Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes

$K$ est un corps commutatif et $E$ est un $K$-espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). Toutes les notions développées ici peuvent être particularisées aux matrices.

Définition et premières propriétés

La propriété de morphisme d'algèbres signifie que : Modèle:Propriété

Idéal annulateur

Modèle:Définition C'est bien un idéal, puisque c'est le noyau de $f_{\phi }$.

On montre dans le cours sur les polynômes que $K[X]$ est un anneau principal, ce qui permet de dire que : Modèle:Théorème

(La barre verticale signifie « divise ».) Nous verrons au chapitre suivant que si $E$ est de dimension finie alors $ℐ$ n'est pas nul, ainsi qu'un contre-exemple en dimension infinie.

Lemme des noyaux

On en déduit par récurrence le :

Stabilité

[[../Sous-espaces stables#Lien avec la commutativité|Cela est dû au fait]] que $P(\phi )$ et $Q(\phi )$ commutent.