Matrice/Transposée

La transposée A^T d'une matrice A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (A^T)^T est la matrice A d'origine.

Définition

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice $A\in {\mathrm{M}}_{m,n}(K)$ est la matrice notée ${\mathrm{t}}^{}A\in {\mathrm{M}}_{n,m}(K)$ (aussi parfois notée $A^{\mathrm{T}}$ ou $A^{\mathrm{t}}$), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$.

Si B = ^tA alors $\mathrm{\forall }(i,j)\in \{1,\dots ,n\}\times \{1,\dots ,m\}{b}_{i,j}=a_{j,i}$. Modèle:Clr

Propriétés

On suppose ici que K est un corps commutatif (par exemple $ℝ$ ou $ℂ$).

• L'application « transposition » est linéaire :
  ${\mathrm{t}}^{}(A+B){=}^{\mathrm{t}}A{+}^{\mathrm{t}}B,{}^{\mathrm{t}}(\alpha A)=\alpha {}^{\mathrm{t}}A$.
• La transposée de ${\mathrm{t}}^{}A$ est $A$. L'application « transposition » ${\mathrm{t}}^{}:{\mathrm{M}}_{m,n}(K)\to {\mathrm{M}}_{n,m}(K)$ est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. Sur l'espace de matrices carrées ${\mathrm{M}}_n(K)$, c'est une involution donc une symétrie.
• La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l’ordre inverse :
  ${\mathrm{t}}^{}(AB){=}^{\mathrm{t}}B{}^{\mathrm{t}}A$.

• Si une matrice carrée $A$ est [[../Inverse/|inversible]], alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de $A$ est égale à l'inverse de sa transposée :
  ${\mathrm{t}}^{}(A^{-1})={(}^{\mathrm{t}}A{)}^{-1}$.
• Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même [[../Trace|trace]]).
• Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même [[../Déterminant/|déterminant]]), et même polynôme minimal.