Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre

Rappels de cours

Modèle:Wikipédia Dans les trois théorèmes suivants, toutes les fonctions seront supposées (outre les hypothèses spécifiques à chacun) continues par morceaux, pour éviter de faire appel à la notion de mesurabilité, plus générale mais peu utile dans les cas concrets. $J$ désignera un intervalle réel et $f$ une application définie sur $J\times [a,b[$ et à valeurs dans $ℝ$ ou $ℂ$ ($b$ peut être infini). On définit

$F(x):=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,t)\mathrm{d}t$

(pour les $x\in J$ pour lesquels cette intégrale converge). Modèle:Théorème Modèle:Théorème Modèle:Théorème

Exercice 2-1

On considère $g(x):=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,t)\mathrm{d}t$, pour $f:ℝ\times [0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ,(x,t)\mapsto \frac{x}{1+x^2{t}^2}$.

1. Montrer que $f$ est continue (sur $ℝ\times [0,+\mathrm{\infty }[$) et que $g$ est bien définie sur $ℝ$.
2. Pour tout $x\in ℝ$, calculer $g(x)$.
3. Pour tout $t\in ]0,+\mathrm{\infty }[$, calculer $h(t):=\underset{x\in ℝ}{\sup }|f(x,t)|$.
4. L'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(t)\mathrm{d}t$ est-elle convergente ?
5. Étudier de même $h_{\epsilon ,M}(t):=\underset{\epsilon \le |x|\le M}{\sup }|f(x,t)|$, pour $0<\epsilon \le M$.

Modèle:Solution Sur le même thème : pour $x\in ℝ$, on pose $f(x,t)=\frac{x\sin (xt)}{t}$ et $\psi (x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,t)\mathrm{d}t$.

Montrer que $\psi$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}^{*}$ mais que ${\psi }^{\prime }(x)\ne \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\mathrm{d}t$. Modèle:Solution

1. Soit $h(t)=\frac{-1}{t\ln t}$. Vérifier que sur $]0,1/\mathrm{e}[$, $h$ est positive, strictement décroissante, que $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }th(t)=0$ et que $h$ n'est pas intégrable en 0.
2. Soit $(b_n)$ une suite décroissante de réels tendant vers 0, et telle que $b_{n+1}\sim b_n$. On pose $a_n=h(b_{n+1})$ (on suppose $b_0<1/\mathrm{e}$) et $f_n=a_n{\mathrm{𝟏}}_{]0,b_n]}$. Vérifier que $f_n\to 0$ simplement et $\int f_n\mathrm{d}\lambda \to 0$.
3. Vérifier que pour tout $x\in ]0,b_1]$, la suite des $f_n(x)$ est positive mais non monotone. Soit $f(x)$ son sup, vérifier que $\mathrm{\forall }x\in ]0,b_0]f(x)>h(x)$. En déduire qu'il n'existe pas de fonction $g$ intégrable telle que $\mathrm{\forall }n|f_n|\le g\lambda$-Modèle:W.

Exercice 2-2

On pose $I_n:=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{{(1+t^2)}^n}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $g(x):=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{x+t^2}$ pour tout $x>0$.

1. À l'aide du théorème de dérivation pour les intégrales à paramètre, montrer que $g$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}_{+}^{*}$ et donner une relation entre la suite $\left(I_n\right)$ et la suite des dérivées successives de $g$ au point $1$.
2. Calculer directement $g$ à partir de sa définition, et en déduire l'expression de ses dérivées.
3. En déduire $I_n$.

Modèle:Solution Variante : pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $x\in ]0,+\mathrm{\infty }[$, on pose

$I_n(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+x^2{)}^n}$.

1. Montrer que $I_n(x)$ est bien définie et dérivable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Calculer sa dérivée.
2. En déduire la valeur de $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+1{)}^3}$.

Modèle:Solution $I_n(x)$ peut aussi se déduire de $I_n(1)$ par changement de variable, et $I_n(1)$ peut se calculer par récurrence à l'aide d'une IPP (cf. Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-7 question 1). Il s'agit en fait d'une intégrale de Wallis.

Exercice 2-3

On sait bien que l'intégrale de Dirichlet $I:=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ converge, mais non absolument.

Le but de cet exercice est de retrouver sa valeur en appliquant le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre à la fonction

$g(x):=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}{\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $g$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}_{+}^{*}$ et calculer $g^{\prime }(x)$, $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }g$, puis $g(x)$.
2. Montrer que $\underset{0^{+}}{\lim }g=I$. Pour cela, on est certain de ne pas pouvoir appliquer le théorème d'interversion de $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$ avec $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$, car si pour tout $x>0$ (ou au moins tout $x>0$ proche de $0$) $\left|\frac{\sin t}{t}{\mathrm{e}}^{-xt}\right|\le \phi (t)$, alors (par passage à la limite) $\phi (t)\ge \left|\frac{\sin t}{t}\right|$, or $\left|\frac{\sin t}{t}\right|$ n'est pas intégrable en $+\mathrm{\infty }$. Par contre, on pourra facilement intervertir $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$ avec $\underset{0}{\overset{A}{\int }}$ pour $A$ fixé (la question de l'intégrabilité en $+\mathrm{\infty }$ ne se posant plus). La méthode préconisée ici est de montrer que pour tout $A>0$ :
   • $\mathrm{\forall }x\ge 0|\underset{A}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{t}\mathrm{d}t|\le \frac{2}{A}$ ;
   • $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\underset{0}{\overset{A}{\int }}\frac{\sin t}{t}({\mathrm{e}}^{-xt}-1)\mathrm{d}t=0$.
3. Conclure.

Exercice 2-4

On considère la fonction Gamma d'Euler, définie par

$\mathrm{\Gamma }(x):=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$.

On sait déjà (cf. devoir sur la fonction Gamma et la formule de Stirling) que :

• son domaine de définition est ${ℝ}_{+}^{*}$ ;
• $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ (pour $x>0$) ;
• $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ (pour $n\in \mathbb{N}$).

1. Montrer que $\mathrm{\Gamma }$ est de classe CModèle:Exp et donner l'expression de ${\mathrm{\Gamma }}^{(k)}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.
2. Montrer que ${\mathrm{\Gamma }}^{″}>0$ et en déduire que ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ s'annule au plus une fois.
3. Montrer que ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ s'annule entre 1 et 2.
4. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\mathrm{\Gamma }(x)$, $\underset{0^{+}}{\lim }\mathrm{\Gamma }$, $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Gamma }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Gamma }(x)/x$ et donner l'allure du graphe de $\mathrm{\Gamma }$.
5. Calculer $\mathrm{\Gamma }(1/2)$, connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ($\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-s^2}\mathrm{d}s=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$).

Exercice 2-5

Modèle:Wikipédia On définit la fonction bêta par : $\mathrm{B}(x,y):=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que cette intégrale converge si et seulement si les deux réels $x$ et $y$ sont strictement positifs.
2. Montrer que $\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$ (la définition de $\mathrm{\Gamma }$ est rappelée dans l'exercice précédent). Pour cette question, on admettra le théorème de Fubini car explicitement hors programme en classe de MP.
3. En déduire une expression simple de $\mathrm{B}(x,n+1)$ si $n\in \mathbb{N}$.
4. Démontrer que $\mathrm{\forall }x>0\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{n}{\int }}{t}^{x-1}{(1-\frac{t}{n})}^n\mathrm{d}t=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^x}{x(x+1)\cdots (x+n)}=\frac{1}{x}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=1}^n\frac{{(1+\frac{1}{k})}^x}{1+\frac{x}{k}}$.
5. En déduire que la fonction $\frac{1}{\mathrm{\Gamma }}$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $ℂ$, dont les seuls zéros sont les entiers négatifs ou nuls.

Exercice 2-6

On pose $f(x,t)=\{\begin{array}{cc}\frac{1-{\mathrm{e}}^{-t{x}^2}}{x^2}& \text{ si }x>0\\ t& \text{ si }x=0.\end{array}$

1. Montrer que pour tout réel $t\ge 0$, $x\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. On pose alors $F(t)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,t)\mathrm{d}x$.
2. Montrer que $F$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et dérivable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Calculer $F^{\prime }$ et en déduire $F$, connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ($\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$).

On pose $f(x,t)=\frac{\ln (x^2+t^2)}{1+t^2}$ puis $I\left(x\right)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,t)\mathrm{d}t$.

1. Montrer que l'application $I$ est définie et continue sur $ℝ$.
2. Montrer qu'elle est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}^{*}$.
3. Calculer $I^{\prime }\left(x\right)$.
4. À l'aide du changement de variable $s=\frac{1}{t}$, montrer que $I\left(0\right)=0$.
5. En déduire une expression de $I\left(x\right)$.

Exercice 2-7

Soient $F$ et $G$ définies sur $ℝ$ par

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t,G(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $F$ et $G$ sont de classe CModèle:Exp et calculer leurs dérivées.
2. En déduire que $G+F^2$ est constante. Que vaut cette constante ?
3. Déterminer la limite en $+\mathrm{\infty }$ de $G$ puis de $F$, et retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Gauss, $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

Modèle:Solution Variante : pour $x\ge 0$, on pose

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-(t^2+1)x}}{t^2+1}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, $\psi$ est bien définie et continue.
2. Montrer que $\psi$ est de classe CModèle:Exp sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.
3. Calculer $\psi (0)$ et étudier la limite de $\psi$ en $+\mathrm{\infty }$.
4. Montrer que pour tout $x\in {ℝ}^{*}$ on a ${\psi }^{\prime }(x)=-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{\sqrt{x}}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-s^2}\mathrm{d}s$.
5. Montrer que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=-2{\left(\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-s^2}\mathrm{d}s\right)}^2$.
6. En déduire que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$.

Exercice 2-8

Toutes les fonctions considérées sont encore supposées continues par morceaux.

1. À l'aide des deux premiers théorèmes des rappels ci-dessus, démontrer la variante suivante du troisième : Modèle:Théorème 2. Démontrer la généralisation suivante, pour $k\in \mathbb{N}$ : Modèle:Théorème Modèle:Solution

Exercice 2-9

Soient

$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xt}}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\text{et}F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xt}}{1+t^2}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $H$ est bien définie sur $ℝ$ et de classe CModèle:Exp et que $H-H^{″}=F$.
2. Montrer que $2H^{\prime }(x)=-xF(x)$ (pour tout $x\in ℝ$).
3. Déduire des deux points précédents que sur ${ℝ}^{*}$ :
   1. $F$ est dérivable et $x{F}^{\prime }(x)=F(x)-2H(x)$ (pour tout $x\in {ℝ}^{*}$), puis
   2. $F$ est deux fois dérivable et $F^{″}=F$.
4. Calculer $F(0)$ et montrer que $F$ est bornée.
5. Déduire des questions 3.2 et 4 l'expression explicite de $F(x)$ pour tout $x\ge 0$.
6. Donner les valeurs explicites des deux intégrales suivantes :

   $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{1+t^2}\mathrm{d}t\text{et}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t\sin t}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t$.

7. On veut retrouver la valeur de l'intégrale de Dirichlet $I:=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ Modèle:Supra. En utilisant la question 3.1, démontrer que $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}{F}^{\prime }(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (xt)}{t(t^2+1)}\mathrm{d}t-2I$.
8. Conclure en considérant $\underset{0}{\lim }{F}^{\prime }$

Exercice 2-10

On pose

$f(x,t)=\frac{1-\cos (xt)}{t^2}{\mathrm{e}}^{-t}$ et $F(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,t)\mathrm{d}t$.

Montrer que $F$ est (au moins) de classe CModèle:Exp sur $ℝ$ et calculer $F^{″}$, puis $F^{\prime }$, puis $F$. Modèle:Solution

Exercice 2-11

Soit $f_n(t)={\cos }^{n}t$. Montrer de deux façons que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{f}_n(t)\mathrm{d}t=0$ :

1. en étudiant l'uniformité de la convergence de la suite de fonctions $f_n$ sur les intervalles de la forme $[\alpha ,\pi /2]$ avec $\alpha >0$ ;
2. en utilisant le théorème de convergence dominée.

Exercice 2-12

1. Justifier la convergence des intégrales $I_n:=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}{\sin }^{n}t\mathrm{d}t$ et étudier $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n$.
2. Soient $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ et $I_n:=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t^n)\mathrm{d}t$. Étudier $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n$.
3. Calculer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (\pi x)}{1+x^n}\mathrm{d}x$.

Exercice 2-13

L'objectif est de calculer $I:=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$.

Pour $x\ge 0$, on pose $F(x):=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{(1+t)\sqrt{t}}\mathrm{d}t$.

1. Justifier que $F$ est bien définie.
2. Montrer que $F$ est dérivable et solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $1$ avec second membre.
3. En déduire que $F(x)={\mathrm{e}}^x(F(0)-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t)$.
4. Calculer $F(0)$.
5. Montrer que $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }F=0$. En déduire la valeur de $I$.
6. Retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Gauss, $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-s^2}\mathrm{d}s$.

Exercice 2-14

Pour $x\ge 0$, on pose $F(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1-\cos t}{t^2}{\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $F$ est définie et continue sur ${ℝ}_{+}$.
2. Montrer que $F$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}_{+}^{*}$ et que $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }{F}^{\prime }=0$.
3. En déduire l'expression explicite de $F^{″}$ puis $F^{\prime }$, puis la limite de $F^{\prime }$ en $0^{+}$.
4. Retrouver directement cette limite.

Exercice 2-15

Soit $J:ℝ\to ℝ,x\mapsto \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (x\cos \theta )\mathrm{d}\theta$.Modèle:Wikipédia

1. Montrer que $J$ est de classe CModèle:Exp et donner les expressions intégrales de $J^{\prime }$ et $J^{″}$.
2. Vérifier que $\mathrm{\forall }x\in ℝx(J(x)+J^{″}(x))=-J^{\prime }(x)$.
3. On admet que de même, la fonction
   $K:]0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ,x\mapsto \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x\sin \theta )\mathrm{d}\theta -2\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x\sinh t}\mathrm{d}t$
   est de classe CModèle:Exp et vérifie $\mathrm{\forall }x\in ]0,+\mathrm{\infty }[x(K(x)+K^{″}(x))=-K^{\prime }(x)$. Quel en est l'intérêt ?

Exercice 2-16

Soient $f:{ℝ}^2\to ℝ$ une fonction de classe CModèle:Exp et $\phi :{ℝ}^3\to ℝ$ la fonction définie par

$\phi (x,y,z)=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x+z\cos \theta ,y+z\sin \theta )\mathrm{d}\theta$.

Montrer que $\phi$ est bien définie et de classe CModèle:Exp et que

$z(\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}-\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2})-\frac{\partial \phi }{\partial z}=0$.

Exercice 2-17

1. Soit $x\in ℝ$. Montrer que l'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\cos (tx)\mathrm{d}t$ est convergente. On note alors $\phi (x)$ sa valeur.
2. Montrer que la fonction $\phi$ est de classe CModèle:Exp (sur $ℝ$).
3. Montrer que ${\phi }^{\prime }(x)=-\frac{x\phi (x)}{2}$ (pour tout $x\in ℝ$).
4. En déduire que $\phi (x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{\mathrm{e}}^{-x^2/4}$, connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ($\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$).

Exercice 2-18

Pour $x\ge 0$ on pose $F(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t+x}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $F$ est continue, décroissante et que $F(x)=2\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^2(t/2)}{(t+x{)}^2}\mathrm{d}t$.
2. Montrer que $F$ est dérivable sur ${ℝ}_{+}^{*}$ et calculer sa dérivée.
3. Est-elle dérivable à droite en $0$ ?

Exercice 2-19

Pour tout l'exercice on fixe $a\in ]0,1[$. On note

$\mathrm{\forall }x\in ]0,+\mathrm{\infty }[f(x)=\frac{1}{x}\ln \frac{1+x}{1+ax}$ et $\mathrm{\forall }y\in {ℝ}_{+}F(y)=\underset{1}{\overset{1/a}{\int }}\frac{\ln (y+t)}{t}\mathrm{d}t$.

1. Calculer $F(0)$.
2. Montrer que $F$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}_{+}$ et donner une expression pour $F^{\prime }$ ne faisant pas intervenir d'intégrale.
3. Montrer que $\mathrm{\forall }y\in {ℝ}_{+}F(y)=\frac{{\ln }^{2}a}{2}+\underset{0}{\overset{y}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Exercice 2-20

On pose $I(x)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\ln ({\cos }^{2}t+x^2{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $I$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}_{+}^{*}$.
2. Calculer $I^{\prime }(x)$.
3. En déduire $I(x)$.

Exercice 2-21

On pose $F(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-xt}\arctan t\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $F$ est bien définie sur ${ℝ}_{+}^{*}$.
2. Pour $x>0$ on pose $G(x)=xF(x)$. Montrer que $G(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t^2}\mathrm{d}t$.
3. Montrer que $G$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}_{+}^{*}$.
4. En déduire que $F$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}_{+}^{*}$ et que

   $\mathrm{\forall }x>0x{F}^{″}(x)+2F^{\prime }(x)+xF(x)=\frac{1}{x}$.

Exercice 2-22

Pour tout réel $x>0$, on note

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t^2+x^2}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $\psi$ est bien définie et dérivable sur ${ℝ}_{+}^{*}$.
2. Déterminer sa limite en $+\mathrm{\infty }$.

Exercice 2-23

Soit $f$ une fonction CModèle:Exp. On pose

$g(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\prime }(tx)\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $g$ est CModèle:Exp.
2. Montrer que $xg(x)=f(x)-f(0)$.

On a ainsi prouvé que pour toute fonction $f$ CModèle:Exp nulle en 0, la fonction $x\mapsto \frac{f(x)}{x}$ admet un prolongement CModèle:Exp sur $ℝ$. Modèle:Solution

Exercice 2-24

Soit $f\in {\mathrm{L}}^2(ℝ)$ telle que $\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{[-A,A]}{\int }f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}xt}\mathrm{d}t$ existe pour presque tout $x$.

1. Montrer que cette limite est alors égale à $\sqrt{2\pi }\hat{f}(x)$ p.p.
2. En déduire que $\mathrm{\forall }b\ne \pm a\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (at)}{t}\cos (bt)\mathrm{d}t=\pi {\mathrm{𝟏}}_{[-a,a]}(b)$. (Démontrer d'abord l'égalité pour presque tout $b$.)
3. Retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Dirichlet Modèle:Supra : $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}$.