Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Pendule pesant

Oscillations d'un pendule dans une voiture qui démarre

Schéma descriptif d'un pendule pesant dont l'axe horizontal ${\mathrm{\Delta }}_O$ est lié à une voiture qui démarre avec un vecteur accélération ${\overrightarrow{a}}_0$

Modèle:AlUn solide $\left(𝒮\right)$ de masse $m$ et de C.D.I. $G$ peut tourner sans frottements autour d’un axe horizontal $\left({\mathrm{\Delta }}_O\right)$, fixe dans une voiture, cette dernière définissant le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{voit}}$ du mouvement d'oscillations du solide autour de l'axe $\left({\mathrm{\Delta }}_O\right)$ $[{\mathrm{\Delta }}_O\cancel{\ni }G$ $\Rightarrow$ « le solide est donc un pendule pesant » et ${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$ porté par l'axe orientant ce dernier ainsi que les angles algébrisés définis dans le plan de profil du schéma ci-contre$]$ ;

Modèle:Alla voiture étant en phase d'accélération sur route horizontale d'un référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ supposé galiléen avec un vecteur accélération constant ${\overrightarrow{a}}_0$, le pendule pesant $[$dont le repérage spatial est défini par l'angle algébrisé $\theta =\widehat{(\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{OG})}$ avec $\overrightarrow{Oz}$ la verticale descendante passant par $O$ $($attention sur le schéma $\theta$ est $<0\left)\right]$ acquière une nouvelle position d'équilibre relatif repérée par ${\theta }_{\text{éq}}$ et, si on lui impose un petit écart initial avec lâché sans vitesse initiale, il oscille autour de cette nouvelle position d'équilibre avec une période de petites élongations angulaires $T$ ;

Modèle:Alsachant que le pendule pesant est de moment d'inertie $J$ par rapport à son axe d'oscillation $\left({\mathrm{\Delta }}_O\right)$ et notant $b$ la distance orthogonale séparant cet axe du C.D.I. $G$ du solide $\left(𝒮\right)$ déterminer, en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un solide en rotation autour d'un axe mobile dans un référentiel galiléen, l'axe étant en translation dans ce référentiel :

• l'expression de l'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq}}$ de l'équilibre relatif du pendule dans le référentiel ${ℛ}_{\text{voit}}$ ainsi que
• Modèle:Alcelle de la période des petites élongations angulaires $T$ du pendule autour de la position d'équilibre précédente.

Mouvements indésirables d'une machine mal équilibrée

Schéma de principe d'une machine tournante mal équilibrée relativement à un axe de rotation horizontal

Modèle:AlLe référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ dans lequel se déroule l'expérience étant supposé galiléen, nous lui associons le repère cartésien $\{O,({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)\}$, la base cartésienne étant directe et le vecteur de base ${\overrightarrow{u}}_z$ étant vertical ascendant.

Modèle:AlLe champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g}=-g{\overrightarrow{u}}_z$ est uniforme d'intensité $g$.

Modèle:AlNous nous proposons d'étudier l'équilibrage d'une machine tournante composée

• d'un bâti fixe $\left(MPC\right)$ posé sur le sol horizontal fixe, de masse $m$, de largeur $MP=2l$ et de centre de masse $B$ situé au milieu de cette largeur à une hauteur $b$ au-dessus du sol, son extrémité supérieure étant $C$ située au milieu de la largeur du bâti à une hauteur $h$ au-dessus du sol $\{$bien que le bâti ait une certaine épaisseur, celle-ci n'intervenant pas dans l'étude de l'équilibrage de la machine tournante, nous supposerons cette dernière entièrement contenue dans le plan vertical $yOz$ $($voir schéma ci-contre$)$, le sens $+$ des angles algébrisés de ce plan étant défini par le vecteur de base ${\overrightarrow{u}}_x$ horizontal pointant vers le lecteur c'est-à-dire dans le sens anti-horaire du plan, le vecteur de base ${\overrightarrow{u}}_y$ horizontal de ce plan étant égal à ${\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_x$ c'est-à-dire de gauche à droite sur le schéma ci-contre$\}$ et
• d'un rotor $\left(𝒮\right)$ tournant autour d’un axe horizontal $\mathrm{\Delta }$ passant par $C$ et colinéaire à ${\overrightarrow{u}}_x$, de masse $m$, de centre de masse $A$ situé à une distance $a$ de $\mathrm{\Delta }$.

Modèle:AlUn couple d’origine électromagnétique exercé par le bâti sur le rotor maintient une vitesse de rotation $\omega$ uniforme de $\left(𝒮\right)$ autour de $\mathrm{\Delta }$ $\{$nous supposerons $\omega >0$ et prendrons l’origine des temps lorsque l'abscisse angulaire du rotor «$\theta =\widehat{(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})}$» s'annule de telle sorte que «$\theta (t)=\omega t$»$\}$.

Modèle:AlNous modélisons les efforts que le sol exerce sur le bâti par une force «$\overrightarrow{N}+\overrightarrow{T}$», où $\overrightarrow{N}$ est verticale et $\overrightarrow{T}$ horizontale, l'état de surface au « contact sol - bâti » est décrit par un « cœfficient de frottement de glissement statique $f_s$» et un « cœfficient de frottement dynamique $f_d$».

Détermination de la vitesse angulaire du rotor à partir de laquelle il y a rupture de contact entre le bâti et le sol

Modèle:AlMontrer qu’une vitesse de rotation du rotor trop élevée peut provoquer une rupture du contact entre le sol et le bâti.

Modèle:AlDonner l’expression de la vitesse angulaire ${\omega }_1$ à partir de laquelle apparaît ce phénomène.

Détermination expérimentale du cœfficient de frottement de glissement statique entre le sol et le bâti

Modèle:AlPour $\omega <$ à ${\omega }_1$ il n'y a donc pas rupture de contact entre le bâti et le sol mais nous observons que,

Modèle:Alpour $\omega =\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2}}$, le bâti glisse sur le sol à partir de l'instant $t_0=\frac{2\pi }{3\omega }$, en déduire l'expression du cœfficient de frottement de glissement statique $f_s$ entre le sol et le bâti.

Détermination du sens de glissement ainsi que de l'expression de la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti tant que le glissement perdure

Modèle:AlQuel est le sens de la vitesse de glissement à un instant postérieur à $t_0$ $($tant que le glissement perdure$)$ ?

Modèle:AlEn déduire l’expression de la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti $\overrightarrow{T}$ tant que le glissement se maintient dans ce sens.

Détermination de l'accélération horizontale du bâti lorsque ce dernier glisse sur le sol

Modèle:AlÉtablir, dans la durée de glissement, l’expression de la mesure algébrique de l’accélération horizontale ${\ddot{y}}_{\text{bâti}}$ du bâti relativement au sol.

Détermination expérimentale du cœfficient de frottement de glissement dynamique entre le sol et le bâti

Modèle:AlPour $\omega =\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2}}$, le bâti s'étant mis à glisser sur le sol à partir de l'instant $t_0=\frac{2\pi }{3\omega }$, ce glissement cesse à l'instant $t_1=\frac{\pi }{\omega }$, en déduire l'expression du cœfficient de frottement de glissement dynamique $f_d$ entre le sol et le bâti.

Reprise éventuelle du glissement du bâti après l'arrêt de sa Modèle:1re phase de glissement sur le sol

Modèle:AlPour $\omega =\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2}}$, le bâti s'étant mis à glisser sur le sol à partir de l'instant $t_0=\frac{2\pi }{3\omega }$ puis arrêté à l'instant $t_1=\frac{\pi }{\omega }$, nous nous proposons d'établir que

Modèle:Al$\succ$l'absence de glissement se maintient jusqu'à un instant $t_2$ $($à déterminer$)$ à partir duquel le glissement reprend dans un sens à préciser puis que

Modèle:Al$\succ$le glissement se poursuit jusqu'à un instant $t_3$ $($à déterminer$)\dots$

Détermination des conditions de non basculement de la machine tournante dans le cas où son rotor tourne à une vitesse angulaire suffisamment faible pour que le bâti ne glisse pas sur le sol

Modèle:AlLa vitesse angulaire de rotation du rotor étant $\omega \ll \sqrt{\frac{g}{a}}$, vérifiez que le bâti ne peut pas glisser sur le sol puis,

Modèle:Almontrer que, malgré cela, la machine tournante peut avoir tendance à basculer dans des conditions que l’on précisera.

Étude des petites oscillations d'un pendule pesant élastique

Schéma descriptif de l'équilibre d'un pendule pesant $\left(AOB\right)$ pouvant osciller autour de l'axe $\mathrm{\Delta }$ passant par $O$ et $\perp$ à $\left(AOB\right)$ en étant retenu en $A$ par l'action d'un ressort vertical

Modèle:AlUn solide «$(𝒮)$» est constitué de deux tiges homogènes rigidement liées l'une à l'autre, $AO$ et $OB$, faisant entre elles un angle droit, chaque tige étant de masse $m$ et de longueur $2a$ ;

Modèle:All'extrémité commune $O$ des deux tiges du solide $(𝒮)$ étant un point fixe du référentiel terrestre d'étude ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen, $(𝒮)$ peut tourner autour de l'axe horizontal $\mathrm{\Delta }$ passant par $O$ et orienté par ${\overrightarrow{u}}_x$ $\{\perp$ au plan contenant $(𝒮)$ et pointant vers le lecteur, ${\overrightarrow{u}}_x$ orientant les angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire$\}$, la liaison en $O$ agissant sur $(𝒮)$ étant une liaison pivot parfaite.

Modèle:AlUn ressort de masse négligeable, de constante de raideur $k$ et de longueur à vide ${𝑙}_0$, est accroché à $(𝒮)$ en $A$, l'autre extrémité du ressort $C$ étant maintenue fixe et telle que la verticale passant par $C$ est séparée d'une distance horizontale de $2a$ du point $O$ de $(𝒮)$ ;

Modèle:Allorsque l'ensemble est en équilibre dans le champ de pesanteur $\overrightarrow{g}$ vertical et uniforme, $AO$ est horizontale et $OB$ verticale, la longueur du ressort à l'équilibre étant ${𝑙}_{\text{éq}}>{𝑙}_0$ $($voir schéma ci-contre$)$ ;

Modèle:Alnous nous proposons ci-après d'étudier les petites oscillations de $\left(𝒮\right)$ autour de $\mathrm{\Delta }$ et pour cela nous associons au référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ le repère cartésien $\{0,({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)\}$ dans lequel la base cartésienne est directe, ${\overrightarrow{u}}_z$ étant vertical descendant et ${\overrightarrow{u}}_y={\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_x$ horizontal orienté de $O$ vers $A_{\text{éq}}$.

Modèle:AlNous rappelons l'expression du moment d'inertie d'une tige $(𝒯)$, de masse $m$, de longueur $𝑙$, par rapport à un axe $\mathrm{\Delta }\perp$ à $(𝒯)$ passant par une de ses extrémités «$J_{\mathrm{\Delta }}\left(𝒯\right)=\frac{1}{3}m{𝑙}^2$».

Étude de l'équilibre du pendule pesant élastique

Modèle:AlDéduire, de la C.N. d'équilibre du solide $(𝒮)$ autour de l'axe de rotation $\mathrm{\Delta }$, l'« allongement $\mathrm{\Delta }{𝑙}_{\text{éq}}={𝑙}_{\text{éq}}-{𝑙}_0$ du ressort à l'équilibre ».

Schéma descriptif d'une position quelconque hors équilibre d'un pendule pesant $\left(AOB\right)$ pouvant osciller autour de l'axe $\mathrm{\Delta }$ passant par $O$ et $\perp$ à $\left(AOB\right)$ en étant retenu en $A$ par l'action d'un ressort, l'écart angulaire de la position d'équilibre pour laquelle le ressort est vertical restant faible

Étude des petites oscillations du pendule pesant élastique

Modèle:AlDéterminer, au préalable, le moment d'inertie $J_{\mathrm{\Delta }}$ du solide $(𝒮)$ par rapport à l'axe de rotation $\mathrm{\Delta }$.

Modèle:AlOn se propose d'étudier les petites oscillations de $(𝒮)$ autour de sa position d'équilibre, l'« angle $\theta (t)=\hat{\{{\overrightarrow{OA}}_{\text{éq}},\overrightarrow{OA}(t)\}}$ repérant la position de $(𝒮)$ à un instant $t$ quelconque restant de valeur absolue petite », on peut considérer que la force exercée par le ressort sur le solide $(𝒮)$ reste verticale pendant tout le mouvement.

Modèle:AlEn appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au solide $(𝒮)$ relativement à l'axe $\mathrm{\Delta }$ déterminer l'équation différentielle en $\theta (t)$ du mouvement rotatoire du pendule « pesant élastique » $\{$nommé ainsi parce qu'il s'agit d'un pendule oscillant sous l'action de son poids $($donc pouvant être qualifié de « pesant »$)$ et de celle d'un ressort $($suggérant le qualificatif « élastique »$\left)\right\}$ puis

Modèle:Alen déduire que le mouvement de rotation du pendule « pesant élastique » autour de $\mathrm{\Delta }$ est sinusoïdal et
Modèle:Alpréciser l'expression de la période $𝒯$ des petites oscillations de $(𝒮)$ autour de $\mathrm{\Delta }$ en fonction de $m$, $g$, $k$ et $a$.

Modèle:Alcalculer la période $𝒯$ sachant que $m=100g$, $a=10cm$, $k=12N\cdot m^{-1}$ et $g=9,8m\cdot s^{-2}$.