Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré

Ce chapitre est consacré aux généralités sur les équations du troisième degré. Après avoir défini une équation du troisième degré, nous verrons une première méthode de résolution qui ne marchera que dans des cas très particuliers. Nous étudierons ensuite comment connaître le produit et la somme des racines et son application au calcul des expressions symétriques faisant intervenir les racines. Nous verrons ensuite ce que l’on appelle le résultant de deux polynômes. Une application immédiate sera la définition et le calcul du discriminant des équations du troisième degré. Cette notion sera aussi utile à la démonstration de certains théorèmes des chapitres suivants.

Définition d’une équation du troisième degré (12)

Avant de commencer à manipuler les équations du troisième degré, nous devons bien savoir ce que c'est. Modèle:Définition

Dans l'intégralité de ce cours, nous supposerons, si rien n'est précisé, que les coefficients de l'équation appartiennent à un ensemble quelconque et en particulier peuvent, par conséquent, être des nombres complexes. Modèle:Encart

Une première méthode de résolution par la recherche d'une racine évidente (12)

La méthode que nous allons voir dans ce paragraphe ne marche pas dans tous les cas. Mais, quand elle marche, elle marche mieux que les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants.

Le principe en est le suivant :

Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du second degré.

Recherche d'une racine évidente

Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer x par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante : Modèle:Propriété

Factorisation du premier membre (12)

Si l'on connaît déjà une solution (rationnelle ou pas) d'une équation de degré 3, cela permet, pour trouver les autres, de se ramener à une équation de degré 2 :

Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :

$Q(x)=0$,

qui est du second degré, pour trouver les deux racines manquantes.

On aura ainsi complètement résolu une équation du troisième degré. Modèle:CfExo

Malheureusement, cette méthode ne marche que si l’on réussit à trouver une racine dans l'équation à résoudre.

Nous verrons, dans les chapitres suivants, des méthodes qui marchent dans tous les cas.

Équations dont les coefficients sont des nombres réels

Dans ce paragraphe, nous étudierons plus particulièrement les équations dont les coefficients appartiennent à l’ensemble des nombres réels.

Nous avons le théorème suivant : Modèle:Théorème

Du théorème précédent, nous en déduisons immédiatement la propriété suivante: Modèle:Propriété

Somme et produit de racines

Lors de l'étude des équations du second degré, vous avez dû voir qu’il existe des relations simples donnant la somme et le produit des racines en fonction des coefficients des monômes de l'équation.

Nous allons voir qu’il en est de même pour les équations du troisième degré.

Nous avons : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Le théorème précédent va nous permettre de calculer certaines expressions portant sur les racines.

Une autre définition : Modèle:Définition

Nous avons alors la proposition suivante : Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Exemple

Cette proposition est généralisée par le théorème suivant :

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Exemple

Comme les polynômes symétriques élémentaires des racines d'un polynôme s'expriment simplement en fonction des coefficients de ce polynôme, nous déduisons qu'il en est de même pour tous les polynômes symétriques des racines.

Résultant de deux polynômes

Cette notion classique est d'un niveau nettement supérieur à celui de cette leçon, et ne sera abordée sérieusement qu'au niveau 16, dans la leçon « Résultant ».

Les résultants nous serviront à résoudre des systèmes d'équations non linéaires. Donnons-en d'abord une « définition » intuitive : le résultant $\mathrm{Res}(P,Q)$ de deux polynômes non nuls $P,Q\in ℂ[X]$ est :

• un polynôme en les coefficients de P et Q, qui s'annule si et seulement si P et Q ont une racine commune,
• une « expression minimale » obtenue en « éliminant $x$ entre les deux équations » $P(x)=0$ et $Q(x)=0$,

ces deux propositions (informelles) étant presque équivalentes.

Sans pouvoir donner un sens formel à la seconde, donnons-en quelques exemples. Modèle:Exemple

Contrairement à la notion d'« expression minimale obtenue en éliminant $x$ entre les deux équations », la notion de résultant (qui sert à définir celle de discriminant) a une définition précise, qui vérifie clairement la première des deux « définitions intuitives » ci-dessus : Modèle:Définition

La proposition suivante sera utilisée dans la prochaine section, dans le cas $n=3$ et $Q=P^{\prime }$.

Discriminant d’un polynôme de degré 3

Le discriminant ${\mathrm{\Delta }}_P$ d'un polynôme $P$ de degré $n>0$ et de coefficient dominant $a$ est défini par :

${\mathrm{\Delta }}_P=\frac{(-1{)}^{n(n-1)/2}}{a}\mathrm{Res}(P^{\prime },P)$

(qui est nul si et seulement si $P$ et $P^{\prime }$ ont une racine commune, c'est-à-dire si $P$ a une racine multiple).

Pour un polynôme de degré 3, la proposition précédente nous donne donc deux expressions du discriminant : Modèle:Définition

Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Exemple

Ainsi, $\frac{{\mathrm{\Delta }}_P}{a^4}$ est un polynôme en $-\frac{b}{a}={\sigma }_1$, $\frac{c}{a}={\sigma }_2$ et $-\frac{d}{a}={\sigma }_3$, donc un polynôme symétrique en les trois racines de $P$, qui doit s'annuler si deux de ces racines sont égales. Sa forme est remarquable :

On en déduit une propriété importante du discriminant d'un polynôme du troisième degré : Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante