Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques

Rappels d'arithmétique élémentaire

Dans un anneau commutatif intègre $A$ : Modèle:Définition Autrement dit, dans $A$, pour le préordre de divisibilité (qui sur $\mathbb{N}$ est un ordre), pgcd = borne inf et ppcm = borne sup. Ils n'existent pas toujours, et même lorsqu'ils existent, on n'a pas toujours l'identité de Bézout. Pour plus de détails, voir l'[[../Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-1|exercice 1-1]], ainsi que « Anneau à PGCD » et « Anneau de Bézout ».

Modèle:Lemme Gauss avait démontré le lemme d'Euclide directement (par descente infinie sur b pour a et p fixés), mais il se déduit immédiatement du lemme de Gauss, qui est vrai dans tout anneau (commutatif intègre) à PGCD.

Modèle:Théorème Rappelons que ce théorème se démontre par récurrence (pour l'unicité, on utilise le lemme d'Euclide).

Modèle:Théorème Rappelons le principe de la preuve : pour tous nombres premiers $p_1,\dots ,p_n$ et tout facteur premier p de $1+p_1\dots p_n$, le nombre p est différent de $p_1,\dots ,p_n$.

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Fonctions arithmétiques

Multiplicativité

Modèle:Définition

Indicatrice d'Euler

Modèle:Définition

Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante Remarque : $\phi$ n'est donc pas complètement multiplicative : par exemple, $\phi \left(2^2\right)=2\ne 1^2={(\phi (2))}^2$. Modèle:CfExo On démontrera en exercice l'identité remarquable $\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$ (dans ce contexte, ce type de somme est toujours, implicitement, indexé par les diviseurs positifs $d$ de $n$).

Anneau de convolution

Modèle:Définition Modèle:Exemple

Le théorème suivant sera démontré en exercice :Modèle:CfExo Modèle:Théorème

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Fonction de Möbius

Modèle:Définition

Par définition de $\mu$, pour toutes fonctions arithmétiques $f$ et $g$, on a l'équivalence $g=f*\mathrm{𝟏}\iff f=g*\mu$, autrement dit : Modèle:Corollaire

Modèle:Exemple Remarque : cette équivalence reste vraie si $f$ et $g$ (définies sur ${\mathbb{N}}^{*}$) sont à valeurs dans n'importe quel groupe abélien au lieu de $ℂ$.

Fonction zêta de Riemann et autres séries de Dirichlet

La preuve du théorème des nombres premiers Modèle:Infra est issue de l'étude approfondie, à l'aide de méthodes d'analyse complexe, de la fonction zêta (introduite par Euler dès 1735 pour une variable réelle et étendue par Riemann dans son mémoire de 1859) : Modèle:Définition Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Remarque Modèle:Définition Pour étudier sérieusement la théorie de ces fonctions (et de leur prolongement analytique) il faut s'attaquer à des questions de convergence plus fines que dans la théorie des fonctions holomorphes, ce que nous ne ferons pas ici. Nous nous satisferons de la propriété suivante, qui résulte simplement des propriétés du produit de Cauchy de deux séries : Modèle:Propriété (Noter que la simple convergence des deux séries à gauche n'implique pas celle de la série à droite.) Ceci ressemble au lien entre convolution et multiplication dans la transformation de Fourier.

Un caractère de Dirichlet est une fonction arithmétique complètement multiplicative et périodique. Les deux plus simples sont ${\delta }_1$ et $\mathrm{𝟏}$ ; leurs séries de Dirichlet sont clairement la fonction constante $\mathrm{𝟏}$ (sur $ℂ$) et la fonction $\zeta$. Un autre exemple de caractère de Dirichlet est le symbole de Legendre, cf. chap. 4. Les séries associées aux caractères de Dirichlet interviennent dans la preuve du théorème de la progression arithmétique Modèle:Infra.

Énoncés de quelques conjectures et théorèmes célèbres sur les nombres premiers

• On verra en exercice que l'écart $p_{n+1}-p_n$ entre deux nombres premiers consécutifs peut être arbitrairement grand, et l'on trouvera des majorations grossières de $p_n$ en fonction de $n$ (ce qui revient à minorer, en fonction de $x$, le nombre $\pi (x)$ de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$).
• Euler a pressenti que la série des inverses des nombres premiers diverge « comme » le logarithme de la série harmonique. En fait, $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\to \gamma$ (constante d'Euler-Mascheroni) et $\sum _{p_i\le n}{\frac{1}{p}}_i-\ln (\ln (n))\to M$ (constante de Meissel-Mertens, 1874).

Modèle:Théorème Modèle:CfExo On verra en exercice que cet énoncé équivaut à $p_n\sim n\ln n$. Le « petit théorème des nombres premiers » (Tchebychev, 1850), qui dit seulement « est de l'ordre de » au lieu de « est équivalent », est bien plus élémentaire.

• « Postulat » de Bertrand : le « petit théorème des nombres premiers » permet d'affirmer qu'il existe une constante $C$ telle que $\mathrm{\forall }n>1\mathrm{\exists }p$ premier, $n<p<Cn$. En affinant un peu la preuve, Tchebychev trouve que $C=2$ convient (c'est plus faible que la conjecture de Legendre ci-dessus), autrement dit :

$p_{n+1}<2p_n,\text{ou encore :}\pi (2n)>\pi (n)$.

En fait, pour tout $C>1$, $\pi (Cx)-\pi (x)>0$ pour $x$ assez grand, d'après le (« grand ») théorème des nombres premiers.

Modèle:Théorème Version quantitative de La Vallée Poussin (qui généralise le théorème des nombres premiers) :

le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ dans cette suite, si sa raison est $n$, est équivalent à $\frac{1}{\phi (n)}\times \frac{x}{\ln x}$.

• Théorème de Green-Tao (2004) : la suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues.
• Formules polynomiales
  • Un nombre chanceux d'Euler est un entier $p>1$ tel que $n^2-n+p$ est un nombre premier pour $n=1,\dots ,p-1$. Euler en a trouvé six : $p=2,3,5,11,17,41$. Il n'y en a pas d'autres (Kurt Heegner, 1952).
  • Il n'existe pas de polynôme (non constant) à coefficients entiers dont toutes les valeurs à partir d'un certain rang soient premières (on le montrera dans l'[[../Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-4|exercice 1-4]]).
  • Dixième problème de Hilbert : l'ensemble des équations diophantiennes résolubles est-il récursif, c'est-à-dire : existe-t-il un algorithme universel qui, quand on lui donne n, répond si la n-ième équation (pour une numérotation naturelle de toutes les équations) a des solutions ou pas ? Réponse : non et même pire :

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Une retombée surprenante du théorème de Matiassevitch est (puisque l'ensemble des nombres premiers est évidemment récursivement énumérable, et même récursif) qu'il existe un polynôme Q (de degré 25, à 26 variables) dont les valeurs strictement positives sont exactement les nombres premiers.