Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif

Dans tout ce chapitre, les anneaux $A$ et $B$ sont supposés commutatifs. Rappelons qu'un idéal de $A$ est alors une partie $I$ de $A$ telle que :

• $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
• $AI\subset I$ (ce qui implique $AI=I$).

Idéal engendré

L'intersection d'une famille vide n'est pas définie en général mais par convention (locale à ce contexte), l'intersection d'une famille vide de parties de $A$ est $A$. Modèle:Propriété

Cette propriété est l'ingrédient de l'une des deux définitions (clairement équivalentes) de l'idéal engendré par une partie :

Somme d'idéaux

L'idéal engendré par une partie $X$ est donc égal à la somme $\sum _{x\in X}(x)$ des idéaux principaux engendrés par chaque élément de $X$.

Divisibilité dans un anneau intègre

On suppose dans cette section que l'anneau $A$ est commutatif et que $a,b\in A$.

Modèle:Définition La relation « divise » est donc un préordre et la relation d'association est la relation d'équivalence liée à ce préordre.