Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

Exercice 3-1

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$. Montrer que son exponentielle est un polynôme en $A$ ou plus généralement, que $f(A)\in ℂ[A]$ pour toute fonction $f$ d'une variable complexe développable en série entière en $0$, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de $A$ (pour une norme arbitraire fixée sur ${ℂ}^n$).

Exercice 3-2 : densité de GLModèle:Ind

Soit $K=ℝ$ ou $ℂ$. Démontrer que dans ${\mathrm{M}}_n(K)$ (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$ des matrices inversibles est dense. Modèle:Solution

Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue

Soit $f:{ℝ}^n\to ℝ$ une application continue, admettant à l'infini une limite $L$ (finie ou infinie) :

$\underset{\Vert x\Vert \to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$.

On pose $m:=\inf (\mathrm{Im}f)\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$ et $M:=\sup (\mathrm{Im}f)\in ]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ (donc $m\le L\le M$).

1. Montrer que si $m<L$, alors la valeur $m$ est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
2. En déduire que (sans cette hypothèse) $f$ admet un extremum.
3. En déduire également que si $L$ est finie, alors $f$ est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.) Modèle:Solution

Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude

L'objet de cet exercice est de redémontrer le résultat suivant du cours, sans faire appel à la notion de compacité :

Sur un e.v. réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.

1. Soit $(E,\Vert \cdot \Vert )$ un e.v.n. réel, $e_0$ un vecteur non nul de $E$ et $H$ un hyperplan supplémentaire de $ℝe_0$. On munit $H$ de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_H$ restriction de $\Vert \cdot \Vert$, $ℝ$ de la norme $|\cdot |$ et $H\times ℝ$ de la [[../../Définitions - Éléments de Topologie#Constructions de normes|norme produit]], que nous noterons $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$, et l'on considère la bijection (clairement linéaire et continue) $f:(H\times ℝ,\Vert \cdot {\Vert }^{\prime })\to (E,\Vert \cdot \Vert ),(h,\lambda )\mapsto h+\lambda e_0$.
   Montrer que si $H$ est fermé dans $E$ alors $f^{-1}$ est également continue.
2. En déduire par récurrence la proposition suivante :

   Pour tout $n\in \mathbb{N}$, toutes les normes sur un e.v. réel de dimension $n$ sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.

Exercice 3-5

Soit $f:{ℝ}^n\to ℝ$ une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1. $\mathrm{\forall }M>0\mathrm{\exists }R>0(\Vert x\Vert >R\Rightarrow |f(x)|>M)$ ;
2. Pour toute partie bornée $B$ de $ℝ$, $f^{-1}(B)$ est une partie bornée de ${ℝ}^n$ ;
3. Pour toute partie compacte $K$ de $ℝ$, $f^{-1}(K)$ est une partie compacte de ${ℝ}^n$.

Exercice 3-6

Montrer que l'ensemble ${\mathrm{O}}_n(ℝ)=\{M\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)\mid {}^{t}MM={\mathrm{I}}_n\}$ est une partie compacte de ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$. Modèle:Solution