Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel et $\phi$ un endomorphisme de $E$.

Valeur propre, vecteur propre

Modèle:Définition $E_{\lambda }(\phi )$ est donc un sous-espace vectoriel de $E$, non réduit au vecteur nul. On se permettra de le noter simplement $E_{\lambda }$ s'il n'y a pas d'ambiguïté.

Remarque

Cette propriété permet de construire facilement, en dimension infinie et si le corps est infini, un endomorphisme sans polynôme minimal, c'est-à-dire dont l'idéal annulateur est réduit à 0 : il suffit de faire en sorte qu'il ait une infinité de valeurs propres. On peut prendre par exemple, sur $E=ℝ[X]$, l'endomorphisme $Q(X)\mapsto X{Q}^{\prime }(X)$ dont les vecteurs propres sont les monômes et le spectre est $\mathbb{N}$.

Traduction matricielle

Tout ce vocabulaire s'applique en particulier aux matrices :

Modèle:Attention Le spectre de $A$ dépend non seulement de la matrice mais du corps de base $K$ considéré, et peut augmenter lorsqu'on étend ce corps. En cas d'ambiguïté, on le note donc plutôt ${\mathrm{S}\mathrm{p}}_K(A)$. Modèle:Exemple

Polynôme caractéristique

La définition suivante va permettre de reformuler la condition ($\ker ({\phi }_A-\lambda {\mathrm{I}\mathrm{d}}_E)\ne \{0\}$) pour que $\lambda$ soit une valeur propre de $A$ : Modèle:Définition

Modèle:AttentionCertains auteurs préfèrent définir le polynôme caractéristique comme le déterminant de la matrice opposée, $X{\mathrm{I}}_n-A$. Ce dernier étant égal à $(-1{)}^n{p}_A(X)$, cela n'a aucune incidence sur le lemme suivant.

Modèle:Lemme

Le lemme 2 donne un sens à la définition suivante : Modèle:Définition

On déduit alors du lemme 1 : Modèle:Corollaire

On déduit de ce théorème, joint au lien entre polynôme minimal et valeurs propres Modèle:Supra :