Fonctions affines et linéaires/Fonctions affines

Fonctions affines et linéaires

Remarque : La notation f(x) se lit "f de x". Elle indique que la quantité f dépend de x.

Exemple : Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 Euros par an, avec lequel la séance coûte 5 Euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 Euros. Notons n le nombre de séances, A le coût de n séances avec abonnement, et S le coût de n séances sans abonnement.

• Exprimer A et S en fonction de n.
• À quels types de fonctions correspondent ces formules ?

Modèle:Solution Remarque : D'après la définition, les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières. Toutes les propriétés ci-dessous s'appliquent donc également aux fonctions linéaires, avec des particularités supplémentaires que nous signalerons au fur et à mesure.

Exemple : Soit la fonction affine $f(x)=2\times x+3$.

• Donner les valeurs des coefficients a et b.
• Calculer les images des nombres x = 0, x = 2 et x = -3 par f.

Représentation graphique d'une fonction affine

Tableau de valeurs d'une fonction affine

Exemple : Considérons la fonction affine $f(x)=2\times x+3$.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	0	1	2	3	4
f(x)

​

Solution :

Par exemple pour la troisième colonne : x = 1

$f(x)=f(1)=2\times 1+3=2+3=5$.

Cela donne au final :

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	5	7	9	11

Droite représentative

• Pour représenter graphiquement une fonction à partir d’un tableau de valeurs,

on place en abscisses (horizontalement) les valeurs de x

et en ordonnées (verticalement) les valeurs de f(x).

Exemple : Pour la fonction affine $f(x)=2\times x+3$. On a complété le tableau de valeurs :

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	5	7	9	11

On obtient donc le graphique suivant :

Calcul des coefficients a et b à partir de deux valeurs d'une fonction affine

Deux valeurs issues d'un tableau ou d'un graphique suffisent à déterminer complètement une fonction affine, car "par deux points, il passe une unique droite".

Formule pour le coefficient directeur

Exemple :

• Pour la fonction affine $f(x)=2\times x+3$, nous avons dans le tableau de valeurs

f(2) = 7 et f(3) = 9. Retrouvons a grâce à la formule, en prenant $x_2=3$ et $x_1=2$.

$a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{9-7}{3-2}=\frac{2}{1}=2$

• Pour retrouver b, il suffit d’utiliser une valeur et résoudre une équation :

$f(2)=7=2\times 2+b=7$

donc

$7-4=b=3$

• On pourrait également trouver a et b en résolvant le système d'équations :

$\{\begin{array}{cc}a\times 2+b=7,& \text{valeur pour x = 2}\\ a\times 3+b=9,& \text{valeur pour x = 3}\end{array}$

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