Sommation/Formule du binôme

Lemme préliminaire

Nous aurons besoin pour la démonstration de la formule du binôme du lemme suivant sur les coefficients binomiaux :

Démonstration de la formule du binôme

Tout le monde connaît bien la formule :

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Et probablement aussi la formule :

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

Ces deux formules sont des cas particuliers d'une formule plus générale appelée formule du binôme que l’on énonce ainsi :

Triangle de Pascal

On peut commodément représenter sous forme de tableau triangulaire la valeur des $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})$. Sur le tableau ci-contre, à l'intersection de la ligne n et de la colonne p, nous avons la valeur numérique de $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})$. Ce tableau, appelé triangle de Pascal, donne les coefficients du développement d'une expression de la forme (a + b)ⁿ. Supposons que l’on veuille, par exemple, calculer (a + b)⁵. En utilisant la ligne correspondant à n = 5, nous voyons que nous obtenons :

$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

Généralement, les lignes et les colonnes ne sont pas représentées et nous avons simplement le tableau ci-contre à gauche. C'est à nous d'imaginer mentalement quelle est la valeur de n et de p. Il suffit de remarquer que la valeur de n est la première valeur différente de 1 que l’on trouve sur la ligne et cette première valeur différente de 1 correspond à la colonne p = 1.

Pour construire ce triangle, nous utilisons la formule de Pascal qui se traduit par le fait que chaque nombre du triangle est la somme des deux nombres qui sont immédiatement dessus. Voir l'animation à droite.

Pour plus de détails, voir l'article « Triangle de Pascal » sur Wikipédia.