Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien

À ce niveau, il y a deux manières d’aborder la fonction logarithme népérien. On peut la définir :

• soit à partir de la fonction inverse
• soit à partir de la fonction exponentielle

Nous allons présenter ces deux approches. Nous admettrons qu'elles sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Logarithme népérien et fonction inverse

Problématique

Si $n\ne 1$, une primitive de $x\mapsto x^{-n}$ est $x\mapsto \frac{x^{-n+1}}{-n+1}$ mais pour $n=1$, on n'a rien de tel.

On ne trouve pas de primitive de $x\mapsto \frac{1}{x}$ parmi les fonctions usuelles. Pourtant, cette fonction étant continue sur ${ℝ}_{+}^{*}$, un théorème nous assure l’existence d’une primitive.

Logarithme népérien et exponentielle

Rappel : l'étude de la fonction exponentielle $\exp$ (définie par ${\exp }^{\prime }=\exp$ et $\exp (0)=1$) montre que c'est une bijection strictement croissante de $ℝ$ dans $]0,+\mathrm{\infty }[$. En particulier, son tableau de variations est le suivant :

$\begin{array}{cccccc}x& -\mathrm{\infty }& & 0& & +\mathrm{\infty }\\ & & & & & +\mathrm{\infty }\\ & & & & \nearrow \\ \exp (x)& & & 1\\ & & \nearrow \\ & 0\end{array}$

Remarque

En particulier, $\ln (1)=0$.

Exemples

<quiz display="simple"> {Calculer au centième près avec la calculatrice (utiliser la touche ln, et non log) : |type="{}"} $\ln (2)$={ 0,69 _4 } $\ln (10)$={ 2,30 _4 } $\ln (0,1)$={ -2,30 _5 } $\ln (0,5)$={ -0,69 _5 } $\ln (1000,3)$={ 6,91 _4 } </quiz>