Intégration de Riemann/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling

— Ⅰ —

1. Démontrer que l'intégrale impropre
   $\mathrm{\Gamma }(x):=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$
   converge si et seulement si le réel $x$ est strictement positif.
2. Montrer que pour un tel $x$, on a $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$.
3. Pour tout entier naturel $n$, en déduire la valeur de $\mathrm{\Gamma }(n+1)$ puis, de $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(s\ln s{)}^n\mathrm{d}s$.

— Ⅱ —

1. En effectuant le changement de variable $t=x(1+s)$, vérifier que ${\left(\frac{\mathrm{e}}{x}\right)}^x\mathrm{\Gamma }(x)$ est égal à

   $I(x):=\underset{-1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x(s-\ln (1+s))}\frac{\mathrm{d}s}{1+s}$.

2. Montrer que

   $\mathrm{\forall }s\in ]-1,+\mathrm{\infty }[\mathrm{\exists }\theta \in ]0,1[s-\ln (1+s)=\frac{s^2}{2(1+\theta s{)}^2}$.

3. En déduire que la bijection $u:]-1,+\mathrm{\infty }[\to ]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$ définie par :

   $u^2(s)=s-\ln (1+s)$ et $u(s)$ est du même signe que $s$

   vérifie :

   $|\frac{u(s)}{s}-\frac{1}{\sqrt{2}}|\le |u(s)|$.

— Ⅲ —

1. Déduire du Ⅱ que

   $|I(x)-\sqrt{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x{u}^2}\mathrm{d}u|\le 2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x{u}^2}|u|\mathrm{d}u$.

2. En déduire que

   $|I(x)-\sqrt{\frac{2\pi }{x}}|\le \frac{2}{x}$.

3. En déduire les formules de Stirling :

$\mathrm{\Gamma }(x){\sim }_{+\mathrm{\infty }}\sqrt{\frac{2\pi }{x}}{\left(\frac{x}{\mathrm{e}}\right)}^x\text{et}n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)}^n$.