Expressions algébriques/Exercices/autres identités

Modèle:Exercice Pour montrer chaque identité, on s'efforcera d'éviter la méthode classique (mais pouvant être fastidieuse) qui consiste à développer les deux membres et à comparer les résultats obtenus.

Exercice 3-1

Modèle:Wikipédia Déduire de l'identité d'Euler (exercice 3-2 ci-dessous) les deux cas particuliers suivants de l'identité de Lagrange :

a)  $(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by{)}^2=(ay-bx{)}^2$ (aussi appelée identité de Diophante, et qui se généralise en celle de Brahmagupta) ;

b)  $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz{)}^2=(bz-cy{)}^2+(cx-az{)}^2+(ay-bx{)}^2$.

Exercice 3-2

Modèle:Wikipédia Vérifier l'identité d'Euler :

$(ax+by+cz+dt{)}^2+(bx-ay+dz-ct{)}^2+(cx-dy-az+bt{)}^2+(dx+cy-bz-at{)}^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+t^2)$.

Exercice 3-3

Vérifier les identités :

a)  $a(b+c{)}^2+b(c+a{)}^2+c(a+b{)}^2-4abc=(b+c)(c+a)(a+b)$

b)  $(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc=(b+c)(c+a)(a+b)$

c)  $(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(a+bc)(b+ca)(c+ab)=(abc+1)(a^2+b^2+c^2+2abc-1)$

d)  $4[(az-cx{)}^2-(ay-bx)(bz-cy)]={[2(az+cx)-by]}^2-(b^2-4ac)(y^2-4xz)$

e)  $(a+b+c)(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)-(ax+by+cz{)}^2=bc(y-z{)}^2+ca(z-x{)}^2+ab(x-y{)}^2$

f)  $(bc+ca+ab{)}^2+(a^2-bc{)}^2+(b^2-ca{)}^2+(c^2-ab{)}^2=(a^2+b^2+c^2{)}^2$

Exercice 3-4

Vérifier les identités :

a)  $(a+b{)}^3+3ab(1-a-b)-1=(a+b-1)(a^2+b^2-ab+a+b+1)$

b)  $2(2a-b{)}^3-27a{b}^2=(a-2b)(4a+b{)}^2$

c)  $(a-b)(a+b{)}^3=a(a-2b{)}^3+b(2a-b{)}^3$

Exercice 3-5

1°  Développer :

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-yz-zx-xy)$

et

$\frac{(y-z{)}^2+(z-x{)}^2+(x-y{)}^2}{2}$

En déduire l'identité remarquable :

$x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)[(y-z{)}^2+(z-x{)}^2+(x-y{)}^2]$

2°  En utilisant l'identité remarquable que l'on vient d'établir, en déduire les identités :

a)  $(b+c{)}^3+(c+a{)}^3+(a+b{)}^3-3(b+c)(c+a)(a+b)=2(a^3+b^3+c^3-3abc)$

b)  $(b-c{)}^3+(c-a{)}^3+(a-b{)}^3=3(b-c)(c-a)(a-b)$

c)  $(a^2-bc{)}^3+(b^2-ca{)}^3+(c^2-ab{)}^3-3(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)=(a^3+b^3+c^3-3abc{)}^2$

Exercice 3-6

1°  Établir l'identité remarquable :

$(x+y+z{)}^3=x^3+y^3+z^3+3(y+z)(z+x)(x+y)$.

2°  En déduire les identités :

a)  $(a+b+c{)}^3=(-a+b+c{)}^3+(a-b+c{)}^3+(a+b-c{)}^3+24abc$

b)  $abc(a+b+c{)}^3-(bc+ca+ab{)}^3=(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)$

3°  Établir aussi les identités suivantes :

a)  $4(a+b+c{)}^3-15[a(b-c{)}^2+b(c-a{)}^2+c(a-b{)}^2]-a(2a-b-c{)}^2-b(2b-c-a{)}^2-c(2c-a-b{)}^2=108abc$

b)  $4(b^2+ab+a^2{)}^3-27a^2{b}^2(b+a{)}^2=(b-a{)}^2(2b+a{)}^2(b+2a{)}^2$

Exercice 3-7

Vérifier les identités :

a)  $4{[ab(x^2-y^2)+(a^2-b^2)xy]}^2+{[(a^2-b^2)(x^2-y^2)-4abxy]}^2=(a^2+b^2{)}^2(x^2+y^2{)}^2$

b)  ${[(x^2+y^2{)}^2+a^2{x}^2]}^2-4a^2(x^2+y^2{)}^3=[(x^2+y^2+ay{)}^2-a^2(x^2+y^2)][(x^2+y^2-ay{)}^2-a^2(x^2+y^2)]$

c)  $(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab{)}^2=\frac{(b-c{)}^4+(c-a{)}^4+(a-b{)}^4}{2}=(a-b{)}^2(a-c{)}^2+(b-c{)}^2(b-a{)}^2+(c-a{)}^2(c-b{)}^2$

d)  $(2x^2+a^2{)}^4+(2x^2-a^2{)}^4+(4ax{)}^4=(4x^4+12a^2{x}^2+a^4{)}^2+(4x^4-12a^2{x}^2+a^4{)}^2$

Exercice 3-8

Vérifier les identités :

a)  $(b+c-2a{)}^4+(c+a-2b{)}^4+(a+b-2c{)}^4=18(a^2+y^2+z^2-bc-ca-ab{)}^2$

b)  $(b+c{)}^2(c+a{)}^2(a+b{)}^2+2a^2{b}^2{c}^2-a^4(b+c{)}^2-b^4(c+a{)}^2-c^4(a+b{)}^2=2(bc+ca+ab{)}^3$

c)  $(a+b+c{)}^4-(b+c{)}^4-(c+a{)}^4-(a+b{)}^4+a^4+b^4+c^4=12abc(a+b+c)$

Exercice 3-9

Vérifier les identités :

a)  $(a+b{)}^4+a^4+b^4=2(a^2+ab+b^2{)}^2$

b)  $(a+b{)}^5-a^5-b^5=5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)$

c)  $(a+b{)}^7-a^7-b^7=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2{)}^2$

d)  $(a+b+c{)}^5-(b+c-a{)}^5-(c+a-b{)}^5-(a+b-c{)}^5=80abc(a^2+b^2+c^2)$

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