Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices

Ce produit scalaire induit une norme (la norme de Frobenius) : voir Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices (niveau 16).

Nous noterons par la suite, pour toutes matrices A, B, C, D appartenant à M_m,n(ℝ) :

• $\overrightarrow{AB}:=B-A$ ;
• $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}:=⟨\overrightarrow{AB}\mid \overrightarrow{CD}⟩=⟨B-A\mid D-C⟩=\mathrm{Tr}({}^t(B-A)(D-C))$ ;
• $AB:=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}=\sqrt{⟨B-A\mid B-A⟩}=\sqrt{\mathrm{Tr}({}^t(B-A)(B-A))}$.

AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.

Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur :

$\overrightarrow{A}=\overrightarrow{0A}$

On introduit ainsi une géométrie matricielle.

Les propriétés générales des espaces euclidiens s’appliquent ainsi à M_m,n(ℝ).

On a par exemple :