Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices

Notations et rappels

L'ensemble $K$ est un corps commutatif, $ℝ$ ou $ℂ$ et $K^{n,m}$, l'espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes à coefficients dans $K$. Si $𝐀\in K^{n,m}$ a pour coefficients $a_{ij}$, on notera :

$𝐀={(a_{ij})}_{i,j}i\in \{1,\dots ,n\},j\in \{1,\dots ,m\}$

où $i$ désigne l'indice de ligne et $j$, l'indice de colonne. La matrice ${𝐀}^T$ désigne la transposée de la matrice $𝐀$ : ${𝐀}^T\in K^{m,n}$ et :

$a_{ij}^T=a_{ji}i=1,\dots ,n,j=1,\dots ,m$.

La matrice ${𝐀}^{*}$ est l'adjointe de la matrice $𝐀$ :

${𝐀}^{*}={\overline{𝐀}}^T$

Modèle:Wikipédia Lorsque $m=n$ et $𝐀\in {ℂ}^{n,n}$, si ${\lambda }_i$, $i=1,\dots ,n$ sont les valeurs propres dans $ℂ$ de $𝐀$ alors le rayon spectral de $𝐀$ est :

$\rho (𝐀)=\underset{i=1,\dots ,n}{\max }|{\lambda }_i|$

et sa trace est :

$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$.

Modèle:Wikipédia Modèle:Wikipédia $𝐀\in {ℂ}^{n,n}$ est dite

• positive si $\mathrm{\forall }x\in {ℂ}^n:(𝐀x,x)\ge 0$ ;
• définie positive si $\mathrm{\forall }x\in {ℂ}^n,x\ne 0:(𝐀x,x)>0$ ;

La matrice $𝐈$ désigne la matrice identité dans ${ℂ}^{n,n}$. De plus, une matrice $𝐀$ est dite

• diagonale si $a_{ij}=0$ pour $i\ne j$ ;
• bande $(p,q)$ si $a_{ij}=0$ pour $i\ge j+p$ et $j\ge i+q$.

Elle est dite $(2l+1)$-diagonale si c’est une matrice bande $(l+1,l+1)$, c'est-à-dire $a_{ij}=0$ pour $i\ge j+l+1$ et $j\ge i+l+1$. Il est aussi important de se souvenir des propriétés suivantes :

• une matrice $𝐀\in {ℂ}^{n,n}$ hermitienne, c'est-à-dire telle que $𝐀={𝐀}^{*}$, a toutes ses valeurs propres réelles et il existe une base de ${ℂ}^n$ de vecteurs propres de $𝐀$ : $𝐀$ est donc diagonalisable. En particulier, une matrice réelle symétrique a toutes ses valeurs propres réelles ;
• une matrice définie positive a toutes ses valeurs propres strictement positives ;
• pour une matrice $𝐀\in {ℂ}^{n,n}$, il existe une matrice inversible $𝐏\in {ℂ}^{n,n}$ telle que la matrice $𝐁={𝐏}^{-1}𝐀𝐏$ soit diagonale par blocs, chaque bloc étant une sous-matrice de Jordan ${𝐉}_p$ d'ordre $n_p$, c'est-à-dire telle que :

${𝐉}_p=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_p& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_p& 1& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & {\lambda }_p& 1& 0\\ ⋮& & \ddots & {\lambda }_p& 1\\ 0& \cdots & \cdots & 0& {\lambda }_p\end{array}\right)$.

Normes matricielles

Norme subordonnée

Rappelons (cf. § « Cas particulier des applications linéaires » du cours sur les espaces vectoriel normés) qu'étant donnée une norme $||\cdot ||$ sur l'espace vectoriel $K^n$, l’application encore notée $||\cdot ||$ et définie par :

$𝐀\in K^{n,n}\to ||𝐀||=\underset{x\in K^n,x\ne 0}{\sup }\frac{||𝐀x||}{||x||}$

est une norme matricielle.

Cette norme, dite subordonnée à la norme vectorielle $||\cdot ||$ donnée, vérifie :

$||𝐀||=\underset{0\le ||x||\le 1}{\sup }||𝐀x||=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }||𝐀x||$.

En général, $\rho (𝐀)\ne ||𝐀||$. Cependant, si $𝐀$ est hermitienne alors $\rho (𝐀)=||𝐀|{|}_2$ car $||𝐀|{|}_2=(\rho ({𝐀}^{*}𝐀){)}^{1/2}$ (cf. proposition ci-dessus), or ${\lambda }_i({𝐀}^{*}𝐀)=({\lambda }_i(𝐀){)}^2$.

Modèle:Théorème