{-} = - 1$ il existe une seule valeur de $y$ possible $y = 0$ , mais le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer car, pour tout intervalle ouvert $V_{+} ∋ x_{+}$ ou $V_{-} ∋ x_{-}$ , aux points d'abscisse $\neq x_{+}$ ou $\neq x_{-}$ du cercle trigonométrique il existe deux valeurs de $y$ possibles rendant l'explicitation d'une fonction implicite définie sur l'intervalle ouvert $V_{+} ∋ x_{+}$ ou $V_{-} ∋ x_{-}$ impossible ${$ une des hypothèses d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux n'étant pas vérifiée pour les points d'abscisse $x_{+} = + 1$ et $x_{-} = - 1$ car la dérivée partielle par rapport à $y$ $($ à $x$ figée $)$ de $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$ c'est-à-dire ${(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} (x, y) = 2 y$ s'y annulant $}$ ,

Modèle:Al Modèle:Transparenten tout point d'ordonnée $y \in] - 1, + 1 [$ il existe deux valeurs de $x$ possibles, donc l'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux étant local ne peut fournir qu'une fonction implicite dont le graphe ne décrit qu'une partie du cercle trigonométrique : « ${\begin{matrix} x & = φ_{+} (y) & = \sqrt{1 - y^{2}} \\ x & = φ_{-} (y) & = - \sqrt{1 - y^{2}} \end{matrix}}$ », les fonctions implicites distinctes « $φ_{+}$ étant de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à droite de l'axe $y^{'} y$ » et « $φ_{-}$ de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à gauche de l'axe $y^{'} y$ » Modèle:Nobr d'elles étant de classe C¹ c'est-à-dire continûment dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, la dérivée $\frac{d φ_{+}}{d y} (y)$ ou $\frac{d φ_{-}}{d y} (y)$ ne s'y annulant pas $}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentaux points d'ordonnée $y_{+} = + 1$ et $y_{-} = - 1$ il existe une seule valeur de $x$ possible $x = 0$ , mais le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer car, pour tout intervalle ouvert ${V^{'}}_{+} ∋ y_{+}$ ou ${V^{'}}_{-} ∋ y_{-}$ , aux points d'abscisse $\neq y_{+}$ ou $\neq y_{-}$ du cercle trigonométrique il existe deux valeurs de $x$ possibles rendant l'explicitation d'une fonction implicite définie sur l'intervalle ouvert ${V^{'}}_{+} ∋ y_{+}$ ou ${V^{'}}_{-} ∋ y_{-}$ impossible ${$ une des hypothèses d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux n'étant pas vérifiée pour les points d'ordonnée $y_{+} = + 1$ et $y_{-} = - 1$ car la dérivée partielle par rapport à $x$ $($ à $y$ figée $)$ de $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$ c'est-à-dire ${(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} (x, y) = 2 x$ s'y annulant $}$ .

Modèle:AlRemarque : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles » présentés plus haut dans ce chapitre, que les conditions d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux sont vérifiées $\dots$

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

Modèle:AlPréliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions une équation implicite $f (x, y, |, z) = 0$ des variables réelles $x$ , $y$ et $z$ peut être résolue c'est-à-dire à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables $x$ ${$ ou $y$ ou $z}$ en fonction des deux autrex $(y, z)$ ${$ ou $(x, z)$ ou $(x, y)}$ pour tous les triplets $(x, y, z)$ vérifiant l'équation ;
Modèle:Al Modèle:Transparentil existe d'autres formulations $($ ou utilisations $)$ de ce théorème que nous n'évoquerons pas^[49].

Énoncé

Modèle:Théorème

Modèle:AlAutres versions du théorème des fonctions implicites en dimension trois : si « la dérivée partielle 1^ère de

f

par rapport à

x

(

à

y

et

z

figées

)

au point

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

de l'ouvert

U

de

ℝ^{3}

est non nulle Modèle:Nobr

{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0

» en plus de «

f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0

», «

f

étant une fonction réelle de classe C^p

(p \in ℕ^{*})

^[48] définie sur l'ouvert

U

de

ℝ^{3}

», il existe une fonction réelle

φ

de classe classe C^p^[48], définie sur un intervalle ouvert de

ℝ^{2}

noté

V^{'} ∋ (y_{0}, z_{0})

et un voisinage ouvert de

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

dans

U

, noté

Ω^{'}

, tels que

«

\forall (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in Ω^{'} et f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0

»

\Leftrightarrow

«

(y, z) \in V^{'} et x = φ (y, z)

»,
«

φ

définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite

f (x, y, z) = 0

».

Modèle:Al Modèle:Transparentsi « la dérivée partielle 1^ère de

f

par rapport à

z

(

à

x

et

y

figées

)

au point

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

de l'ouvert

U

de

ℝ^{3}

est non nulle Modèle:Nobr

{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0

» en plus de «

f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0

», «

f

étant une fonction réelle de classe C^p

(p \in ℕ^{*})

^[48] définie sur l'ouvert

U

de

ℝ^{3}

», il existe une fonction réelle

ζ

de classe classe C^p^[48], définie sur un intervalle ouvert de

ℝ^{2}

noté

V^{″} ∋ (x_{0}, y_{0})

et un voisinage ouvert de

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

dans

U

, noté

Ω^{″}

, tels que

«

\forall (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in Ω^{″} et f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0

»

\Leftrightarrow

«

(x, y) \in V^{″} et z = ζ (x, y)

»,
«

ζ

définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite

f (x, y, z) = 0

».

Modèle:AlRemarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension trois pour chaque version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

Modèle:AlNous laissons le soin au lecteur de reproduire les explications du paragraphe « exemples d'application (du théorème des fonctions implicites de dimension deux) » exposées plus haut dans ce chapitre en les adaptant à la dimension trois $\dots$

Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus

Modèle:AlNous laissons le soin au lecteur de généraliser le « théorème des fonctions implicites de dimension trois » à toute dimension quatre ou plus,
Modèle:Al Modèle:Transparentle graphe des fonctions implicites représentant « des surfaces en dimension trois » et « des hypersurfaces^[50] en dimension quatre ou plus » $\dots$

Notes et références

↑ Mais, par abus, « $f (x, y) = 0$ » est parfois appelée « fonction implicite » au lieu d'« équation implicite » $\dots$
↑ Quand le graphe de l'une ou l'autre des fonctions implicites équivalentes à une même équation implicite est une courbe, l'équation implicite est parfois appelée, par abus, « équation de la courbe sous forme implicite ».
↑ Mais, par abus, « $f (x, y, z) = 0$ » est parfois appelée « fonction implicite » au lieu d'« équation implicite » $\dots$
↑ Quand le graphe de l'une des fonctions implicites équivalentes à une même équation implicite est une surface, l'équation implicite est parfois appelée, par abus, « équation de la surface sous forme implicite ».
↑ La fonction « $ψ : (x, z, t) \overset{ψ}{\to} y$ » définie pour tous les quadruplets $(x, y, z, t)$ vérifiant l'équation $f (x, y, z, t) = 0$ est appelée « fonction implicite » ${f (x, y, z, t) = 0$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite » $}$ ; « $y = ψ (x, z, t)$ » est l'équation du graphe de la fonction implicite « $ψ$ » mais ce dernier étant une hypersurface de dimension trois nécessiterait un espace de dimension quatre pour être représenté $\dots$
↑ ^6,0 ^6,1 et ^6,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $y = ψ_{+} (x) = + ?$ ou $y = ψ_{-} (x) = - ?$ » Modèle:Nobr exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.
↑ ^7,0 ^7,1 et ^7,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $x = φ_{+} (y) = + ?$ ou $x = φ_{-} (y) = - ?$ » Modèle:Nobr exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.
↑ Par abus, l'équation implicite « $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation du cercle trigonométrique sous forme implicite ».
↑ Voir le paragraphe « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , sous forme implicite ».
↑ Voir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'hyperbole de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , sous forme implicite ».
↑ ^13,0 ^13,1 et ^13,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $y = ψ_{+} (x,, z) = + ?$ ou $y = ψ_{-} (x, z)$ $= - ?$ » $($ ou exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.
↑ ^14,0 ^14,1 et ^14,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $x = φ_{+} (y, z) = + ?$ ou $x = φ_{-} (y, z)$ $= - ?$ » $($ ou exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.
↑ ^15,0 ^15,1 et ^15,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $z = ζ_{+} (x,, y) = + ?$ ou $z = ζ_{-} (x, y)$ $= - ?$ » $($ ou exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.
↑ L'intersection de l'ellipsoïde triaxial avec le plan $x O z$ est une ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $z^{'} z$ , $a^{'}$ étant le demi-grand axe $($ ou demi-petit axe $)$ , $c^{'}$ le demi-petit axe $($ ou demi-grand axe $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $y O z$ Modèle:Transparent une ellipse de centre $O$ , d'axes $y^{'} y$ et $z^{'} z$ , $b^{'}$ étant le demi-grand axe $($ ou demi-petit axe $)$ , $c^{'}$ le demi-petit axe $($ ou demi-grand axe $)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $x O y$ Modèle:Transparent une ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , $a^{'}$ étant le demi-grand axe $($ ou demi-petit axe $)$ , $b^{'}$ le demi-petit axe $($ ou demi-grand axe $)$ ,
Modèle:Alvoir le paragraphe « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} + \frac{z^{2}}{c'^{2}} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'ellipsoïde triaxial de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} y$ , sous forme implicite ».
↑ L'intersection de l'hyperboloïde à une nappe avec le plan $x O z$ est une hyperbole de centre $O$ , d'axe focal $x^{'} x$ et non focal $z^{'} z$ , $a^{'}$ étant le demi-axe focal, $c^{'}$ le demi-axe non focal,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $y O z$ Modèle:Transparent une hyperbole de centre $O$ , d'axe focal $y^{'} y$ et non focal $z^{'} z$ , $b^{'}$ étant le demi-axe focal, $c^{'}$ le demi-axe non focal et
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $x O y$ Modèle:Transparent une ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , $a^{'}$ étant le demi-grand axe $($ ou demi-petit axe $)$ , $b^{'}$ le demi-petit axe $($ ou demi-grand axe $)$ ,
Modèle:Alvoir les paragraphes « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » et « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - \frac{z^{2}}{c'^{2}} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} y$ , sous forme implicite ».
↑ L'intersection de l'hyperboloïde à deux nappes avec le plan $x O z$ est une hyperbole de centre $O$ , d'axe focal $z^{'} z$ et non focal $x^{'} x$ , $a^{'}$ étant le demi-axe non focal, $c^{'}$ le demi-axe focal,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $y O z$ Modèle:Transparent une hyperbole de centre $O$ , d'axe focal $z^{'} z$ et non focal $y^{'} y$ , $b^{'}$ étant le demi-axe non focal, $c^{'}$ le demi-axe focal et
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $x O y$ Modèle:Transparent l'ensemble vide,
Modèle:Alvoir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - \frac{z^{2}}{c'^{2}} + 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} y$ , sous forme implicite ».
↑ ^22,0 ^22,1 ^22,2 et ^22,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ ^23,0 et ^23,1 Il est sous-entendu que la dérivée de la fonction implicite explicitant la variable $x$ $($ ou $y)$ en fonction de la 2^ème variable $y$ $($ ou $x)$ est effectuée par rapport à la 2^ème variable $y$ $($ ou $x)$ .
↑ Attention les fonctions implicites n'étant pas, a priori, bijectives ne sont donc pas, a priori, inverses l'une de l'autre.
↑ ^25,0 ^25,1 et ^25,2 L'indice $_{?}$ suivant l'opérateur différenciation $d$ signifiant que la différenciation est effectuée à $?$ figée.
↑ ^26,0 ^26,1 et ^26,2 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite explicitant la variable $x$ ${$ ou $y$ ou $z}$ en fonction des autres variables $y, z$ ${$ ou $x, z$ ou $x, y}$ est effectuée par rapport à l'une ou l'autre des deux autres variables $y$ ou $z$ ${$ ou $x$ ou $z$ ou encore $x$ ou $y}$ .
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial x$ $($ ou $\partial y)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (y_{0}, z_{0}) = 1$ » mais il est rappelé que $\partial x$ $($ ou $\partial y)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial z$ $($ ou $\partial y)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (y_{0}, z_{0}) = 1$ » mais il est rappelé que $\partial z$ $($ ou $\partial y)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial z$ $($ ou $\partial x)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = 1$ » mais il est rappelé que $\partial z$ $($ ou $\partial x)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - 1$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ La justification résultant de « ${(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ », « ${(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » et « ${(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » d'où Modèle:Nobr $[- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] = (- 1)^{3} = - 1$ .
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, y_{0})$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ Encore équivalent à « ${(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ » ${$ soit, en physique $($ et par abus $)$ noté « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) =$ $- \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ » ou encore « ${(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ » $}$ ainsi que
Modèle:Alencore équivalent à « ${(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})$ » ${$ soit, en physique $($ et par abus $)$ noté « ${(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) =$ $- \frac{1}{{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})$ » $}$ .
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) = - 1$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ La justification résultant de « ${(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ », « ${(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » et « ${(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » d'où Modèle:Nobr $[- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] = (- 1)^{3} = - 1$ .
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) = - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (y_{0}, z_{0})$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ Encore équivalent à « ${(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})} = - {(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ » ${$ soit, en physique $($ et par abus $)$ noté « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) =$ $- \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})} = - {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})$ » ou encore « ${(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})} = - {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})$ » $}$ ainsi que
Modèle:Alencore équivalent à « ${(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})$ » ${$ soit, en physique $($ et par abus $)$ noté « ${(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) =$ $- \frac{1}{{(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})$ » $}$ .
↑ ^43,0 ^43,1 et ^43,2 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite explicitant la variable $x$ ${$ ou $y$ ou $z$ ou $t}$ en fonction des autres variables $y, z, t$ ${$ ou $x, z, t$ ou $x, y, t$ ou $x, y, z}$ est effectuée par rapport à l'une des trois autres variables $y$ ou $z$ ou $t$ ${$ ou $x$ ou $z$ ou $t$ ou encore $x$ ou $y$ ou $z}$ .
↑ En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z, t} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y, t} (y_{0}, z_{0}, t_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial t})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial t}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = + 1$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou $\partial z$ ou encore $\partial t)$ seule n'a aucune signification $\dots$
↑ ^45,0 et ^45,1 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite explicitant la variable $x_{i}$ en fonction des autres variables $x_{1}, . ., x_{i - 1}, x_{i + 1} . ., x_{n}$ est effectuée par rapport à l'une des $(n - 1)$ autres variables ; pour alléger l'écriture nous omettons également la valeur des autres variables $x_{1, 0}, . ., x_{i - 1, 0}, x_{i + 1, 0} . ., x_{n, 0}$ pour laquelle la dérivée partielle 1^ère en question est évaluée.
↑ C.-à-d. l'ensemble des permutations des éléments de $[[1, n]]$ .
↑ La 1^ère condition assurant que la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite $φ_{1}$ est effectuée relativement à l'une des variables dont elle dépend et
Modèle:Alla 2^nde condition Modèle:Transparentque la dérivée partielle 1^ère des fonctions implicites successives $φ_{σ (1)}$ , $\dots$ , $φ_{σ^{k - 1} (1)}$ n'est effectuée par rapport à aucune des variables explicitées par les fonctions implicites successives déjà écrites dans le produit ${$ cette condition étant nécessaire pour que le mode de construction du produit des dérivées partielles 1^ères des $n$ fonctions implicites utilise toutes les $n$ fonctions implicites sans redondance $}$ .
↑ ^48,0 ^48,1 ^48,2 ^48,3 ^48,4 et ^48,5 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées classe Cp
↑ Ces formulations $($ ou utilisations $)$ dépassant le cadre d'étude que nous nous sommes fixés ${$ voir les paragraphes « multiplicateur de Lagrange », « théorème du redressement d'un flot » et « théorème de Cuachy-Lipschitz » du même chapitre « théorème des fonctions implicites » de wikipedia $}$ .
↑ Une « hypersurface dans un espace de dimension $n$ est un espace de dimension $n - 1$ ».

Modèle:Bas de page

[1] Mais, par abus, « $f (x, y) = 0$ » est parfois appelée « fonction implicite » au lieu d'« équation implicite » $\dots$

[équation_de_la_courbe_sous_forme_implicite-2] Quand le graphe de l'une ou l'autre des fonctions implicites équivalentes à une même équation implicite est une courbe, l'équation implicite est parfois appelée, par abus, « équation de la courbe sous forme implicite ».

[3] Mais, par abus, « $f (x, y, z) = 0$ » est parfois appelée « fonction implicite » au lieu d'« équation implicite » $\dots$

[équation_de_la_surface_sous_forme_implicite-4] Quand le graphe de l'une des fonctions implicites équivalentes à une même équation implicite est une surface, l'équation implicite est parfois appelée, par abus, « équation de la surface sous forme implicite ».

[5] La fonction « $ψ : (x, z, t) \overset{ψ}{\to} y$ » définie pour tous les quadruplets $(x, y, z, t)$ vérifiant l'équation $f (x, y, z, t) = 0$ est appelée « fonction implicite » ${f (x, y, z, t) = 0$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite » $}$ ; « $y = ψ (x, z, t)$ » est l'équation du graphe de la fonction implicite « $ψ$ » mais ce dernier étant une hypersurface de dimension trois nécessiterait un espace de dimension quatre pour être représenté $\dots$

[plus_ou_moins_-_psi-6] 6,0 ^6,1 et ^6,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $y = ψ_{+} (x) = + ?$ ou $y = ψ_{-} (x) = - ?$ » Modèle:Nobr exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.

[plus_ou_moins_-_varphi-7] 7,0 ^7,1 et ^7,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $x = φ_{+} (y) = + ?$ ou $x = φ_{-} (y) = - ?$ » Modèle:Nobr exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.

[8] Par abus, l'équation implicite « $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation du cercle trigonométrique sous forme implicite ».

[9] Voir le paragraphe « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[10] Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , sous forme implicite ».

[11] Voir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[12] Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'hyperbole de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , sous forme implicite ».

[plus_ou_moins_-_psi_-_bis-13] 13,0 ^13,1 et ^13,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $y = ψ_{+} (x,, z) = + ?$ ou $y = ψ_{-} (x, z)$ $= - ?$ » $($ ou exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.

[plus_ou_moins_-_varphi_-_bis-14] 14,0 ^14,1 et ^14,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $x = φ_{+} (y, z) = + ?$ ou $x = φ_{-} (y, z)$ $= - ?$ » $($ ou exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.

[plus_ou_moins_-_zeta-15] 15,0 ^15,1 et ^15,2 L'utilisation du symbole « $\pm$ » est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « $z = ζ_{+} (x,, y) = + ?$ ou $z = ζ_{-} (x, y)$ $= - ?$ » $($ ou exclusif $)$ suivant l'endroit que nous voulons localiser.

[16] L'intersection de l'ellipsoïde triaxial avec le plan $x O z$ est une ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $z^{'} z$ , $a^{'}$ étant le demi-grand axe $($ ou demi-petit axe $)$ , $c^{'}$ le demi-petit axe $($ ou demi-grand axe $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $y O z$ Modèle:Transparent une ellipse de centre $O$ , d'axes $y^{'} y$ et $z^{'} z$ , $b^{'}$ étant le demi-grand axe $($ ou demi-petit axe $)$ , $c^{'}$ le demi-petit axe $($ ou demi-grand axe $)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $x O y$ Modèle:Transparent une ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , $a^{'}$ étant le demi-grand axe $($ ou demi-petit axe $)$ , $b^{'}$ le demi-petit axe $($ ou demi-grand axe $)$ ,
Modèle:Alvoir le paragraphe « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[17] Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} + \frac{z^{2}}{c'^{2}} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'ellipsoïde triaxial de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} y$ , sous forme implicite ».

[18] L'intersection de l'hyperboloïde à une nappe avec le plan $x O z$ est une hyperbole de centre $O$ , d'axe focal $x^{'} x$ et non focal $z^{'} z$ , $a^{'}$ étant le demi-axe focal, $c^{'}$ le demi-axe non focal,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $y O z$ Modèle:Transparent une hyperbole de centre $O$ , d'axe focal $y^{'} y$ et non focal $z^{'} z$ , $b^{'}$ étant le demi-axe focal, $c^{'}$ le demi-axe non focal et
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $x O y$ Modèle:Transparent une ellipse de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ et $y^{'} y$ , $a^{'}$ étant le demi-grand axe $($ ou demi-petit axe $)$ , $b^{'}$ le demi-petit axe $($ ou demi-grand axe $)$ ,
Modèle:Alvoir les paragraphes « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » et « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[19] Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - \frac{z^{2}}{c'^{2}} - 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} y$ , sous forme implicite ».

[20] L'intersection de l'hyperboloïde à deux nappes avec le plan $x O z$ est une hyperbole de centre $O$ , d'axe focal $z^{'} z$ et non focal $x^{'} x$ , $a^{'}$ étant le demi-axe non focal, $c^{'}$ le demi-axe focal,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $y O z$ Modèle:Transparent une hyperbole de centre $O$ , d'axe focal $z^{'} z$ et non focal $y^{'} y$ , $b^{'}$ étant le demi-axe non focal, $c^{'}$ le demi-axe focal et
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le plan $x O y$ Modèle:Transparent l'ensemble vide,
Modèle:Alvoir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[21] Par abus, l'équation implicite « $\frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} - \frac{z^{2}}{c'^{2}} + 1 = 0$ » est parfois appelée « équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre $O$ , d'axes $x^{'} x$ , $y^{'} y$ et $z^{'} y$ , sous forme implicite ».

[C.Q.F.D.-22] 22,0 ^22,1 ^22,2 et ^22,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[variable_de_dérivation_sous-entendue-23] 23,0 et ^23,1 Il est sous-entendu que la dérivée de la fonction implicite explicitant la variable $x$ $($ ou $y)$ en fonction de la 2^ème variable $y$ $($ ou $x)$ est effectuée par rapport à la 2^ème variable $y$ $($ ou $x)$ .

[24] Attention les fonctions implicites n'étant pas, a priori, bijectives ne sont donc pas, a priori, inverses l'une de l'autre.

[indice_de_l'opérateur_différenciation-25] 25,0 ^25,1 et ^25,2 L'indice $_{?}$ suivant l'opérateur différenciation $d$ signifiant que la différenciation est effectuée à $?$ figée.

[variable_de_dérivation_partielle_sous-entendue-26] 26,0 ^26,1 et ^26,2 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite explicitant la variable $x$ ${$ ou $y$ ou $z}$ en fonction des autres variables $y, z$ ${$ ou $x, z$ ou $x, y}$ est effectuée par rapport à l'une ou l'autre des deux autres variables $y$ ou $z$ ${$ ou $x$ ou $z$ ou encore $x$ ou $y}$ .

[27] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial x$ $($ ou $\partial y)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[28] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (y_{0}, z_{0}) = 1$ » mais il est rappelé que $\partial x$ $($ ou $\partial y)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[29] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial z$ $($ ou $\partial y)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[30] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (y_{0}, z_{0}) = 1$ » mais il est rappelé que $\partial z$ $($ ou $\partial y)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[31] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial z$ $($ ou $\partial x)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[32] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = 1$ » mais il est rappelé que $\partial z$ $($ ou $\partial x)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[33] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - 1$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[34] La justification résultant de « ${(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ », « ${(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » et « ${(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » d'où Modèle:Nobr $[- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] = (- 1)^{3} = - 1$ .

[35] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[36] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, y_{0})$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[37] Encore équivalent à « ${(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ » ${$ soit, en physique $($ et par abus $)$ noté « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) =$ $- \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ » ou encore « ${(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ » $}$ ainsi que
Modèle:Alencore équivalent à « ${(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial ψ}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})$ » ${$ soit, en physique $($ et par abus $)$ noté « ${(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0}) =$ $- \frac{1}{{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (x_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})$ » $}$ .

[38] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) = - 1$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[39] La justification résultant de « ${(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ », « ${(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » et « ${(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) = - \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$ » d'où Modèle:Nobr $[- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial z})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] [- \frac{{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{{(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}] = (- 1)^{3} = - 1$ .

[40] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0})}$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[41] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) = - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} (y_{0}, z_{0})$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou encore $\partial z)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[42] Encore équivalent à « ${(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})} = - {(\frac{\partial φ}{\partial z})}_{y} (x_{0}, y_{0})$ » ${$ soit, en physique $($ et par abus $)$ noté « ${(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) =$ $- \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})} = - {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})$ » ou encore « ${(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0})} = - {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} (y_{0}, z_{0})$ » $}$ ainsi que
Modèle:Alencore équivalent à « ${(\frac{\partial ζ}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial φ}{\partial y})}_{z} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{1}{{(\frac{\partial ψ}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial ζ}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})$ » ${$ soit, en physique $($ et par abus $)$ noté « ${(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} (x_{0}, y_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} (y_{0}, z_{0}) =$ $- \frac{1}{{(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} (x_{0}, z_{0})} = - {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} (x_{0}, y_{0})$ » $}$ .

[variable_de_dérivation_partielle_sous-entendue_-_bis-43] 43,0 ^43,1 et ^43,2 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite explicitant la variable $x$ ${$ ou $y$ ou $z$ ou $t}$ en fonction des autres variables $y, z, t$ ${$ ou $x, z, t$ ou $x, y, t$ ou $x, y, z}$ est effectuée par rapport à l'une des trois autres variables $y$ ou $z$ ou $t$ ${$ ou $x$ ou $z$ ou $t$ ou encore $x$ ou $y$ ou $z}$ .

[44] En physique $($ et par abus $)$ on notera « ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z, t} (x_{0}, z_{0}, t_{0}) {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y, t} (y_{0}, z_{0}, t_{0}) {(\frac{\partial z}{\partial t})}_{x, y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) {(\frac{\partial t}{\partial y})}_{x, z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = + 1$ » mais il est rappelé que $\partial y$ $($ ou $\partial x$ ou $\partial z$ ou encore $\partial t)$ seule n'a aucune signification $\dots$

[variable_de_dérivation_partielle_sous-entendue_-_ter-45] 45,0 et ^45,1 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite explicitant la variable $x_{i}$ en fonction des autres variables $x_{1}, . ., x_{i - 1}, x_{i + 1} . ., x_{n}$ est effectuée par rapport à l'une des $(n - 1)$ autres variables ; pour alléger l'écriture nous omettons également la valeur des autres variables $x_{1, 0}, . ., x_{i - 1, 0}, x_{i + 1, 0} . ., x_{n, 0}$ pour laquelle la dérivée partielle 1^ère en question est évaluée.

[46] C.-à-d. l'ensemble des permutations des éléments de $[[1, n]]$ .

[47] La 1^ère condition assurant que la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite $φ_{1}$ est effectuée relativement à l'une des variables dont elle dépend et
Modèle:Alla 2^nde condition Modèle:Transparentque la dérivée partielle 1^ère des fonctions implicites successives $φ_{σ (1)}$ , $\dots$ , $φ_{σ^{k - 1} (1)}$ n'est effectuée par rapport à aucune des variables explicitées par les fonctions implicites successives déjà écrites dans le produit ${$ cette condition étant nécessaire pour que le mode de construction du produit des dérivées partielles 1^ères des $n$ fonctions implicites utilise toutes les $n$ fonctions implicites sans redondance $}$ .

[classe_Cp-48] 48,0 ^48,1 ^48,2 ^48,3 ^48,4 et ^48,5 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées classe Cp

[49] Ces formulations $($ ou utilisations $)$ dépassant le cadre d'étude que nous nous sommes fixés ${$ voir les paragraphes « multiplicateur de Lagrange », « théorème du redressement d'un flot » et « théorème de Cuachy-Lipschitz » du même chapitre « théorème des fonctions implicites » de wikipedia $}$ .

[50] Une « hypersurface dans un espace de dimension $n$ est un espace de dimension $n - 1$ ».

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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Fonctions implicites

Sommaire

Définition d'une fonction implicite

Fonction implicite entre deux variables réelles

Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus

Exemples de fonctions implicites

Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles

Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles

Dérivée d'une fonction implicite

Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles (ou plus)

Théorème des fonctions implicites

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

Énoncé

Exemples d'application

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

Énoncé

Exemples d'application

Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus

Notes et références

Menu de navigation

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Définition d'une fonction implicite

Fonction implicite entre deux variables réelles

Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus

Exemples de fonctions implicites

Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles

Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles

Dérivée d'une fonction implicite

Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles (ou plus)

Théorème des fonctions implicites

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

Énoncé

Exemples d'application

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

Énoncé

Exemples d'application

Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus

Notes et références

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