Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité

Soient $-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty }$ et $f:]a,b[\to ℝ$ une application continue.

On suppose que $f$ admet des limites (finies ou infinies) en $a$ et $b$ :

$l:=\underset{a}{\lim }f\text{et}L:=\underset{b}{\lim }f$.

Exercice 1

Montrer que $f$ atteint toutes les valeurs strictement comprises entre $l$ et $L$.

Exercice 2

Montrer que si $l$ et $L$ sont finies, alors $f$ est bornée.

Exercice 3

On suppose que $l=L$ (finie ou infinie).

1) Montrer que si $f$ prend au moins une valeur strictement inférieure à cette limite (par exemple si $L=+\mathrm{\infty }$), alors $f$ admet un minimum.

Conseil : Rien ne vaut un bon schéma. Il faut alors utiliser la définition de la limite et…

2) En déduire que (sans cette dernière hypothèse) $f$ admet un extremum.

Modèle:Solution Pour une généralisation des exercices 2 et 3, voir Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue (niveau 15).

Exercice 4

On pose :

$\arctan (-\mathrm{\infty })=-\pi /2,\arctan (+\mathrm{\infty })=\pi /2,a^{\prime }=\arctan (a),b^{\prime }=\arctan (b)$.

1) Redémontrer le résultat de l'exercice 2 en prolongeant par continuité la fonction $f\circ \tan :]a^{\prime },b^{\prime }[\to ℝ$.

2) Redémontrer le résultat de l'exercice 1 en prolongeant par continuité la fonction $\arctan \circ f\circ \tan :]a^{\prime },b^{\prime }[\to ℝ$.

3) Redémontrer les résultats de l'exercice 3 à l'aide du même prolongement de $\arctan \circ f\circ \tan$.

Exercice 5

Sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, soit $f$ une fonction croissante telle que $g:x\mapsto f(x)/x$ soit décroissante.

1. Montrer que $f$ est continue.
2. Montrer que si $f$ n'est pas identiquement nulle alors elle est strictement positive.
3. Donner un exemple de telle fonction.

Exercice 6

Modèle:Wikipédia Montrer que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=+\mathrm{\infty }$ équivaut à : $\mathrm{\forall }a\in ℝ\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)-ax=+\mathrm{\infty }$. Modèle:Solution

Référence et liens externes

• Les exercices 1, 2 et 3 sont partiellement inspirés de l'exercice 12.6 p. 327 de Sylvain Gugger, Maths PTSI, Dunod, coll. « J'assure aux concours », 2016 et de son corrigé p. 335-336, ainsi que de la page 324.
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