Application linéaire/Exercices/Application directe

Être ou ne pas être une application linéaire ?

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

• $\begin{array}{ccccc}{u}_1& :& {ℝ}^3& \to & ℝ\\ & & (x,y,z)& \mapsto & x-y+3z\end{array}$
• $\begin{array}{ccccc}{u}_2& :& {ℝ}^3& \to & ℝ\\ & & (x,y,z)& \mapsto & x-y+3\end{array}$
• $\begin{array}{ccccc}{u}_3& :& {ℝ}^3& \to & ℝ\\ & & (x,y,z)& \mapsto & (x-y)z\end{array}$
• $\begin{array}{ccccc}{u}_4& :& {ℝ}^3& \to & {ℝ}^2\\ & & (x,y,z)& \mapsto & (x-y,z)\end{array}$

Modèle:Solution Pour chaque couple $(E,F)$ d'espaces vectoriels et chaque application $E\to F$, indiquer si elle est linéaire ou non en justifiant la réponse.

1. $E={ℝ}^2$, $F=ℝ$, $f(x,y)=x+y$, $g(x,y)=x+y-1$, $h(x,y)=2x$, $i(x,y)=xy$.
2. $E=F={ℝ}^2$, $f(x,y)=(2x,x-y)$, $g(x,y)=(x-y,1)$, $h(x,y)=(x(y-2),x)$, $i(x,y)=(x-y,0)$.
3. $E={ℝ}^3$, $F={ℝ}^2$, $f(x,y)=(2x-3y+5z,2y)$.
4. $E={ℝ}_3[X]$, $F=ℝ$, $f(p)=p(0)$, $g(p)=p(1)-p^{\prime }(0)$, $h(p)=p(0)p(1)$.

Bijectivité

Montrer que l'application

$\begin{array}{ccccc}u& :& {ℝ}^2& \to & {ℝ}^2\\ & & (x,y)& \mapsto & (x+y,x-y)\end{array}$

est un automorphisme de ${ℝ}^2$ et calculer l'automorphisme réciproque. Modèle:Solution Montrer que l'application $f:K^3\to K^3$ définie par $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-2y+2z\\ x+2y-z\\ -y+z\end{array}\right)$ est bijective et calculer son inverse. Modèle:Solution Soit $d\in \mathbb{N}$.

1. Soient $t_0,\dots ,t_d\in K$ deux à deux distincts et $f:K_d[X]\to K^{d+1}$ l'application définie par $f(p)=(p(t_0),\dots ,p(t_d))$. Montrer que $f$ est linéaire et bijective.
2. Soient $t_k=\cos (k\pi /d),k=0,\dots ,d$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $T_d\in {ℝ}_d[X]$ tel que $T_d(t_k)=(-1{)}^k,k=0,\dots ,d$. Calculer $T_1$, $T_2$ et $T_3$.

Forme linéaire

Soient $a\le b$ deux réels, $E$ le $ℝ$-espace vectoriel des applications continues de $[a,b]$ dans $ℝ$, et $\phi \in E$.

Montrer que l’application

$\begin{array}{ccccc}L& :& E& \to & ℝ\\ & & f& \mapsto & \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\phi (t)\mathrm{d}t\end{array}$

est une forme linéaire sur $E$.

Applications linéaires proportionnelles

Soient $f,g\in \mathrm{L}(E,F)$ telles que

$\mathrm{\forall }x\in E\mathrm{\exists }\lambda \in Kf(x)=\lambda g(x)$.

Montrer que $f$ est la composée de $g$ par une homothétie de $F$, c'est-à-dire :

$\mathrm{\exists }\lambda \in K\mathrm{\forall }x\in Ef(x)=\lambda g(x)$.

Une base adaptée

Pour tout $m\in \mathbb{N}$, on note ${ℝ}_m[X]$ le sous-espace vectoriel des polynômes de degré $\le m$ dans $ℝ[X]$.

Soit $\phi :ℝ[X]\to ℝ[X]$ l'application définie par $\phi (P(X))=P(X+1)-P(X)$.

1. Démontrer que $\phi$ est linéaire.
2. Démontrer que $\phi (P)\ne 0$ pour tout $P$ dont le degré est $\ge 1$ ; en déduire le noyau de $\phi$.
3. On considère $P_0=1$, $P_k=\frac{1}{k!}X(X-1)\dots (X-k+1)$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{*}$. Démontrer que $\phi (P_k)=P_{k-1}$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{*}$.
4. Démontrer que $(P_0,\dots ,P_m)$ est une base de ${ℝ}_m[X]$.
5. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.
   1. Démontrer que $\phi ({ℝ}_n[X])={ℝ}_{n-1}[X]$.
   2. Pour tout $Q\in {ℝ}_{n-1}[X]$, donner une méthode permettant de calculer $P\in {ℝ}_n[X]$ tel que $\phi (P)=Q$.
   3. Calculer $P\in ℝ[X]$ tel que $\phi (P)=X^2$ et $P(1)=0$. En déduire la somme $1^2+2^2+\dots +{\ell }^2$ pour tout $\ell \in {\mathbb{N}}^{*}$.
   4. Calculer de même $1^3+2^3+\dots +{\ell }^3$ pour tout $\ell \in {\mathbb{N}}^{*}$.

Isométries planes

Soit $f:ℂ\to ℂ,z\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\overline{z}$. On considère $ℂ$ comme un $ℝ$-espace vectoriel et l'on fixe la base $\epsilon =(1,\mathrm{i})$.

1. Montrer que $f$ est $ℝ$-linéaire.
2. Calculer $A:=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(f,\epsilon ,\epsilon )$.
3. Existe-t-il $u$ et $v\in ℂ\setminus \{0\}$ tels que $f(u)=u$ et $f(v)=-v$ ? Si c'est le cas, déterminer un tel $u$ et un tel $v$.
4. Décrire géométriquement $f$.
5. Soit $g:ℂ\to ℂ,z\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\rho }\overline{z}$. Calculer $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(g\circ f,\epsilon ,\epsilon )$ et décrire géométriquement $g\circ f$.