Module sur un anneau/Module sur un anneau principal

Dans ce chapitre, A est un anneau principal.

Modules libres sur les anneaux principaux

On a vu que tout anneau B est un B-module libre. Mais lorsque B n'est pas un anneau principal, il existe des sous-modules non libres de ce module libre : tous les idéaux non principaux de B. À l'inverse :

Modèle:Exemple

Théorème de la base adaptée

Le théorème généralise le théorème de la base incomplète pour les espaces vectoriels. Si K est un corps, et que F est un sous-K-espace vectoriel de E, toute base de F se complète en une base de E. En dimension infinie, le théorème de la base adaptée est une conséquence de l’axiome du choix. Cependant en dimension finie, le résultat peut s'obtenir par récurrence sur la dimension.

Pour un module, malheureusement, on ne peut pas compléter une base d'un sous-module. La difficulté tient en l'inexistence d'un "supplémentaire" : 2Z n'a pas de supplémentaire dans Z. Cependant, le théorème de la base adaptée affirme qu'on peut définir simultanément des bases d'un module et de son sous-module.

La preuve du théorème de la base adaptée s'effectue aussi par récurrence sur le rang n de M. Pour n=1, le A-module libre de rang 1 M est isomorphe à A. Comme A est principal, ses sous-A-modules sont d.A avec d élément de A. Le résultat annoncé est donc vérifié. Reste à vérifier l'induction. L’idée est de définir pour commencer $e_n$ convenablement pour appliquer l'hypothèse de récurrence à un "supplémentaire".

Classification des modules de type fini

L'existence est une conséquence du théorème de la base adaptée. Dire que M est de type fini équivaut à l’existence d'un morphisme surjectif $A^n\to M$. On dispose donc de la suite exacte :

$0\to N\to A^n\to M\to 0$.

En particulier, M est le conoyau de $N\to A^n$. Donc, M est isomorphe au module quotient $A^n/N$. Appliquons le théorème de la base adaptée au sous-module N de $A^n$. Il existe une base $(e_1,\dots ,e_n)$ de $A^n$, des facteurs $d_1,\dots d_n$, avec $d_{i+1}$ un diviseur de $d_i$ pour i<n, tels que $d_1{e}_1,\dots ,d_n{e}_n$ engendre N. Donc :

$M=A^n/N=\sum _{i=1}^{n}A/d_{i}A$.

L'unicité demande un travail supplémentaire : Modèle:...