Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet

— Ⅰ —

Démontrer que l'intégrale impropre $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} d x$ est absolument convergente.
À l'aide d'une intégration par parties, en déduire que l'intégrale de Dirichlet $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} d x$ est convergente.
Retrouver ce résultat à l'aide de la [[../../Intégrales généralisées#Règle d'Abel|règle d'Abel pour les intégrales]].
Démontrer que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} d x = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} d x = \int_{0}^{+ \infty} {(\frac{\sin x}{x})}^{2} d x$ .

— Ⅱ —

Démontrer qu'en tout réel $s \notin 2 π ℤ$ , le noyau de Dirichlet $D_{n} (s) : = \sum_{k = - n}^{n} e^{i k s} = 1 + 2 \sum_{k = 1}^{n} \cos (k s)$ est égal à $\frac{\sin \frac{(2 n + 1) s}{2}}{\sin \frac{s}{2}}$ .
En déduire que $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin ((2 n + 1) t)}{\sin t} d t = \frac{π}{2}$ .

— Ⅲ —

Soit $f :] 0, \frac{π}{2}] \to ℝ, t \mapsto \frac{1}{t} - \frac{1}{\sin t}$ . Démontrer que $\int_{0}^{\frac{π}{2}} | f (t) | d t < + \infty$ .
D'après le lemme de Riemann-Lebesgue, on a donc :
$\lim_{k \to \infty} \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) \sin (k t) d t = 0$ .

En déduire, à l'aide du Ⅱ, que $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin ((2 n + 1) t)}{t} d t = \frac{π}{2}$ .
Retrouver ainsi que l'intégrale de Dirichlet converge et préciser sa valeur.

— Ⅳ —

Démontrer que quand $A \to + \infty$ , $\int_{A}^{+ \infty} \frac{\sin u}{u} d u = \frac{\cos A}{A} + O (\frac{1}{A^{2}})$ .
En déduire que quand $a \to + \infty$ , $\int_{a}^{+ \infty} {(\frac{\sin s}{s})}^{2} d s \sim \frac{1}{2 a}$ .
Retrouver ce résultat plus directement.
Déduire de ce résultat la valeur de $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \sin^{2} \frac{1}{t} d t$ .

Voir aussi