Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann

Dans tout ce cours, $a<b$ sont des réels.
L'idée intuitive d'intégrale d'une fonction est celle "d'aire sous sa courbe" (au moins pour une fonction positive). Nous allons ici donner une façon de construire théoriquement l'intégrale à partir de cette idée (il existe d'autres constructions comme notamment celle de Lebesgue).
En fait, si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et si $𝒞$ est sa courbe représentative dans un repère, alors on veut que l’aire $𝒜$ de la surface (grisée sur le dessin) délimitée par :

$\{\begin{array}{c}x=a\text{~:~droite~verticale}\\ x=b\text{~:~droite~verticale}\\ y=0\text{~:~axe~des~abscisses}\\ C:y=f(x)\text{~:~courbe~de~}f\end{array}$

soit : $𝒜=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

(Il manque des illustrations)

Intégrale d'une fonction en escalier

Notation : on notera $ℰ([a;b])$ l’ensemble des fonctions en escalier sur $[a;b]$ .
Exemple : la fonction partie entière définie dans le cours sur les fonctions continues.
Si on la prend sur $[0;3]$ , alors $(0;1;2;3)$ est une subdivision adaptée à $E$ sur $[0;3]$ .$(0;2;3)$ n'en est pas une car $E$ n’est pas constante sur $[0;2]$.

Exemple : pour la fonction partie entière, on a en choisissant la subdivision $(0;1;2;3)$ :
$\underset{0}{\overset{3}{\int }}E(x)\mathrm{d}x=\sum _{i=0}^2(a_{i+1}-a_i)E(a_i)=1+2=3$ .

(manque d'illustrations)

Intégrale d'une fonction continue par morceaux

Notation : dans cette leçon, nous noterons $𝒞ℳ([a,b])$ l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur $[a,b]$.

Remarque : la variable d'intégration est « muette » : cela signifie que

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(u)\mathrm{d}u$.

Remarque : En fait, l’ensemble des fonctions Riemann-intégrables est plus vaste que l’ensemble des fonctions continues par morceaux et on ne peut le décrire précisément.

Par exemple, la fonction $f:x\mapsto \{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\\ \frac{1}{q},& \text{si }x=\frac{p}{q}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}p\mathrm{e}\mathrm{t}q\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{x}\end{array}$ est Riemann-intégrable sur $ℝ$, alors que la fonction $g:x\mapsto \{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\\ 1,& \text{si }x\in \mathbb{Q}\end{array}$ n’est pas Riemann-intégrable.