Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Géométrie des nombres

Exercice 6-1

Construire dans le plan :

1. un convexe d'aire infinie mais ne contenant aucun point de ${\mathbb{Z}}^2$ ;
2. une partie symétrique par rapport à l'origine et d'aire infinie mais ne contenant aucun point de ${\mathbb{Z}}^2$.

Exercice 6-2

On rappelle les deux points du théorème de Minkowski :

Soit $C\subset {ℝ}^n$ un convexe symétrique par rapport à $0$.

1. Si $\mathrm{vol}(C)>2^n$, alors $C$ contient au moins un élément non nul de ${\mathbb{Z}}^n$.
2. Si $\mathrm{vol}(C)=2^n$ et si $C$ est compact, on a la même conclusion.

Montrez que chacun des deux points se déduit de l'autre. Modèle:Solution

Exercice 6-3

Soit un entier $r\ge 1$.

1. Démontrer le « principe des tiroirs pour les mesures » :

   Soient $(X,𝒜,\mu )$ un espace mesuré et $(X_j)$ une suite de parties mesurables de $X$.

   Si $\sum _j\mu (X_j)>r\mu ({\cup }_j{X}_j)$, alors il existe un point de $X$ appartenant à au moins $r+1$ de ces parties.

2. En déduire le théorème de Blichfeldt :

   Soit $R$ une partie Lebesgue-mesurable de ${ℝ}^n$.

   • Si $\mathrm{vol}(R)>r$, alors $R$ contient $r+1$ points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.
   • Si $\mathrm{vol}(R)=r$ et si $R$ est compact, on a la même conclusion.

Exercice 6-4

Soit un nombre premier

$p\equiv 1mod4$.

Il existe donc un entier $a$ tel que $-1\equiv a^{2}modp$.

En considérant le réseau $\mathrm{\Gamma }:=\{(ps+at,t)\mid s,t\in \mathbb{Z}\}\subset {ℝ}^2$ et le disque ouvert $C$ de centre $0$ et de rayon $\sqrt{2p}$, redémontrer le théorème des deux carrés « de Fermat » :

$p$ est somme de deux carrés.

Exercice 6-5

1. Soit un nombre premier $p>2$. Il existe donc des entiers $r,s$ tels que $r^2+s^2\equiv -1modp$.
   En considérant le réseau $\mathrm{\Gamma }:=A\left({\mathbb{Z}}^4\right)$ pour $A=\left(\begin{array}{cccc}p& 0& r& s\\ 0& p& s& -r\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$ et la boule ouverte $C\subset {ℝ}^4$ de centre $0$ et de rayon $R=\sqrt{2p}$, démontrer que

   $p$ est somme de quatre carrés.

2. En utilisant l'identité des quatre carrés d'Euler, selon laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés, en déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange :

   tout entier positif est somme de quatre carrés.

Exercice 6-6

Soient $x,y\in ℝ$ et $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Montrer qu'il existe :

1. $a,b,c\in \mathbb{Z}$ tels que $0<c\le n$ et ${(x-a/c)}^2+{(y-b/c)}^2\le \frac{4}{\pi n{c}^2}$ (considérer $C:=\{(a,b,c)\in {ℝ}^3\mid {(cx-a)}^2+{(cy-b)}^2\le \frac{4}{\pi n}\text{ et }|c|\le n\}$) ;
2. $a,b,c\in \mathbb{Z}$ tels que $|a|,|b|\le n$, $(a,b)\ne (0,0)$ et $|ax+by+c|<1/n^2$.

Exercice 6-7

Soient $m>1$ et $a$ deux entiers. Montrer que pour tout réel $X\in ]1,m[$, il existe deux entiers $x$ et $y$ tels que $ax\equiv ymodm$, $1\le x<X$ et $|y|\le m/X$. Modèle:Solution

Exercice 6-8

Soient $m$ réels $x_1,\dots ,x_m$, et un entier $n\ge 1$. Démontrer qu'il existe un entier $q\ge 1$ et des entiers relatifs $p_1,\dots ,p_m$ tels que

$q\le n^m\text{et}\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,m\}|q{x}_i-p_i|<\frac{1}{n}$.

Indication :

• Modèle:1re méthode : imiter la preuve du cas $m=1$ vue au chapitre 2 ([[../../Approximation diophantienne et fractions continues#Application du principe des tiroirs|Application du principe des tiroirs]]) en considérant la partie fractionnaire de multiples convenables des $x_i$ et en découpant l'hypercube ${[0,1[}^m$ en sous-hypercubes adéquats.
• 2Modèle:Exp méthode : exploiter le [[../../Géométrie des nombres#Théorème de Minkowski pour des formes linéaires|théorème de Minkowski pour des formes linéaires]].