Fonction génératrice/Fonctions génératrices des principales lois

Loi de Bernoulli

Si X suit une loi de Bernoulli $X\sim ℬ(1,p)$, c'est-à-dire si

$p(X=1)=pp(X=0)=1-p$,

alors :

$G_X(t)=\sum _{k=0}^{1}p(X=k)t^k=(1-p)t^0+pt$

donc Modèle:Encadre Nous obtenons alors :

${G_X}^{\prime }(t)=p{G_X}^{″}(t)=0$.

Nous en déduisons :

$𝔼(X)={G_X}^{\prime }(1)=p$

et

$V(X)={G_X}^{″}(1)+{G_X}^{\prime }(1)-{({G_X}^{\prime }(1))}^2=0+p-p^2=p(1-p)$.

Loi binomiale

Si X suit une loi binomiale X ▬▶ B(n,p), c'est-à-dire si

$\mathrm{\forall }k\in [[0,n]]p(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

ou encore, si

X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes $X_1,\dots ,X_n$ de même paramètre p,

alors :

$G_X(t)=G_{X_1}(t)\dots G_{X_n}(t)$

donc Modèle:Encadre Nous obtenons alors :

${G_X}^{\prime }(t)=np(pt+1-p{)}^{n-1}{G_X}^{″}(t)=n{p}^2(n-1)(pt+1-p{)}^{n-2}$.

On retrouve ainsi :

$𝔼(X)={G_X}^{\prime }(1)=np(p+1-p{)}^{n-1}=np$

et

$\begin{array}{cc}V(X)& ={G_X}^{″}(1)+{G_X}^{\prime }(1)-{({G_X}^{\prime }(1))}^2=n{p}^2(n-1)(p+1-p{)}^{n-2}+np-(np{)}^2\\ & =n{p}^2(n-1)+np-(np{)}^2=np-n{p}^2=np(1-p).\end{array}$

Loi de Poisson

Si X suit une loi de Poisson X $\sim P(\lambda )$, c'est-à-dire si

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}p(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$,

alors :

$G_X(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(X=k)t^k=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda t}$

donc Modèle:Encadre Nous obtenons alors :

${G_X}^{\prime }(t)=\lambda e^{\lambda (t-1)}{G_X}^{″}(t)={\lambda }^2{e}^{\lambda (t-1)}$.

On retrouve ainsi :

$𝔼(X)={G_X}^{\prime }(1)=\lambda e^{\lambda (1-1)}=\lambda$

et

$V(X)={G_X}^{″}(1)+{G_X}^{\prime }(1)-{({G_X}^{\prime }(1))}^2={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda$.

Loi géométrique

Si X suit une loi géométrique $X\sim G(p)$, c'est-à-dire si

$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{*}p(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$,

alors :

$G_X(t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(X=k)t^k=\frac{p}{1-p}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(t-pt{)}^k=\frac{p}{1-p}\frac{t-pt}{1-t+pt}$

donc Modèle:Encadre Nous obtenons alors :

${G_X}^{\prime }(t)=\frac{p}{(pt-t+1{)}^2}{G_X}^{″}(t)=\frac{2p(1-p)}{(pt-t+1{)}^3}$.

On retrouve ainsi :

$𝔼(X)={G_X}^{\prime }(1)=\frac{1}{p}$

et

$V(X)={G_X}^{″}(1)+{G_X}^{\prime }(1)-{({G_X}^{\prime }(1))}^2=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac{1}{p}-{\left(\frac{1}{p}\right)}^2=\frac{1-p}{p^2}$.

Loi uniforme

Si X suit une loi uniforme X ▬▶ U〚1, n〛(on pourrait faire la même démonstration avec une loi uniforme sur 〚a, b〛avec a et b des entiers naturels tels que a<b), c'est-à-dire si

$\mathrm{\forall }k\in [[1,n]]p(X=k)=\frac{1}{n}$,

alors :

$G_X(t)=\sum _{k=1}^{n}p(X=k)t^k=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{t}^k$

donc Modèle:Encadre Nous obtenons alors :

$\mathrm{\forall }t\ne 1{G_X}^{\prime }(t)=\frac{1-(n+1)t^n+n{t}^{n+1}}{n(1-t{)}^2}$ donc (par continuité de $G{\text{'}}_X$ et à l'aide d'un développement limité du numérateur) ${G_X}^{\prime }(1)=\frac{n+1}{2}$ ;

$\mathrm{\forall }t\ne 1{G_X}^{″}(t)=\frac{-n(n-1)t^{n+1}+2(n^2-1)t^n-n(n+1)t^{n-1}+2}{n(1-t{)}^3}$ donc de même, ${G_X}^{″}(1)=\frac{n^2-1}{3}$.

On retrouve ainsi :

$𝔼(X)={G_X}^{\prime }(1)=\frac{n+1}{2}$

et

$V(X)={G_X}^{″}(1)+{G_X}^{\prime }(1)-{({G_X}^{\prime }(1))}^2=\frac{n^2-1}{3}+\frac{n+1}{2}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2=\frac{n^2-1}{12}$.

Loi hypergéométrique

Si X suit une loi hypergéométrique X ▬▶ H(N, n, p), c'est-à-dire si

$\mathrm{\forall }k\in [[0,n]]p(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{Np}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N(1-p)}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}$,

alors :

$G_X(t)=\sum _{k=0}^{n}p(X=k)t^k=\sum _{k=0}^n\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{Np}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N(1-p)}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}{t}^k$.

Loi binomiale négative

Si X suit une loi binomiale négative X ▬▶ J(r, p), c'est-à-dire si

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}p(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})p^r(1-p{)}^k$

(cette variable aléatoire donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre d’échecs avant le r-ième succès),

alors :

$G_X(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(X=k)t^k=p^r\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})(t-pt{)}^k$

donc Modèle:Encadre Nous obtenons alors :

${G_X}^{\prime }(t)=\frac{r{p}^r(1-p)}{{(pt-t+1)}^{r+1}}{G_X}^{″}(t)=\frac{r(r+1)p^r(1-p{)}^2}{{(pt-t+1)}^{r+2}}$.

On retrouve ainsi :

$𝔼(X)={G_X}^{\prime }(1)=\frac{r(1-p)}{p}$

et

$V(X)={G_X}^{″}(1)+{G_X}^{\prime }(1)-{({G_X}^{\prime }(1))}^2=\frac{r(r+1)(1-p{)}^2}{p^2}+\frac{r(1-p)}{p}-{\left(\frac{r(1-p)}{p}\right)}^2=\frac{r(1-p)}{p^2}$.

Loi de Pascal

Si Y suit une loi de Pascal X ▬▶ P(r, p), c'est-à-dire si

$\mathrm{\forall }k\in [[r,+\mathrm{\infty }[[p(Y=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r-1})p^r(1-p{)}^{k-r}$

(cette variable aléatoire donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le rang d’apparition du r-ième succès),

alors Y = X + r où X suit la loi binomiale négative ci-dessus. Par conséquent :

• $G_Y(t)=t^r{G}_X(t)={\left(\frac{pt}{pt-t+1}\right)}^r$ ;
• $𝔼(Y)=𝔼(X)+r=\frac{r}{p}$ ;
• $V(Y)=V(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$.