Polynôme/Arithmétique des polynômes

$K$ désigne toujours un corps commutatif et $K [X]$ l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps.

Division euclidienne et divisibilité dans K[X]

Exemple : Division de xModèle:Exp-xModèle:Exp+xModèle:Exp-x+8 par xModèle:Exp+3x+1

Étape 2 : division de -4xModèle:Exp - x par xModèle:Exp + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12xModèle:Exp + 3x)

Étape 3 : division de 12xModèle:Exp - 3x + 8 par xModèle:Exp + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)

Conclusion : xModèle:Exp - x Modèle:Exp + xModèle:Exp - x + 8 = (xModèle:Exp + 3x + 1)(xModèle:Exp - 4x + 12) - 33x - 4

Les démonstrations se font comme dans $ℤ$ (voir le cours d'arithmétique).

Remarques :

$P ∣ Q ⟺ pgcd (P, Q) = P ⟺ ppcm (P, Q) = Q$ .
Deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
Comme dans $ℤ$ , deux polynômes sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

Il est le même que dans $ℤ$ . On établit le lemme d'Euclide :

On en déduit l'algorithme d'Euclide :

Soient $A, B \in K [X]$ tels que $\deg A > \deg B$ .

Opération	Reste $R$	Commentaires
on divise $A$ par $B$	$R_{0}$	$\deg 0 \leq \deg R_{0} < \deg B et p g c d (A, B) = p g c d (B, R_{0})$
si $R_{0} \neq 0$ , on divise $B$ par $R_{0}$	$R_{1}$	$\deg 0 \leq \deg R_{1} < \deg R_{0} et p g c d (B, R_{0}) = p g c d (R_{0}, R_{1})$
…	…	…
si $R_{n} \neq 0$ , on divise $R_{n - 1}$ par $R_{n}$	$0$	$p g c d (R_{n - 1}, R_{n}) = R_{n}$