Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries

Exercice 3-1

Donner une base de ${\mathrm{M}}_n(K)$ constituée de projecteurs. Modèle:Solution

Exercice 3-2

1. Soient $E$ un espace vectoriel sur $ℝ$ (ou plus généralement, sur un corps de caractéristique différente de 2), $s:E\to E$ une symétrie, $f$ un vecteur de $E$, et $f=g+h$ sa décomposition suivant la somme directe $E=\ker (s-{\mathrm{Id}}_E)\oplus \ker (s+{\mathrm{Id}}_E)$. Exprimer $g$ et $h$ en fonction de $f$ et $s(f)$.
2. Soient $D\subset ℝ$ tel que $-D=D$, et $f:D\to ℝ$. Déduire de la question précédente qu'il existe un unique couple de fonctions $g,h:D\to ℝ$ de somme $f$ tel que $g$ soit paire et $h$ impaire, et l'expliciter.

Exercice 3-3

Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$. On rappelle (voir cet exercice) que si

$\mathrm{\forall }x\in E\mathrm{\exists }\lambda \in Kf(x)=\lambda x$,

alors $f$ est une homothétie.

En déduire que si $f$ commute avec tous les projecteurs de $E$, alors $f$ est une homothétie. Modèle:Solution

Exercice 3-4

Dans ${ℝ}^3$ muni de sa base canonique $ℰ$, on considère les trois vecteurs $v_1=e_1+e_2$, $v_2=e_1-e_2$ et $v_3=e_1-e_3$, le plan $H$ d'équation $x+y+z=0$ et la droite $D$ engendrée par $v_1$.

1. 1. Montrer que $H$ et $D$ sont supplémentaires.
   2. En déduire que le triplet $ℬ:=(v_1,v_2,v_3)$ est une base de ${ℝ}^3$.
   3. Donner la matrice de passage $P$ de la base $ℰ$ à la base $ℬ$ et calculer son inverse.
2. On considère la projection $\pi$ sur le plan $H$ de direction $D$. Donner la matrice de $\pi$ dans la base $ℬ$, puis dans la base $ℰ$.
3. Soient $H^{\prime }$ le plan engendré par $e_2$ et $v_3$, $D^{\prime }$ la droite vectorielle engendrée par $v_2$, et ${\pi }^{\prime }$ la projection sur $H^{\prime }$ de direction $D^{\prime }$.
   1. Calculer ${\pi }^{\prime }(e_1)$ et ${\pi }^{\prime }(v_1)$.
   2. Donner la matrice de ${\pi }^{\prime }$ et de $f:={\pi }^{\prime }\circ \pi$ dans la base $ℬ$.
   3. En déduire que $f$ est une projection, dont on précisera le noyau, l'image et le rang.

Exercice 3-5

Soient $P=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid 2x+y-z=0\}$ et $D=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid 2x-2y+z=0,x-y-z=0\}$. On désigne par $\epsilon$, la base canonique de ${ℝ}^3$.

1. Donner une base $(e_1,e_2)$ de $P$ et une base $(e_3)$ de $D$. Montrer que ${ℝ}^3=P\oplus D$ puis, que ${\epsilon }^{\prime }:=(e_1,e_2,e_3)$ est une base de ${ℝ}^3$.
2. Soit $p$ la projection de ${ℝ}^3$ sur $P$ parallèlement à $D$. Déterminer $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(p,{\epsilon }^{\prime },{\epsilon }^{\prime })$ puis $A:=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(p,\epsilon ,\epsilon )$. Vérifier que $A^2=A$.
3. Soit $s$ la symétrie de ${ℝ}^3$ par rapport à $P$ parallèlement à $D$. Déterminer $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(s,{\epsilon }^{\prime },{\epsilon }^{\prime })$ puis $B:=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(s,\epsilon ,\epsilon )$. Vérifier que $B^2={\mathrm{I}}_3$, $AB=A$ et $BA=A$.

Exercice 3-6

Soient ${ℝ}^2$ l'espace euclidien usuel et $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto \frac{1}{2}(x-y,-x+y)$.

1. Montrer que $f$ est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de ${ℝ}^2$.
2. Donner une base de son noyau et une base de son image.
3. Donner une base du supplémentaire orthogonal de $\ker f$.
4. Montrer qu'il existe une base orthonormée de ${ℝ}^2$ dans laquelle la matrice de $f$ est $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.