Recherche:Méthode de Sotta/Changement de variable homographique en degré 3

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Dans ce chapitre, nous montrerons comment exprimer les racines d'un polynôme $P$ de degré 3 comme fonction homographique des racines d'un polynôme donné $P_0$ de degré 3. Grâce à la méthode de Sotta, nous ramènerons ce problème à la résolution de deux équations particulières de degré 3, dont les coefficients dépendent de $P$ et de $P_0$. Nous illustrerons cette méthode en prenant comme polynôme $P_0$ le polynôme minimal de $\cos \frac{\pi }{7}$ et celui de $\cos \frac{\pi }{9}$.

Changement de variable homographique

Modèle:Théorème Voir Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Changement de variable homographique, où l'on explicite le polynôme minimal $P$ de $x$ en fonction du polynôme minimal $P_0$ de $z$, ce qui permet de calculer le lien entre leurs discriminants. En particulier, si $n=3$ :

• si $q=0$ : ${\mathrm{\Delta }}_P={\left(\frac{p}{s}\right)}^6{\mathrm{\Delta }}_{P_0}$ ;
• sinon : ${\mathrm{\Delta }}_P={\left(\frac{ps-qr}{q^2}\right)}^6\frac{{\mathrm{\Delta }}_{P_0}}{P_0(s/q{)}^2}$.

Cas du degré 3

On se donne maintenant deux polynômes de degré 3, $P_0$ et $P$, et l'on cherche à exprimer les racines de $P$ comme images de celles de $P_0$ par une transformation homographique $f(z)=\frac{pz-r}{qz-s}$. On se placera dans le cas générique où les deux résolvantes de Sotta sont de degré 2 et de racines distinctes. $P_0$ et $P$ ont alors chacun trois racines distinctes. Puisqu'une transformation homographique est déterminée de façon unique par le choix des images (distinctes) de trois points distincts donnés, il existe exactement 6 solutions $f$ à notre problème.

Nous noterons $\delta$ le discriminant de $P(X)=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ et $R(X)=A{X}^2+BX+C$ sa résolvante de Sotta.

Même chose pour $P_0$, en mettant partout des 0 en indice.

Modèle:Théorème Cela permet de déterminer les 6 solutions $f$. Remarquons que pour $(p,q)$, à part l'éventuelle solution $(1,0)$ (qui correspond au cas où l'homographie est une fonction affine), on peut fixer q = 1, et la première équation (pour chacune des deux valeurs de $ϵ$) est alors de degré 3 en p. Modèle:Démonstration déroulante

Permutation circulaire des trois racines

Soit, à nouveau, un polynôme $P$ de degré 3 et de discriminant $\delta \ne 0$, et dont la résolvante de Sotta $R(X)=A{X}^2+BX+C$ est de degré 2. Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Exemple Modèle:Exemple