Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Contact d’un solide sur un autre dans le cas de « liaisons unilatérale ou bilatérale avec frottement »

Modèle:AlIntroduit une 1^ère fois dans le paragraphe « 3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéale (c.-à-d. sans frottement) ou non idéale (c.-à-d. avec frottement) » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Rappel : liaisons unilatérale ou bilatérale d’un solide sur un autre

Modèle:AlIntroduit une 1^ère fois dans le paragraphe « notions de liaisons unilatérale et bilatérale » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Liaison unilatérale

Voir aussi « liaison unilatérale » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlLe solide $(𝒮)$ en contact éventuel avec le solide support $(\mathrm{\Sigma })$ peut être

• en contact effectif, dans ce cas $(\mathrm{\Sigma })$ exerce des forces de contact sur $(𝒮)$ de résultante appelée « réaction de$(\mathrm{\Sigma })$sur$(𝒮)$» , cette dernière étant dirigée de$(\mathrm{\Sigma })$vers$(𝒮)$ ou
• « au-dessus de$(\mathrm{\Sigma })$» sans point de contact avec lui, dans ce cas « la réaction de$(\mathrm{\Sigma })$sur$(𝒮)$» est nulle.

Liaison bilatérale

Voir aussi « liaison bilatérale » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlLe solide$(𝒮)$est toujours en contact avec le solide support$(\mathrm{\Sigma })$ $[$plus précisément constitué de deux solides supports «$({\mathrm{\Sigma }}_{\text{inf}})$ et $({\mathrm{\Sigma }}_{\text{sup}})$»$]$ guidant le solide $(𝒮)$, l'un ou l'autre des solides supports de part et d'autre de $(𝒮)$ exerçant sur lui des forces de contact de résultante appelée « réaction de$(\mathrm{\Sigma })$sur$(𝒮)$» pouvant avoir n'importe quelle direction$($et même être nulle$)$.

Rappel : composantes normale et tangentielle de la réaction du support solide sur le système indéformable étudié

Voir aussi « composante normale de réaction et force de frottement solide » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlDéfinissant $\overrightarrow{n}$ un vecteur unitaire normal au(x) support(s) solide(s) $(\mathrm{\Sigma })$ défini au « point d'application de la réaction de $(\mathrm{\Sigma })$ sur $(𝒮)$» , point que nous appellerons par la suite « point de contact » , le sens de $\overrightarrow{n}$ étant choisi usuellement « vers l'extérieur du support solide $(\mathrm{\Sigma })$ en cas de liaison unilatérale » et dans un « sens arbitraire en cas de liaison bilatérale », nous notons :

• ${\overrightarrow{R}}_n$ la projection de $\overrightarrow{R}$ sur la normale, soit «${\overrightarrow{R}}_n=R_n\overrightarrow{n}$» où «$R_n=\overrightarrow{R}\cdot \overrightarrow{n}$» est appelée « composante normale de la réaction » et
• ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ la projection de $\overrightarrow{R}$ sur le plan tangent à $(\mathrm{\Sigma })$ au point de contact, soit «${\overrightarrow{R}}_{\tau }=R_{\tau }\overrightarrow{\tau }$» , où «$R_{\tau }=\overrightarrow{R}\cdot \overrightarrow{\tau }$» est appelée « composante tangentielle de la réaction » $($ou encore « force de frottement solide »$)$ ;

on peut alors écrire «$\overrightarrow{R}=R_n\overrightarrow{n}+R_{\tau }\overrightarrow{\tau }$» avec
«$R_n⩾0$ en liaison unilatérale » et
«$R_n$ de signe quelconque en liaison bilatérale ».

Rappel : « liaison avec frottement solide »

Voir aussi « notions de liaisons idéale (ou sans frottement) et non idéale (ou avec frottement) » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlLa puissance développée par la réaction $\overrightarrow{R}$ que $(\mathrm{\Sigma })$ exerce sur $(𝒮)$ dans un référentiel lié à $(\mathrm{\Sigma })$ s'écrit, avec $M$ point d'application de $\overrightarrow{R}$, «$𝒫(\overrightarrow{R})=\overrightarrow{R}\cdot {\overrightarrow{V}}_M$ $={\overrightarrow{R}}_n\cdot {\overrightarrow{V}}_M+{\overrightarrow{R}}_{\tau }\cdot {\overrightarrow{V}}_M$»  ;

Modèle:AlModèle:Transparentor ${\overrightarrow{R}}_n\cdot {\overrightarrow{V}}_M=0$ car, en cas de non glissement de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$, ${\overrightarrow{V}}_M=\overrightarrow{0}$ et,
Modèle:AlModèle:Transparenten cas de glissement, ${\overrightarrow{V}}_M\ne \overrightarrow{0}$ dans le plan tangent à $(\mathrm{\Sigma })$ en $M$ donc $\perp$ à ${\overrightarrow{R}}_n$ d'où au final

Modèle:Alla puissance développée par la réaction $\overrightarrow{R}$ que $(\mathrm{\Sigma })$ exerce sur $(𝒮)$ dans un référentiel lié à $(\mathrm{\Sigma })$ se réécrit, avec $M$ point d'application de $\overrightarrow{R}$, selon «$𝒫(\overrightarrow{R})={\overrightarrow{R}}_{\tau }\cdot {\overrightarrow{V}}_M$» .

Modèle:AlOn dit que la liaison est « avec frottement » $($ou « non idéale » ou encore « non parfaite »$)$ si $▸$en envisageant diverses situations de repos de $(𝒮)$, on en trouve au moins une où${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ est $\ne \overrightarrow{0}$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$dans tous les états de translation de $(𝒮)$, ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ est toujours $\ne \overrightarrow{0}$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentou $($ce qui est équivalent$)$ si $▸$il existe des cas de repos de $(𝒮)$ où $\overrightarrow{R}$ est $\perp ̸$ au plan tangent de $(\mathrm{\Sigma })$ en $M$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$dans l'hypothèse de translation de $(𝒮)$, $\overrightarrow{R}$ est toujours $\perp ̸$ au plan tangent de $(\mathrm{\Sigma })$ en $M$.

Modèle:AlIl est équivalent de définir une liaison « avec frottement » $($ou « non idéale » ou encore « non parfaite »$)$ comme une liaison telle que$𝒫(\overrightarrow{R})\ne 0$en cas de mouvement de translation de$(𝒮)$sur$(\mathrm{\Sigma })$.

Énoncé des lois empiriques de « Coulomb » du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement, cœfficients de frottement statique et dynamique caractérisant le contact

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb  » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlLe solide $(𝒮)$ est donc au repos sur le support solide $(\mathrm{\Sigma })$ avec, a priori, « présence d'une force de frottement solide » et absence de glissement ;

Modèle:Alsi une force ${\overrightarrow{F}}_m$ tend à faire glisser $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$ tangentiellement à ce dernier suivant ${\overrightarrow{V}}_{\text{hyp, mouv}}$,
Modèle:AlModèle:Transparentle support solide $(\mathrm{\Sigma })$ réagit en exerçant sur $(𝒮)$ une force de frottement solide ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ s’opposant à la mise en mouvement, c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentde même direction mais de sens contraire à ${\overrightarrow{V}}_{\text{hyp, mouv}}$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentcomme il n'y a pas glissement, ${\overrightarrow{R}}_{\tau }=-{\overrightarrow{F}}_m$ soit
Modèle:AlModèle:Transparenten choisissant le vecteur unitaire tangentiel$\overrightarrow{\tau }$ du plan tangent à $(\mathrm{\Sigma })$ au point de contact suivant la direction et le sens de${\overrightarrow{F}}_m$,
Modèle:AlModèle:Transparentc.-à-d. tel que ${\overrightarrow{F}}_m=F_m\overrightarrow{\tau }$ avec $F_m>0$ et ${\overrightarrow{R}}_{\tau }=R_{\tau }\overrightarrow{\tau }$ où $R_{\tau }$ est la valeur algébrique de la « force de frottement solide » ,
Modèle:AlModèle:Transparenton déduit, de la condition de non glissement, «$R_{\tau }=-F_m<0$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentsi on fait $\nearrow \Vert F_m\Vert =F_m$, $\Rightarrow$ $R_{\tau }=-F_m<0$ telle que $|R_{\tau }|=\Vert {\overrightarrow{R}}_{\tau }\Vert =F_m\nearrow$ mais $\dots$
Modèle:AlModèle:Transparent$|R_{\tau }|=\Vert {\overrightarrow{R}}_{\tau }\Vert$ ne peut $\nearrow$ indéfiniment,
Modèle:AlModèle:Transparentil existe une valeur de $F_m=\Vert {\overrightarrow{F}}_m\Vert$ à partir de laquelle le glissement s'amorcera,
Modèle:AlModèle:Transparentcette force seuil définissant le « seuil d'adhérence de$(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentparallèlement la composante normale de la réaction ${\overrightarrow{R}}_n=R_n\overrightarrow{n}$ s’oppose à la pénétration de $(𝒮)$ dans $(\mathrm{\Sigma })$,
Modèle:AlModèle:Transparentla force tendant à la pénétration étant appelée « force pressante de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$» et notée ${\overrightarrow{F}}_p$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentcomme il n'y a pas pénétration, ${\overrightarrow{R}}_n=-{\overrightarrow{F}}_p$ soit
Modèle:AlModèle:Transparenten choisissant le vecteur unitaire normal$\overrightarrow{n}$ au plan tangent à $(\mathrm{\Sigma })$ au point de contact en sens contraire de${\overrightarrow{F}}_p$ si le sens de ${\overrightarrow{F}}_p$ ne varie pas ou
Modèle:AlModèle:Transparentde sens a priori arbitraire si le sens de ${\overrightarrow{F}}_p$ peut varier et,
Modèle:AlModèle:Transparenten posant ${\overrightarrow{F}}_p=-F_p\overrightarrow{n}$ quel que soit le sens choisi pour $\overrightarrow{n}$ ainsi que ${\overrightarrow{R}}_n=R_n\overrightarrow{n}$ où $R_n$ est la « réaction normale au support »,
Modèle:AlModèle:Transparenton déduit, de la condition de non pénétration, «$R_n=F_p$» avec,
Modèle:AlModèle:Transparentsi le sens de$\overrightarrow{n}$est choisi de sens contraire à${\overrightarrow{F}}_p$ quand le sens de ${\overrightarrow{F}}_p$ ne varie pas, «$R_n>0$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparentsi le sens de$\overrightarrow{n}$est arbitraire, «$R_n>0$ si le sens de ${\overrightarrow{F}}_p$ est contraire au sens de $\overrightarrow{n}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent«$R_n<0$ si le sens de ${\overrightarrow{F}}_p$ est dans le sens de $\overrightarrow{n}$» ;

Modèle:Alsupposant que la force${\overrightarrow{F}}_m$tendant à faire glisser$(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$ tangentiellement à ce dernier ne modifie pas la force pressante${\overrightarrow{F}}_p$ de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$,
Modèle:AlModèle:Transparentla «$\nearrow$ de $F_m=\Vert {\overrightarrow{F}}_m\Vert$ à $F_p$ constant » entraîne une «$\nearrow$ de $|R_{\tau }|$ à $R_n$ constant » et
Modèle:AlModèle:Transparentun « démarrage du glissement pour une valeur critique$|R_{\tau ,c}|$ de $|R_{\tau }|$ à $R_n$ constant »,
Modèle:AlModèle:Transparent« le rapport de cette valeur critique $|R_{\tau ,c}|$ sur $|R_n|$» définissant le « cœfficient de frottement statique » noté ${\mu }_s$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«${\mu }_s=\frac{|R_{\tau ,c}|}{|R_n|}$ sans unité et dépendant de l'adhérence de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$» encore égal à «${\mu }_s=\frac{F_{m,c}}{|F_p|}$» . Modèle:Théorème

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement

Voir aussi « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb  » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlLe solide $(𝒮)$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $(\mathrm{\Sigma })$ par l'action d'une force tangentielle ${\overrightarrow{F}}_m$ suffisante pour faire glisser $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$ suivant ${\overrightarrow{V}}_{(𝒮)}$» , il s'en suit que

Modèle:AlModèle:Transparentle support solide $(\mathrm{\Sigma })$ réagit en exerçant sur $(𝒮)$ $[$en plus de la composante normale de la réaction ${\overrightarrow{R}}_n$$]$
Modèle:AlModèle:Transparentune « force de frottement solide${\overrightarrow{R}}_{\tau }$s'opposant au mouvement »
Modèle:AlModèle:Transparent$[$c.-à-d. de même direction et de sens contraire à${\overrightarrow{V}}_{(𝒮)}]$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentlors du glissement « le rapport $\frac{|R_{\tau }|}{|R_n|}$ reste constant » , constante positive définissant le « cœfficient de frottement dynamique » noté ${\mu }_d$
Modèle:AlModèle:Transparenttoujours $\lesssim$ au cœfficient de frottement statique ${\mu }_s$ c.-à-d. «${\mu }_d\lesssim {\mu }_s$»,
Modèle:AlModèle:Transparentainsi, quand il y a glissement «$\frac{|R_{\tau }|}{|R_n|}={\mu }_d$» sans unité et dépendant de la nature des deux solides en présence
Modèle:AlModèle:Transparentavec «${\mu }_d\lesssim {\mu }_s=\frac{|R_{\tau ,c}|}{|R_n|}$» $[$sans unité et dépendant de l'adhérence de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })]$ «${\mu }_s$ encore égal à $\frac{F_{m,c}}{|F_p|}$» .

Modèle:AlRemarque : pour que le glissement démarre il est nécessaire de $F_m$ soit $>$ à $F_{m,c}$,
Modèle:AlModèle:Transparentmais une fois le glissement amorcé $F_m$ peut devenir $<$ à $F_{m,c}$ sans que le glissement cesse ;
Modèle:AlModèle:Transparentpar contre si ce dernier s'arrête, il faudra de nouveau que $F_m$ soit $>$ à $F_{m,c}$ pour qu'il redémarre. Modèle:Théorème

Approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique

Modèle:AlComme on l'a affirmé précédemment le cœfficient de frottement dynamique

${\mu }_d$

est toujours inférieur au cœfficient de frottement statique

${\mu }_s$

soit

${\mu }_d<{\mu }_s$ mais,

Modèle:Aldans les cas les plus fréquents, ces cœfficients restant proches, on peut alors « les confondre » Modèle:, et, dans ce cas, usuellement on pose

$f={\mu }_d\simeq {\mu }_s$.

Étude du démarrage du glissement d'un système indéformable sur un support solide dans le cas où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont suffisamment distincts

Modèle:AlSupposons le solide $(𝒮)$ reposant initialement sur le plan support horizontal $(\mathrm{\Sigma })$ et
Modèle:Alsupposons qu'on cherche à faire glisser $(𝒮)$ le long d'un axe horizontal $x^{\prime }x$ du plan support $(\mathrm{\Sigma })$ dans le sens $+$ de cet axe
Modèle:AlModèle:Transparenten exerçant sur $(𝒮)$ une force ${\overrightarrow{F}}_m$ horizontale dirigée dans le sens $+$ de l'axe $x^{\prime }x$ ;

Modèle:Alsur $(𝒮)$ s'exercent trois forces  : $\succ$le poids de $(𝒮)$ $[$comme cette force est $\perp$ à $(\mathrm{\Sigma })$ elle s'identifie à la force pressante ${\overrightarrow{F}}_p$ tendant à la pénétration de $(𝒮)$ dans $(\mathrm{\Sigma })]$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$m_{(𝒮)}\overrightarrow{g}$ vertical descendant $[$on choisit alors $\overrightarrow{n}$, le vecteur unitaire normal à $(\mathrm{\Sigma })$, dans le sens vertical ascendant
Modèle:AlModèle:Transparent$($pour que le sens de $\overrightarrow{n}$ soit dans le sens contraire de la force pressante$)$ et par suite
Modèle:AlModèle:Transparent«${\overrightarrow{F}}_p=-F_p\overrightarrow{n}$» se réécrit «$m_{(𝒮)}\overrightarrow{g}=-m_{(𝒮)}g\overrightarrow{n}$» avec «$F_p=m_{(𝒮)}g>0$»$]$,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$la force ${\overrightarrow{F}}_m$ s'exerçant tangentiellement à $(\mathrm{\Sigma })$, plus exactement le long de l'axe horizontal $x^{\prime }x$ dans le sens $+$
Modèle:AlModèle:Transparent$[$on choisit alors $\overrightarrow{\tau }$, le vecteur unitaire tangentiel à $(\mathrm{\Sigma })$, dans le sens $+$ de $x^{\prime }x$
Modèle:AlModèle:Transparent$($pour que le sens de $\overrightarrow{\tau }$ soit dans le sens de l'éventuel glissement$)$ et par suite
Modèle:AlModèle:Transparent«${\overrightarrow{F}}_m=F_m\overrightarrow{\tau }$» avec «$F_m>0$»$]$ et

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$la réaction $\overrightarrow{R}$ de $(\mathrm{\Sigma })$ sur $(𝒮)$ de composantes normale «${\overrightarrow{R}}_n=R_n\overrightarrow{n}$» et tangentielle «${\overrightarrow{R}}_{\tau }=R_{\tau }\overrightarrow{\tau }$» $($encore appelée force de frottement solide$)$ ;

Modèle:Alla composante normale de la réaction ${\overrightarrow{R}}_n$ compensant le poids nous en déduisons «$R_n=m_{(𝒮)}g>0$» et,

Modèle:Al$▸$tant que la force ${\overrightarrow{F}}_m$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, la composante tangentielle de la réaction ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ compense alors ${\overrightarrow{F}}_m$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$R_{\tau }=-F_m<0$» $($la force de frottement solide dans le sens contraire
Modèle:AlModèle:Transparentdu glissement possible$)$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentl'absence de glissement $\Rightarrow$ selon la loi empirique de Coulomb de frottement solide sans glissement,
Modèle:AlModèle:Transparent«$|R_{\tau }|<{\mu }_s{R}_n$» Modèle:, soit encore «$F_m<{\mu }_s{m}_{(𝒮)}g$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla force motrice critique permettant la mise en mouvement de $(𝒮)$ est de norme «$F_{m,c}={\mu }_s{m}_{(𝒮)}g$» ;

Modèle:Al$▸$notant $t=0$ l'instant où $F_m$ atteint sa valeur critique $F_{m,c}$, le glissement de $(𝒮)$ sur le plan support horizontal $(\mathrm{\Sigma })$ commence alors à $t=0^{+}$
Modèle:AlModèle:Transparentavec la composante normale de la réaction compensant toujours le poids de $(𝒮)$ soit «$R_n=m_{(𝒮)}g>0$» et
Modèle:AlModèle:Transparentla composante tangentielle de la réaction déterminée par la loi empirique de Coulomb de frottement solide avec glissement
Modèle:AlModèle:Transparent«$|R_{\tau }|={\mu }_d{R}_n$» Modèle:, ou encore «$|R_{\tau }|={\mu }_d{m}_{(𝒮)}g$» avec «$R_{\tau }<0$»
Modèle:AlModèle:Transparent$($la force de frottement solide étant toujours dans le sens contraire du glissement effectif$)$,
Modèle:Al$▸$la projection sur ${\overrightarrow{u}}_x=\overrightarrow{\tau }$ du théorème du mouvement du C.D.I. appliquée à $(𝒮)$ $\Rightarrow$ «$F_m+R_{\tau }=m_{(𝒮)}{a}_{(𝒮),x}$» ou, avec $\left\{\begin{array}{ccccccc}{F}_m& =& F_{m,c}& =& {\mu }_s{m}_{(𝒮)}g& >& 0\\ R_{\tau }!& =& -{\mu }_d{R}_n& =& -{\mu }_d{m}_{(𝒮)}g& <& 0\end{array}\right\}$,
Modèle:Al$▸$on obtient l'équation différentielle du mouvement de glissement de $(𝒮)$ selon «${\mu }_s{m}_{(𝒮)}g-{\mu }_d{m}_{(𝒮)}g=m_{(𝒮)}{a}_{(𝒮),x}$» soit finalement,
Modèle:AlModèle:Transparentune accélération horizontale constante pour $(𝒮)$ égale à «$a_{(𝒮),x}=({\mu }_s-{\mu }_d)g>0$» ;

Modèle:Al$▸$ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, le solide $(𝒮)$ a acquis une accélération non nulle dès $t=0^{+}$, d'autant plus grande que ${\mu }_s-{\mu }_d$ l'est
Modèle:AlModèle:Transparent$[$le solide subit donc une accélération possédant une discontinuité de 1^ère espèce à l'instant du démarrage$]$.

Angles limites de frottement statique et dynamique, autres énoncés des lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement

Voir aussi « expressions empiriques des lois de frottement solide de Coulomb  » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Inclinaison de la réaction que le support solide exerce sur le système indéformable étudié relativement à la normale au support solide au point d’application de la réaction

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb  » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlNotant $\alpha$ l'inclinaison de la réaction $\overrightarrow{R}$ de $(\mathrm{\Sigma })$ sur $(𝒮)$ relativement au vecteur unitaire $\overrightarrow{n}$ normal à $(\mathrm{\Sigma })$ au point de contact de ce dernier avec $(𝒮)$, on en déduit «$\tan (\alpha )=\frac{|R_{\tau }|}{|R_n|}$» ;

Modèle:Alsi on cherche à faire glisser $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$ à l'aide d’une force tangentielle ${\overrightarrow{F}}_m$ dont on fait $\nearrow$ la norme à partir de la valeur nulle et
Modèle:AlModèle:Transparenttant que $(𝒮)$ reste en équilibre, il y a compensation entre $▸$la composante tangentielle ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ de la réaction avec ${\overrightarrow{F}}_m$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$▸$la composante normale ${\overrightarrow{R}}_n$ de la réaction avec la force pressante ${\overrightarrow{F}}_p$
Modèle:AlModèle:Transparent$[{\overrightarrow{F}}_p$ étant très souvent due au poids de $(𝒮)]$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentsi $R_n$ reste constante $($réalisé si $F_p$ ne varie pas$)$, l'angle $\alpha \nearrow$ simultanément avec la $\nearrow$ de $F_m$, c.-à-d. que
Modèle:AlModèle:Transparentl'inclinaison de la réaction $\overrightarrow{R}$
Modèle:AlModèle:Transparentpar rapport à la normale à $(\mathrm{\Sigma })$ au point de contact $\nearrow$
Modèle:AlModèle:Transparentsimultanément à la $\nearrow$ de $F_m$.

Angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb  » et « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb  » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlTant que $F_m=\Vert {\overrightarrow{F}}_m\Vert$ tentant de créer un glissement de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$ n'a pas atteint sa valeur critique $F_{m,c}$ correspondant au seuil d’adhérence, l'équilibre de$(𝒮)$sur$(\mathrm{\Sigma })$perdure ; dans ce cas

Modèle:All’inclinaison$\alpha$de la réaction$\overrightarrow{R}$par rapport à la normale à$(\mathrm{\Sigma })$au point de contact est$<$à une inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement statique » noté ${\phi }_s$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla condition de non glissement «$\alpha <{\phi }_s$»,

Modèle:AlModèle:Transparentl'angle limite de frottement statique ${\phi }_s$ étant lié au cœfficient de frottement statique ${\mu }_s$
Modèle:AlModèle:Transparentpar «${\phi }_s=\arctan ({\mu }_s)$» ou «${\mu }_s=\tan ({\phi }_s)$» .

Modèle:AlPour que la mise en mouvement de $(𝒮)$ se produise, il faut que l'inclinaison $\alpha$ de la réaction $\overrightarrow{R}$ relativement à la normale à $(\mathrm{\Sigma })$ au point de contact atteigne la valeur limite ${\phi }_s$ et,

Modèle:AlModèle:Transparentdès que le glissement commence, l'inclinaison$\alpha$de la réaction$\overrightarrow{R}$relativement à la normale à$(\mathrm{\Sigma })$au point de contact
Modèle:AlModèle:Transparentchute à une nouvelle inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement dynamique${\phi }_d$»
Modèle:AlModèle:Transparentd'où la condition de glissement «$\alpha ={\phi }_d<{\phi }_s$»,

Modèle:AlModèle:Transparentl'angle limite de frottement dynamique ${\phi }_d$ étant lié
Modèle:AlModèle:Transparentau cœfficient de frottement dynamique ${\mu }_d$ par
Modèle:AlModèle:Transparent«${\phi }_d=\arctan ({\mu }_d)$» Modèle:,
Modèle:Transparentou «${\mu }_d=\tan ({\phi }_d)$» .

Notion de cône limite de frottement statique et de cône limite de frottement dynamique

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb  » et « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb  » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Modèle:AlDans la mesure où $(𝒮)$ reste en équilibre sur $(\mathrm{\Sigma })$, la réaction$\overrightarrow{R}$ de $(\mathrm{\Sigma })$ sur $(𝒮)$ étant inclinée relativement à la normale à $(\mathrm{\Sigma })$ en son point d’application $I$ d'un angle non orienté $\alpha <{\phi }_s$ avec ${\phi }_s$ angle limite de frottement statique, « reste strictement à l'intérieur d'un cône de révolution de sommet $I$, d’axe “la normale à $(\mathrm{\Sigma })$ en $I$” et de demi-angle au sommet ${\phi }_s$», cône appelé « cône limite de frottement statique » et caractérisant l’adhérence de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$ en $I$.

Modèle:AlDans la mesure où $(𝒮)$ glisse sur $(\mathrm{\Sigma })$, la réaction $\overrightarrow{R}$ de $(\mathrm{\Sigma })$ sur $(𝒮)$ étant inclinée relativement à la normale à $(\mathrm{\Sigma })$ en son point d’application $I$ d'un angle non orienté $\alpha ={\phi }_d$ avec ${\phi }_d$ angle limite de frottement dynamique, « reste sur un cône de révolution de sommet $I$, d’axe “la normale à $(\mathrm{\Sigma })$ en $I$” et de demi-angle au sommet ${\phi }_d$», cône appelé « cône limite de frottement dynamique » et caractérisant le collé relativement au glissé de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$ en $I$.

Modèle:AlDe ${\phi }_d<{\phi }_s$ on déduit que le cône limite de frottement dynamique est inclus dans celui de frottement statique, la mise en mouvement se traduisant par le passage instantané de la réaction $\overrightarrow{R}$ de $(\mathrm{\Sigma })$ sur $(𝒮)$ de la surface du cône limite de frottement statique à celle du cône limite de frottement dynamique en restant dans un même demi-plan méridien ;

Modèle:AlModèle:Transparentlors d'un démarrage il y a donc un léger redressement instantané de$\overrightarrow{R}$, l'inclinaison de cette dernière restant constante par la suite.

Modèle:AlRemarque : dans les cas les plus fréquents où on peut confondre ${\phi }_d$ et ${\phi }_s$, de valeur commune notée $\phi$ et simplement appelée « angle limite de frottement », cet angle limite étant lié au cœfficient de frottement solide $f={\mu }_d\simeq {\mu }_s$ par $\phi =\arctan (f)$ $\iff$ $\tan (\phi )=f$, les deux cônes limites de frottement statique et dynamique se confondent également et le cône commun est simplement appelé « cône limite de frottement ».

Méthode de traitement d’une liaison « unilatérale (ou bilatérale) » avec frottement

Modèle:Al$1$. Faire l'hypothèse d'équilibre de $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$,

Modèle:Al$2$. utiliser la C.N. d’équilibre pour évaluer les composantes normale et tangentielle de la réaction puis

Modèle:Al$3$. valider $($ou non$)$ l’hypothèse d'équilibre par vérification $($ou non$)$ de la loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement d’un solide sur un autre  ;

Modèle:Al$4$. dans le cas où l’hypothèse d’équilibre ne serait pas vérifiée, le solide $(𝒮)$ est alors en translation sur l'autre $(\mathrm{\Sigma })$, faire l'hypothèse de glissement dans un sens,

Modèle:Al$5$. utiliser la loi empirique de Coulomb du frottement avec glissement d’un solide sur un autre pour exprimer la norme de la composante tangentielle de la réaction en fonction de celle de la composante normale puis

Modèle:Al$6$. Modèle:Transparentle théorème du mouvement du C.D.I. Modèle:, pour en déduire, en tenant compte des C.I. la vitesse de glissement du solide $(𝒮)$ sur $(\mathrm{\Sigma })$ $[$dans les cas usuels où $(\mathrm{\Sigma })$ est plan, la norme de la composante normale de la réaction ne dépend pas de la vitesse de glissement, ce qui simplifie fortement la détermination de cette dernière mais, dans les cas où $(\mathrm{\Sigma })$ n'est pas plan, la norme de la composante normale de la réaction dépendant de la vitesse de glissement, la détermination de cette dernière se complique et peut même nécessiter une résolution numérique par calculateur$\dots ]$ et enfin

Modèle:Al$7$. valider $($ou non$)$ le sens du glissement $[$on rappelle que la vitesse doit être de sens contraire à la composante tangentielle de la réaction$]$ ;

Modèle:Al$8$. dans le cas où le sens de glissement ne serait pas le bon, refaire le traitement en inversant le sens du glissement $\dots$