Espaces vectoriels normés/Dimension finie

Dans ce chapitre, nous verrons comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons que :

• les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont simples à caractériser ;
• les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie sont automatiquement continues.

Finalement, nous verrons le théorème de Riesz qui relie des informations de nature topologique (la compacité de la boule unité fermée) avec des informations algébriques (le fait d'être de dimension finie).

Équivalence des normes et conséquences

Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante

Remarque

En particulier sur un $ℂ$-espace vectoriel E de dimension finie m, toutes les normes sont équivalentes, puisque E est alors un $ℝ$-espace vectoriel de dimension finie n = 2m.

Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante

Remarque

On peut démontrer les deux propositions ci-dessus sans faire appel à la notion de compacité :

Compacité et dimension finie

Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante Réciproquement : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante