Polynôme/Dérivation formelle

C'est une notion « formelle » et purement algébrique : bien que définie par analogie avec l’analyse, elle se définit ici sans référer à la notion de limite.

On remarquera que, si la caractéristique du corps K n'est pas nulle (en particulier si K est un corps fini), cette notion peut donner lieu à des bizarreries (surtout en référence à l'analyse) : par exemple, si $K=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et $P=X^3$ , alors $P^{\prime }=3X^2=0$ mais $P$ n’est pas constant.

On dispose d'une formule de Taylor-Young (sans reste, comme pour une fonction polynomiale en analyse) :