Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale

Exercice 1

Étudier la nature de l'intégrale $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin (\pi t)|}{t}\mathrm{d}t=\underset{\pi }{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin s|}{s}\mathrm{d}s$ et des séries $\sum _{k\ge 1}\frac{|\sin (\pi k)|}{k}$ et $\sum _{n\ge 1}\frac{|\sin n|}{n}$.

Indication : Pour l'intégrale, vous pouvez penser à utiliser la décomposition $\underset{1}{\overset{N}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{k=2}^N\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

Exercice 2

Étude des séries de Riemann et de Bertrand : variante de la méthode par télescopage.

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels.

1. Montrer que la fonction $x\mapsto \frac{1}{x^{\alpha }{\ln }^{\beta }x}$ est monotone à partir d'un certain seuil.
2. En déduire la nature de la série $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }n}$ lorsque $\beta =0$ ou $\alpha =1$.

Exercice 3

Retrouver, par comparaison série-intégrale, [[../../Théorème de Stolz-Cesàro#Exemples|l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n)]]. Modèle:Solution