Calcul différentiel/Différentiabilité

La notion de différentiabilité généralise celle de dérivées de fonctions réelles de variable réelle.

Application différentiable en un point

Soient $f$ une application de $E$ dans $F$ et $a$ un point de $E$.

Si $f$ n'est pas définie sur $E$ tout entier mais seulement sur voisinage de $a$, on adopte la même définition, après avoir prolongé $f$ à $E$ de façon arbitraire (la définition ne dépend clairement pas du choix du prolongement).

Propriétés et définition

Remarques

• Si $E=ℝ$ la définition du vecteur dérivé $f^{\prime }(a)$ de $f$ au point $a$ est $f(a+h)=f(a)+h{f}^{\prime }(a)+o(h)$. Dans ce cas, les notions de différentiabilité et dérivabilité se confondent donc et $\mathrm{d}{f}_a(h)=h{f}^{\prime }(a)$. Cependant, on verra plus loin que si $E={ℝ}^p$, l’existence de dérivées partielles en un point n'implique pas la différentiabilité ni même la continuité en ce point.
• De même que pour les fonctions de $ℝ$ dans $ℝ$, la propriété de différentiabilité est ponctuelle.
• Si $f$ est linéaire continue alors elle est différentiable en tout point $a$ et $\mathrm{d}{f}_a=f$.

Exemples de calcul d'une différentielle

Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels normés et $B:E\times F\to G$ une application bilinéaire. Si $B$ est continue alors elle est différentiable en tout point $(x,y)$ de $E\times F$, et $\mathrm{d}{B}_{(x,y)}(h,k)=B(x,k)+B(h,y)$.

En effet :

• l'application $(h,k)\mapsto B(x,k)+B(h,y)$ est linéaire continue ;
• $B(x+h,y+k)-B(x,y)-(B(x,k)+B(h,y))=B(h,k)$ ;
• avec les notations du § suivant, $\Vert B(h,k)\Vert \le |||B|||\Vert h\Vert \Vert k\Vert \le |||B|||\max (\Vert h\Vert ,\Vert k\Vert {)}^2=|||B|||\Vert (h,k){\Vert }^2=o(\Vert (h,k)\Vert )$.

Ceci s'applique par exemple :

• pour $G=ℝ$, $E=F=$ un espace euclidien, muni de son produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, et $B=$ ce produit scalaire. En effet, cette application bilinéaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est continue (comme toute application multilinéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie ou, plus explicitement ici, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $|||⟨\cdot ,\cdot ⟩|||=1$). On trouve donc : $\mathrm{d}⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{(x,y)}(h,k)=⟨x,k⟩+⟨h,y⟩$ ;
• $E=F=G={ℝ}^3$ et $B=$ le produit vectoriel. Donc de même, $\mathrm{d}{\wedge }_{(x,y)}(h,k)=x\wedge k+h\wedge y$.

Plus généralement (et par le même raisonnement), soient $E_1,\dots ,E_n,G$ des e.v.n. et $M:E_1\times \dots \times E_n\to G$ une application multilinéaire. Si $M$ est continue alors elle est différentiable en tout point $x=(x_1,\dots ,x_n)$ et $\mathrm{d}{M}_x(h)=\sum _{k=1}^{n}M(x_1,\dots ,x_{k-1},h_k,x_{k+1},\dots ,x_n)$.

Rappels sur les applications linéaires continues

Dans la suite on aura besoin du théorème suivant, démontré dans la leçon sur les espaces vectoriels normés : Modèle:Théorème Si $L$ est continue, le plus petit réel $k\ge 0$ tel que $\mathrm{\forall }x\in E\Vert L(x)\Vert \le k\Vert x\Vert$ est égal à $\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert L(x)\Vert$. On l'appelle la norme de l'application linéaire $L$, ou norme de $L$ subordonnée (à la norme sur $E$), et on le note $\Vert L\Vert$ ou $|||L|||$.

Plus généralement, si $E_1,\dots ,E_n$ sont des espaces vectoriels normés, on définit, pour toute application $n$-linéaire continue $L:E_1\times \dots \times E_n\to F$, un réel $|||L|||$ vérifiant $\Vert L(x_1,\dots ,x_n)\Vert \le |||L|||\Vert x_1\Vert \dots \Vert x_n\Vert$.

Si $E_1,\dots ,E_n$ sont de dimension finie, toute application $n$-linéaire $L:E_1\times \dots \times E_n\to F$ est continue (on peut le démontrer par exemple par récurrence sur n ; pour le cas n = 1, voir Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Équivalence des normes et conséquences).

Composition

Trois applications du théorème

• Sur un espace $E$ euclidien, la différentielle de l'application $\pi :=⟨\cdot ,\cdot ⟩\circ \mathrm{\Delta }:x\mapsto ⟨x,x⟩$ est donnée Modèle:Supra par $\mathrm{d}{\pi }_x=\mathrm{d}⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\mathrm{\Delta }(x)}\circ \mathrm{d}{\mathrm{\Delta }}_x=\mathrm{d}⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{(x,x)}\circ \mathrm{\Delta }$, c'est-à-dire : $\mathrm{d}{\pi }_x(h)=⟨x,h⟩+⟨h,x⟩=2⟨x,h⟩$.
• De même, la différentielle au point $A$ de l'application $M\mapsto M^3$ de ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$ dans lui-même est $H\mapsto H{A}^2+AHA+A^{2}H$.
• Notons $N(x)=\Vert x\Vert =R(\pi (x))$ la norme euclidienne de $x\in E$. L'application $R:t\mapsto \sqrt{t}$ est dérivable en tout $t>0$. Ainsi, en tout point $x\ne 0$ de $E$, la différentielle de la norme euclidienne est donnée par $\mathrm{d}{N}_x(h)=(\mathrm{d}{R}_{\pi (x)}\circ \mathrm{d}{\pi }_x)(h)=\frac{1}{2\sqrt{⟨x,x⟩}}\times 2⟨x,h⟩=\frac{⟨x,h⟩}{\Vert x\Vert }$.

Opérations algébriques

Le lemme suivant est immédiat mais très utile, entre autres pour analyser une fonction à valeurs dans ${ℝ}^q$. Modèle:Lemme Les propriétés suivantes généralisent les règles usuelles correspondantes pour les fonctions numériques. Elles se déduisent immédiatement du lemme et du théorème de composition ci-dessus, et du calcul général précédent de la différentielle d'une application continue linéaire ou bilinéaire.

Différentielles des fonctions de R^p dans R^q

• Soient $f:E\to F$ et $a$ un point de $E$. On appelle dérivée de $f$ au point $a$ suivant un vecteur $h\in E$ le vecteur dérivé en $0$ (s'il existe) de la fonction $ℝ\to F,t\mapsto f(a+th)$ :

  $D{f}_a(h):=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+th)-f(a)}{t}\in F$.

Si $f$ admet une différentielle en $a$ alors elle admet une dérivée en $a$ suivant n'importe quel vecteur $h$, et $D{f}_a(h)=\mathrm{d}{f}_a(h)$.

• Dans le cas $E={ℝ}^p$ et $h=e_j$ (le $j$-ème vecteur de la base canonique de ${ℝ}^p$), la dérivée au point $a$ suivant ce vecteur s'appelle la $j$-ème dérivée partielle de $f$ au point $a$ :

  $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a):=D{f}_a(e_j)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{[x\mapsto f(a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_p)]}_{x=a_j}$.

Si $f:{ℝ}^p\to F$ admet une différentielle en $a$ alors elle admet des dérivées partielles en ce point, et

$\mathrm{\forall }h\in {ℝ}^p\mathrm{d}{f}_a(h)=\sum _{j=1}^p\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)h_j=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)& \dots & \frac{\partial f}{\partial x_p}(a)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ ⋮\\ h_p\end{array}\right)$.

• Lorsque de plus $F={ℝ}^q$, le lemme de la section précédente permet de développer un peu plus la différentielle au point $a$ (si elle existe) de l'application

  $f:{ℝ}^p\mapsto {ℝ}^q,\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_p\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_p)\\ ⋮\\ f_q(x_1,\dots ,x_p)\end{array}\right)$

sous forme matricielle :

$\mathrm{d}{f}_a(h)=J_f(a)\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ ⋮\\ h_p\end{array}\right)$,

où $J_f(a)$ est la matrice jacobienne de $f$ au point $a$ :

$J_f(a):=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_p}(a)\\ ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_q}{\partial x_1}(a)& \dots & \frac{\partial f_q}{\partial x_p}(a)\end{array}\right)\in M_{q,p}(ℝ)$.

Voici un exemple de calcul : la fonction $f:{ℝ}^2\mapsto {ℝ}^3,\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\sin x\\ x^2+y\\ y{\mathrm{e}}^x\end{array}\right)$ est différentiable en tout point et sa matrice jacobienne s'écrit : $J_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}\cos x& 0\\ 2x& 1\\ y{e}^x& e^x\end{array}\right)$.

Remarques importantes :

De ce qui précède, si f est différentiable en un point a alors f admet des dérivées partielles en ce point mais la réciproque est fausse : On considère la fonction f : ${ℝ}^2\mapsto ℝ$ définie par $f(x,y)=0$ si $xy=0$ et $f(x,y)=1$ si $xy\ne 0$. On a $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h,0)}{h}=0$ et de même $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0,h)}{h}=0$ : les différentielles partielles existent bien, cependant les nombres 0 et 1 ont des antécédents dans tout voisinage V de l'origine ce qui prouve la discontinuité et donc la non-différentiabilité de f en ce point.

La différentiabilité d'une fonction en un point n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles en ce point : la fonction $f:(x,y)\mapsto y+x^2\sin (1/x)$ si $(x,y)\ne (0,0)$, prolongée par $f(0,0)=0$, est différentiable en $(0,0)$ avec $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1$, cependant la fonction $(x,y)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\sin (1/x)-\cos (1/x)$ n'a pas de limite en $(0,0)$.

Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis

L'expression « accroissement fini » provient d'une époque où en calcul différentiel on faisait une distinction entre les accroissements infinitésimaux dx et les accroissements « finis » x₁ - x₀.

On rappelle le théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles : Si une fonction continue $f:[a,b]\to ℝ$ est dérivable sur $]a,b[$, alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(c)$.

Le segment de départ $[a,b]$ est ici supposé réel, mais on peut très facilement étendre ensuite le résultat à un segment d'un espace vectoriel normé, en le paramétrant et en appliquant le théorème de composition ci-dessus. L'égalité obtenue s'écrit alors : $f(b)-f(a)=\mathrm{d}{f}_c(b-a)$.

Augmenter la dimension de l'espace d'arrivée est en revanche impossible, comme le montre l'exemple de l'exercice 11.

On conserve cependant la propriété suivante :

On en déduit immédiatement, en cascade, trois corollaires :

Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit

En effet, le cas général se déduit du cas $q=1$, or plus généralement (si $E_1,\dots ,E_p$ sont, [[../Limites et continuité#Notations et définitions|comme $F$]], des espaces vectoriels normés) : Modèle:Lemme

Modèle:Démonstration déroulante Remarque : en scrutant la preuve, on voit que l'une des $p$ dérivées partielles (la première, $\frac{\partial f}{\partial x_1}$, dans la preuve ci-dessus) n'a pas besoin d'être continue en $a$, ni même définie ailleurs qu'au point $a$. Cf. Modèle:Ouvrage, théorème 12.11 (en dimension finie).

Application deux fois différentiable, différentielle seconde

Soit f : U $\subset$ E $\mapsto$ F une fonction différentiable en un point a $\in$ U. Il se peut que la fonction df : x $\mapsto$ df_x soit définie dans un voisinage V $\subset$ U avec a $\in$ V et différentiable en a. Sa différentielle d(df)_a se note alors d²f_a et s’appelle la différentielle seconde ou d'ordre 2 de f en a : df_a+h = df_a +d²f_a(h) +‖h‖_E ε(h) avec $\underset{h\to 0_E}{\lim }\epsilon (h)=0_{ℒ(E,F)}$. Il faut noter que d²f_a $\in$ $ℒ$(E, $ℒ$(E, F)) autrement dit, pour tout h $\in$ E on a d²f_a(h) $\in$ $ℒ$(E, F). L'application (h, k) $\mapsto$ d²f_a(h)(k) est linéaire à la fois en h et en k. Les espaces $ℒ$(E, $ℒ$(E, F)) et $ℒ$(E, E; F) (l'espace des applications bilinéaires continues de E × E dans F) sont isomorphes si bien que d²f_a s'identifie à un élément de $ℒ$(E, E; F). En effet, l’application L : $ℒ$(E, $ℒ$(E, F)) $\mapsto$ $ℒ$(E, E; F)) définie par L(f)(h, k) = f(h)(k) est une application linéaire bijective, sa réciproque L^-1 : $ℒ$(E, E; F)) $\mapsto$ $ℒ$(E, $ℒ$(E, F)) étant définie par L^-1(g)(h)(k) = g(h, k). On notera donc par abus d'écriture d²f_a(h)(k) = d²f_a(h, k).