Corps (mathématiques)/Définitions

Corps

Rappelons qu'un anneau A est non nul si et seulement, dans cet anneau, $0\ne 1.$

Reprenons la définition d'un corps donnée dans la leçon Anneau (mathématiques)/Définitions.

Un corps a donc toujours au moins deux éléments.

Puisque l'élément 0 d'un anneau est absorbant pour la multiplication et que $0\ne 1$, l'élément 0 n'a pas d'inverse. Toujours parce que l'élément 0 est absorbant, l'inverse d'un élément non nul est forcément non nul.

Un corps $(K,+,\times )$ est donc un ensemble muni de deux lois internes possédant les propriétés suivantes :

• $(K,+)$ est un groupe abélien, dont l'élément neutre est noté $0$ ;
• $(K\setminus \{0\},\times )$ est un groupe abélien (son neutre est noté $1$) ;
• $\times$ est distributive par rapport à $+$.

Modèle:Définition

Un corps (commutatif) $(K,+,\times )$ est donc un ensemble muni de deux lois internes possédant les propriétés suivantes :

• $(K,+)$ est un groupe abélien, dont l'élément neutre est noté $0$ ;
• $(K\setminus \{0\},\times )$ est également un groupe abélien (son neutre est noté $1$) ;
• $\times$ est distributive par rapport à $+$.

Pour certains auteurs, un corps est nécessairement commutatif. Pour désigner un corps non forcément commutatif, ils disent corps gauche ou anneau à division. On adopte ici la terminologie de Bourbaki et de S. Lang.

L'exemple le plus célèbre de corps non commutatif est celui des quaternions.

Morphisme

Un morphisme d'anneaux d’un corps dans un anneau est nécessairement injectif. Un morphisme d'anneaux envoie en effet tout élément inversible sur un élément inversible, donc non nul. Par la deuxième propriété, tout élément non nul d’un corps est inversible, donc envoyé sur un élément non nul.