Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité

Dérivabilité : définitions

Rappelons les définitions de la leçon « Fonction dérivée » : Modèle:Définition

On peut donner une définition équivalente (dont l'un des avantages est qu'elle se généralise au calcul différentiel à plusieurs variables) :

Remarque : L'expression $(\star )$ est un [[../Développements limités|développement limité]] de $f$ au voisinage de $a$ à l’ordre 1 (c'est-à-dire une approximation affine de $f$ au voisinage de $a$).

On a alors le lien avec la continuité :

Modèle:Propriété La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple ci-dessous de la fonction valeur absolue.

Le graphe de la fonction valeur absolue $x\mapsto |x|$ a un point anguleux en 0.

Le graphe de la fonction racine carrée $x\mapsto \sqrt{x}$ a une tangente verticale en 0.

Parfois, en certains points, même si $f$ est continue en $a$, elle n'y admet pas de nombre dérivé (cf. figures ci-contre). Modèle:Clr

En revanche, il existe parfois des « demi-tangentes » à droite et/ou à gauche. Cela conduit à des définitions de nombre dérivé « à gauche » ou « à droite ». Modèle:Définition

Dérivée et opérations

Exemples : Remarquez que dans ces exemples, on utilise le formulaire du paragraphe suivant.

1. Calculer la dérivée de la fonction $\phi :{ℝ}_{+}^{*}\to ℝ,x\mapsto \frac{1}{x^2}+\ln x$.
   On pose $\phi (x)=f(x)+g(x)$ où $f(x)=\frac{1}{x^2}\Rightarrow f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^3}$ et $g(x)=\ln x\Rightarrow g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.
   Donc : ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x}=\frac{x^2-2}{x^3}$.
2. Calculer la dérivée de la fonction $\phi :ℝ\to ℝ,x\mapsto x^{\mathrm{2}}{e}^x$.
   On pose $\phi (x)=f(x)g(x)$ où $f(x)=x^2\Rightarrow f^{\prime }(x)=2x$ et $g(x)=g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$.
   Donc : ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)=2x{\mathrm{e}}^x+x^2{\mathrm{e}}^x=(x^2+2x){\mathrm{e}}^x$.
3. Calculer la dérivée de la fonction $\phi :{ℝ}_{+}^{*}\to ℝ,x\mapsto \frac{\cos x}{\sqrt{x}}$.
   On pose $\phi (x)=\frac{f}{g}(x)$ où $f(x)=\cos x\Rightarrow f^{\prime }(x)=-\sin x$ et $g(x)=\sqrt{x}\Rightarrow g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
   Donc : ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}=\frac{-\sqrt{x}\sin x-\cos x\times \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}{)}^2}=-\frac{2x\sin x+\cos x}{2x\sqrt{x}}$.
4. Calculer la dérivée d'une fonction de la forme $\phi :ℝ\to ℝ,x\mapsto {\mathrm{e}}^{f(x)}$.
   On a $\phi =\exp \circ f$ et ${\exp }^{\prime }=\exp$,
   donc ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x){\exp }^{\prime }(f(x))$, c'est-à-dire : $\left({\mathrm{e}}^f\right)=f^{\prime }\times {\mathrm{e}}^f$.

Par conséquent, si $f^{\prime }$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et $(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$.

Dérivée des fonctions usuelles

Domaine de définition $D_f$	Fonction $f(x)$	Domaine de dérivabilité $D_{f^{\prime }}$	Dérivée $f^{\prime }(x)$	Condition
$ℝ$	$ax+b$	$ℝ$	$a$	$a,b\in ℝ$
$ℝ$	$x^n$	$ℝ$	$n{x}^{n-1}$	$n\in \mathbb{N}$
${ℝ}^{*}$	$\frac{1}{x^n}$	${ℝ}^{*}$	$-\frac{n}{x^{n+1}}$	$n\in {\mathbb{N}}^{*}$
${ℝ}_{+}^{*}$ (ou ${ℝ}_{+}$ si $\alpha >0$)	$x^{\alpha }$	${ℝ}_{+}^{*}$ (ou ${ℝ}_{+}$ si $\alpha >1$)	$\alpha x^{\alpha -1}$	$\alpha \in ℝ\setminus \mathbb{Z}$
$ℝ$	$\sin x$	$ℝ$	$\cos x$
$ℝ$	$\cos x$	$ℝ$	$-\sin x$
$ℝ\setminus (\frac{\pi }{2}+\pi \mathbb{Z})$	$\tan x$	$ℝ\setminus (\frac{\pi }{2}+\pi \mathbb{Z})$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$
$ℝ\setminus \left(\pi \mathbb{Z}\right)$	$\cot x$	$ℝ\setminus \left(\pi \mathbb{Z}\right)$	$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-1-{\cot }^{2}x$
$[-1,1]$	$\arcsin x$	$]-1,1[$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$[-1,1]$	$\arccos x$	$]-1,1[$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$ℝ$	arctan $x$	$ℝ$	$\frac{1}{1+x^2}$
${ℝ}_{+}^{*}$	${\log }_{a}x$	${ℝ}_{+}^{*}$	$\frac{1}{x\ln a}$	$a>0$
$ℝ$	$a^x$	$ℝ$	$a^x\ln a$	$a>0$
$ℝ$	$\mathrm{sh}x$	$ℝ$	$\mathrm{ch}x$
$ℝ$	$\mathrm{ch}x$	$ℝ$	$\mathrm{sh}x$
$ℝ$	$\mathrm{th}x$	$ℝ$	$\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}$
$ℝ$	$\mathrm{argsh}x$	$ℝ$	$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$[1,+\mathrm{\infty }[$	$\mathrm{argch}x$	$]1,+\mathrm{\infty }[$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$]-1,1[$	$\mathrm{argth}x$	$]-1,1[$	$\frac{1}{1-x^2}$

Il faut être capable de démontrer ces résultats : deux de ces démonstrations sont proposées dans les deux boîtes déroulantes ci-dessous. On en trouve d'autres dans le chapitre « Dérivées usuelles » de la leçon « Fonction dérivée ».

Théorèmes sur la dérivation

Voici une condition nécessaire mais pas suffisante pour un extremum local. Modèle:Théorème

Attention

• La réciproque est fausse : par exemple, la fonction $ℝ\to ℝ,x\mapsto x^3$, en $0$, a une dérivée nulle mais pas d'extremum local.
• L'hypothèse « intervalle ouvert » (ou encore : $c$ n'est pas une borne de l'intervalle) est nécessaire. Par exemple, la fonction $f:[0,1]\to ℝ,x\mapsto x$ admet un minimum en $0$ et un maximum en $1$, mais sa dérivée ne s'annule en aucun point.

Le théorème de Rolle permet d'affirmer qu’il existe au moins un réel $c\in ]a,b[$ tel que la tangente à la courbe de $f$ au point $(c,f(c))$ soit « horizontale ».

Graphiquement, le théorème des accroissements finis s'interprète en disant qu’il existe, sur la courbe de $f$, au moins un point $(c,f(c))$, strictement compris entre les extrémités $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$, et en lequel la tangente est parallèle à la corde reliant ces extrémités.

Ce théorème a quatre corollaires importants : l'inégalité des accroissements finis, le théorème « limite de la dérivée », la règle de l'Hôpital et, surtout, le lien entre sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée.

On verra une application de cette inégalité, à propos des [[../Continuité uniforme#Fonctions lipschitziennes et höldériennes|fonctions lipschitziennes, au chapitre « Continuité uniforme »]].

Voici enfin un théorème bien pratique pour calculer un nombre dérivé :

L'énoncé suivant généralise la « règle simple de L'Hôpital » (qui n'est qu'une application directe de la définition d'un nombre dérivé). Il s'applique à des fonctions définies et dérivables à droite (ou à gauche) d'un point $a\in \overline{ℝ}$ (c'est-à-dire réel ou infini), mais pas en ce point :

Remarques

• Ces règles peuvent être itérées $n$ fois (pour un entier $n>0$) : on dit alors qu'on applique la règle de L'Hôpital « à l’ordre $n$ ».
• La première de ces deux règles sera utilisée pour démontrer le [[../Développements limités#Dérivation et intégration terme à terme|théorème d'intégration terme à terme d'un développement limité]], qui permet d'établir une formule fondamentale : la formule de Taylor-Young.

Dérivée et sens de variation

La propriété qui suit fournit un critère pour le sens de variation d'une fonction dérivable :

Pour des exemples, voir le chapitre « Dérivée et sens de variation » et ses exercices, dans la leçon « Étude et tracé d'une fonction ».

Classes de régularité et dérivées d'ordre supérieur

Soit $I$ un intervalle de $ℝ$.

Dérivées d'ordre supérieur

Modèle:Définition (exemple à faire)

Attention à ne pas confondre la dérivée n-ième $f^{(n)}$ avec la puissance n-ième $f^n$.

Modèle:Propriété Cette propriété se démontre par récurrence sur $n$ en utilisant la linéarité de la dérivation.

Pour le produit, on voit apparaître des coefficients binomiaux :

Cette formule a la même forme et se démontre de la même façon que la formule du binôme. Modèle:Démonstration déroulante

Enfin, on a la propriété suivante qui se généralisera en calcul différentiel : Modèle:Propriété

Classes de régularité

Donc $f\in C^0(I)$ signifie simplement que $f$ est continue sur $I$.

On peut aussi parler de la classe $C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$, avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-a{x}^2}$ ($a\in {ℝ}_{+}^{*}$) :