Anneau (mathématiques)/Anneau principal

Anneau principal

On va généraliser à un anneau principal quelconque toutes les propriétés de $\mathbb{Z}$ vues dans la leçon « Arithmétique ». Ce sont aussi les propriétés de $K\left[X\right]$ du chapitre « Arithmétique des polynômes » de la leçon sur les polynômes.

Dans la suite, $A$ désigne un anneau principal et ${\left(a_i\right)}_{i\in I}$ une famille (finie ou infinie) d'éléments de $A$.

PGCD, PPCM

Un élément $a\in A$ est un diviseur commun aux $a_i$ si et seulement si $\mathrm{\forall }i\in I{a}_i\in (a)$, c'est-à-dire si l'idéal engendré par les $a_i$ est inclus dans $(a)$. En notant $d$ un générateur de cet idéal, les diviseurs communs aux $a_i$ sont donc les diviseurs de $d$. Cela nous mène à la définition suivante :

Attention à ne pas confondre la notion de « premiers entre eux dans leur ensemble » avec la notion de « premiers entre eux deux à deux ».

Par un raisonnement analogue à ce qui précède, les multiples communs des $a_i$ sont les multiples de tout générateur de l'idéal ${\cap }_{i\in I}\left(a_i\right)$.

Arithmétique dans un anneau principal

Par définition, le pgcd des $a_i$ appartient à l'idéal qu'ils engendrent, autrement dit : Modèle:Propriété

Par conséquent (puisque le seul idéal de A qui contient 1 est A) :

Par la même méthode que dans $\mathbb{Z}$, on en déduit :

Factorialité de A, décomposition primaire

Dans les anneaux principaux, on dispose du théorème de factorisation primaire :

Modèle:Théorème Cette décomposition d'un élément s’appelle sa décomposition primaire. Il s'agit de la généralisation aux anneaux principaux du théorème selon lequel tout entier > 1 est le produit d'une suite finie (non vide) de nombres premiers, unique à l’ordre près.

Remarque.

Si, pour chaque idéal engendré par un élément irréductible, on choisit un générateur parmi les représentants irréductibles possibles, et si l'on note $P$ leur ensemble (par exemple, dans $\mathbb{Z}$, on choisit le générateur positif et dans $K[X]$, on choisit le générateur unitaire), alors le théorème peut se reformuler ainsi :

Soit $x\in A\setminus \{0\}$. Il existe un unique élément inversible $u$ et une unique application $\alpha$ de $P$ dans $\mathbb{N}$ à support fini (c'est-à-dire nulle en dehors d'une partie finie de $P$) telle que $x=u\prod _{p\in P}{p}^{\alpha (p)}$.

$P$ étant en général infini, le produit étendu sur $P$ doit s'entendre comme la valeur commune des produits étendus à toute partie finie contenant le support de $\alpha$, c'est-à-dire l’ensemble des $p$ tels que $\alpha (p)$ soit non nul.

Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoin des deux lemmes suivants : Modèle:Lemme

En effet, un anneau commutatif A :

• est dit noethérien si tous ses idéaux sont de type fini, ce qui est évidemment le cas pour un anneau principal ;
• est noethérien (si et) seulement si toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire.

Le lemme 2 fait appel à la notion de ACCP ou « condition de chaîne ascendante sur les idéaux principaux » (version affaiblie de la noethérianité) : Modèle:Lemme Modèle:Démonstration déroulante

On peut enfin démontrer la factorialité de tout anneau principal ou — plus généralement d'après le lemme 1 — de tout anneau intègre vérifiant les deux propriétés suivantes :

1. ACCP (toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire) ;
2. lemme d'Euclide (tout élément irréductible est premier).